勾股定理 折叠问题专练（解析版）

第04讲勾股定理折叠问题专练

一、单选题

1.如图，在RiZXABC中，N8=90。，A8=30,BC=40.将一/WC折叠,使点8恰好落在边AC上.与点夕

重合，AE为折痕，则£夕的长为（）

A.12B.25C.20D.15

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理可求出AC,再由折叠的性质可知49=48=30,进而可得6',设BE=EB'=x,

在府CB'E中,由勾股定理列方程即可求解.

解：,:在R【A8C中，Zfi=90°,AB=30,BC=40,

AC-siAR2+BC2-7900+1600-50，

•・•ABC折叠，点B与点8'重合,

AB,=AB=30,BE=EF,/B=ZA9E=90°,

设BE=EB'=x,则CE=8C-8E=4()-x,

又•・・C£=AC-A8'=50—30=20,

在RtCB'E中，Ch2-EB2=CB2,

BP(40-x)2-x2=4(X),

解得：x=15,

/.Efiz=15.

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键.

2.己知，如图长方形ABCO中，AB=3cm,AO=9cm,将此长方形折叠，使点。与点8重合，折痕为EF,

贝的长为()

D.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得设表示出BE=9・x,然后在RlZkABE中，利用勾股定理列式计算

即可得解.

解：•・•长方形折叠点8与点。重合，

：.BE=ED,

设AE=x,则ED=BE=9-x,

在RSABE中，AB2+AE2=BE2f

即32+X2=(9-X)2,

解得文=4,

.•"E的长是4cm,

・・・8E=9・4=5(cm),

故选:D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键.

3.如图，三角形纸片A8C,点。是BC边上一点，连接A。，把△A8。沿着A。翻折，得至DE与

AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=6,I3F=4,AWG的面积为8,则点尸到8c的距

离为()

E

BD

「4x/5

A.立B.警Kx•-----

55D・竽

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出aAB。的面积，根据三角形的面积公式求出DF,设点广到8。的距离为人根据g・8。•力=g・8?。F,

求出4。即可解决问题.

,

解：：DG=GEt

•・s△八。G=S~1FG=8,

\5AADE=16,

由诩折可知，aA。8g△AOE,BE1AD,

•・S"BO=S"OE=16,N8FO=90°,

(AF+DF)・BF=16,

•・；・(6+DF)X4-I6,

\DF=2,

•.DB=《BF?+DF?=V42+22，

设点尸到BD的距离为h,则有

••275/2=4x2,

••点尸到8C的距离为竽.

故选：C

【点睛】

此题考查了翻折变换，三角形的面枳，勾股定理等知以，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会

利用参数构建方程解决问题.

4.如图，在对△ABC中，NACB=90。，AB=5,AC=3,点。是8C上一动点，连接AO,将△ACZ）沿

A。折叠，点C落在点E处，连接OE交A8于点F,当NOE8是直角时，OF的长为（）.

C

33

A.5B.3C.-D.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，由题意知NA£D=NC=900,AE=AC=3,DE=CD,乙=90。，可知A、E、3三点共

线，E与尸重合，在m3ABe中，由勾股定理得=,求3c的值，设DF=DE=CD=x,

BD=4-x,在RhBDE中,由勾股定理得8七2=瓦）2-。七2,计算求解即可.

解：如图，

*//DEB是直角

・•・ZDEB=90°

由题意知NAEO=NC=90。，AE=AC=3,DE=CD

，ZAED=ZDEB=90°

・・・A、E、8三点共线

，E与尸重合

在RlA8C中，由勾股定理得BHAB—AC?=4

设DF=DE=CD=x,BD=^-x

在R/BDE中,由勾股定理得BE、%*即2?=（4一X）2_<2

3

解得x

3

:.DF的长为Q

故选C.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识.解题的关键在于明确4E、B三点共线，E与尸重合.

5.如图，在A4BC中，ZC=90°.AC=8cm,8c=6cm,点0、E分别在BC、AC边上.现将ADCE沿

OE翻折，使点C落在点H处.连接则AH长度的最小值为（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

当H落在人8上，点/）与B重合时，入，氏度的值最小，根据勾股定理得到A8=10cm,由折叠的性质知，

BH=BC=6cm,于是得到结论.

解：当”落在48上，点。与B直合时，A”长度的值最小，

VZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,

，A8=10cm,

由折叠的性质知，BH=BC=6cm,

：.AH=AB-BH=4cm.

故选：C.

【点睛】

本题考杳了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.如图，在长方形纸片A8CD中，AB=8o〃，AD=6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点、B落在点、E处,

AE交DC于点F,则4；的长为（）

A.—cmB.—cmC.7cmD.—cm

422

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件可证ACFE乌△AFD,得至ljDF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm,设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,在

R3AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.

:四边形ABCD是长方形，

.*.ZB=ZD=90°,BC=AD,

由翻折得AE=AB=8m,ZE=ZB=90°,CE=BC=AD

XVZCFE=ZAFD

/.△CFE^AAFD

AEF=DF

设AF=xcm,则DF=(8-X)cm

在RSAFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm,

x2=(8-X)2+62

25

x=—cm

4

故选择A.

【点睛】

此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.

7.如图，正方形ABC。中，AB=12,将△AOE沿AE对折至△AEF,延长EF交BC于点G,G刚好是8C

边的中点，则EO的长是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

连接4G,证明尸G,得到/G=8G,△AOE沿AE对折至△AEE则E尸=。区

设DE=x,则EC=12—x,则RsEGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值.

如图，连接AG,

•・•四边形ABCO是正方形，

/.ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=AD=\2.

•/^ADE沿AE对折至△AEF,

:・EF=DE,AF=AD,

\tAF=AD,AH=AD,

：.AF=ABt

又AG是公共边，

:.、ABG£l\AFG(HL),

TG刚好是BC边的中点，

；・BG=FG=LBC=6,

2

设则EC=\2-x,

在RQEGC中，根据勾股定理列方程:

62+(12—x)2=(.r+6)2

解得：x=4.

所以EO的长是4,答案选C.

【点睛】

本趣考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键.

8.如图，直角三角形纸片A8C中，AB=6,AC=8,。为斜边4C中点，第1次将纸片折叠，使点A与点

。重合.折痕与人。交于点R：设七。的中点为。「第2次将纸片折叠,使点八与点R重合.折痕与人。交

于点尸；设6。的中点为D?,第3次将纸片折叠，使点A与点A重合，折痕与A。交于点A，则八6的长

D•展

【答案】D

【解析】

【分

779

先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP产？ADi,AP2=^AD>,AP3=-AD3,计算出AD3的长度，可得

AP的长.

解：VZBAC=90°,AB=6,AC=8,

•••BC=7AB2+AC2=IO,

•・・D为斜边BC中点，

AAD=yBC=5,

由折叠可知：AD尸：AD,APi=：AD,

42

2

/.APi=-ADi,

3913

AD=-ADI=—AD,AP2;&AD尸?AD,

2416一x

/.AP2=^AD2,

2

可知：AP3=-AD3,

3x5

ADI=-AD=

4丁

39Wxs

AD2=-AD1=—AD=^-^,

41624

a3

AAD=-AD2=-X

344

•••AP3=，D3=^^

325

故选D.

【点睛】

本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻

折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求.

9.如图，三角形纸片A8C,点。是4c边上一点，连接A。，把△48。沿着翻折，得至UzUEO,DE与

AC交于点G,连接BE交4。于点孔若DG=GE,AF=4,BF=2,z^OG的面积为则点尸到8C的

距离为（）

4石

Lr•---口•竽

5

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出二ABD的面积.根据三角形的面积公式求出DF,设点厂到BD的距离为/?,根据1・BD・h=y・BF・DF,

求出BD即可解决问题.

解：,:DG=GE,

：.SAADG=SAEG=-,

A2

••SAADE=5,

由圈折可知，^ADB^^ADE,BE1AD,

：.SAABD=SAADE=5,NBFD=90。,

：.^(AF+DF)*BF=5,

■

.彳・(4+QF)・2=5,

：,DF=\,

.•・08=y)BF2+DF2=712+22=6，

设点尸到B。的距离为力，

则g・3O・/?=g・3P・DP,

即：—x旧h=—x2xl,

22

故选：B.

【点睛】

本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

10.RtAA8c和RlZ\C£>石按如图所示的位置摆放，顶点8、C、。在同一直线上，AC=CE,N8=NO=90",

AB>BC.将RtZkHBC沿着4c翻折，得到RtaAQr,将RtZkCD石沿着CE翻折，得口△「小£：’点从D

的对应点"、加与点C恰好在同一直线上，若AC=13,瓦）=17,则e。的长度为（）.

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由折叠的性质得ABC=.AB'C,CDEmCUE,故NACB=4CB',/DCE=/DCE,推出

4C8+NOCE=90。，由N6=NO=90°,推出N8AC=NDCE,根据A4S证明..ABC岂,COE,即可得

AB=CD=CDfBC=ED=CB',设5C=x,贝ijA6=17-x,由勾股定理即可求出6C、AB,由

57y=CD'-CB'=AB—计算即可得出答案.

由折叠的性质得

JZAC8=Z4C3',力CE=3CE,

・•・ZACB+ZDCE=90°,

*/Zfi=ZD=90°,

/./8AC+NACB=90。，

・•・/BAC=/DCE,

在.ABC与△COE中，

ZB=ND

­/BAC=ZDCE,

AC=CE

・•・ABC^.CDE(AAS),

:,AB=CD=8,BC=ED=CB,,

设8C=x,则A8=17-x,

:.X2+(17-X)2=132,

解得：x=5,

/.BC=5,AB=\2,

/.RD=Ciy-CBf=AB-BC=12-5=7.

故选：A.

【点睛】

本题考查折叠的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键.

二、填空题

11.如图，长方形4BCO中，BC=5,AB=3,点E在边8c上，将ZkOCE沿着OE翻折后，点。落在线段AE

【答案】1

【解析】

【分析】

由对折先证明。石=。。=3,?。在90靶DEF=?DEC、CE";再利用勾股定理求解AR再证明

AE=AD=5,从而求解于是可得答案.

解：丁长方形A8CO中，BC=5,A8=3,

\AD=BC=5.CD=AB=3^C90?,4)〃8C,

由折叠可得：DE=DC=3,?DFE90靶DEF=?DEC,CEEF,

\?AFD90?,A/ylAD2-DF2=4,

QAD〃BC,

\?ADE?CED,

：.ZADE=ZAED,

\AE=AD=5.

\EF=AE-A尸=1,

:.CE=\.

故答案为：1

【点^青】

本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解4尸=4,4£=4。=5是解本题的关键.

12.如图，在4ABe中，ZACB=90°,CDLAB于点D.E为线段8。上一点，连结CE,将边8C沿CE

折叠，使点8的对称点9落在CZ)的延长线上.若AB=5,3c=4,则的面积为.

■小18

【答案】—

【解析】

【分析】

在AA8C中由等面积求出。。=U,。8=3进而得到。》=C8—CO=5—”二门，设8£=x,进而

5555

DE=DB-BE=^--xt最后在口A3DE中使用勾股定理求出A•即可求解.

解：在中由勾股定理可知：AC=，AB2—BC2=3,

V-ACxBC=-ABxCD

22t

.「八ACxBC12

AB5

8

12

DB=CB-CD=4——5-

5

AD=y/AC2-CD2=^9^^=|,

在R4CD中山勾股定理可知：

916

，DB=AB-AD=5——=—,

55

设B£=M由折叠可知：BE=B'E,且DE=DB-BE=3-x,

5

在Rf.QEB'中由勾股定理可知：DE、BD2=BE2,代入数据:

**•(~^-x)2+(1)2=X2,解得x=2,

・••AE=AB-BE=5-2=3,

」4底。」3第=史

2255

18

故答案为:

T

【点睛】

本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段

长.

13.如图，直角三角形纸片人6,/4C8=90。，AB=5,AC=3,将其折叠，使点C落在斜力上的点C,

折痕为AO；再沿OE折叠，使点3落在QC的延长线上的点8'处.则笈C'的长

【答案】1

【解析】

【分析】

设8k,根据ZAC4=90。，AI3=5,AC=3,利用勾股定理=7F=4,DB=BC-CD=A-X,根

据折叠，AC=AC=3,CD=CD=x,BD=B'D,求出C5=/laAC=5-3=2,在RsOCZ中，根据勾股定理列方

gx2+22=（4-x）2,解得:x=|即可.

解：设CQ=x,

VZAC^=90°,AB=5,AC=3,

：•BC=JAB2-AC2=V52-32=4-

:.DB=BC-CD=4-x,

根据折叠，AOAC=3,CD=CD=x,BD=BfD,

.•・CB=48-AC=5-3=2,

在RsDCR中，根据勾股定理CD?+BC~=加＞2即x?+2?=（4-x）2,

解得：户；3，

：.BD=4-x=-,

2

,S3

,

BC=DB-DC=DB-DC=---^lf

22

故答案为1.

【点睛】

本题考查折直性质，勾股定理，一元一次方程，线段的和差计算，掌握折直性质，勾股定理，一元一次方

程，线段的和差计算是解题关键.

14.如图，一张直角三角形纸片A4C,ZACB=90°,ZB=30°,AC=6.将此三角形纸片先沿CO折叠，

使点人落在"边的点4处.再沿CE折叠，使点8的对应点夕落在CA的延长线上.则△&/注的面积为.

【答案】1873-27

【解析】

【分析】

由题意可知，AB=12,BC=66,由折叠可知，ZA=Z4*=60c,CAf=CA=6,81AB,HE=BE,

/HEC=NBEC,推出AACT为等边三角形，/BEC=/BEC=135。,所以/夕"4'=135。-45。=90。，推出

BE=AB—AE=AB—,AD-DE=12-3-36=9-36即3'£：=9-3石，根据g9E即可求出AA'9E

的面积.

解：vZAC£?=90°,Z5=30°,AC=6,

/.AB=2AC=\2,BCZAlf-AC?=66，

由折叠可知，Z4=ZA,=60°,C4,=C4=6,CD1AB,

BE=BE,/B'EC=NBEC,

MCT为等边三角形，

AA=6,ZM,C=Z4C4,=60°,

/.ZACB=30°,NBEC=NBEC=15°,

ZAEC=ZAAfC-ZAfCE=60°-15°=45°,

;.NBEC=ZB'EC=135。,

.•.ZB/E4,=I35o-45o=90°,

vZ4=60°,

.\ZACD=30°,

f

：.AD=^AC=3,AD=AD=3tCD=38,

DE=CD=36,

A'E=DE-A'D=3y/3-3,

BE=AB-AE=AB-AD-DE=V2-3-3拒=9-36,

B,E=9-3y/3,

：.的面积：gAE=（（3百—3）（9—36）=186一27.

故答案为：186-27.

【点睛】

本题考查了折叠问题，做题注意折叠的性质和勾股定理的使用，最后找到AA&E是直角三角形是解题的关

键.

15.如图，A。是A43C的中线，ZA£>C=45°,8c=4cm,把AACD沿A。翻折，使点。落在E的位置,

则BE为一.

【?争案】20cm

【解析】

【分析】

根据翻折知：N4QE=NAQC=45。，ED=EC,得到N8QE=90。，利用勾股定理计算即可.

解：A。是AA4C的中线，

/.BD=CD=-BC=2cm,

2

翻折，

:.ZADE=ZADC=450,ED=CD,

ZBDE=90°,BD=DE,

在RtABDE中，由勾股定理得：4£=在后=2&°〃?，

故答案为：2\/5c7〃-

【点睛】

本胭考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的*1应角相等、对应边相等是解题的关键.

16.如图，在aABC中，点。是8c边上一点，连接AO,把△A3。沿着AO翻折，得到AA夕O,£。与

AC交于点E,连桂交A。于点F,若DB=3DE,48=2丁"，A尸=6,A/UTE的面积为12,则点8

到D8'的距离为.

B'

BDC

94

【答案】y

【解析】

【分析】

由翻折的性质可得八4=八*,BF=FF，AO_L49,由S“/BDB'E=3：2可得Sx.=54所=18,

然后利用勾股定理求出3/=4,83'=23F=8即可推出AO=9,则£D=A£>—A尸=3,即可得到

S/\BDH=；BB'.DF=12,BD=JBF—DF2=5,设点B到？Z）的距离为人由羽皿髭一-12，进行求

解即可.

解：由翻折的性质可知：AB=AB\BF=FF,ADVBB1,

VDB'=3DE,

，&E=2DE,

S/s/uw：S&入出=8D：BE=3:2,

••S/xx/w=18,

••S&1O8=S&y)8,=l8,

在直角三角形4B/中，BF=jAB，-AF。=4,

:.BB'=2BF=8,

尸二18,

:.AD=9,

:.FD=AD-AF=3t

SMD/;BB'DF=T2,BD=^BF-+DF2=5，

设点4到9。的距离为〃，

:・SB〃"；BDh=12,

【点睛】

本题主要考查了折置的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质.

17.如图，在心AABC中，NAC8=90。，D,E是边A8上的点，连接CO,CE,先将边AC沿CD折叠，

使点力的对称点W落在边上；再将边3c沿CE折叠，使点8的对称点夕落在CV的延长线上.若AC=

15,4C=20,则下列结论：①EB'〃CD,②NQEC=45。，③£4'=3,④S』BCE=18.其中正确的是________

（将所有正确答案的序号都填在横线上）.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

先由勾股定理求得八3的长，然后利用折叠得到相关线段长度和相关角度，再利用等面积法求CO得长，然

后利用等腰直角三角的性质得到/QEC的大小，最后求得^BCE的面积.

解：・・・AC=15,BC=20,NACB=90。,

：・AB=25,

，：S^ABC=gACxBC=^ABxCD,

A^-xl5x20=^x25xCD,

22

/.CD=12,

:,AD=JAC?—CD，=Vl52-122=9,

：.BD=25-9=16,

由折叠得，ZACD=ZDCA',NBCE=NB'CE,NBEC=NB'EC,AD=AD'=9,

*/NACB=NACO+NDCA'+ZSCE+NB'CE=90。,

・•・NOCH+ZB'CE=45°=ZDCE,故②正确；

・•・ZDEC=90°-45°=45°=NDCE,

：,DC=DE=\2,

/.Z'E=DE-DA'=12-9=3,故③正确;

VNBEC=180°-45°=135。,

AZCEB'=135°,

••・N8E4'=90°=NCOE,

.\CD//BE,故①正确；

*：SABCE=^BEXCD,

:$BCE=^x(16-12)xl2=24,故④错误；

，正确的有①②③.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，准确计算是解题的关键.

18.如图，点。是」WC的边BC上的一点，连接A。，将一84。沿AO翻折得到二£40,连接把交A。于

27

点G,连接OE,交AC于点凡若。下：斯=1:2,AG=5,8G=6QAOF的面积是一，则点G到8c的距离

4

是.

B

【答案】■

【解析】

【分析】

根据题意求出的面积，根据折叠的性质可知△丽=S△曲，然后求出4。的长度进而求得

GO的长度，运用勾股定理求出5。的长度，运用等面积法可求得结果.

27

解：•；DF:EF=l:2,的面积为二，

4

._27._81

9ADE=-X3=—,

由折叠的性质可知：日£_LA/),S&ABD—S^ADE,

81

•#*AD=2S-ABD=-^-=—

BG64

7

GD=AD-AG=~,

4'

/.BD=>1BG2+GD2=—

4

X

SBGD=SABD-SAGB=­--5X6=—

21x2

:.G至IJBC距离为今$=三=||

z

42

故答案为：—

4.J

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练运用三角形面积的不同表示方法是解本题的关键.

三、解答题

19.如图，折叠长方形的一边A0,使点。落在8c边上的点尸处，8C=10cm,A8=8cm,求E广的长

AD

E

C

【答案】5

【解析】

【分析】

根据折叠的性质得到AF二A。，DE=EF,根据勾股定理计算即可.

解：。四边形48CD是长方形,fiC=10cm,AB=8cm

：.AD=BC=10cm,A/^=CD=8cm

又・・F户为人。折叠所得

：.AF=AD=\0cn\fDE=EF,

・・・B产=4尸2/展=36

/.BF=6cm

：.FC=BC-BF=4

设CE长为xcm,则。E长为(8-x)cm,则E/长为(8-x)cm.

在K7ACEF中，

/+42=(8-X)2

解得：x=3

CE=3cm

:.EF=8-3=5cm

故E尸的长为5cm.

【点睛】

本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和

大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

20.如图，在中，NB=90°,A8=9,BC=I2,。为BC上一点，连接A。，将△ABC沿A。折

叠，使点8恰好落在边AC上的点8处，求08的长度.

BDC

【答案】£9

乙

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得AE=A8=9,DB'=DB=9,NA8Z>=N8=90°,先利用勾股定理求出

AC=dAB、BC，=15,即可得到"C=AC—43'=6，设DB，=DB=x,DC=BC-BD=\2-x,在直

2,22

角三角形BVD中:CD=DB+B'Cf则(12—x)?=f+6:,解方程即可.

解：由折叠的性质可得A8'=A8=9,DB,=DB=9,NAB'O=N8=90"，

，ZCBfD=180"-ZAB'D=^'

TN8=90。，A8=9,8c=12,

・'•AC=ylAB、BC。=15,

,,

/.BC=AC-AB=6f

设DB=DB=x,则DC=8C—8£>=12—x,

在直角三角形9C。中：CD?=DB、BP?,

.\(12-X)2=X2+62,

9

解得X=],

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质与勾股定理.

21.在长方形A8CO中，A8=8,8c=10,。是边AO上一点，将△A8P沿着直线8P翻折得到△AZP.

图1图2

(I)如图I,当A,在BC上时，连接/VT,求AA的长；

(2)如图2,当A尸=6时,连接AD,求A7)的长.

【答案】(1)8人

⑵酒

5

【解析】

【分析】

(1)根据题意可得N加%=90°,AB=AB=8,再利用勾股定理，即可求解：

(2)过点H作A'M_LAQ于点M，延长MA'交8c于点M可得4O〃BC,AB1AD,AB1BC,

AB=AB=8,4'产="=6,AD=BC=\0,再设片，犷=X,BN=4"=y,则/W=y-6,XV=10-x,

在双)',际和Ri.ANB中,根据勾股定理可得6。/+(y-6『①，8，-/+(8-xf②，从而得到

1441Q968

#显=工,BN=AM=进而得到〃V=AD-AM="，再由勾股定理，即可求解.

25252o

(1)

解：根据题意得：N/胡=90。,48=，仍=8,

,,AA'=yjA'B2+AB1—+8。=8\/2；

(2)

解：如图，过点W作于点“，延长助火交BC于点N,

根据题意得：AD//BC,ABLAD,AB1BC,A'B=AB=8,AP="=6,AD=BC=\O,

：.DP=4,

,**A'M_LAD，

:,MNtBC,

:,MN=AB=8,AM=BN,

设A,；\f=x,BN=Al/=y,则A"=y-6,/1W=1O-x,

在放中中，由勾股定理得

A'P2=小/+*即6?=/+口一6『①，

在aAA6中，由勾股定理得

月/=力，"2+BN"即82=y2+（8-疗②，

4

由①②联立得；y=yv,

4144

把F二^x代入②得：工二宗"或x=0（舍去），

1441Q9

.­.XI/=—,BN=AM=—,

2525

/.DM=AD-AM=—,

25

=aFF=僧+第=等.

【点睛】

本题主要考杳了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键.

22.如图是三个全等的直角三角形纸片，且4C:3C:A3=3:4:5,按如图的三种方法分别将其折叠，使折

痕（图中虚线）过其中的•个顶点，且使该顶点所在角的两边重合,记折叠后不重叠部分面积分别为*S2，S.»

(1)若4c=3,求，的值.

⑵若豆+邑=13,求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②化时S3的值是多少？

【答案】⑴g

(2)①36：②竿

【解析】

【分析】

(1)设力E=CE=x,则8E=4-x,依据SMBE二;ABxQE二;8AAC,即可得到x的值，进而得出与的值.

(2)①如图1,S^ABE=^-ABxDE=-BExAC,即可得到。尺大弟进而得出S尸大N：如图2,依据

2222

II4.

5AA^/V--ARXHN--ANxBC,即可得到KV-彳x,进而得出S2--,再根据S/+S2-13,即可得到入。-6,进而

223

得出单个直角三角形纸片的面积.

②如图3,由折叠可得，AC=C尸=3%所以BF=BC-CF=^x-3x=x,则S.尸!SAACM,所以S.尸,S

337

即可求解.

(1)

解：VAC：BC:AB=3：4：5,AC=3,

・・・BC=4,4B=5,

由折叠可得，DE=CE,/AOE=NC=90。，AD=AC=3,

设DE=CE=x,则4E=4-x,

,・&ABE=；ABxDE=gBE^AC,

：・ABxDE=BExAC,即5x=3(4-x),

3

解得x=：，

J

33

**•Si=~BDxDE=-x2x———.

2222

(2)

解：由AC：BC：AB=3：4：5,可设AC=3x,4C=4x,AB=5xt

①如图1,由折叠可得，AD=AC=3x,BD=5x-3x=2x,DE=CE,NAQE=NC=90。，

*.*SAABE=—ABxDE=—BExAC,

：・ABxDE=BExAC,即5xxDE=(4x-Z9E)x3x,

3

解得DE=jx,

JSi=gBDxDE=gxZvx-x=-x2；

2222

如图2,由折叠可得，BC=BH=4x,HN=CN,

:・AH=x,AN=3x-HN,

,/SAABN=IABxHN二；ANxBC,

：.ABxHN=ANxBC,UP5xxHN=Gx-HN)x4.v,

4

解得HN=-x,

\i47

/.5?=—AHxHN=-xxx-x=-x2,

3

VS/+52=13,

・・3・二/+213,

23

解得/=6,

:.SAABC=；X3XX4.^=6X2=36.

答：单个直角三角形纸片的面积是36；

②如图3,由折叠可得，AC=CF=3x,

：.BF=BC-CF=4x-3x=x,

・•.5.?=-SACMF=-S4ACM,

.o?_lc_36

•・fJABC--»

答：此时此的值为3.

【点睛】

本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折登前后图形的形状和大

小不变，位置变化，对应边和对应角相等.解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度.

23.在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D,E分别是斜边AB和直角边C8上的点，把△ABC沿着直

线DE折叠，顶点B的对应点是夕.

（1）如图①，如果点次和顶点A重合，求CE的长;

（2）如图②，如果点Q是AC的中点，求CE的长.

【分析】

（1）设CE=x,则8E=8—x,根据折叠的性质，实施勾股定理即可;

（2）设CE=x,则BE=8—x,根据折叠的性质，实施勾股定理即可.

解：（1）设CE=x,则BE=8—x,

由题意得AE=BE=8—x,