2026高考数学复习 空间直线、平面垂直的判定与性质（附解析）

空间直线、平面垂直的判定与性质

知识蔺理-双星自测

知识梳理

知识点一直线与平面垂直

I.直线与平面垂直

(1)定义：若直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,则直线/与平面a

垂直.

(2)判定与性质

判定定理性质定理

如果一条直线与一个平面内的两条

文字相交直线垂直，那么该直线与此平

垂直于同一平面的两直线平行

语言面垂直

(线线垂直"线面垂直)

图形z±b

语言y

aUa,

bUa,

符号。_La,

ILa,=>a//b

语言b-La

ILb,

aCb=P

过一点作垂直于已知平面的直线有且只有•条.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该

平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

一条直线与一个平面平行时，这条直线上一任意一点到这个平面的距离，叫

做这条直线到这个平面的距离.

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都

相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

2.直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜

线和这个平面所成的角.

若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0,若直线与平

面垂直，直线与平面所成角为

0兀

(2)线面角。的范围：夕仁］2_.

知识点二平面与平面垂直

1.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别

作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角。的范围：兀］.

2.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是一直二面角，就说这两

个平面互相垂直.

(2)判定与性质

判定定理性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内

如果一个平面经过另一个平面的

文字有一直线垂直于这两个平面的交

垂线，那么这两个平面垂直.(线

语言线，那么这条直线与另一个平面

面垂直O面面垂直)

垂直.(面而垂直=＞线面垂直)

图形

语言匕/^7

a邛,

符号aUa,aUa,

0a16=a_L8

语言waC尸b,

归纳拓展

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证

明线线垂直的一个重要方法).

3.垂直于同一条宜线的两个平面平行.

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)

(1)直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则/_La.()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若直线a_La,b工a,则a〃6.()

(4)若a_L夕，a邛,则。〃a.()

(5)若直线a_L平面a,直线则直线Q与力垂直.()

(6)若平面a内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则)

［答案］⑴X(2)X(3)V(4)X

(5)，(6)X

题组二走进教材

2.(必修2Pl64Tl5)如图1,正方形SGiG2G3中，E,尸分别是GG2,G2G3的

中点，。是成的中点，如图2,沿SE,SF,七尸将正方形折成一个四面体，使

)

C.G/_L平面SEFD.GO_L平面SEF

［答案］A

［解析］由题意知SG_LGESG工GE,6月03七=6.，56_1_平面6£＞居故选

A.

3.(必修2P152例4)在棱长为1的正方体”CD—45CQ］中，点M,N分别

为AB,8C的中点，则直线MN与平面QC4所成角的大小为()

C.71D.兀

32

［答案］A

［解析］连接4Cm,设力。04。=",连HC,易知4〃_1_平面4DC,

AH1

MN〃AC、即为MV与平面OC4所成的角，且sinN〃C4==.，

AC2

MN与平面。。小所成角为7.故选A.

题组三走向考场

4.（2024•全国甲卷）i殳a、夕是两个平面，加、"是两条直线，且a□/?=〃?.卜.列

四个命题：

①若m〃〃，则n〃a或n//P

②若则〃J_a,〃_1_夕

③若〃〃a,旦n〃B，则〃?〃〃

④若〃与a和6所成的角相等，则加_1_〃

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④

C.①②③D.①③④

［答案］A

［解析］对①，当〃Ua,因为〃?〃〃，〃?u4，则〃〃尸，当〃UQ,因为〃1〃〃,

mUa,则"〃a,当〃既不在a也不在0内，因为〃1〃〃，〃iUa.mUS，则〃〃a且

n〃八故①正确；对②，若〃?J_〃，则〃与a,夕不一定垂直，故②错误；对③，过

直线〃分别作两平面与a,4分别相交于直线s和直线人因为〃〃a,过直线〃的

平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃〃s,同理可律〃〃

t,则s〃八因为K平面从fU平面夕，则s〃平面0,因为sU平面a,aCp=m,

则s〃〃7,又因为〃〃s,则〃?〃〃，故③正确；对④，若〃与a和夕所成的

角相等，如果〃〃a,〃〃从则〃?〃〃，故④错误；综上只有①©正确，故选A.

n

5.(2024•新课标II卷)已知正三棱台N8C—的体积为:，AB=6,A向

=2,则出力与平面力8。所成角的正切值为(

A-2B.1

C.2D.3

［答案］B

［解析］解法一：分别取4C,田G的中点D。】,则/。=33,AiDi=3,

可知Sy3c=1X6X6X3=93,543=1*2乂3=3,设正三棱台48。一

222

AiBiCi的为h,则匕如g」(93+3+93X3)/?=52,解得力=43,如图,

333

分别过4,作底面垂线，垂足为A7,N,设4V=x,

ti

则4小=4彳+4“=x2+16,DN=AD—AM—MN=23—x,可得QQi

3

6-2

(23—x)2+；,结合等腰梯形8CC山i可得8次=12J2+

血即/+\(23-必+：+4,解得I33,所以馆与平面神所成角

的正切值为tanN44£)=4M=1.

AM

解法二：将正三棱台ABC-A向G补成正三棱锥P-ABC,

则44与平面/8C所成角即为PA与平面所成角，因为今="*=匕

PAAB3

%*向G

则匕­=:，可知匕，况=丫，则作一”c=18,设正三棱锥。一力8。

27273

I1a

的高为d,则Pp"8c=dxix6X6X'=18,解得d=23,取底面48c的中心

322

为O,则夕O_L底面/8C,且40=23,所以R1与平面力8C所成角的正切值tan

乙山。=00=1.故选8

AO

厂弯后突砥•巨曲探先一

看点】空间垂直关系的基本问题——自主练透

彳列I.（2026•广东深圳光明区调研）已知出/?是两个不同的平面，〃?，〃是两条

不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若G_1_£,/〃Ua,则mA.ft

B.若〃?_La,〃?〃*则〃J_a

C.若〃i_La,ni.Ln,贝lj〃〃1

D.若a〃B，mUa,nUp,则〃?〃〃

［答案］B

［解析］由a_L夕，mUa,则"？与夕相交或〃zU夕或〃?〃伙〃7为两个平面的交线

时），故A错误；由线面垂直的性质知偌_La,〃7“〃时，w±a,故B正确；当〃7

_La,〃?_!_〃，则〃〃a或〃UQ,故C错误；若a〃£,〃?Ua,〃U.,则〃？与〃无公

共点，则〃?〃〃或〃？与〃异面，故D错误.故选B.

2.（多选题）已知a,小>是三个不同的平面，/,m是两条不同的直线，则（）

A.若a_L//,l//a>m//p>则/_!_/〃

B.若a_L夕，/?±y,则a〃y

C.若/_La,〃z〃£,且a〃“，则/_L〃z

D.若/_La,m〃l、mU0,则0_1_4

［答案］CD

［解析］若口_1£,设an£=c,当/〃c〃血，且/Qa,〃?0时，/〃加，故A错误；

若〃_11，/?±y,贝i」a〃>或a,y相交，故B错误；曰/J_a,Q〃尸知/_L夕，又〃1〃尸,

.*./±/w,故C正确；若/_La,m〃I,则〃z_La,又,》nU£,所以a_L/?,故D正确.故

选CD.

名师点拨：

解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决，

其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示.

【变式训练】

1.（多选题）已知直线/与平面a相交于点P,则（）

A.。内不存在直线与/平行

B.。内有无数条直线与/垂直

C.a内所有直线与/是异面直线

D.至少存在一个过/旦与a垂直的平面

［答案］ABD

［解析］a内的直线与/相交或异面，A对，C错；直线/与它在平面a内的射

影〃7所确定的平面.与平面。垂直，D对；平面a内与射影〃7垂直的直线也与/垂

直，显然这样的直线有无数条，B对.故选ABD.

2.（多选题）（2024•内蒙古呼伦贝尔模拟改编）已知/,m是两条不同的直线，a,

夕是两个不同的平面，且/〃a,m邛,则下列四个结论正确的是（）

A.若a〃£,则〃」aB.若/_!_〃?，则/〃0

C.若a_L£,则/J_〃7D.若m〃a,贝iJa_L£

［答案］AD

［解析］若口〃由于〃?_L£,故〃?_La,A正确；若/_!_〃?，则/可能在少内，

B错误；若cc_L/?,则/,〃［可能平行，C错误；若〃?〃a,则设过机的平面》与a交

于〃，则〃?〃〃，由于加_1_夕，故〃_1_H，而〃Ua,故a_L4，D正确，故选AD.

直线与平面垂直的判定与性质——多维探究

角度1线、面垂直的判定

例（2024•湘豫名校联考（节选））如图.在分析1：

四棱锥S-A8C/）中,.。是等边三角形片¥上方&

S。1千面A8CD（化面面

四边影A4CO是矩形.平面SAO1平-面'垂直为线面垂直）

连鼓/、吓，则£1姒从

证明:SEJ.平面ME

而初J.4面山F；进而得到

SE1^,只需再证比J.优

或£J.若■即可

分析2:

证交1济，SE1AF

故只需连犯、DE.M.AE=SA

即可（同理DE二$0）

［证明］证法一：取力。的中点O,连接SO,OE,OF.

因为四边形49CQ是矩形，O,£分别是力D8C的中点,

所以E。统所以EO_L4。.

因为△S4O是等边三角形，所以SO_L4D

因为SOGOE=。，所以4OJ_平面5。£

因为SEU平面SOE,所以/DJ_S£

因为3s4=248,

722

所以OS=S%sinNSNO=SA=XAB=AB=（）E,

223

所以ASOE是等腰三角形.

因为b是SE的中点，所以Ob_LSE

因为。尸04。=。，

所以SEJ_平面力OE

证法二：不妨设/B=3,则S/4=/D=SQ=2.

如图，连接4E,DE,

因为E为的中点,

所以4E=Z)E=2.

所以SO=Q£,SA=AE.

又尸为SE的中点,

所以。ELSE,AFA.SE.

因为DFC\AF=F,

所以SE_L平面ADF.

证法三：由证法一易得40.0E,S。两两互用垂直.建立如图所示的空间直

角坐标系。一切z,

不妨设48=3,则力。=2,OS=3,

则S(0,0,3),£(0,3,0),

・••欣=(0,-3,3),4°'2’2],又力(1,0,0),

...亦=mi

・••欣•赤=0,即SE_L/R

同理SE_LQRDFCAF=F,，跖，平面4QE

角度2线、面垂直的性质

例(2026・四川巴中诊断(节选))如图所示，直三棱柱45c一力出G,ZABC=

90°,AAi=AB.

求证：AxCVABx.

［证明］证法一：在直三棱柱18C—48cl中，S8_L平面48C,8CU平面

ABC,贝I」8I8_LBC,

又N48C=90。，即48_L8C,

又B、BCAB=B,BiBU平面4BBi,

ABU平面ABBT,

所以4C_L平面435,

又43U平面为4田，所以3C_L45i,

在直三棱柱49。一力山Ci中，AAs=AB,

则四边形力3囱4为正方形，连

所以又BSAiB=B,BCU平面4BC,48U平面4山C,

所以/e_L平面AiBC,

又小CU平面为8C,所以小CJ_4囱，

证法二：由题意易知44,BC,4囱两两垂直，如图建立空间直角坐标系,

设力/I=/B=Q,BC=b,

则4（。,0,a）,C（0,仇0）,力伍,0,0）,囱（0,0,。）,

JiC—（—a,b,—a）yAB\=（—a,0,a）,

，疝？刀1=屋一层=0,：,A\CLAB\.

角度3直线与平面所成的角

例(2026•福建福州质检)在正三棱柱48C-4&G中，AB=AA、,则直线力81

与平面BCCB所成角的正弦值为()

A.6B.2

42

C.10D.15

45

［答案］A

［解析］解法一：如图，取8C的中点。，连接力。、BiD,由正三棱柱的性

质易知从而4D_L平面BCGBi,二乙/。即为/以与平面BCCB所

AD6

成的角，不妨令AB=4A、=2,则/。=3,ABT=22,：.s\nZAB}D==.

AB\4

故选A.

解法二：设三棱柱的棱长为1,以5为原点，以过〃作AC的垂线为x铀，

以为y轴，8囱为2轴，建立空间直角坐标系，如图，则以0,0,0),田(0,0,1),

^l23,:J,所以筋尸［-2'一；'"，易知平面8CC内的一个法向量可取

为〃=(1,0,0),设直线43与平面8CG3所成角为0,0£_0'2」，则sin〃=|cos

一3

〈〃,丽〉|」吧_2_6故选人

|〃|丽I24

8k----71G

A

［引申］本例中4囱与平面力3C所成角的正弦值为.

［答案］；

［解析］连接4C,不妨设48=44=2,则%w=展叫=%-械=2'=

匕「鹏，又/8i=8C=22,/C=2,・・.S△吗。=7,设小到平面8/C的距离为肌

则［〃=2J・.〃=2?1.记451与平面N8C所成角为仇则sin。=月=

337A\B\7

名师点拨：

1.证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊图形中的垂直关系.

如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中

线、顶角平分线垂直底边.等等.

(2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆定理.

(3)利用直线与平面垂直的性质.

(4)向量法:a工b0ab=O.

2.证明线面垂直的常用方法

(1)线面垂直的判定定理：

/J_a,ILb,aUa,bUa,aC\b=P=>lLa.

(2)面面垂直的性质定理：

al。,aCp=l,aUa,

(3)性质：①a〃b、b±a^a.La；

aLp^aLa.

3.求直线与平面所成角的方法

(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是

关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角；

③求，通过解三角形，求角.

（2）公式法：sin0=：（其中〃为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，/

为该点到斜足的距离，0为斜线与平面所成的角）.

一I花•川

（3）向量法，sin^=|cos〈48,〃〉|=_（其中彳8为平面a的斜线，〃为平

\AB\\n\

面〃的法向量，。为斜线与平面a所成的角）.

【变式训练】

1.（角度1、2）如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，力E为底面直

径，是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，P0=6D0.

证明：玄_1_平面P3C.

［证明］证法一：由题设，知△以£为等边三角形，设/£=1,则。。=；,

CO=BO=［AE=\

22

所以夕。=6D0=2,

64

1

PC=P（fi+OC=6=pB=pA,

4

又为等边三角形，则=204,

sin60

所以84=,PA1-\~PB2==AB2,

24

则NAPB=90。，所以为_LP8,

同理刃J_PC,又PCCPB=P,

所以平面PBC.

证法二：因为△48。是底面圆。的内接正三角形，且/E为底面直径，所以

AELBC.

因为。。（即尸O）垂直于底面，4c在底面内，

所以PO.LBC.

又因为尸OU平面以E,力EU平面为E,POC4E=O,

所以8C_L平面PAE.

又因为R1U平面以E,所以以J_8c.

设AECBC=F,则尸为8C的中点，连接PE

设。。=〃，且。。=6。。，

6

则力产=4,PA=Q,

22

PF=Xa.

2

因此为2+P产=/产，从而玄_1_尸工

又因为PFCBC=F,所以以_L平面尸8c.

证法三：空间直角坐标系法

AD

不妨设48=23,则力£=/。==4,

sin60°

由Z）O_L平面力5C,所以OO=AD2-AO2=23,

所以。。=6。。=2.因为。是。的外心，

6

因此4E_L8c在底面过。作8C的平行线与,48的交点为田，以。为原点,

旃方向为x轴正方向，曲方向为y轴正方向，次方向为z轴正方向，建立空间

直角坐标系。一平，

则4(0,—2,0),B(3,1,0),c(-3,1,0),E(020),尸(0。2),

所以善=(0,2,2),丽=(一3,-1,2),

CP=(3,-1,2).

故办协=0—2+2=0,亦而=0—2+2=0.

所以APLCP.

又BPCCP=P,故力尸_L平面尸8C

2.(角度3)(2025•江苏部分学校联合测评)已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底

面边长的比值为3,则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为()

［答案］B

［解析］如图，△45C为等边三角形，。为BC中点，作面4始垂足

为H,三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成角为N必凡设AB=a(a>0)f则PA=3a,

26a

根据正棱锥性质，AH=%,PH=26访所以sin/R4H=P"=3=22.故选

33PA3a3

B.

B

写信7两个平面垂直的判定与性质——师生共研

例(2024•广东省揭阳市二模)如图，在四棱锥夕一48CO中，平面218，平面

ABCD,底面力8c。为菱形，ZABC=60°,AB=2PA=2PB=2,£是。。的中

证明：平面08C_L平面为E.

［证明］连接力C因为底面ABCD为菱形，ZABC=60°.

所以△4。。是正三角形.

又£为。。的中点，所以力E_LCZ),则4E_L43.

因为平面总8_1_平面ABCD,

平面以5n平面4BCD=AB,

所以力EJ_平面PAB.

因为PBU平面P4B,

所以4EUB.

因为48=2PA=2PB=2,

所以RP+P82=XB2,则为IJLPB.

因为以n%E=4所以尸8J_平面为E

又PBU平面PBC,所以平面尸8C_L平面均£

名师点拨：

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义；

(2)面面垂直的判定定理m_L.,aUa=a>B).(一般在一个平面内找交线的垂

线，证此线与另一面垂直.)

2.在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的

垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

判定

性质

【变式训练】

（2026・辽宁大连滨城高中联盟期中）如图，在多面体力BCQE中，平面

平面8EJL平面ABC,△ABC和△ZCO均为正三角形，AC=2,BE=3,

点/为线段。。上一点.

求证：DELAM.

［证明J取4c中点O,连接。。、OB,

在正△AC。和正△45C中，AC=2,

贝1。OJ_4C,BOLAC,DO=BO=3,

而平面4CDJ_平面平面/CQG平面45C=/C,DOU平面/CD,BO

u平面ABC,

于是。。1.平面NBC,平面48,

又8后_1_平面/3。，即有DO〃EB,

而DO=EB=3.因此四边形。08E是平行四边形，贝IOE〃。&从而QE_L

平面ADC,

4WU平面4OC,所以。E_L4W.

名师济布•素养段开

由我与牛面年竹、垂直到发打楹质的保合应用

例1.（多选题）（2024•云南大理统测）如图，在正方体力8C。一力山CQ中,

AAy=2,P为线段8G上的动点，则下列说法正确的是（）

A.B\DVA\P

D.。/〃平面

C.三棱锥P-/CDi的体积为定值2

D.4P+PC的最小值为3+1

［答案］ABD

［解析］由正方体性质易知81OJL平面4BCi,

又小PU平面小8G,

：,BiDlAiPt故A正确；

由平面8OG〃平面力囱。，

OPU平面BDCi,

，DP〃平面力B】Di,故B正确；

9：AD\//BC\,4Z)|U平面力Cd,8GQ平面4CO,

•••8G〃平面ACD\,

•••点P到平面ACD\的距离等于点B到平面ACDy的距离，

11

Vp-ACD,=^-^0,=^-ACB=xx2X2X2=2,故c错误；将平面小4G

323

和平面8CG沿直线BG展开为一个平面，如图：

H

△43G是正三角形，△4CG是等腰直角三角形，

且BG=2,BC=2,

Z/liCiC=105o,

7—A

JiC2=JiC?+CC?-2-JiCrCCrcosZJiCiC=4+2-2X2X2X/°=4

4

+23,

：,A\C=3+1,

即4P+尸。的最小值为3+1,故D正确.故选ABD.

2.（多选题）（2026•福建泉州质监）在直三棱柱.48C—H夕C中，NABC=

90°,BB'=2AB=ZBC,M为BB'的中点，则（）

A.A'C//CfM

B.A,C〃平面4WC

C.AMA.B1C

D.平面//CJ_平面/'MC

［答案］BCD

［解析］如图，设/C,A1C中点分别为。，。'，连接MQ,，BD.

因为⑷CU平面44'CC,CMU平面RB，CC,平面/HCCG平面

BB'CC=CC,A'CnCC'=C,CM^CC=C',所以力'C,C’〃

为异面直线，故A错误;在直三棱柱/8C—H"C中,HC〃AC,又A，C

Q平面4MC,4CU平面4WC,所以4C〃平面4MC,故B正确；在直三棱

柱48。一力'B'C中，BB'平面//B'C,贝LB'C,又NABC

=90。，所以/力'B'C=90。，即"C_L4‘B1,又BB'AHB'=Bf,

BB',ArB'u平面BrB,所以"C_L平面44,B'B,又4WU平面

AAfB'B,所以"CLAM,故C正确；因为BB'=2AB=2BC,不妨设

9o

BB'=2AB=2BC=2,：ZABC=90f：.AC=AB2+BC=2,BDqAC=1,

2

在直三棱柱/8C—H夕C中，易知BMLBD,WJMD=BD2~\~BM2=2,同

理可得=2,又。。=BB'=2,所以。。'2=/切＞+何。’2,即A〃）_L

MD',又"AB2-MB-=3=MC,。为/C中点，所以又,4C〃

A'C,所以A/O_L⑷’C,又MD'DA1C=Q'，MD「A1CU平面

A'MC',所以平面/TMC',又"DU平面4WC,所以平面4必。，平

面HMC,故D正确.故选BCD.

名师点拨：

空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点间距离问题.注意“垂直”

与“平行”的互证.

【变式训练】

（2024•陕西汉中模拟）如图，在正方体中，点”，N分别为

AC,48的中点，则下列说法中不正确的是（）

A.〃平面力。》出

B.MNLAB

C."N与CG所成角为45。

D.MN_L平面43

［答案］D

［解析］连接4。，则”为3。的中点，又N为B4的中点、，：・MN〃

4。，从而MN〃平面4QS4,A正确；又/5_L平面4£＞口4,：.ABA.A\Dy从

而4B上MN,B正确；//4。=45。为MN与CC所成的角，C正确；故选D.事

实上，若D正确，贝ijMV_L4C,从而4O_L4G

提能训练练案［42］

A组基础巩固

一、单选题

1.（2024•黑龙江哈尔滨香坊区期末）已知直线机，〃，平面a,}tn"

aCQ=［,贝【J是0_1_/?的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］依题意，由〃7J_/,，〃_!_〃，当〃〃/时，不能证得〃?_L夕，从而不能证

得当夕，m_1_/时，由已知及面面垂直的性质知"?_1_夕，而〃UQ,因此〃?

■L”，所以〃zJ_〃是的必要不充分条件.故选B.

2.（2026•贵州贵阳一中月考）已知〃7,〃为异面直线，加，平面。，〃，平面夕，

若直线/满足/，〃7,则下列说法一定错误的是（）

A.aC\p=l

B.a与p相交，且交线平行于/

C.a±/?,且交线平行于/

D.a//pyI//a

［答案］D

［解析］A：如图，可满足题干要求：

BC：如图，可满足题干要求:

D:若a〃夕，则〃7〃〃，与根，〃为异面直线矛盾，故D错误，故选D.

3.（2025•江苏淮安十校联考）已知a,4是两个不重合的平面，〃?，〃为两条不

同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是（）

①若“7〃a,n〃p,mln,则a_1_尸

②若a〃夕，〃a,n〃B，则〃?〃〃

③若，〃_La,〃J•夕，加JL〃，贝

④若a_L夕，，n邛,则〃i_L〃

A.1B.2

C.3D.4

［答案］B

［解析］①若〃z〃a,〃〃夕，加_L〃，则a,夕可能平行或相交，故①为假命题；

②若a〃夕，ni//a,〃〃人则用和〃可能平行、相交或异面，故②为假命题；③若

〃_!_£,〃?_!_〃，则a_L£,故③为真命题；④若□_!_£,〃7_La,则〃z_L〃,

故④为真命题.故选B

4.已知六棱锥。一力8。。石厂的底面是正六边形，Ri_L平面NBC,PA=2AB,

则下列命题中正确的有（）

①平面为8_L平面PAE；②PBL4D；③直线CD与尸尸所成角的余弦值为；；

④直线产。与平面力BC所成的角为45。；⑤CO〃平面以£

A.①④B.①③④

C.②③⑤D.①②④⑤

［答案］B

［解析］・・・巴，平面48。，J.PAVAB,在正六边形力BCDER中，4BL4E,

以0月七=力，・・・力3_1_平面HE,且力BU平面总民.♦•平面以3J_平面以E,故①

成立；・.】。与P8在平面的射影48不垂直，，②不成立；•••CO〃/凡直线CD

与PF所成的角为/PE4,在b中，PA=2AF,：.cosZPE4=，③成

立；在RtZVHD中，PA=AD=2AB,：.ZPDA=45°t故④成立；,:CD〃AF,

CO〃平面均忆显然4F与平面均£相交，:.CQ与平面刃E相交，即⑤不戌立，

故选B.

5.（2026•江苏徐州一中检测）在正方体中，下列结论错误的

是（）

A.平面GB。

B.4C_L平面C\BD

C.存在过4c的三面。，使得48〃a

D.存在过4C的平面£,使得

［答案］D

［解析］对于A,因为力。何平面C归。，4GU平面。山。，所以

401〃平面C归。，故A项正确；

对于B,易证8D1平面4CG小，又小CU平面力CG/i,所以80_L4C,同

理可得GQ_L4C,又GO,8DU平面G8Q,GOG8Q=O,所以4C_L平面CiBD,

故B项正确；

5C,

对于C,由力归〃0c48a平面4CO1,O|CU平面/CQ］,得4归〃平面ACDif

所以平面力CDi即为平面a,故C项正确；

对于D,假设44_L夕，因为力CU£,所以48_L4C,又A】B_LBC,AC,BC

u平面45C。，4Cn，C=C,所以44_L平面45CO,这明显错误，所以假设不

成立，故D项错误.故选D.

6.(2022•全国乙卷)在正方体48CZ)—44iGD1中，E,尸分别为力8,BC的

中点，贝火)

A.平面囱£7口_平面

B.平面囱E〃_L平面力山。

C.平面囱石产〃平面4ZC

D.平面平面小G。

［答案］A

［解析］正方体中。。i_LEF,

又AC1BD,EF〃AC,：.BD上EF,；.EF上口而BDDT,ERU平面SEP,从

而平面6|E几L平面6m,・\A正确；君平面囱£7口_平面43。，则6OJ_平面

BiEF,：.BD工B、E,又BBILBD,二〃。，平面又/O_L平面BBIE,：.AD

〃BD这与AD、3。相交矛盾，，B错误；

取小囱的中点，，则力，〃aE,由于力H与平面小力C相交，故平面BiEF

〃平面4/C不成立，C错误；取/。的中点M,很明显四边形力归尸M为平行四

边形，则小/〃8尸，由于小M与平面小GO相交，故平面8|七/〃平面4G。

不成立，D错误.故选A.

7.（2024•江苏常州中学检测）设〃7,〃是两条不同的直线，«,夕是两个不同的

平面，则下列命题中正确的是（）

A.若rn_Ln〃〃处则〃」a

B.若m〃B,£_La,则〃?_La

C.若〃i_L〃，R上p,夕_LG,则m_LG

D.若m邛,〃_1_6〃J_a,则〃7_La

［答案］D

［解析］对于A,若m_L〃,n//a,则〃?Ua或者〃7〃a或者〃?，a相交，故A

错误；对于B,若〃?〃仇fi-Lar则〃z或者或者〃z,伞相交，故B错误;

对于C,若〃〃_1_仇B工a,则〃zUa或者〃或者〃?，a相交，故C错误;

对于D,若加_1_夕，〃_LB,则〃〃〃?，又〃_1_0，所以〃zJ_a,故D正确.故选D.

8.在正方体48。一小囱CQ1中，M,N,尸分别为48,4G,4。的中点,

则下列结论中错误的是（）

A.MN//AD\

B.平面MNP〃平面8GQ

C.MNICD

D.平面MA"_L平面48。

［答案］D

［解析］对A,在△小BG中，因为A/,N分别为小从小G的中点，所以

MN〃BCi.又BC\〃AD\,所以MN〃AD\,A正确；对B,在△48。中，因为例,

产分别为力山，小。的中点，所以用尸〃8D因为MR平面BC、D,8OU平面BGD,

所以用尸〃平面8GD因为MV〃8G,MVQ平面8G。，8Gu平面8G。，所以

MV〃平面8GD又因为MPnMV=M,MP,MNU平面MNP,所以平面MV0〃

平面8G。，B正确；对C,因为MV〃/。I,AD\LCD,所以MN_LC。，C正确；

对D,取8。的中点E,连接4E,EG,则N4EG是二面角4一4。一。1的平面

间J；"）?

127+12尸一（2〃）~

角.设正方体棱长为a,则cosN/liECi=（61=|工0，又

212啡3

N4£G<180。，则N4i£GW90。，所以平面48。与平面3G。不垂直.又平面

MNP〃平面BGD,所以平面MVP与平面48。不垂直，D错误.故选D.

二、多选题

9.（2025•新课标I卷）在正三棱柱4BC—小SG中，D为BC中点,贝女）

A.ADLA\CB.BC_L平面/小。

C.AD//A\B\D.CG〃平面4小。

［答案］BD

［解析］解法一：在正三棱柱43G中，44i_L平面49C,又4QU平

ABC,贝i|44i_L4。，则油•疝=0,因为△力8c是正三角形，D为BC中点、,

则力。，8。，则金•在=0,又疵=易+疝+反，所以汞•疝=（血+在+

及7）•用=W＞疝+疝?+比•历=在2£（），则4。_L4c不成立，故A错误；因

为在正三棱柱/8C—481G中，44」平面力8C,又8CU平面48C,则力418C,

因为△/18C是正三角形，D为BC中点、,则4D_LBC,又力为C40=4,AA］tAD

u平面44］。，所以8C_L平面44i。，故B正确；因为在正三棱柱48C—48C］

中，CG〃44i,又平面力小。，CCQ平面440,所以CG〃平面44。，

故D正确；因为在正三棱柱/出。一481G中，假设小小，则力。

"AB、这与400/8=4矛盾，所以4。〃力山1不成立，故C错误.故选BD.

解法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2,高为队

则。(0,0,0),A(3,0,0),4(3,0,A),C(0,-1,0),Ci(0,-1,h),B(0,l,0),

5i(0,l,A),AD=(-3,0,0),ZC=(-3,-1,-/?),则疝Zt=(—3)X(-

3)+0=370,则4O_L4c不成立，故A错误；於=(0,-2,0),CCi=(0,0,

h),筋i=(0,0,h),AD=(—3,0,0),设平面/小。的法向量为〃=(x,y,z),

—►

AA\n=hz=0,一

则'_得x=z=0,令歹=1,则〃=(0,1,0),所以比=(0,—

ADn=-3x=0,

2,0）=—2〃，CCin=O,则8C_L平面44。，CG〃平面44。，故BD正确；AD

=（-3,0,0）,^i=（-3,1,0）,则一显然力。〃4田不成立，故C错

误.故选BD.

10.（2025•浙江强基联盟联考）已知四面体力一5CQ,AB=2,48J_平面BCD,

BE上AC,垂足为石，BFLAD,垂足为凡则下歹J结论正确的是（）

A.若BCLCD,pjijACA.EF

B.若BC工CD,则4DJ_平面BE/

C.若BC=BD,«ljEF//CD

D.若BC=BD=2,则四面体/一8后尸体积的最大值为土：

27

［答案］BCD

［解析］BCLCD,CDLAB.CQ_L平面ABC,即CD1BE,即平面ACD,

BELAD,由题意得刃LL4。，・・・/。_1平面3。\・・・力。_1£/?,即4c与Eb不垂

AUAT

直，故A不正确，B正确；BC=BD,△48cg△48。，A=,EF//CD,