浙教版八年级数学上册专项突破：勾股定理与勾股定理逆定理（4大题型）原卷版

专题突破2：勾股定理与勾股定理逆定理

01常考题型

题型3勾股定理与面积

题型4勾股定理与最短路径

02技巧解密

一、直角三角形勾股定理

在RfABC中，两直角边的平方和二斜边的平方，即二T

常见变形：。":/十/；c=>!a2+Z)2.a=ylc2-b2

注意事项:

当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论

三、勾股定理常结合考点

直角三角形斜边上的中线二为斜边长

等腰三角形的两腰长相等；

等腰三角形的"三线合一"；

中垂线的性质定理；

将军饮马模型；

03题型突破L

题型一勾股定理与勾股定理逆定理的直接应用

【例1】.（2023秋•衢州期末）如图，在中，ZACB=W,分别以4点，4点为圆心，以大于-1AB

2

为半径画弧，两弧交于E,F,连接石厂交48于点。，交.AC于点、H.连接以C为圆心，CD长为

半径作弧，交/1C于G点，若48=10。〃，BC=6cm,则G”的长度为（）

C.3cmD.25

vcir

【变式1-1].（2024•西湖区校级模拟）如图，在。中，乙4。8=90°,力。=12,BC=5,以点4为

圆心，4c为半径画弧交边力8于点P,则力尸的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式1-2].（2023秋唧州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边长为（）

A.4B.2或\^C.4或D.2或2a

【变式1・3】.（2024春•上虞区期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O

处为0.7m.当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3小，木板顶端向下滑动了0.9〃?，则

D.1.5

【变式1-4].（2024春•椒江区月考）如图，在离水面点力高度为8加的岸上点。处，有人用绳子拉船靠岸,

开始时绳子8c的长为17〃?，此人以1〃曲的速度收绳，7s后船移动到点。的位置，则船向岸边移动了

（）（假设绳子是直的）

A.9米B.8米C.7米D.6米

【变式1-5].（2023秋•北仑区校级期中）如图，△48C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个

端点。、E分别在边力C,8c上滑动，且OE=6,若点M、M分别是OE、48的中点，则MN的最小值

A.2B.2.5C.3D.3.5

【变式1-6].（2024春•路桥区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（)

A.1,1,2B.1,M，2C.4,5,6D.2,V3»V5

【变式1-7].（2023秋•舟山期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中

【变式1-8].（2022秋•郭州区期中）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日.为进一步弘扬辛亥革

命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动.如图，有一块四边形空地，社区计划

将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片.现测得BC=\6m,CO=12〃]，且8。

=20/〃.

（1）试说明N8CQ=90°；

（2）求四边形展区（阴影部分）的面积.

【变式1-9].（2023秋•婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动.

【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳

子的长度未知.

【实践探究】设计测量方案：

第•步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；

第二步；如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量绳子底端。与模杆*8的底

部（点8）之间的距离为5米.

【问题解决】求旗杆的高度.

题型二勾股定理的证明

【例2】.（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家

赵爽的“弦图”.如图，由四个全等的直角三角形（△"巴二BCG,XHCD,△/E。）和中间一个小正

方形EFGH拼成的大正方形/BGD中，点尸是的中点.连结尸乙里BF=3,且夕，E,。在同一直

D.5

【变式2・1】.（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，划制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图

变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形48CQ、正方形£打汨、正方形

的面积分别为Si，S2，S3,若正方形EFG”的边长为6,则Si+S2+S3=.

图1图2

【变式2・2】.（2023秋•浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股足理的重要成

果.占人有记载“勾三，股四.则弦五”的定理.如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直,

对长互相平行.若48的长是G长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9,则最外围的大正方形的边长是

题型三勾股定理与面积

【例3】.（2023秋•宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形,

若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积

B.最大半圆形的面积

C.较小两个半圆形的面枳和

D.最大半圆形与直角三角形的面积和

【变式3-1].（2023•临海市校级开学）如图，在四边形力8。。中，ZDA8=ZBCD=90°,分别以四边形

.488的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为b,c,d.若。=2,Hc=12,则d为（）

B

A.8B.1()C.12D.14

【变式3-2].（2024•玉环市模拟）如图，在中，NACB=90'：以△力4。的各边为边作三个正方形,

点G落在印上，若4C+BC=7,空白部分面积为13,则48的长为（）

A.5B.V21C.V19D.V26

【变式3・3】.（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1,以直角三角形44。

的各边为边分别向外作正方形.再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个

阴影部分面积分别记为Si，S2,S3,若已知&=2,52=5,53=8,则两个较小正方形纸片的重叠部分

（四边形QEFG）的面积为（）

A.7B.10C.13D.15

【变式3-4].（2023秋•南汨区期末）如图，在直角三角形ABC中，N4C3=90°,以及R,AC,BC为边

作正方形48QE,正方形BCG凡正方形4cMM设△/8C的面积为S],/的面积为$2，XDHG

的面积为S3,四边形的面积为S4，四边形47MN的面积为S5,则下列结论正确的是（）

A.S]+S4=S2+S3+S5B.S2+S5=S[+$3+S4

C.S]+53=82+53+54D.84+8^=S\+S2+S^

题型四勾股定理与最短路径

【例4】.（2024•新昌县一模）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯：无盖）高