浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷（三）浙教版（含答案）

浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2024秋•大东区期末）若屋3y3。+2〃-4=2是关于为y的二元一次方程，则底方的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（3分）（2024春•东阳市月考）如图，Z1的同位角是（）

C.Z4D.Z5

3.（3分）（2024•河北二模）《察伟算经》记载，“忽,十微，微，十纤”,也就是说1忽=10微,1微=10

纤.由分、厘、毫、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分=1000000纤，

某牛物体长是“30纤”,换算成“分”,用科学记数法表示为（）

A.3Xl（）r分B.3X10-6分c.3X105分D.3义1。6分

4.（3分）（2025秋•东海县期末）下列运算正确的是（）

A.a*a2=a2B.（a2）3=a6C.a8-cr=ahD.a6~i~a2=a3

5.（3分）如图所示，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道/8C。，使其拐角N44C

=32°,N8CO=I48°,则下列结论一定正确的是（）

Q

DC

A.AB//CDB.AB=BC

C.DC=BCD.与CO相交

6.（3分）（2024•河北一模）若〃为任意的正整数，则（3〃+1）2-9/总是能被（）

A.2整除

B.绘画成一次函数

C.当成任意方程的负数解

D.绘画成二次函数

7.（3分）（2024•中山区一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出八，盈十

八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45饯；若每人出8饯,

还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（）

（y-5x=45（y-5x=45

人（y-8x=18（8x-y=18

（5x-y=45（5x-y=45

Jly-8x=18（8x-y=18

8.（3分）如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个正方形的面积分

别是3和6,则48长为（）

9.（3分）（2020秋•汀阳区期末）若（r+〃）（x+6）-l?.r+?0,则〃+/）=（）

A.-20B.20C.-12D.12

10.（3分）（2025秋•西安期末）如图，矩形纸片力4CQ沿切折叠，A,。两点分别与4'，D'对应,

若N1=2/2,则/力石厂的度数为（）

二,填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2024春・沙坪坝区期末）由5工-2），=-3,得到用^表示工的式子为工=

12.（3分））=心*1（〃？为正整数）

13.（3分）（2025•郴州二模）如图，DE//BC,DF//AC.若，则N2—度.

14.（3分）（2025秋•闽侯县期末）如图，在灯塔O处观测到轮船力位于北偏西63°的方向，同时轮船3

在南偏东18”的方向，那么/4OE的大小为度.

15.（3分）（2024•吉林开学）关于x,y的二元一次方程组一；经的解满足2r+2y=I,则〃

入"i"ya）

的值是.

16.（3分）（2023春•拱塞区校级期中）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为h的小正方形卡片（表

<b<a）如图1,取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2,再重新用三张小

正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3,已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影

部分的面积大2R）-2025,则小正方形卡片的面积是.

abbb

图1图2图3

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（2022春•中卫校级期中）把下列各式因式分解.

（1）4//）3+6。2b-2ab；

（2）y（x+1）+y2（x+1）2.

18.（6分）（2023秋•雁塔区校级月考）解方程组：

⑴器疗

⑵露j

19.（8分）（2024春•聊城期中）按要求解答:

（1）计算：（-〃2）3+2。2・。4_a.『

（2）先化简后求值：（2-。）（2+a）-2a（a+3）+3a2,其中a=—

20.（8分）（2024春•沈阳期末）如图，三角形力8。中，4（-2,-3）、8（2,-I）,AA'B'O'是4ABO

平移之后得到的图形，并且。的对应点。'的坐标为（5,4）.

（1）作出△力80平移之后的图形△力归'0'；

（2）P（刈，yo）为△力80中任意一点，则平移后对应点P的坐标为

（3）x轴上有一点Q,使△4。。的面积与相同，求。坐标.

21.（10分）（2024秋•秦州区期末）如图，点N在线段C。上，ED与FN交于点、M,ZC=Z1,Z2=Z

3.

（1）判断力B与CO是否平行，并说明理由：

（2）若NO=40。，NEM/=80°,求N/EP的大小.

22.（10分）（2025秋•天桥区期末）规定两数人〃之间的一种运算，记作（a,b）：如果〃=b,那么（a,

b）=c.例如:因为3?=9,所以（3,9）=2.

（1）根据上述规定，填空：（2,32）-（3,27）=.

（2）①若（5,3）=a,（5,7）=b,（5,21）=c,请你尝试证明：a+力=c；

②若（X,2）=小，（x,3）=〃，（x,18）=k,则4=（用含〃?，〃的式子表示）.

进一步探究这种运算时发现一个结论：（工"，V）=（x,y）,

证明：设（V,/）=加，・•・1F）〃1=/,

:.（”）〃=/,・・・/|=六即（x,y）=m.

:.（AJ,,yo=（x,y）.

64

（3）结合①，②探索的结论，求（16,81）+（8,-）的值.

23.（12分）（2023春•太和县期末）某企业4B,C三个部门计划在甲，乙商家购买•批口罩和消毒液,

口罩30元/盒，消毒液10元/瓶.甲，乙商家的销售优惠方式如下

①甲商家；口罩和消毒液都是按8折销售；

②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液.

（1）力部门有5人，计划每人配制1盒口罩和2瓶消毒液.若力部门选择甲商家购买，则需要花费

元.（2）8部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多6.请问8

部门购买了多少盒口罩.

（3）。部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商

家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由.

24.（12分）（2023春•义乌市月考）如图1,在△4BC中，NB=65°,ZBAC=75a,。为4。边上一点,

分别过点力、D作BC、45的平行线交于点及

（1）求NK的度数；

（2）点P为直线NC上的一个动点，过点尸作巴/E,且PF=/E,连结。F：

①如图2,当点夕在点。的右侧，且NP氏0=25°时，判断。E与。厂的位置关系，并说明理由；

②在整个运动中，是否存在点P,使得NP£O=2/瓦/若存在，请求出N尸尸。的度数，若不存在，

请说明理由.

图1图2

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2024秋•大东区期末）若4Y+b-3y3"2Q4=2是关于力），的二元一次方程，则a+b的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【考点】二元一次方程的定义.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二元一次方程的定义，得出。+6=1,3。+26-4=1,解出〃、6的值，然后把a、b的值代

入a+b,计算即可得出结果.

【解答】解：・・・4/+J3V"2/r4=2是关于北»的二元一次方程，

.（a+b=1

*13a4-2b—4=1'

解得：｛：=3

3=-2

当a=3,Z）=・2时，a+b=3-2=l.

故选：D.

【点评】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未

知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程.

2.（3分）（2024春•东阳市月考）如图，Z1的同位角是（）

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【考点】同位角、内错角、同旁内角.

【专题】线段、角、相交线与平行线：推理能力.

【答案】B

【分析】根据同位角定义直接判断即可.

【解答】解：根据同位角定义，N1的同位角是N3,

故选：B.

【点评】本题考查的是同位角定义，关键是同位角定义的熟练掌握.

3.（3分）（2024•河北二模）《察伟算经》记载，“忽，十微，微，十纤”，也就是说1忽=10微，1微=10

纤.由分、厘、亳、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分=10（）0000纤，

某生物体长是“30纤”，换算成“分”，用科学记数法表示为（）

A.3X107分B.3X10-6分c.3X105分D.3X1（）6分

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【专题】实数；数感.

【答案】A

【分析】科学记数法的表示形式为aXl（f的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值—10时，〃

是正整数；当原数的绝对值VI时，〃是负整数.

【解答】解：30纤=3011000000分=3XIO,分

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。xio〃的形式，其中iwia<io,

〃为整数，表示时关键要确定。的值以及〃的值.

4.（3分）（2025秋•东海县期末）下列运算正确的是（）

A.a*a2=a2B.（a2'）3=abC.-a2=a6D.a6-ra2=a3

【考点】同底数辕的除法：合并同类项：同底数辕的乘法：塞的乘方与积的乘方.

【专题】整式：运算能力.

【答案】B

【分析】根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加：哥的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项法则；

同底数累相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解•：4、〃・/=/,故此选项不符合题意；

B、（a2）3=a6,故此选项不符合题意；

C、*与-〃2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意：

D、小入2=上故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查合并同类项、同底数哥的乘法、哥的乘方与积的乘方、同底数昂的除法，熟练掌握运

算性质和法则是解题的关键.

5.（3分）如图所示，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道力46,使其拐角/48c

=32°,N8CD=I48°,则下列结论一定正确的是（)

AB

A.AB//CDB.AB=BC

C.DC=BCD.44与。。相交

【考点】平行线的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】A

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解.

【解答】解：VZJ5C=32°,ZBCD=148°,

A/AHC.+/HCD=\^（｝a.

:.AB//DC.

故选：A.

【点评】本题考查的是平行线的判定，即内错角相等，两直线平行；同位角相等两直线平行：同旁内角

互补两直线平行.

6.（3分）（2024•河北一模）若人为任意的正整数，则（3〃+1）2・9〃2总是能被（）

A.2整除

B.绘画成一次函数

C.当成任意方程的负数解

D.绘画成二次函数

【考点】平方差公式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】把（3〃+1）2-9〃2利用平方差公式分解因式即可得到答案.

【解答】解：V<3»+1）2-9n2

=（3〃+1+3〃）（3〃+1・3w）

=6〃+1,

工（3〃+1）2-%，总是能被绘画成一次函数，

故选：B.

【点评】本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式,是解本题的关键.

7.（3分）（2024•中山区一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十

八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，

还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为K人，羊价为y钱，则可列方程组（）

（y-5x=45（y-5x=45

（y-8无=18B，｛8x-y=18

（5x-y=45（5x-y=45

J[y-Sx=18U'I8x-y=18

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组：数学常识.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】B

【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，列二元一次方程组即可.

【解答】解：根据题意，得朦二二霁，

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问迤抽象出二元一次方程组，数学常识，理解题意并根据题意建立等量关系

是解题的关键.

8.（3分）如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个正方形的面积分

别是3和6,则力8长为（）

【考点】完全平方公式的几何背景.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】先根据两个小正方形的面积分别是3和6得。P=3,。4=6,然后由勾股定理可得出力咫=

。/+。82=3+6=9,据此即可求出力8的长.

【解答】解：如图所示：

A

•・•两个小正方形的面积分别是3和6,

工。力2=3,o/=6,

在RtZXI台中，山勾股定理得：，炉=042+082=3十6=9,

・・・/8=3（舍去负值）.

故选：A.

【点评】此题主要考杳了正方形的面枳，勾股定理的应用等，准确识图，熟练掌握勾股定理是解答此题

的关键.

9.（3分）（2020秋•江阳区期末）若（X+Q）（x+b）=x2-\2x+20,则a+b=（）

A.-20B.20C.-12D.12

【考点】多项式乘多项式.

【专题】整式：运算能力.

【答案】C

【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可.

【解答】解：己知等式整理得：/+Ca+b）x+ab=x2-12x+20,

则〃+力=-12.

故选：C.

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

10.（3分）（2025秋•西安期末）如图，矩形纸片力8c。沿用'折叠，A,。两点分别与H,D'对应，

若N1=2N2,则NW部的度数为（）

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质得出=下，再由折叠的性质得出/4七尸=/尸£4，，根据平角的定义

即可得出结论.

【解答】解.：・；AB〃DC,

Z1=NAEF,

由折叠的性质得出/巧胡'，

•・•/1=2/2,

AEF=/FEA'=2/2,

VZAEF+ZFEA1+Z2=180°,

A2Z2+2Z2+Z2=180a,

解得N2=36°.

AZAEF=12°.

故选：C.

【点评】本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的应用.

二,填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

23

11.（3分）（2024春•沙坪坝区期末）由5x・2y=-3,得到用y表示x的式子为x=_[y-.

OD

【考点】解二元一次方程.

【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力.

23

【答案

【分析】先移项，把y的系数化为1,即可求解.

【解答】解：5x・2y=-3,

5x=2y-3,

23

*飞y一引

23

故答案为：-y-.

【点评】本题考查了二元•次方程中的化简移项，关键在于移项时的变号问题.

12.（3分）如’=。2加”（加为正整数）

【考点】同底数幕的除法.

【专题】计算题；整式；运算能力.

【答案】机.

【分析】利用同底数幕的除法计算即可.

【解答】解；*：a2m^-^-am+]=an）,

.・."k1・《严=〃力”+1

故答案为：

【点评】本题考查了同底数第的除法，关键是熟练掌握同底数基的除法法则：底数不变，指数相减.

13.（3分）（2025•郴州二模）如图，DE//BC,DF//AC.若Nl=U0°,则N2=7（）度.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线：推理能力.

【答案】70.

【分析】根据两直线平行，同位角相等得到NC=Nl=110°,冉根据两直线平行，同旁内角互补得到

Z2=180°-ZC,据此求解即可.

【解答】辘：•：DE〃BC,Zl=110°,

.•.ZC=Zl=110°（两直线平行，同位角相等），

・：DF〃AC,

AZ2=180°-Zl=180°-110°=70°（两直线平行，同旁内角互补），

故答案为：7（）.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，关犍是平行线性质的熟练掌握.

14.（3分）（2025秋♦闽侯县期末）如图，在灯塔。处观测到轮船力位于北偏西63°的方向，同时轮船8

在南偏东18°的方向，那么NNO8的大小为135度.

【考点】方向角.

【专题】线段、角、相交线与平行线：几何直观；运算能力.

【答案】135.

【分析】根据方向角的定义得/CO力=63°,NDOB=18°进而得N/OE=90°-ZCOA=27°,然后

根据/AOBnN/lOE+NEOO+NQOB可得出/408的度数.

【解答】解：如图所示;

•・•在灯塔O处观测到轮船力位于北偏西63°的方向，同时轮船8在南偏东18°的方向，

：,ZCOA=63°,NQO4=18°,

AZAOE=900-ZCOA=W-63°=27°,

又・.・NEO3=90°,

:.NAOB=/AOE+NEOD+/DOB=27°+90°+18°=135°.

故答案为：135.

【点评】此题主要考查了方向角的定义，角的计算，理解方向角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题

的关键.

15.（3分）（2024•吉林开学）关于x,y的二元一次方程组£”一?=2°-：段的解满足2^+2）,=],则。

的值是_工.

6

【考点】二元一次方程组的解•：二元一次方程的解•.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】3

6

【分析】将方程组的两个方程左、右两边分别相加，求得x+y并代入2什2），=1求出。的值即可.

【解答】解：将方程组的两个方程左、右两边分别相加，得5（x+y）=3"2,即.土=衅，

由2x+2y=1,得x+y=

3a+21

•■•____-9

52

,_1

•♦a=61

故答案为：7-

6

【点评】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

16.（3分）（2023春•拱墅区校级期中）一张边长为。的大正方形卡片和三张边长为6的小正方形卡片（%

<b<a）如图1,取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2,再堇新用三张小

正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3,已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影

部分的面积大2ab-2025,则小正方形卡片的面积是675.

」口口口苴壬

abbb

图1图2图3

【考点】整式的混合运算.

【专题】整式；运算能力.

【答案】675.

【分析】根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整

式的混合运算法则计算即可.

【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：(a-b)(a-b)=(a-b)2,

图2中的阴影部分的面积为：[a-2(a-b)]2=(2b-a)2,

由题意得，(。-6)2-(28-q)2=2"-2025,

整理得，庐=675,

则小正方形卡片的面积是675.

故答案为：675.

【点评】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关犍.

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(6分)(2022春•中卫校级期中)把下列各式因式分解.

(1)4a3力3+6。2b-2ab；

(2)y(x+1)+y2(x+1)2.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】(1)2岫(2。2庐+3。-1)；

(2)y(x+l)(1+k+y).

【分析】(1)利用提公因式分解因式即可；

(2)利用提公因式进行因式分解即可.

【解答】解：(1)4a3b3+6a2b-2ab=2ab(2a2b2+3a-1)；

(2)y(x+1)+f(x+1)2

=y(x+1)[1+v(x+1)]

=y（x+l）（Hxy+y）.

【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是掌握因式分解的方法.

18.（6分）（2023秋•雁塔区校级月考）解方程组：

⑴媵笠:二;I

⑵ej

【考点】解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】（1）X=2；

（y=-3

⑵门

【分析】（1）（2）小题均利用加减和代入法解方程组即可.

【解答】解：⑴胃十？二磬，

（4x-5y=17@

①-②得：12尸-36,

y=-3,

吧丁=-3代入②得：戈=

••・方程组的解为：］无=3；

ly=-3

道彳葭化简为:x+3y=3①

(2)

x-2y=-7②，

①-②得：y=2,

把），=2代入①得：x=・3,

・,・方程组的解为：1三》

【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟冻掌握解二元一次方程组的一般步骤.

19.（8分）（2024春•聊城期中）按要求解答：

（1）计算：（-2a2）3+2a2*a4-a8-ra2

（2）先化简后求值：（2-。）（2+<J）-2a（。+3）+3/，其中Q=—g

【考点】整式的混合运算一化简求值.

【专题】计算题；整式；运算能力.

【答案】（1）・7的

(2)4-6a,6.

【分析】(1)先计算枳的乘方，同底数基乘除法，再合并同类项即可；

(2)先根据平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算

即可.

【解答】解：(1)(-2a2)3+2a2*a4-a8-ra2

=-8a6+2a6-a6

=-7a6；

(2)(2-。)(2+〃)-2a("3)+3a2

=4-a2-2a2-()a+3a2

=4-6a,

当Q=一^•时，原式=4-6x(-})=4+2=6.

【点评】本题主要考查了整式的混合运算一化简求值，关键是熟练掌握整式的运算法则.

20.(8分)(2024春•沈阳期末)如图，三角形如箝中，A(-2,-3)、B(2,-1),AAB'。'是AABO

平移之后得到的图形，并且O的对应点。的坐标为(5,4).

(1)作出△45。平移之后的图形△44'。'；

(2)P(刈，网)为△440中任意一点，则平移后对应点9的坐标为(g+5,i，o+4):

(3)x轴上有一点0,使△W。。的面积与△408相同，求。坐标.

【考点】作图■平移变换.

【专题】作图题：几何直观.

【答案】(1)见解答：

(2)(M)+5,yo+4).

8Q

(3)Q(-,0)或(一小0).

3J

【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出。，A,8的对应点。'，4',夕即可;

(2)根据平移坐标变化规律解决问题即可.

(3)设0(m，0),构建方程求出川的值即可.

(3)设。(〃7,0),则有底|.'川乂3=4,

,8

m=±-,

8Q

：.Q(-,0)或(一月0).

【点评】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质正确作出

图形，学会利用分割法求三角形面积.

21.(10分)(2024秋•秦州区期末)如图，点N在线段CO上，ED与FN交于点、M,ZC=Z1,Z2=Z

3.

(1)判断与CO是否平行，并说明理由；

(2)若NQ=40°,NEM/=80°,求N/1E尸的大小.

P

EFB

/LXNu

【考点】平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】(1)平行，

VZ2=Z3,

:.CP//FN,

:・NC=NFND,

又・.,NC=N1,

—NFND,

:・AB〃CD：

(2)120°.

【分析】(1)根据N2=N3,可得CP〃BV,从而得到NC=/HVQ,继而得到N1=NEV£>,即可求证;

(2)根据。尸〃EV,可得/2=/£。=80°,再由48〃CD,可得/在。=/。=40°,即可求解.

【解答】解：(1)AB//CD,理由如下：

VZ2=Z3,

:.CP//FN,

:"C=NFND,

XVZC=Z1,

：・4\=/FND,

:・AB"CD；

(2),：CP//FN,

；・N2=NEMF=80°,

*：AB//CD,

:,NFED=ND=40°,

:・NBEC=N2+NFED=800+40°=120°,

/.ZAEP=^BEC=\20°.

【点评】本题土要查了平行线的判定和性质，美键是相关性质和定理的熟练掌握.

22.(10分)(2025秋•天桥区期末)规定两数a、b之间的一种运算，记作(a,6)：如果那么(a,

b)=c.例如：因为3?=9,所以(3,9)=2.

(1)根据上述规定，填空：(2,32)-(3,27)=2.

(2)①若(5,3)=a,(5,7)=b,(5,21)=c,请你尝试证明：a+8=c；

②若(x,2)=w,(x,3)=〃，(x,18)=k,则k=〃i+2。(用含〃?，〃的式子表示).

进一步探究这种运算时发现一个结论：a〃，V)=a,y),

证明：设(?，/)=m,/.(VOw=/,

:.(/)〃=V，・•・一=y,即(x,y)=/〃.

・•・(/,./)=(x,y).

64

(3)结合①，②探索的结论，求(16,81)+(8,­)的值.

【考点】有理数的混合运算；同底数暴的乘法；暴的乘方与积的乘方.

【专题】计算题；新定义；运算能力.

【答案】(1)2；

(2)①(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,

・••由新定义可得:5a=3,5分=8,5c=24,

•••3X8=24,

...5。・5b=5。，

a+b=c；

②m+2”；

(3)2.

【分析】(1)根据已知条件中的新定义和乘方的意义进行计算即可；

(2)①由(5,3)=a,(5,8)=h,(5,24)=c,得5a=3,5〃=8,5c=24,即知5a・心=5，从而

a+b=c；

②结合①即可用含m,n的式子表示X

6444

(3)由(16,81)=(2,3),(8,--)=(2,-),再根据(2,3)+(2,-)=(2,4)进行计算

4/JJ

即可.

【解答】解：(1)V25=32,

・•・(2,32)=5；

:33=27,

••・(3,27)=3；

(2,32)-(3,27)=5-3=2.

故答案为：2：

(2)①•・•(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,

工由新定义可得:5a=3,5b=8,5c=24,

73X8=24,

.•・5“・5'=5°,

/.a+b=c；

②•・•(x,2)=ni,(x,3)=n,(x,18)=k,

.*..rw=2,f=3,x*=18,

V2X32=18,

*・O2=?,

.\k=m+2n.

故答案为：/〃+2〃；

644

(3)•・•(16,81)=(2,3),(8,­)=(2,-),

273

64

••・(16,81)+(8,­)

27

4

=(2,3)+(2,-)

3

=(2,4)

=2.

【点评】本题考查了有理数的混合运算，塞的乘方与积的乘方，同底数塞的乘法，掌握相应的运算法则

是关键.

23.(12分)(2023春•太和县期末)某企业4B,C三个部门计划在甲，乙商家购买〜批口罩和消毒液，

口罩30元/盒，消毒液10元/瓶.甲，乙商家的销售优惠方式如下

①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；

②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液.

(DJ部门有5人,计划每人配制1盒口罩和2瓶消毒液.若力部门选择甲商家购买，则需要花费200

元.(2)8部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多6.请问8

部门购买了多少盒口罩.

(3)。部门要购买15盒口罩和消毒液若干(超过15瓶)，如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商

家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由.

【考点】二元一次方程组的应用.

【专题】方程与不等式；运算能力.

【答案】（1）200：

（2）4部门购买了II盒口罩：

（3）当15VyV30时，选乙；当y=30时均可；当y>30时，选甲.

【分析】（1）5盒口罩5瓶消毒液的钱数乘以80%即可；

<2）设6部门买了x盒口嶷，消毒液为（〃十6）瓶，列方程，解方程即可；

（3）分别表示出在两个商场中花费的钱数，借助不等式选择商场.

【解答】解：（1）（5X30+2X10X5