山东省德州市2025-2026学年高一下学期期中 数学试卷（含解析）

山东獭怖2025-2026学年高一下学期期中考试

数学试霞

一、单选题

1.sin105=()

A瓜-五口瓜+。2「x/5-1G+i

八•------------D.

4422

2.已知向量d=（/〃,2）,5=则，〃=2是,/区的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

3.已知3sina+5cosa=Asin(a+0),则()

33

A.A=4,tan^?=-—B.A=VS,tan^=-—

C.A=V34,tan^=—D.A“=44.tanw=-3

3

.1+sin2a

4.已知———=3,则tana)

2cos“a+sin2a

A1B.—C.5D.

•55

5.已知不共线的平面向量。石a两两夹角相等，同=1，W=2,同=3,则a+b+e=()

A.3或36B.邪C.⑺或6D.6

6.如图所示，在V/WC中，/84C=90.A8=6,AC=8,。是AC的中点，点E在人。上，且他=2以），则

~BEAD=()

29D

3T-I-4

71a.a3rle,、

7.若角ac0怖（）（，&sin/?=cos----sin—,cosa=—,则cos/?=()

2225

A•嘤「x/15包

B-?D,

5

8.如图，“六芒星''是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行，点A8是“六

芒星''（如图）的两个顶点，动点。在“六芒星''上（内部以及边界），则区.即的取值范围是（）

图1六芒星图2

A.[-10,2]B.[-18,6]C.卜2石,26]D.[-2,75]

二、多选题

9.下列说法不正确的是（）

A.若山区，bile»则/〃]

B.若出6<0,则（I用为钝角

C.若K/；为非零向量，且,+可二.一耳，则〃"

D.若出区，则存在唯一的实数2使得5=4

10.已知cos（a+[）=--^-,cos2a=-^,其中。，〃为锐角，则（

)

.3

A.ian2a=-B.cos(a-/?)=

4

「..△3石D.tanatan£=g

C.sin^sinp=-^-

11.已知两个非零向最万万的夹角为0,定义运算◎。③万=同阳皿。.设"二（大”）万=（冷切，则（)

A.皿c0,|，/丽=,・5

方在〃上的投影向量的模为噂

R

c.V25,均有伍⑤母2+（小母2=|浦|5『

D.口忘方=|%），2一七W

三、填空题

12.已知向=右判=2,若川万一5)，则「与5的夹角为.

且ae(0,3)

13.已知cosa=一，贝l]tan—=

2

，如图正方形,6的边长为LP,Q分别为边A8,AO上的点若尸为回的中点且以=”儿则

tan/PCQ=；若△APQ的周长为2,则NPCQ的大小为,

四、解答题

15.已知平面向量d=(3,4),方=(9,x),1=(4,y),且

⑴求Bl；

(2)求裾=2J-B与力="+/的夹角.

16.已知平面向量4=(瓜inx,co/x-g,Z?=(cosx,-l),函数=M

⑴求〃x)的单调递增区间；

(2)若锐角a满足/图=；，求sin(2a+的值.

17.如图，在扇形POQ中，半径OP=2,圆心角/P0Q=1,5是扇形弧上的动点，矩形A4c。内接于扇

形.其中C。在半径OQ上，记N30C=a.

(2)用夕取何值时，矩形月改刀的面积最大？并求出这个最大值.

___1______1一

18.如图1,在△ABO中，/AOB为直角,0。=一。4,03=—。8,4力与8。相交于点用，连接。M,记

42

OA=ci,OB=b.

⑵设弧=〃面+而,求血〃的值;

(3)如图2,过点M的直线与边。人0B分别交于点区产，设施=%次,行=〃a/(4"均为非零实数)，求

13…+

7+—的值.

19.把由平面内夹角成g的两条数轴。乂Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1,温分别为以,Oy正

方向上的单位向量.若向量/=宿+应\则把实数对［尤丁］叫作向量加的“广义坐标”，记。户=民习.已知

向量。出的'广义坐标”分别为

⑴求2。+3的“广义坐标”;

(2)求向量。与5的夹角的余弦值；

(3)以。为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系宜万'，若向量而在平面直角坐标系中的坐标为(4,2百),

求向量谕的“广义坐标

参考答案

1.B

cos45cos60.45。=旦也+k也.巫Mt

【详解】sin105=sin(60+45)=sin60+

22224

2.A

【详解】向量及=（也2｝）=（/〃,〃［）,若〃?=2,则G=5，即2/应，

若。〃5,则〃?2-2〃?=0,解得：相=0或"?=2,

综上,〃?=2是"/"的充分不必要条件。

3.C

【详解】由辅助角公式，3sina+5cosa=JSsin（a+。）其中tane=g,则人=。^.

4.C

【详解】由题意可知2cos2a+sin2aw0，则2cosa（cosa+sina）。。,

即cosaw0且tana工一1,

1+sin2a(sina+cosa)~_sina+cosa_tana+1

2cos%+sin2a2cosa(costz+sina)2cosa2

解得lana=5.

5.B

【详解】•••向量―，6,"两两所成的角相等且不共线，

向量a,6,e两两夹角为120、又同=1,/；=2,同=3,

•.•|4+5+司2=a2+b2+c2+2a-b-}-2cb+2d-c

=l+4+9-2-6-3=3,

则a+b+c=6

6.D

【详解】由NBAC=90。，得脑.恁=0.

由D是BC的中点，则•万=；（而+呵，又AE=2ED,

所以荏=2而=2x，（而+/）=」通+」高，

33233

_________2__,।___

则诙=通-丽=——AB+-AC,

33

则距1|而+；硝（福+码=黑国2_；4从衣_|网

」、8、2x62二-4

21333,

7.A

【详解】法1：因为J5sin〃=cos5-s呜=J5sinJia

rf>所以..4~2

因为&sin/y=cos^■-sin3,所以(Vising)=^cos^-siny=l-sincr=^>

则3irr4=—,

因为夕w0,；,所以cos0=-71-sin2P=•

8.B

【详解】

如图，以。为原点，。。,。4分别为尤丁轴建立平面直角坐标系,

因为“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行，

所以0/1=25OD=®BD=3

所以A(0,—2@,网3,-@

设P(%,y),则5A=1一3,)，+6)，04=(0,-2^)

所以。48尹=一26〉，一6,

因为动点。在“六芒星''上(内部以及边界)，

所以一26W)Y2G，所以一12W-2行)”12,

所以T8K诙.丽工6,即丽•丽的取值范围是卜18,6].

9.ABD

【详解】对于A,当万=。，心。60时，满足书区，加。，但万忑不一定平行，故A错误:

对于B,由行石=|司仰85(1,5)<0,则cos@W〈0,

因为他方闫0,兀]，则为钝角或(7〃)二兀，故B错误;

对于C,由K+石=万一0,得〃2一247•6+方2="2一2万・6+方2,

即〃.6=0,则d_£力，故C正确；

对干D,当5=6，1工。时，不存在X使得n=/lB，故D错误.

10.BC

【详解】因为。为锐角，所以%w(O,7i),得sin2a=Jf=嬴五=1,

则(an2a=型学=一1,故A错误；

cos2a4

因为a，"为锐角，所以。+?£(0,兀)，则sin(a+〃)=JI二嬴7正丽=当,

cos(a-/Q=cos[2a-(a+/)]=8s2acos(a+/?)+sin2asin(a+/7)

以一叵|+，也=迈故B正确;

515J555

3后

cos(<7+^)=cos«cos/?-sinersin/?=--sin«sinp

5~io-

由，得

26'

cos(«-/?)=cos63fCos/?+sin«sin/?=----cosacos夕=回

510

则（aman"悬翳=3,故C正确，D错误.

11.ACD

【详解】当0=:,2区6=同|即由；=乎同忖,

crb=小。s；=

在5上的投影向量的模为阿cos/胃=，枷。=|同cos0穴一定成立，B错误;

（及丽）+（4.g）=（同Wsin，）+（同Wcos®）=同咽,C正确;

,、„dbx,xy+y.y,

若在（"3八（"j则…而飞;+L'

=（西）'2一七二）2,

因为，w[0,兀],所以sing=J1-cos?夕=[1一.无+把2

椁；+川（¥+£）'

、1x；+y2xj石+），）

（黑溜团巾…讣口正礁

所以2区/?=同Wsin0="r；+y；x收+y；x

12工

•6

【详解】由4_L（万一与，则小心-B）=。,

即42-汗出=0,又同=石,忖=2,

则3-百x2xcosd,5=0，即cos3,5=—,

2

又〃石«（）,可，则二〃=2.

6

13.-/0.5

2

【详解】由a《O,£j,则a界（04,

22

由cosa=2cos*-l="Mcos-=^-（负值舍去）,

2525

.a

।-----------G_sin—.

所以sin^=1-cos2—=—,则tan—=-----=-

2252cos£2

2

14.*。

【详解】由题意，DQ=；DA=；,PB=3AB=；

则tanNPCB=-^=-,tanZQCD=丝=!，

(,24

11

lan/PCB+lanNQC。24—6

所以tan(Z.PCB+NQCQ)=

1-tanZPCBtanZeCD-1_lxl_7'

24

sin/(NPCB+NQCD)

则lanN尸CQ=[an]-(/PCB+NQCO)=

cos¥一(NPCB+NQCD)

8s(NPCB+/QCD)17

sin(NPC8+NQC。)tan(ZPCB+ZgCD)6'

设Z.PCB=a、NQCD=/7,则PB=tana、DQ=tan,

所以人尸=1—tana,AQ=1-tanp,PQ-^(1—luntz)2+(1—(aii/7)2.

因为XAPQ的周长为2,所以2=1-lana+1Tan/+^/(1-tanez)2+(l-tan/?)2,

则lana+lan'=^/(l-tana)2+(1-tan^)2，

tana+tanP

将上式两边平方，整理得tana+tan/=1-tana'an/?,即tan(a+〃)==1,

1-tanalanp

因为a+夕，所以a+夕q,即

15.(1)0

【详解】（1）因为我/4,所以3工一36=0,解得x=12

所以B=（9』2）

因为〃/乙所以H=12+4y=0,所以）=一3

所以^=(4,一3)

所以。Y=9x4+12x(-3)=0,

(2)由(1)知,m=2a-b=(6.8)-(9,12)=(-3,-4),

«=^4-C=(3,4)+(4,-3)=(7,1),

所以沅F=-3x7+(-4)xl=-25,

恒|7(—3)2+(-4)2=5,

|7i|=V72+l2=5>/2

设研的夹角为°,则…”就"施=一号

因为同(词，所以e=?；即向量流与向量广的夹角为常

.7t.冗1c

16.(1)E—不，火兀+§MeZ

【详解】(1)由/(X)=〃♦I=6sinACOM-cos2r+g=等sin2工一++g

61(

=——sin2x——cos2x=sin2x-

225

^2kn--<2x--<2lai+-,keZf解得依一2WxW反+2,&cZ,

26263

故f(x)的单调增区间为布-崇依+方McZ,

(2)由(1)知/(力=

(2)当。=弓时，矩形A3CO的面积最大，最大面积为半

【详解】(1)在RtZkOBC中，3c=2sin30=1,0。=2cos30=后,则AD=1,

在RtZ\A。。中，^=tan|=V3,

所以0。=立4。=且8。=且，

333

所以CO=OC-OO=G-立=述,

33

设矩形ABC。的面积为S,则S=C。•8C=侦

3

(2)在RtZkOB。中，BC=2sina,OC=2cosa.

在RtZXAOO中，——=tan-=V3,

OD3

所以。。=立4。=立BC=述sina,

333

所以C7)=0C-=2cosa--sina,

3

设矩形ABC。的面积为S,

则S=CO・BC=2cosa---------sina・2sina=4sinacosa---------sin”,

13J3

=2sin2a+®8s2a-侦=^sM

333

由0＜。＜马，得色＜2。+乙＜2,

3666

所以当2。+色=色，即a=g时S=正—巫=空.

626M333

因此，当时，矩形48co的面积最大，最大面积为迈.

63

18.（\）AD=-b-a

1

m=—

⑵3’

n=—

7

13r

⑶广片7

【详解】（1）由题意，Ab=0D-0A=-0B-0A=-b-a.

22

（2）解法一：由丽=，浓+/，因为CMI三点共线，

所以存在非零实数k使得CM=kCli=k（0/i-OC）=kb-^a,

所以萌=文+函=，+序-，=1"步，

444

\-k

所以，”二丁，解得〃?=?①，

n=k4

又因为O、M、A三点共线，

所以存在非零实数/使得丽=，丽=/（西-珂=应-3尻

所以OM=OD+DM=—b+ta——Z?=ta+--.

222

I-m

又0M=〃苗+〃5,所以《1—/»解得〃=~--②.

n=----2

2

由①②解得m=3，〃=/

in.m1mi'

解法二：因为。。二:。4,所以函=4区，

因为加=gO豆，所以说=2历，

因为。H=〃?of+〃o8,所以丽7=，〃0X+2〃OZJ，

因为A、M、D三点共线，所以〃叶2〃=1,

而0后=4〃7。。+〃。后，

因为M、C、8三点共线，所以4〃?+〃=1

:1m〃++2〃n=]「得I3

由tn=—,n=—

77

___13-

（3）解法一：由（2）知OM=—d+1力，

因为