2026年高考全国1卷数学试卷

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2026年普通高等学校招生全国统一考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据6，&4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.己知平面向量A,B不共线，且+=—则（）

A.x=2,y=-3B.x=—2,P=3C.x=2,y=3D.x=—2»y=-3

3.已知集合<=〈sin—,cos—,tan一,B=<则4n4=

634

-G--iG11

2'2---2--,'-----2-'91

4.曲线歹=5x+81nx在点（1,5）处的切线方程为（

A.y=3x+2B.y=5xC.y=8x-3D.尸13x—8

5.三知抛物线G:「=2p/（M>0）和G=2p2y（P2>0）均经过点（4,8）,则G的焦点与G

的焦点之间的距离为（）

B.4后D.叵

6.三知函数/（x）=1——的最大值为1,则。=（

i3

A.-B.1C.—D.2

22

7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共

有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，.行中塔的座数记为=L2,…,12),其中卬=1,

a2=a3=3,a4=a5=5,且4,生,…，每是一个首项为7，公差为2的等差数列.将%，的，…，

〃分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则

d-()

A.2B.4C.6D.8

8.设。={(阳,9，/)上£{一2,-1,1,2}/=1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点。(1,1,1),记样本空间

。二电力,从C中随机取一个点，定义随机变量X如下：对。中的每个点/(王外—)，令

X(A)=x^x2+xif则X的数学期望值为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z=3+2i,则()

2z+3

A.z=3-2iB.|z|=5C.z=5+12iD.——7eR

z-\

10.在空间中，A.B为两个定点,动点C到直线44的距高为2,动点。到直线48的距离为1.若二面

角C—AB—D为6Q。,则()

A.^CAD>60°B.CD>73

C.当时，81平面48。D.当481平面月CO时，ACLAD

11.已知圆G：(x+l)2+y2=l,圆G：(x-l)2+y2=l,圆G：x2+(y_6)2=],直线/：y=丘+人与

G，G，G均有两个交点.记/被G，G，G截得的弦长分别为S]、邑、$3,则()

A.左可以取任意实数B.满足号=邑=邑的直线/共有3条

C.满足。+$2+53=3的直线/多于3条D.当力=0时，4+$2+S3的最大值为半

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.双曲线5蔑一6/=1的离心率为—

13.已知/（x）=2sin（or+。）（aeZ,040<2兀）是偶函数，/（外在区间0,日单调递增.则0=

乙）

14.设实数夕满足：存在数列｛。〃｝,使得对于任意〃WN‘，均有q+%+…+。3〃=〃2+〃，且｛〃”｝中有某

连续9项《，4旬，A,4+8是公比为4的等比数列.则夕的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱48C-44G中，4CB=90。,AC=BC,D,E分别为48,4G的中点.

（1）证明：DE〃平面BCC/i；

（2）设CG=2,直线。E与平面力CG4所成的角为45。，求直线QE到平面8CC£的距离.

16,已知在出4BC中，43=3,BC=2y5，cosB=-.

3

（1）求cosA：

（2）设。，E两点满足:。在84的延长线上，DE//BC,AE1AC.若DE=瓜，求CE.

17.设整数N之2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中

时，停止练习.设该同学每次投中的概率为各次投中与否相互独立.记X为停止练习时该

同学的投篮次数.

（1）当N=4,〃时，求X的分布列；

3

（2）设％,加均为自然数.

（i）当ZKN—I时，求P（X>%）；

3

Gi）当4+〃？WN-l时，证明：P[X＞k+m\X＞k）=P[X＞m}.

18.已知椭圆。：±+口=1（4〉/?〉0）的左焦点为/（-1,0）,离心率为;.

a~b~2

（1）求。的方程；

（2）设。为坐标原点，过/且斜率大于（）的动直线/与。交于P,。两点，其中。在第三象限，直线P。

与C的另一个交点为H.

（i）若△尸。尺的面积是△尸厂O的面积的3倍，求/的方程；

（it）求tanNPQ?的最小值.

19.已知函数/（》）的定义域为R,且当xvO时，/（x）=2v.对任意X.£R,定义集合

。（%）={d£R|/（与+1）＞/（%）}.

（1）若当xNO时，/'（x）=lr,求。（一1）；

⑵若/（X）是奇函数，/（X]）＜/（X2）,且玉工2工0，证明：。（工2）1。（不）：

（3）设/（X）满足：①若/（当）4/（%），则。（吃）口。（七）；②当0cxe1时，/（x）＜/（0）.

⑴证明：/（0）＞1；

（ii）证明：/（X）在区间（0,+8）单调递增.

4

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数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】结合中位数定义可得.

【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12,则中位数为6.

2.己知平面向量值，B不共线，且2万+）石二班一3九则（）

A.x=2,y=-3B.x=-2,y=^C.x=2»y=3D.x=-2»y=-3

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量a,各不共线，H2a+yb=xa-3b»

x=2

则：，

J=-3

「L»•人,I.7兀5Ji5兀八

3.已知集合力=〈sin-r,cos-^-Jan二B=则()

63422

.6

1J」61

A.D.C.D.，1

22$2'2

【答案】C

【解析】

.7兀71.兀1_5兀(,兀71兀1

【详解】因为sin——=sin兀十一=-sin—=cos—=COS271——=cos—=—

666233J32

5兀71兀,

lan—=lan兀十一=Lan—=1,

444

M1J

即集合力=1—:，：,1

卜，且集合B二〈所以,1

22

4.曲线歹=5_r+81nx在点（1,5）处的切线方程为（)

A.y=3x+2B.y=5xC.y=Sx-3D.尸13x—8

【答案】D

【解析】

Q

【详解】因为y=5x+81nx,则)/=5+—，当x=l时，/=13,

x

所以曲线y=5x+81nx在点（1,5）处的切线方程为y-5=13（x—l）,

即y=13x-8.

5.已知抛物线G：r=2pj（必>0）和G：f=2p2歹（22>0）均经过点（4,8）,则G的焦点与G

的焦点之间的距离为（）

D*

A.12B.4石C.6

【答案】D

【解析】

【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数“2,再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后

代人距离公式计算即可.

【详解】••・抛物线6：/=2四式回〉0）经过点（4,8）,

...将x=4/=8代入G的方程得82=22—4,即64=88，解得p1=8.

G的焦点坐标为即片(4,0).

V抛物线。2：/=2〃2双〃2>0)经过点(4,8),

...将X=4J=8代入G的方程得42=2生・8,即16=1622,解得〃2=1.

・•.C2的焦点坐标为K(0,与)，即用(o，；).

根据两点间距离公式，耳与巴之间的距离为:

|月入|=J(4-0)2+l0--

丫+2

6.己知函数/(%)=-；—的最大值为1,则()

C+4

13

A.vRIC.-D2

22

【答案】B

【解析】

【详解】法1：(1)当〃<0时，由ev+Q工0，解得xwln(-a),

故函数/(x)定义域为(一81n(-a))U(ln(-〃),+8).

①当一一时，In(-々)+2>0,

e"

当xfln(—a)+,则/*)->+8,故不存在最大值，不合题意;

②当咤一］时，此时/(幻二42T，

e-e-e1-e

故最大值不为1,不合题意；

③当一~^<4<0时，In(-〃)+2<0,

e一

当工fIn(-a)，则/(幻一+8,故不存在最大值，不合题意;

(2)当。NO时，则e'+a>0,则函数/*)定义域为R.

且由/*)最大值为1可知，X+2WC'+Q，

即。2x+2—e'对任意XGR恒成立，且等号能取到.

设g(x)=x+2—e*•则g'(x)=1-er.

当工<0时，gV)>0,g(x)单调递增；

当X>0时，gr(x)<0,g(x)单调递减:

故g(x)4g(0)=1,当且仅当x=0时,g(x)max=1,

由aNx+2-e'对任意xwR恒成立，可知a21,

又当。>1时，恒有g(x)vl<a,取不到等号，所以有。=1,

故选:B.

、上//、x+2

法2：/(刈=匚一，

e+。

由选项知〃〉()，则定义域为R,

故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为与，

(cv+a)-(x+2)ex-(x+l)eA+a

由"Cd

(e、1a)2

则由/'(玉))=0,可得。=(/+l)e"①，

且"％)=2+2=I,即。=%+2—e"②,

e-0+a

x=0

联立①②解得《°二.

a=1

x+2

验证；当a=1时，/(x)=---,

e+1

,-(x+l)er+l

设名(工)=一(工+1)©"+1,则g'(x)=-(x+2)e',

当工<-2时，g'(x)>0,则g(x)在(-8,-2)上单调递增;

当工》一2时，g'(a)<0,则g。)在(F,-2)上单调递减;

g(X)max=gJ2)=[+1，且g(0)=0,

e~

且当XfTO,g(x)->0;当Xf+8,g(X)->-00;

作出函数g(x)的大致图象,

一

当工<0时，g(x)>0J'(x)〉0,/(x)在(0,+oc)上单调递增：

当工>0时，g(x)<0/(x)<0，/(x)在(0,+8)上单调递减；

则/V)max=/⑼=1，满足题意，故。=1.

法3：由选项知。〉0,则定义域为R,

2

由f(0)=——<1(67>0),解得QN1.

\+a

同法2验证可得，故。=1满足题意，由选项唯一可得..

法4：由选项知a>0,则定义域为R,

由"0)=二-«1(。〉0),解得。之1.

\+a

验证：当。=1时;由不等式e'2x+l可得e'+12x+2，

Y+2

故=r一<1,当且仅当x=0时等号成立，

e+1

故a=1满足题意，由选项唯一可得.

7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共

有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，行中塔的座数记为q(i=L2,…,12),其中q=l,

。2=%=3，a4=as=5,且《，与，…，牝是一个首项为7，公差为2的等差数列.将可，生，…，

也分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d〉O)的等差数列，则

4=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】由条件求出数列｛%｝的前12项的和，设新数列为｛〃｝,设其公差为"，由条件可得

/,+』〃=18,结合选项判断即可.

2

【详解】由已知4=1,%=3,4=〃$=5,=7+2(/—6)=2z-5,i=6,7,8,9,10,11,12,

所以数列｛%｝的前12项的和为1十6十10十（7+?x7=17+91=108,

设新数列为也｝,〃=1,2,3,4,5,6,

由已知数列｛〃｝为等差数列，设其公差为d,d>0,

又｛%｝的前12项都为奇数，｛"｝所有项都为偶数，

由已知4为正偶数，a为正偶数，

则6々+空xd=108,故々+』d=18,

22

若d=2,则4=13,矛盾，

若d=6,则4=3,矛盾，

若d=8,则4=一2,矛盾，

若"=4,则4=8,此时可取4=4+4=8,b2=a2+a7=12,=a4+as=\6t

b4=a3+an=20,b5=a5+al2=24,b6=a9+al0=28,满足要求:

8.设。=｛（阳广2，/）上£｛一2,-1,1,2｝/=1,2,3｝为空间中64个点构成的集合，点。（11」），记样本空间

。二名尸，从C中随机取一个点，定义随机变量X如下：对。中的每个点，令

X（,4）=内+士+巧，则X的数学期望值为（）

11

A.——B.——C.0D

21631

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知〃（。）=63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得

43

P（X=-3）=—,P（X=3）=—,根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.

【详解】由题意可知：77（0）=4x4x4-1=63,且随机变量才的取值为-6,-5,一4，-3,-2,-1,

0,1,2,3,4,5,6.

解法一：依题意，可得P（X=-6）=尸（X=6）='-

63

3

0（X=-5）=尸（X=5）=P（X=—4）=P（X=4）=^,

43

「底=-3）=而,P（X=3）=存,

96

p^X=-2）=P（%=2）=P（%=-1）=P（%=1）=—,p（y=0）=—,

1343Q61

所以E（X）=（—6+6）x——+（-5+5-4+4）x——3x—+3x—4-（-2+2-14-l）x—+0x—=——；

63636363636321

解法二：根据对称性可知：P（%=-6）=P（%=6）,P（X=-5）=尸（X=5）,P（X=-4）=P（X=4）,

P（X=_2）=P（X=2）,P（Ar=-l）=P（Ar=l）,

43

又93）=RP"）=R

47i

所以E（X）=-3x/+3x^=-五：

636321

解法三：因为七6{—2,—1,1,2},ie11,2,3},

对于任意一点(七,工2，工)，均存在(一七，一尤2,一.)与之对应，可知这两点的坐标和为0,

因为。(1,1,1),样本空间。=、/,

可知样本空间Q中存在唯一点(一1,一1,一1)与点对应，

所以O中所有点的坐标和的总和为-1-1-1=-3,

故E(X)=[=-，.

6321

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z=3+2i,则()

A.z=3-2iB.|z|=5C.z2=5+12iD.

z—\

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A选项，复数z=4+/?i的共枕复数彳=。一〃，因此彳=3-2i,A选项正确.

对干B选项，复数的模|z|二J〃2+/,因此上|二五方=、府W5,B选项错误.

对于C选项，:z=3+2i,

・•・z2=(3+2i)2=32+2x3x2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i,该选项正确.

对于D选项,

•・•分子z+3=3+2i+3=6+2i,分母z-i=3+2i-i=3+i,

2

z+36+2i(6+2i)(3-i)18-6i+6i-2i20.门…x/z+3n

•••—7=^—=；^.=——…——=—=2,2是实数，故一-ER,该选项正确•

z—i3+i(34-i)(3-i)9-i10z—i

10.在空间中，力、8为两个定点，动点C到直线的距离为2,动点。到直线43的距离为1.若二面

角C一4B-D为60。,则()

A.ZCAD>60°B.CD>73

C.当/5J.CD时，CQ_L平面D,当力6J_平面/CD时，AC±AD

【答案】BC

【解析】

【分析】做出满足条件的图，过点。作CE//8,E为垂足，过点。作。PJ.45,E为垂足,过点£作

EGHFD,由条件可得NCEG=60,，解三角形可得CG=JJ，由此判断B,当点4与点£的距离无限

大时，可得Nd。趋向于0。，排除A,先证明力3_L平面COG,结合力3J_CO,证明Q,G重合，由此

证明CO_L平面48。，由48J_平面力CO推出点力与点E重合，点。与点G重合，判断D.

【详解】不失一般性作图如下，

过点C作CE/44,E为垂足，过点。作J.48,尸为垂足，

过AE作EG//FD,EG=FD,连接GO,

则EGJ.48,因为二面角C—48—。为60。

所以NCEG=60'，由已知CE=2,0F=1,

所以CG?=4+l-2x2xlxcos60z=3»所以CG=>/I，

故CGJ_FG,CDNCG=6B正确；

当点力与点石的距离无限大时，CA,4。无限大，C4C。无限靠近48,

此时趋向于0",A错误：

因为48_LCE,/B_LEG,CEVEG=E,CE,EGu平面CEG,

所以48_L平面CEG,又CGu平面CEG,所以481CG,

若4B上CD,O,G不重合，结合CGC|CO=C，CG,COu平面COG,

可得/8_L平面CDG,QGu平面COG,

所以48_LZ)G,矛盾，所以。,G重合,

因为N8J.CG，CGLEG,EGC\EF=E,EG,EFu平面EFDG,

所以CG_L平面E/rQG,故CZ）_L平面力BQ，C正确：

因为48_L平面CEG,若48_L平面力。。，

则平面C£G与平面/CO重合，此时点力与点E重合，点。与点G重合,

故,4。与4。的夹角为60。D错误，

11.己知圆G：（x+1）2+/=1,圆G：（x—iy+V=l，圆6：/+3-6）2=1,直线/：y=Ax+b与

G，c「C3均有两个交点.记/被G，c2,C3截得的弦长分别J为邑、与、S、,则（）

A.攵可以取任意实数B.满足M=S2=S3的直线/共有3条

C.满足S1+S2+S3=3的直线/多于3条D.当人=0时，西+与+53的最大值为2^

【答案】BCD

【脩析】

【分析】已知三个圆均为半径r=1的等圆,圆心分别为G（—i,o）、G（i,o）、c式o#）,利用弦长公式

5,=271-<2（4为直线/到对应圆心的距离•，且4<1以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即

可.

J\b-k\J\b+k\

【详解】记直线/：歹二履+〃到CCC的距离分别为4a,4,则4:/^2=-4==>

Jl+KW+K

aS-向

代标•

•.•直线与三个圆均有两个交点，

・・.4<1,4<1,出<1，对应弦长为sj=2J1二片"•=1,2,3）.

A：...解4<1,得左一J1+42<b<k+Nl+k。，

解&<1，得一%一J1+%2<b<-k+Jl+攵2»

不妨取2>0，

•：kJ\+H>—%+Jl+〃2>0〉〃—1+>—k—4+1

•，•k-Jl+〃2<b<-k+k2，记4=(%-Jl+」"，-k+Jl+〃~),

解义<1,得百一Jl+公<bv石+Ji+「2,记8=(75-Jl+%2,73+71+/：

当上一CT/N—A+CT/，即女=理时，A0B=0,

此时不存在这样的直线/马三个圆都相交.

・•・左不能取任意实数，A错误.

B：*/s1=s2=s3

・.t/|—d]=dy.

由4=/得-"|二|6+A|,平方得_4bL=0,即4=0或b=0.

①当％=0时，直线为y=/),由4=4得|〃二|力一6|，解得6=立，

此时4=等<1，符合条件，对应直线1条.

J3厂

②当6=0时，直线为y=由4=4得/,，解得k=±，

Jl+A

此时4=X3<1，符合条件，对应直线2条.

12

综上，共3条直线满足条件，B正确.

C：令/)=0,

_2收-2

••S]=5*2=2一

"LJ1+F，

令l=Nk2-2a>0)，则42=八+2,

2(2+1)

:，S\+$2+邑=/,

〃+3

4+2，.

令《+$2+83=3,即c—=3,

"+3

平方整理可得5/2—16/+11=0,解得/=1■或/=1,即A=士百或4=±巫1

55

经验证，此时4，&，/均小于1，满足题目要求，此时已有4条直线，多于3条，C正确.

2(2+/)

・)

..5+S2+53=r-j------

〃+3

7+2］，/\3—2，

设/")=/,«>0),求导得/«)=T,

〃+3(/+3户

+2

j_7_而

令(")=0得/='，=质二亍

立1=马巨，D正确.

S[+$2+%的最大值为2X

33

【点脂】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦

长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合

特殊情形快速判断正误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线5/—6/=1的离心率为

【答案】

V66

—

【解析】

【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定（/、/，再利用双曲线中。力,C的关系求出。，最后根

据离心率定义计算结果.

__21_11\

【详解】将双曲线5/—6产=1化为标准方程，得了一丁一|,则/=一方=一,

56

56

11而

因此/=a2+b2=—4--=—,则离心率为《二310--

-6

56305

awZ,0«。<2兀）是偶函数，/（外在区间［o,］）单调递增.则。=

13.已知/（x）=2sin（or+。）（

—<

3兀

【答案】®.y②.1

【解析】

7

【分析】根据单调性和周期性可得14=1,2.解法一：根据偶函数可得6=5,£,并代入结合单调性检验即

可；解法二：根据题意可得/'（（））=（）,即可得6=5,与，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三:

分析可知/（X）在x=0处取到极小值，可得0=万，进而可得结果.

【详解】设函数/（X）的最小正周期为T,由题意可知4。0，

因为函数/（X）在（0,5内单调递增’则会会即

2兀一

可得曲之冗'解得同）2,

且4£Z,4.0,则=

解法一：因为函数/（x）=2sin（如+0）为偶函数,

TT

则0=尢兀+—，k\SZ,且04。＜2兀，

2

则占=0,1,0=-,—

22t

it

若。=/,则/(x)=2sinax+=2cosax=2cos(同x),

2

即f(x)=2coso或/(x)=2cos2x,不符合题意,

若。=至，则/（x）=2sin3兀)

ax+—=-2cosax=-2cos(|a|x),

2)

即/(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合题意;

2兀二或/271c4兀_(TI_兀TCI

且f—2cos-l=-2cos—=-2cos|兀H—=2cos—=1；

33I3J3

3兀(2兀]

综上所述：0二手，f

3

解法二：因为r(x)=2acos(ax+e),

若函数/（X）为偶函数，则/'（0）=2acoM=0,即8s8=0,

且OWO<2兀，则6=工，」，

22

兀

若。=],则/(x)=2sinax+—=2cosax=2cos(|a|x),/'(x)=-2同sim（同X）,

2

即/'(犬)=-2sini,<()或/''(x)=-4sin2x<0在0,四内恒成立,

2)

可知函数/（x）在（0,5

内单调递减，不符合题意,

3兀、

若。=/，则/(x)=2sin|ar+:=-2cosax=-2cos(|a|x),/<x)=2同sin(同x),

2)

即/'(%)=2sinjc>0或/'(X)=4sin2x〉0在0,—内恒成立,

<2>

可知函数/（X）在内单调递增，符合题意,

2兀271C4兀-[兀)c7711

且f-2cos—=1f=-2cos—=-2COS71H—=2cos—=1；

33I3J33

3兀(In}

综上所述：0=——

2<T>

解法二：因为函数/(x)=2sin(⑪+8)为偶函数，且函数/(*在I。,］内单调递增,

，/

可知/(x)在x=0处取到极小值，则0=2七兀-5，&EZ,且04。＜2兀,

3兀

则上2=1，0=—,则/(x)=2sinOT+—=-2cosox=-2cos(„),

2

即/(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合题意;

14,设实数9满足：存在数列｛%｝,使得对于任意〃EN*,均有。［+生+…+。3〃=/+"，且｛%｝中有某

连续9项4，4』，A,4+8是公比为夕的等比数列.则夕的最大值为.

【答案】W

【解析】

【分析】由前3〃项和公式推出每连续三项的和7；二2〃.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三

项块和等于2〃得到关于公比夕的比例关系，通过相邻块和之比解得始的上界，即可取得最大值.

【详解】令*=*+%+%，由题意得K〃T)2+(〃T)］=2〃，

因此每个三项块纥的和为2〃.

设这9项为x,x%xq2,…,八靖，记C=l+q+d.由于。＞0,且完整三项块和均为正，

下面按左除以3的余数讨论.

若上=3m+1(加20),这9项正好包含三个完整三项块，

得xC=2(〃?+l),河3c=2(〃Z+2),x/r=2(〃z+3),

十口3〃Z+2,13"7+3u+ATM-

于是q=-------Rq=-----»矛盾，故这种起点不存在.

m+1〃7+2

若上=3〃?+2(〃zN0),其中两个完整三项块为第加+2块，第阳+3块，

得的2。=2(〃?+2),xq5C=2(/??+3),所以4=’'十《

m+22

若上=3〃?(加之1),其中两个完整三项块为第m+1块，第〃?+2块,

得应C=2（加+1）,%[4。=2（加+2）,所以（="，+2

rn+12

综上小工^，所以qwg，即9的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱48C—44G中，ZACB=90°,AC=BC,D,E分别为43,4G的中点•

（1）证明：〃平面BCG用；

（2）设CC；=2,直线。E与平邦所成的角为45。，求直线QE到平面8CC；4的距离.

【答案】（1）由题意证明如下：

如图，作出符合题意的图形，连接BQ,

在A/BG中，D,E分别为45,ACi中点，：.DE〃BC「

•・•DEa平面BCC、B\,8Gu包面BCC.B,,

・•・DE〃平面8CG⑸.

（2）距离为1.

【解析】

【分析】（1）通过证明。七〃即可得出结论：

（2）方法一：设出力。=4。=2]/>0）,建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量而与面

4CG4的一个法向量的表达式，根据直线。E与平面力CG4所成的角为45。求出参数，，借助几何关系

即可求出DE到面BCC£的距离.

方法二：利用直线与平面RCG4所成的角为45。，求出/C=BC=CG=2,借助几何关系即可求

出DE到面BCC】B1的距离.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

法一：由题意及(1)得，CC}=2

在直三棱柱力BC-44G中，4C8=90。，设力C=8C=2(z>0),

四边形JCC.J,与四边形8CG4是矩形，

：.AC1BC,AC±CC；,BC±CC,,

建立空间直角坐标系，如下图所示，

得到力⑵,0,0),8(0,Z,0),C(0,0,0),。("0),E(f,0』),

・••丽=(0/,-1),面力CG4的一个法向量为7=(0,1,0)，

•/直线。石与平面力CG4所成的角为45°,

设直线QE与平面4CG4所成的角为夕

|0+/xl+0|

.・.sinO=cos回,„\=吵2=__=sin45°

，।I阿Ml7O+/2+(-I)2x>/o+12+0

解得z=l,.・・/(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,0),0(1,1,0),^(1,0,1),

•・•DE//面8CG4，・••由几何知识得，DE到面BCC、B\的距离为xD=\.

法二：由题意及（1）得，

在直三棱柱相。一481G中，4c8=90。，AC=BC,

四边形/CG4与四边形Bec】为是矩形，

.\AC1BC,AC1CC},BC1CC,,

vjcncc,=c,力cu平面XCG4，C£u平面ACC/，台。.平面力

・•・BCJL平面力CG4,4BCC\=90°,

・••由几何知识得，NBCQ即为直线BG与平面ACCtA,所成的角，

直线OE与平面4CG4所成的角为45。，

在力8G中，D,£分别为48,4G中点，DE//BC,,

・•・直线BC、与平面ACC}A}所成的角为45°,即/BC1C=45°,

在RMBCG中，NBCC=45。，Z5CC,=90°,CC,=2,

/.AC=BC=CC]=2,

在Rtcfe/BC中，ACIBC,4C=BC,

为等腰直角三角形，过点Q作〃NC,

则点尸为3c中点，DF=-AC=1,DF工BC,

2

由几何知识得，DE到面BCC.B,的距离即为DF=