第十一章 第3节 专项强化：带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题（原卷版）-2027年高考物理一轮复习讲义

第3讲专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、

多解问题

题型一带电粒子在磁场中运动的临界问题

解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的''恰好”“最大”“至

少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几

何关系求解。

1.临界条件

带电粒子刚好穿出（不穿出）磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相

切，故边界（边界的切线）与轨迹过切点的半径（直径）垂直，

2.几种常见的求极值情况（速度一定时）

（1）最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。

圆形边界：公共弦为边界圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径

时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。

（2）最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。

如图所示，尸为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。

x'K'x

单边界磁场平行边界磁场

3.判断临界问题的三种常用方法：“平移圆法”“旋转圆法”“放缩圆法”。

考向1“平移圆法”的应用

速度大小粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带

一定，方电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度

向一定，大小为g，则半径R—1?，如图所示

适用但入射点

XXXXXXX

条件在同一直

线上1

轨迹圆圆

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上

心共线

将半径为/?=鬻的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件，这种

界定方法

方法叫“平移圆法”

【典例1】（2026•湖北裹庄•二模）（多选）如图，边长为4的正三角形48c区域内有垂直纸

面向里的匀强磁场，大量比荷为9的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从6c

m

边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为?0,粒子在磁场中运动的最长时间为30,则下列

说法正确的是（）

A.磁感应强度大小为含

24qt0

B.粒子运动的轨迹半径为（26-3）乙

C.粒子射入磁场的速度大小为卑粤

D.粒子在磁场中扫过的面积为（1+9（21-12b）〃

考向2“旋转圆法”的应用

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场

时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度

速度大小一定，为。0,则圆周运动半径R—如图所示

方向不同

适用条

件

P5

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆

轨迹圆圆心共圆

心、半径R一③的圆上

将一半径R=翳的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子

界定方法

的临界条件，这种方法叫“旋转圆法”

【典例2】（2026・贵州贵阳•一模）（多选）如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸

面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为（d,d）。打开粒子源

发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为加，电

荷量为q，速率u=嗖。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为（0,d）,则下列说

法正确的是（）

o'------------------------------

A.从工轴射出磁场的粒子数占总粒子数的1

B.从0M之间射出磁场的粒子数占总粒子数的2

C.到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为日

3qB

D.打在x轴的长度为2d

考向3“放缩圆法”的应用

速度方向一粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子

定，速度大进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周

小不同运动的轨迹半径随速度的变化而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度。越

大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁

适用条场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线

件PP上

轨迹圆圆

XXXXXX

心共线

x'l久'、您

XXXXXX

以入射点p为定点，圆心位于PP直线上，将半径放

界定方法缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法叫''放

缩圆法”

【典例3】（2024•河北•模拟预测）（多选）真空区域有宽度为人磁感应强度为B的匀强磁

场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒

子（不计重力）沿着与MN夹角6»=30。的方向以一定的速度孙（大小未知）射入磁场中，从

PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60。。则为的大小可能为（）

A（6-1"B

2m一2m

但1卜同D（二+l）qBl

mm

题型二带电粒子在磁场中运动的多解问题

1.带电粒子在洛伦兹力作川下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。

多解形成的原因一般包含四个方面:

类型分析图例

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电布，也

可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子

带电粒

在磁场中运动轨迹不同，形成多解。XX/Xx\

子电性J

如图，带电粒子以速度V垂直进入匀强磁场，若

不确定

带正电荷，其轨迹为小若带负电荷，其轨迹为,、•/

b

在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁场方

向时，必须考虑由于磁场方向的不确定而形成多

磁场方

解,

向不确

如图，带正电粒子以速度u垂直进入匀强磁场，

定

若磁场方向垂直纸面向里，其轨迹为。，若磁场、•/

方向垂直纸面向外，其轨迹为b

A

粒子速有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指

度不确出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的zyxxx\

/xXX\

定不确定而形成的多解/平；\c

；X

临界状带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，\yx^\x

态不唯也可能转过180。从入射界面一侧反向飞出，形成

—*多解

2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧

（1）分析题目特点，确定题目多解形成的原因。

（2）作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。

（3）若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的

条件。

考向1带电粒子电性不确定的多解问题

【典例4】（多选）如图所示，力和七为两条平行的虚线，L上方和上下方都是范围足够大,

且磁感应强度相同的匀强磁场，4、B两点都在心上。带电粒子从A点以初速度如与上成30°

角斜向右上方射出，经过偏转后正好过8点，经过8点时速度方向也斜向上，不计重力，下

列说法正确的是（）

XXXXXXXX

XXXXXXXX

vL\

能……士…L

XXXXXXXX

XXXXXXXX

A.若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过4点

B.带电粒子经过4点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同

C.若将带电粒子在八点时的初速度方向改为与心成60°角斜向右上方，它将不能经过8

点

D.此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷

考向2磁场方向不确定的多解问题

【典例5】（2026•河北衡水•模拟预测）（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区

域内存在方向垂直于MNP。平面的磁场，磁感应强度大小为％,方向周期性变化，且磁场变

化周期下可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，氏，图像如图乙所示。现

有一电子在六0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为〃?，电荷量大小为

e,PN边界上有一点E,且/NE=^L，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（）

A.电子沿NP方向经过P点一则电子的速度大小一定是黑

B.电子沿NP方向经过户点，则电子的速度大小可能小于竺叱

m

C.电子垂直于NP边过£1点，则磁场变化周期一定是筌

D.电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于整

36%

考向3粒子速度不确定的多解问题

【典例6】（2026•湖南衡阳•二模）如图所示是半径为R的薄壁圆筒的横截面，在其•条直

径两端分别开有两个小孔。和人处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为8的名强磁

场中。质最为血、电荷量为-q的粒子，从小孔Q以一定初速度与M连线成。角入射，最终从力

孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度

方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（）

XXXXXXXXXX

A.若。=3且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为驾

6m

B.若e=t且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为包竺”

6m

C.若8=%且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为迎把世

3m

D.若。/且粒子与简壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为安一

考向4临界状态不唯一的多解问题

【典例7】（2025•河北邯郸•模拟预测）（多选）如图所示，质量为血、电荷量为+q的粒子

从静止开始经加速电压U加速后，从三维直角坐标系的原点。处沿不同方向射入匀强磁场，磁

感应强度大小为8、方向沿z轴正方向。已知加速电压U调节范围为小其中U0=

等。x轴上距离。点1.5Z1处有一长为L的吸收板，吸收权接地，粒子打在板上即被吸收。不

8m

计粒子重力，下列说法正确的是（）

A.当粒子沿y轴正方向射入磁场时，调节U,板上有粒子击中的长度为（心-

B.当U=3"），粒子从。点射入％Oy平面x>0、y>0的区域，速度方向在0〜90。均匀变

化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%

C.当〃=t=0时刻，粒子从。点射入yOz平面y>0、z<0的区域，且速度方向与y

轴止方向夹角为30°,粒子与z轴距离最大时的时间为。二"胃（九=1,2,3……）

D.当U=2U0,粒子从0点射入yOz平面y>0»z<0的区域，且速度方向与y轴正方向夹

角为45。，则经过£2=翳时粒子的坐标为（『一$，一:兀L）

m巩固训练

1.（2025•山西临汾•二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁

场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L,0）点。其中第面象限内的磁感应强度为冬，第

团象限内的磁感应强度为丛，且仄=2丛（大小均未知）。一质量为加、电荷量为+夕的粒子

从原点O以速度I，进入第回象限的磁场，方向与x轴成30。角，粒子从。点离开磁场区域,

不计粒子重力，则第0象限的磁感应强度后的大小可能是（）

.mvmvmv2mv

A.------D.------C.—D.-------

4qL2qLqLqL

2.（25-26高三上•云南•阶段检测）如图所示，边长为［的等边三角形区域AC。内、外的匀

强磁场的磁感应强度大小均为8,方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点A处有一正

粒子源，能沿乙A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过。

点，粒子的比荷"=3粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能

m

为（）

••J•••

4B

,小、・・

••/▼\•

/X\

•/XXX\••

/\

/XXX\n

A.—B.3BkLC.—D.2BkL

45

3.（2023•湖北襄阳•模拟预测）如图甲所示，边长为L的正方形时〃区域内存在匀强盛场,

磁感强度大小为B。,方向垂直于必〃所在平面,且周期性变化（周期7可根据需要调整）,

如图乙所示，设垂直平面向里为磁感强度的止方向。现有一电子在t=0时刻由a

点沿外方向射入磁场区，已知电子的质量为小，甩荷量大小为e,图中边界上有两点了、

g,且df=bg=*,关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（）

图甲图乙

A.调整磁场变化周期T,让电子沿儿方向经过c•点，电子的速度大小一定是些叱

m

B.调整磁场变化周期7,让电子经过d点，电子的速度大小一定是警

2m

C.要想让电子经过点/点，则磁场变化周期一定是粤

36BQ

D.要想让电子垂直从边过g点，则磁场变化周期一定是筌

4.（2025•安徽马鞍山•二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化

规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量q=1X10-7*质量巾二

1xlOT'g的带电粒子，位于某点。处，在t=0时刻以初速度%=2nm/s沿某方向开

始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从£=0时刻开始的磁

场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（）

B/T

0.1

0>z/^xlO-3s

81：5

II

-0.1

A.2V2iTm/sB.4x^2nm/sC.2x/2m/sD.4&m/s

5.（2026•安徽阜阳•二模）如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B

的匀强磁场，圆周上W处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率

为此的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置口，N点距M点最远且13MCWE2O。，

不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的半径为百R

B.粒子的比荷为斐空

C.由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120°

D.从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为苧

6.（2026•安徽芜湖•二模）如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，力、B为

半圆直径的两个端点，。点为半圆的圆心，ON为圆的半径。现有带电粒子a、b分别以不

同的速度从4点和B点沿半径方向同时进入磁场，并同时从N点射出磁场，不计粒子的重

力和粒子间相互作用c己知乙AON=6（r,则粒子a、b（）

N,.......、、

/'••、

•、

,••\••\

A..............................................B

ab

A.做圆周运动的半径之比为l:gB.运动的速率之比为3:2

C.比荷之比为2:1D.运动的角速度之比为1:2

7.（2026•河北张家口•二模）（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器〃对逃逸粒子

的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为R、圆心为。的圆形区域内有方向垂直于圆平

面向外的匀强磁场，cd.Qb为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源〃沿一直线发射

最小速率为％,大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上P点射入磁场，入射速度

方向平行于cd、与。P夹角为30。；所有入射粒子仅能从劣弧bd逃逸出磁场。已知带电粒

子的比荷为k（k=@）,不计粒子重力及粒子间的相互作用力，或1115。二在二①，cosl50=

m4

乎。下列说法正确的是（）

4

b

A.带电粒子一定带负电

B.粒子的最大速度为（2+J司为

C.磁场的磁感应强度大小为需

kR

D.粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为翳

8.（2026•内蒙古赤峰•一模）（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀

膜部分平面结构简图1:靶材溅射出的质量为〃7、电荷量为夕的带负电的粒子，从K轴上

P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在

固定基底上端附近的A点。A,。两点距离为3a,入射速度方向与x轴夹角为60。，不计

粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（）

A•禁B.D.吗

m

9.（2026•江西上饶•一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为8,方向垂直于纸面向外，其边

界如图中虚线所示，ab=bc=L,Z.p=60°,jlab//cdo一束带正电粒子，在纸面内从a

点垂直于"射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为匕不计粒子之间

的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（）

・••••••••・•

•••••••••••

・••••••••••

丁L：L::::::::

ab\....................................................................

...IvL-Ll：i.L：

Cd

▲27tcn八47r-2rt

A.------B.—C.D.—

3kBkB3kBkB

10.（2026•四川绵阳•模拟预测）（多选）如图所示，在工。），坐标系内，OWyWKa区域存

在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位「坐标原点的粒子源，可在汇Oy

平面内与x轴正方向间的夹角在0~兀之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带

电粒子。已知沿y轴正方向发射的粒子经时间S从边界上P（小V3a）点离开磁场。不

计粒子的重力及粒子间的相互影响。则（）