高中数学必修第1册第三章知识点总结

必修第一册第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念：一般地，设A、6是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数弟

按照某种确定的对应关系/；在集合B中都有唯一确定的数），和它对应，那么就称/：ATB

为从集合A到集合8的一个函数。记作：y=fix）f其中，x叫做自变量，x的取值范

围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/（x）|｝叫

做函数的值域。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

（1）函数的定义域的求法：①白然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，

偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；

②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

③初中学过的几种基本函数的定义域与值域：

函数定义域值域

RR

y=kx+b(kh0)

R

y=ax2+bx+c,a/0八a,।、4tzc-/72.

。>0.时，3)栏)

4。

〃<0时,{)")，"4"**}

4〃

k,八{A|A#0}厚0}

y=一,攵羊。

X

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用

不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个

函数才是同一个函数。

3.常用的函数表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的

解析表达式，简称解析式；

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4.分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，

这种函数又称分段函数；

5.区间的概念：设〃力是两个实数，且兴反我们规定：

（1）满足不等式a^<b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];

（2）满足不等式a。。的实数x的集合叫做开区间，表示（a,b）;

（3）满足不等式把x0或a〈x劭的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b）或（a,b];

a,b都叫做区间的端点。

（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表

示不包括在区间内的端点）

表3.I2

定义名称符号数轴表示

—•-<------------------

闭区间「a・〃ab

—Q-o---.--

a<Zr<Zb]开区间(a•b)ab

•o»

半开半闭区间[a・〃)a

------o••

半开半闭区间(a•〃一ab

(5)

表3.I3

定义区间数轴表示

｛川才泊｝[a•-f-oo)a

♦・

a

LrlQa}(a.4-°°)—o-

b

(-3.---------♦•

b

{-r|x<.b](—OO.6)■。・

3.2函数的基本性质

1.单调性：（I）定义：一般地，设函数），=/"）的定义域为I,区间Dq/:

①VXI，X2eD,当为＜X2时，都有於1）勺*2），那么就说府）在区间。上是增函数；特别地，

当函数7U）在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。

②DX|,及£D,当笛令2时，都有人.⑴决⑸，那么就说儿T）在区间。上是减函数；特别地，

当函数人处在它的定义域上单调递减时，我们成它是减函数。

（2）如果函数）寸X）在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=/（x）在这一

区间具有（严格的）单调性，区间。叫做）讨幻的单调区间。

（3）判断函数单调性的方法步骤：①任取汨，七已。，且犷02;②作差大汨）一心2）;

③变形（通常是因式分解和配方）;④定号（即判断差八为）一人⑼的正负）；⑤下结论（即

指出函数7U）在给定的区间D上的单调性）。

2.最大（小）值：

（1）最大值：一般地，设函数产叭x）的定义域为/，如果存在实数M满足：①对于Vx

£/,都有凡r）WM；②三沏£/，使得/Uo）=M。那么，称M是函数）弓U）的最大值。

（2）最小值：一般地，设函数）可x）的定义域为1,如果存在实数M满足：①对于Vx

£/，都有./U）2M；②三句g/,使得Kw））=M。那么，称M是函数产/*）的最小值。

（3）求最值的方法：①利用函数单调性；②利用不等式或基本不等式；③函数图像等。

3.奇偶性：

（1）定义：①一般地，设函数人制定义域内为/,如果都有-x£/，旦八一幻=/"）,

则称7U）为偶函数；

②一般地，设函数人上）定义域内为/,如果Vx£/,都有-工£/,且八一x）=7U）,则称.仆）为

奇函数；

③如果函数./U）不具有上述性质，则,小）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，

则7U）既是奇函数，又是偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域

是否关于原点对称；②确定人一幻与人t）的关系；③得出结论：

（3）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数

是偶函数的充要条件是它的图象关于.V轴对称；

3.3幕函数

1.幕函数：一般地，），=xa叫做基函数，其中x是自变量，a是常数。

2.几个累函数的性质：

1

y=x2

y-xy=x2

定义域RRR[0,+oo)3吐。｝

值域R[0,+oo)R[0,+oo)3卢。｝

非奇非偶函

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

数

原点左右都

单调性增函数先减再增增函数增函数

为减

公共点(1,1)

图象都不过的第生象限

3.图像:

第三章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的.

1.（2024湖北高一期末］下列函数是寻函数的是（）

C.y=2?D.y=-x'

2.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

A.y=xB.y=|x|+1

1

C.y=-,r+lD.y=-“

3.(2024江苏南亚①高一期中]己知函数人工)N°,则｛3)=()

A.1B.2

C.4D.5

4.已知函数)，寸;。的定义域为[-8,1],则函数g(x)=N二的定义域为()

A.[-5,-2)U(-2,01

BJ-8,-2)U(-2,l]

q

C.(-oo,-2)U(-2,3]D.，-2]

5.[2024甘肃临J复高一期末]函数./U)=『-4x+3在区间口,+8)上单调递增，则«的取值范围是

()

A.(2,+cc)B.[2,+8)

C.(-8,2)D.(依,2]

b

6.已知J(x)=ax^+“+3J(4)=5,贝iJ./(-4)=()

A.3B.l

C.-lD.-5

|(l-2m)x+l-myx<0;

N高一月考]若函数段)=3：+(m-2)MN0满足对任意xg£R，且出心

7.(2024山东德山

都有<0成立，则实数〃?的取值范围为()

11

A.22)B.(2J)

11

C.(2,2]□di]

8.定义在R上的偶函数人外在区间[0.+8)上单调递减.口贡2)=0,则满足(1-1次r)>0的X的取值

范围是()

A.(-oo,-2)U(l,+co)

B.(-2,-l)U(2,+o))

C.(-OO,-2)U(1,2)

D.(-2,-l)U(l,2)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分,部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有()

博士

A7U)=x与g(x):B./U)=x+1与g(x)=z

巴(l,x>0,

与°D加=|"|与g(x)=g|

10.若函数y=『-4x-4的定义域为［0,0,值域为［-8,-4］,则正整数a的值可能是()

A.2B.3

C.4D.5

11.已知函数於)=(//〃-1尸吗是暴函数,对任意XlK2《(0,+8),且满足'X>0.若

〃力£R，且％)+的)的值为负值，则下列结论可能成立的有()

A..a+b>0,ab<0B.a+b<0,ab>0

C.a+b<0Mb<0D.以上都有可能

三、填空题:本题共3小题.每小题5分洪15分.

12.已知函数儿1)=*-〃田+4是定义在区间上的偶函数，则m+〃=.

13.已知函数,心)=^^?竹必在区间［2,4］上单调递减,则实数k的取值范围是.

14.若函数/U)同时满足:对于定义域上的任意占恒有段)+★x)=0:对于定义域上的任意为也

-MS)

当即加2时，恒有<0,则称函数兀6为“理想函数

1N0,

给出下列四个函数:①/□)=’;②/U)=『;③/<0•其中能被称为“理想函数”

的有(填相应的序号).

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

-2x,x<-1,

11-1<x<1,

311

⑴求斤?)内欧3)；

⑵若儿。=6,求a的值.

16.(15分)(1)已知.仆"+2)+4、'”,求函数启)的解析式.

(2)已知人幻是二次函数，且满足人0)=1£什2)小#=3工,求函数人幻的解析式.

17.(15分)已知函数fix)=2x-2\+\x+11.

(1)画出人工)的图象；

(2)求yu)>4的解集.

18.(17分)［2024河北石家庄］已知函数/我)是定义在［-3,引上的奇函数，当0<.rW3^J(x)=2r+x.

(1)求当-3Wx<0时,函数力。的解析式；

⑵若Aa+l)M2a-l)>0,求实数a的取值范闱.

19.(17分)已知函数./U)=x+;且.犬2)=4.

(I)求实数〃?的值；

⑵判断函数凡。在区间［2,+8)上的单调性，并证明你的结论；

⑶求函数逐外在区间［3,4］上的最值.

答案：

1.A由篌函数的定义，可知A正确;B,C,D均不符合.故选A.

2.By=x是奇函数，故A不符合题意;y=|x|+l是偶函数，在(0,+8)上单调递增，故B正

确;y=-K+l是偶函数,在区间(0,+8)上单调递减,C不符合题意;)，=/是奇函数,D不符合题意.

故选B.

3.B由题意得J(3)=A3-2)/l)yi-2)M-l)=(-l)2+l=2.故选B.

4.A因为函数产/U)的定义域为［-8［］,对于函数g(x尸"2,

(-8匕2x+1*1,9

则有［X+2*0,解得.2忘1<_2或.2<XW().

号

因此，函数g(x)的定义域为［二,-2)U(-2,0］.故选A.

T

5.B函数7(X)=X2-4A+3图象的对称轴方程为x=-―2,

要使函数在区间3+oo)上单调递增，则”22,解得［2,+0O).故选B.

bb

6.B由逃4)=5,得43。+4=2次-4)=-(43〃+4)+3=-2+3=1,故选B.

7.D根据题意可知，函数人幻在R上单调递减，

fl-2m<0,

所以需满足l(h2m)x°+1-m>0

1

解得二〈〃忘1.

1

即实数〃？的取值范围为(31］.故选D.

8.C因为7U)在区间［。，+8)上单调递减，且寅2)=0,

所以当0Wx<2时<x)>0;当x>2时J(x)vo.

又因为/U)为定义在R上的偶函数，

所以在区间(-8⑼上单调递增，且4-2)=0,

所以当-2<%W0时,©)>0;当x<-2时<x)<0.

综上，当-2<x<2时尤幻>0；当x<-2或x>2时1Ax)〈0.

fx-l>0,(x-KO,

<0

由。-1处)>0可得匕⑶>0M*

(x-l>0.(x>l,

由lf(x)>0可得卜2<x<2解得i<x<2.

炉<0,

由次幻<°可得I》<-2或x>2,解得x<.2.

所以满足(41次外>0的x的取值范围是(-8,-2)U(1,2).故选C.

拧

9.ACD对于A,函数/U)=xa£R),函数g(x)=(x£R),两函数的定义域与对应关系都一致,

所以是同一函数，故正确；

对于B,函数凡r)的定义域为R,函数g(x)的定义域为3*1},它们的定义域不同，所以不是同一

函数，故错误；

p»x>0,H»x>0>

对于c,函数<°,与函数g(x)=l/4<°'两函数的定义域与对应关系都一致，所以是

同一函数,故正确；

对于D,函数用)=18I与g(x)=|x-11的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数,故正确.故

选ACD.

10.BC函数y=f-4x-4的图象如图所示.

因为函数在［0,4上的值域为［-8,-4］,结合图象可得2<〃W4,

又a是正整数，所以BC正确.故选BC.

1

11.BC由函数危)为寐函数可知nr-m-1=1,解得m=~l或m=2.当m=-\时危)=’;

当m=2时次幻r3.由题意知函数/U)在(0,+8)上单调递增，因此次幻二/符合条件,且满足

结合/Gx)=VU)以及JIG+艮b)<0可知大。)〈次力)可(功),所以即/x-a,所以a+b<0.当a=0

时，<0"疝=0;当。>0B寸力<04〃<0；当〃<0力<0时,a〃>0;当a<0S)<b<-a时,ab<0,故B,C都有可

能成立.故选BC.

12.2因为函数凡。=.己/加+4是定义在区间［-2力,2川上的偶函数，

所/-x)=fix),+4=JT-HIX+^Mw=0,

且定义域12-〃,2川关于原点对称，所以2〃+2/『0,解得〃=2,所以m+n=2.

13(00,4］当k=0时J(x)=2t在区间［2,4］上单调递减，符合题意;

当k>0时，函数图象的对称轴为直线x*,

111

因为共幻在区间［2,4］上单调递减，所以424,得2W+所以oaw4

当k<0时，函数./U)在区间［2,4］上单调递减，符合题意.

1

综上，实数m的取值范围为(心力

14.@由题知，”理想函数”应是奇函数，且在定义域上为减函数.

对于①，函数/(x)J为奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；

对于②，函数於)二/为偶函数,所以不正确;对于③，函数凡r)=|x|的定义域为R,在定义域内不单

(•^.x之0,

调,所以不正确;对于④，函数ZU)［-炉/<°的大致图象如图所示，显然此函数为奇函数,且在

定义域上为减函数，所以是“理想函数

综上，能被称为“理想函数''的为④.

33

15.解(1M-5)=-2X(-2)=3,

1i

/6=2X/6)/2)=2X2=4.

⑵由对应关系可知屣［-1,1］,否则加0=2.若。£(@,-1),令-2a=6,得。=-3,符合题意;

若。£(1,+8),令2。=6,得a=3,符合题意.故a的值为-3或3.

16.解(1)(方法1换元法玲1=4+2,则产(1-2)2庐2,

则有川)=(/-2)2+4(/-2)二尸-4,彦2,

所以函数fix)的解析式为=『-4(x22).

(方法2配凑法求、'I十2)=入十4、"=x十4〃十4.4』五十2月4.

因为、r+222,所以函数的解析式为/U)二/>4。22).

⑵由题意设_/U)=ad+Zu+d。和),因为人0)=1,所以c=1,因为凡什2)次6二34,

所以t/(.r+2)2+/?(X+2)+c-(ax2+bx+c)=3.r,

=3.3333

+2b=0得“4力=4所以Ax)Wr2&+1.

所以4公+4