2025-2026学年湖北武汉长江实验学校高中部高二下学期5月月考数学试题-含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A.3 B. C. D.3.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（）A.种 B.种 C.24种 D.10种4.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（）A. B. C. D.5.已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（）A.20 B.70 C.84 D.8646.用数字2，3，5可以组成无重复数字的偶数的个数为（）A.15 B.12 C.10 D.57.已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.8.若函数无极值点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值10.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（

）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则事件A与B为互斥事件C.若，，则D.若，则11.已知且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若则n=__________.13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种.14.若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若，求：（1）求的值；（2）；（3）.16.有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）．（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，女生互不相邻；（4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾；17.某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算：（1）求小李第2天选择书法社的概率．（2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；19.已知函数（1）若函数在处有极值为10，求b的值；（2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.解答过程：因为，因此，.故选：D.2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A.3 B. C. D.答案：D解析：思路：利用导数的几何意义即可求解．解答过程：，又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以切线斜率，解得．故选：D．3.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（）A.种 B.种 C.24种 D.10种答案：B解析：思路：每位乘客都有4种选择，因此乘客下车的可能方式有种.解答过程：由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种.故选：B4.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件，则，，，，，，故.5.已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（）A.20 B.70 C.84 D.864答案：B解析：思路：先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解解答过程：的展开式中只有第3项的二项式系数最大，故展开式共5项，所以，变形为，展开式为，令得，所以常数项为.6.用数字2，3，5可以组成无重复数字的偶数的个数为（）A.15 B.12 C.10 D.5答案：D解析：思路：分三类，即一位整数，两位整数和三位整数.解答过程：分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个；第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．7.已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意，条件概率及全概率公式可得答案.解答过程：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，根据题意可得，，所以.故选：D.8.若函数无极值点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，则没有变号零点，即没有变号零点，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，当时，，当时，，当时，的增长速率远远比的要大，所以，作出的图象，如图所示，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值答案：AD解析：思路：利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.解答过程：由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.10.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（

）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则事件A与B为互斥事件C.若，，则D.若，则答案：CD解析：思路：根据对立事件的定义可判断A；根据互斥事件的定义可判断B；由条件概率的公式可判断C；由，，结合题意可判断D.解答过程：对于A：由，故，则事件A、B互斥，不能得到事件A、B对立，故A错误；对于B：若则事件A和B相互独立，而互斥事件的定义是，故B错误；对于C：，，故C正确；对于D：，，若则，故D正确.11.已知且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：令可得A；利用二项式的展开式的通项公式计算可得B；令可得C；令，结合C选项可得D.解答过程：对A：令，则，得，故A正确；对B：由，则，对有，，对有，，则，故，故B错误；对C：令，得，故C正确；对D：令，得a0−从而得，又，从而a2+三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若则n=__________.答案：4或6解析：思路：根据组合数的性质求解即可.解答过程：由，可得或，解得或.经检验成立故答案为：或.13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种.答案：18解析：思路：根据区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案.解答过程：区域种同一种花，不同的种植方法有：；区域种不同的花，不同的种植方法有：；由分类加法计数原理可得，共有18种方法.故答案为：1814.若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________．答案：2解析：思路：根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得.解答过程：由求导得，则曲线在处的切线方程为，即，设曲线的切线的切点为，由求导得，依题意可得，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若，求：（1）求的值；（2）；（3）.答案：（1）1（2）（3）解析：思路：（1）令即可求出；（2）令即可求出，进而可求；（3）令即可求出，结合（2）即可求.（1）令得.（2）令，则，由（1）知，所以.（3）令，则①由（2）知②由①+②得，.16.有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）．（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，女生互不相邻；（4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾；答案：（1）5040（2）720（3）1440（4）3720解析：思路：（1）应用排列数，全排列公式及分步乘法原理计算求解；（2）应用排列数，全排列公式及捆绑法计算求解；（3）应用排列数，全排列公式及插空法计算求解；（4）分类讨论甲的位置应用排列数及特殊位置优先计算求解；（1）先选3人站前排有种方法，余下4人站后排有种方法，共有（种）．（2）捆绑法，将3名女生看成一个整体有种，再与4名男生进行全排列有种，共有（种）．（3）插空法，先排男生，再在5个空位中插入3名女生，有种，所以共有（种）．（4）分为两种情况：①甲在排尾时有种，②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排尾，甲从中间5个位置中安排一个，剩下5人排列，则种，所以共有（种）．17.某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算：（1）求小李第2天选择书法社的概率．（2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．答案：（1）（2）解析：（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社.由题意，两两互斥且构成完备事件组，且由全概率公式：P∴小李第2天选择书法社的概率为.（2）∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；答案：（1）（2）详见解析解析：思路：（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.解答过程：（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.方法提示：本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常