平面向量爪子定理、共线与基本定理的应用、等和线定理【7大题型】解析版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

平面向量爪子定理、共线与基本定理的应用、

等和线定理【7大题型】

内容导航

明•期中考;青把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01判定与证明共线

题型02爪子定理的应用

题型03用基底表示向量

题型04平面向量基本定理求参数

题型05平面向量基本定理求系数和（最值）

题型06等和线求系数和、差

题型07等和线求范围（最值）

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

共线定理掌握值=高是共线的充要条件；能熟练用基础必考，常在选择题、填空题中直接考查，

定理证明三点共线；理解系数4与分点位与三角形中线、重心结合是常见题型，难度

置、方向的关系，对爪子定理的熟练运用。中等偏下

平面向量基本定理解基底的概念及不共线要求；能根据图核心考点，是后续坐标运算的基础，常在解

理形将任意向量用基底表示：掌握待定系数答题第一问出现，需熟悉平行四边形、三角

法求基底系数形中的向量分解

等和线定理理解系数和与平行线距离的关系；会求线拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期

性组合系数和的最值。末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意

义理解

■记•必备知识・

肢知识点01平面向量的共线

1、向量共线定理：

如果五二敏/16/?),则日〃又反之，如果划〃且以6,则一-定存在唯一的实数人使2=成

2、三点共线定理

平面内三点4,B,C关线的充要条件是：存在实数儿〃，使近而，其中;l+〃=1,。为平面内一

点.

A.R、C三点共线

=存在唯一的实数人使得尼=派；

=存在唯•的实数人使得5?=瓦？+/1而；

o存在唯一的实数；I,使得小=(1-A)OA+WB；

=存在2+ii=1,使得沆=WA+〃丽.

限知识点02平面向量基本定理

如果无和近是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量五，都存在唯一的一对实数小,

%，使得己=心瓦+22雨，我们把不共线向量可，专叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

｛百砌，4同+的互叫做向量/关于基底｛久，瓦｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量可与分不共线，平面内的任一向量,都可以分解成形如己=九百+

入2豆的形式，并且这样的分解是唯一的.加无+入2互叫做万，豆的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平

面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

若。=入1可+22或=43药+^4^2»则=A，%=24.

限知识点03等和线定理

1、定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有丽=义鼐+〃丽(a+〃=1)。

若OC=kOP,OC=kAOA+k/^OB,则系数和kA+k〃=k

总结有：若点P在直线48上或在平行力8的直线.卜.则加=/I0A+MOB(2=k),反之也成立,我们把

直线48以及与直线平行的直线称为等和线。

2、等和线的性质

（1）当等和线恰为直线4B时，k=1；

（2）当等和线在。点和直线48之间时，k€（0,1）；

（3）当直线/IB在0点和等和线之间时，k6（1,4-00）；

（4）当等和线过。点时,k=0；

（5）若两等和线关于0点对称，则定值k互为相反数；

（6）定值A的变化与等和线到。点的距离成正比

.破•重难题型.

3题型一判定与证明共线

;解।题।^i巧

；1,判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数；I,使d=a加

i2、对非共线向量五、则上缶+&坂与攵3百+储3共线=kM=k3k2

;注意：

［零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一

:■些特殊情况。

L-_______....______________________________________....____..........._____......_____________________...

【典例1］（25-26高一下•贵州遵义•月考）设向量B是两个不共线的单位向量，AB=a+bf

BC=3a-2b,CD=-a+4b»则（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】B

【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解.

【详解】对于A,若4B,。三点共线，则布=7前，AGR.

即"+B=/l（3Z—26），则一21=1，此时/无解，故A错误：

对于B,若4B,。三点共线，则刀="而，〃eR,

而而=前+丽=2工+23，即办坂=〃（2£+2可，

则［“=：，解得〃=：，故B正价；

2JLI=12

对于C,若4C,。三点共线，则蔗=左而，AeR,

而就二荔+册=4£_坂，即4）一行=〃（一2+4可，

则Lr此时左无解，故C错误：

4〃二一1

对于D,若B,C,。三点共线，则元=x1，、wR,

-x=3

即立一2否=x（-a+4可，则（4此时'无解，故D错误.

4x=-2

【典例2】（2026高一•全国・专题练习）已知=I-装;]=21,则）与占共线的条件为（）

A.2=0B.62=0

C.ejle2D.e"包或丸=0

【答案】D

【分析】根据录,4是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】若引底，则存在〃eR，使得[=〃1，

则a=et+A,e2=q+A/.ie}=（1+卬）q,

而否=21，所以，与石共线.

若不共线，若£与各共线，

则存在xeR,使得。=xb,e]+胆=2xq,

综上所述，Z与B共线的条件为点区或4=0.

【变式1】（25-26高一下•全国•课堂例题）已知两个非零向量I和1不共线，且〃1+21和加+人]共线，

则实数左二.

【答案】±指

【分析】根据平面共线的基本定理与平面向量的基本定理可得出关于上的等式，解之即可.

【详解】••••+2/和31+盛共线，，存在实数义，使得痴+2[=431+痛）.

4/38

ke}+2e2=+k入%,

又•.石和《不共线，所以A二3一：化简得出2＜=2,解得左=±瓜

L=AX3

故答案为：七底.

【变式2】（25-26高一下•全国•课后作业）（1）设£,坂是两个不共线的向量，已知次=312人

BC=-2a+4b^CD=-2a-4b＞试判断力，C,。三点是否共线；

（2）设刃是两个不共线的向量，在四边形月AC。中，AB=a+2b^豌=立-》，BD=2a-4b^证明:

四边形力8c。为平行四边形.

【答案】（1）三点共线；（2）证明见解析；

【分析】（1）根据向量的线性运算可推出无与万共线.结合函与工有公共点。，即可得结论；

（2）根据向量的线性运算可推出亚=》，进而可证明结论.

【详解】（1）\-AC=~AB+BC=（3a-2b）+^-2a+4b^=a+2h,

又丽=一21—45=-2仅+25),：,CD=-2AC^

又•.•瓦与X有公共点C，故4，C，。三点共线.

(2)证明:-：AD=AB+BD=^a+2b}+(2a-4b^=3a-2b=BCt

又在四边形ABC。中，A,B,C,。四点不共线，则4）//8C,4O=8C,

.•加边形/4CQ是平行四边形.

团题型二爪子定理的应用

答|题|模|板

爪子定理源于平面向量三点共线定理。

已知D在线段8c上，且盟=不则而=导而+;^而

【典例1】（多选）（2026高一下•全国•专题练习）设O,4M,8为平面上四点,

OM=AOB+（\-A）OA,且/U（l,2）,则下列结论不正确的是（）

A.点M在线段上B•点8在线段4M上

C.点力在线段8M上D.O,4历，8川点共线

【答案】ACD

5/38

【分析】先对向量表达式进行变形，得出向量共线关系，再根据丸的取值范围，即可判断点的位置关系.

【详解】由题意，两=4为+（1-4风，可得的-33=4丽一工3）,

所以而=2善，所以力，M、8三点共线，

又儿e（l,2）,所以|前卜|而所以点8在线段4必上.

又。点位置不确定，所以不能说明。，4M,8四点共线.

故选：ACD

【典例2】（25-26高一上•四川绵阳•期中）如图，在ZUBC中，〃为线段上的一点,CM=mCA+nCB

（阳，〃eR）且丽=4忌，则（）

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得肛〃的值.

【详解】因为丽=4必，

所以万7=1万，

则而=冰而二E+（布访+（（无心）=1声+（而，

"41

故=-,w=-.

wJJ

故选：B.

【变式1】（25-26高一下•湖北襄阳•月考D如图所示，已知在A4BC中，。是线段48上的靠近力的三等分

点，则丽=（）

A

D/\

BC

6/38

___n______?______?______o___

A.BC一一BAB.-JC+-BAC.-BC一一BAD.~BC+-~BA

3333

【答案】B

【详解】因。是线段相上的靠近力的三等分点，则无=诙-沅=5而-前.

【变式2】（2027高三•全国•专题练习）已知点P为△048所在平面内一点，且丽二a+毒，则（）

A.点户在线段48上B.点P在线段43的延长线上

C.点P在线段的反向延长线上D.点尸在射线4?上

【答案】D

【分析】将已知向量等式变形，得到点尸相对于点4的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点。在

射线48上.

所以点P在射线川？I；.

故选：D.

包题型三用基底表示向量

译「题j谑语

i应用平面向量基木定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘

;运算，基本方法有两种：

:（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用目标向量出现表示为止.

:（2）三点共线定理：48,P三点共线的充要条件是：存在实数;1,〃，使方=/1裾+〃据，其中;1+〃=1,

：0为八8外一点.

X...............................................................................................................................................................................

【典例1】（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）在

—2―.|一彳0

△力8c中，。为边6c上一点，石为边46的中点，且力。与CE相交于点O,若/1。=：;/出十三力C,则=•二

33\AD\

【答案】B

【分析】根据向量共线及向量的线性表示求解即可.

【详解】

7/38

A

设丽=/团（/G（O,1））,则而=：而+而=而+/比=存+（祝_存）=（1_，）在+/%,

—2—1—1

y,AD=-AB+-AC,所以[=].

设力0=〃?力。，CO=nCE»

则,40=AC+CO=AC+nCE=ACn(^AE-AC^=nAE\-n)AC=^nAB+(\-n^AC,

又75=〃?而方+!%)=迎万

\33,333

2m=n3

m=—AC)

32，解得•，所以3

所以=m=­.

45

—=1-nn--Al)

135

【典例2］（25-26高一下•全国•课后作业）如图所示，wIBCQ中，E,尸分别为"，边上的点且

国臼倒，麻卜;网，连接CE,BE,记CEnBF=P,求。.

J/1V-

【答案】I

【分析】根据平面向量的基本定理及向量共线列方程组求解即可.

【详解】设丽=4直，则5=4赤+乐而.

又8,P,尸三点共线,

所以存在4使丽=4而+（1_〃）汴=4胃+（1_〃）（而+而）=〃赤+（1_

____3__,<a7、,__r

pCB+(\-/i)BA+-(\-p)CB=-+-//\CB^(\-p\BA.

5k55/

8/38

【变式I】（2026高一•全国•专题练习）如图，是。。的直经，点C,。是半圆弧茄的两个三等分点,

AB=a»AC=b»贝1J4。=（）

e—

A.a—B.-a-b

-i-

C.u+-bD.声+b

【答案】D

【分析】根据已知条件结合图像得到四边形480为平行四边形，从而得到亚=而+太，由

及尼得到加

【详解】连接CO,OD,如图,

•・•点C,。是半圆弧前的两个三等分点,

-AC=BD^--CDIIAB,Z.CAD=N。45=30。,

0A=OD^ADO=ND4O=30。,

ACAD=^ADO=300,

：.ACUDO,

9/38

四边形ACDO为平行四边形，AD=^AO+AC.

VAO-—AB——a,AC—b>AD=—a+b.

222

故选：D.

【变式2】（多选）（25-26高一上•江苏南通•期末）在△力8c中，纪=3两，AC=2ANrAM与BN交

于点0,则（）

A.丽二而十■衣B.A0=-AB-AN

332+2

C.~A0=-~AMD.BO=2ON

4

【答案】ABC

【详解】因为元=3前，％=2丽，

所以瓦汗=，而=」衣，如图，

32

[1O1

对于A,而=方+两=布+—蔗=方+—（%一万）=一方+一祝，正确;

33、733

设方=丸而，则前=九（：方祝）

遗BO=〃BN,乂BN=BA+AN=-AB+；AC,

所以而二方+的二荏+益+=刀+,

又正=（|而+g正卜羊益+：死，

[22,

所一以=一〃，解得％="2/=:，

42

A=£

.32

-----3.....-—1一

可知/。=/14“=、4”,BO=RBN=QBN,

JO=—J^+-^C=-J5+-^C=-Z§+-ZV,

332422

故BC正确，D错误.

3题型四平面向量基本定理求参数

10/38

答I题I模I板i

平面向量运用基本定理求参问题：运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示，利用基底j

表示向量的唯一性求解.i

【典例1】（2025高一•全国•专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系,

在如图所示的五角星中，以尸，Q：R，S,7为顶点的多边形为正五边形，且布=垦1行，设

2

砧-衣=之咽4eR）,WIJA=.

【答案】上正

2

【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意：ES=RC,AP=QC,

贝而-衣=蓝一沃=而+西=而，

因为万=空行，同样阳=与1曲，

所以苑=高/=空/=-亨丽=¥丽，

贝1」4=上座.

2

故答案为：匕叵

2

【典例2】（25・26高一上•辽宁沈阳•期末）如图：在平行四边形44co中，〃、N分别为边AB、4D上

的点，且万7=3万，旃=；而，连接4C,交于点P，若方=义工，则九=

43

11/38

DC

“

AMB

【答案】]

【分析】设必户=〃砺，利用基底｛而，而｝表示懑，利用算两次思想以及平面向最基本定理可得.

【详解】由题意可得，而=4就=4筋+2而，

因为M,N,P三点共线，所以设而=〃丽，

则丽=〃丽=〃（丽一而卜喑而可，

则而=而+赤=。而+而二加=2〃而+仁一3//刀，

4134J3144J

由平面向量基本定理可得，|“4+认得"，

故答案为：卷

【变式1】（2026高一下•全国•专题练习）如图所示，在A/BC中，。为力。的中点，前=3前,RD与AE

交干点尸，若方=7标，则实数4的值为.

【答案】|/0.75

4

【分析】由向量共线定理可.得丽=2而=4（诙+而），进而可得#=（1-彳）益+与元，结合向量的线

性运算可得酢“益+（环，比较系数即可求解.

【详解】•••伉£。三点共线，且。为4c的中点，

••・存在实数k使前=左丽=g（而+瑟），

:.AF=AB+RF=AB-i--（BA+BC]=（l--\AB+-BC,

12/38

•.•花=刀+砺=而+;耐

因为万^二九族，即+

：.[\-^\AB^-JC=AAB+-~BC,

I2)23

即L2,解得力=?.

A=A4

23

故答案为：43.

4

【变式2】(2026•浙江宁波,二模)如图所示，已知△48C,点M,N满足翔=；石，丽=:%，BN

与CM交于点尸，”交BC于点D,AP=tAD^则()

B.BP=-BN

5

—2—2—

D.CP=-CA+-CB

55

【答案】D

【详解】对于A,由C,P,历共线，存在2使AP=AAM+(]-A)AC=2XAB+(\-A)ACT

由反RN共线，存在〃使万=〃前+(1-〃)丽二〃荔+匕幺大，

联立系数相等：

工

।,解得：2=二，P=j因此：AP=^AB+^AC,故选项A错误；

1-2=1^5555

3

对于B,丽=AP—AB=('^■48+-ZS=--Z5+-JC,

55

BN=AN-'AB=-AC-JB=-JB+-AC

33

一2—

若BP=gBN,贝IJ：

一小布+:祝=](-万+：刀]=-：在+白就，显然系数不相等，选项B错误；

•?JDJDID

13/38

对于C,由于万=/而，且。在上，故设而=4而+（1-k）万，

则AP=tAD=tkAB+t（\-k）AC,

___［於/

结合ZP=1^1JC,得：5解得z=W，选项c错误；

+小）［

对于D,由6=/一衣=［/+（衣）一衣=萍一软，

所以丽=!（而—声）一次+1瓦，故选项D正确.

JJJJ

⑦题型五平面向量基本定理求系数和（最值）

善画i垣T后

平面向量基本定理求系数和或最值的问题：

1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示

2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。

【典例1】（2026高一•全国・专题练习）已知△/8C中，。是3c边上靠近8的三等分点，过点。的直线分

别交直线力优力。于不同的两点M,N,设标=加而，就=〃前，其中小〉0,〃>0,则■!■+'的最小值是

ntn

【答案】1+巫

3

19

【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得然后利用代换，结合基本不

等式即可求得最小值.

【详解】

M

由。是边上靠近B的三等分点，

可得：OC=2Bd^>7C-AO=2(Ad-JB]^M=-AC+-AB,

''33

14/38

___i2,

又因为力与=〃?前7,太=〃而，所以力。=一〃4N+—小4必,

33

12

又因为M,M。三点共线,所以丁+铲?=1

乂因为胴＞0,〃＞0，

所以—+——二+k=1+丁+『1+2b.2.1+'一,

mn\m〃八33J3m3nV3w3〃3

当且仅当言=g；,即m=乂2；&）,〃=3（&-1）时取得等号,

所以工+』的最小值为1+延.

mn3

【典例2】（多选）（25-26高一下•江苏泰州•月考）在△力8C中，点。是边上的四等分点，且

AD=3DB,4C边上存在点E满足或=7赤（％〉0）,直线CO和直线8E交于点/，若汽=〃。户（以＞0）,

贝IJ（）

B.办=4

164D.Z^<1

C.—+一的最小值为8

%〃CDCA3

【答案】ABC

［详解】对于A,CD=O+JD=CJ+-^=CJ+-(C5-G4)=-!-O+-C5,故A正确.

44、744

对于B,因为或=2近，所以或=上。3,CE=-l-CAf

1+21+2

1

由4瓦C三点共线可得.丽=加+-2L-前

1+A1+2

因为小〃而，所以心高加’而=£反，

由DEC三点共线可得，丽=仁丽+丁二团=/一期+--肥.

1+〃1+//4（1+4）1+〃

而赤〃而，所以有「二--二广.一~；，整理得M=4,故B正确.

1+X1+〃1+A4（1+//）

*=8,

对于C,因为=4,则一4——F16AN2

4〃4

13/30

当且仅当齐“即，T时取等号'故C正确.

A

对于D,因为CF•EA=

1+%

CF-EA_pA_卬

所,以CZ),CA1+//1+兄1+九卜i+4+//

当且仅当>1=:4即丸=2时取等号.而4£>gI故D错误.

A93

【变式1】（25-26高一下•贵州遵义•月考）如图所示，已知梯形48CQ中，AB//CD,AB=2CD,E为线

段BC的中点，且线段4。与的交点为凡设通=1,AD=b.

⑵求8F:尸。的值：

（3）若4C=CQ=O4,点G在线段CO上运动，设左;而讽逼d,求4+%的取值范围•

一31-

【答案】⑴力公/+§力

（2）BF:FD=2:3

【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案:

（2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案;

（3）利用基底得出4〃的关系，结合对勾函数的性质可得范围.

所以前△族」G

【详解】（1）因为AB=2CD

22

»I—«

BC=BA+AD+DC=-a+b+-a=b--a,

22

因为七为线段8c的中点，所以荏=^比=_:万荏=荏+而=)+(一；万+；»)=(5+；尻

⑵设旃=女丽，贝ij丽丽，丽=而—益=Bv，

A+1

AF=AB+BF=a+—(b~a]=-a+—bf

k+八)4+1k+\

16/38

又通，万共线,所以存在一个实数人使得占"占h=A\-a+-b\,

(42)

133

b:+:4，两式相除可得々=2：,即8/：歹。=2:3.

k_z3

~k+i~2

（3）设丽=x反,xw[O[]；^=而+反=坂+3~丽=方-而=£-B，

AG=AD+DG=b+—xa,

2

___1_/j4T=1

因为就=/l丽+〃而，所以3十^^二4,一可+〃[B+5xaJ,x+-v/--

2X^~2

解得"=+乂=+一葭所以吟=++平一

i7

由对勾函数的性质可得x«0』时，+.

【变式2】（25-26高一下•江苏苏州•月考）已知。中满足：刀二痴+女？，过点G的直线/与线段

4B、4C分别交于心/，AE=i~AB,AF=pAC（A>0.//>0）,则"+8〃的最小值为（）

A.也B.2及C.3D.6

【答案】D

【分析】将方=海+专？中的万，万分别用乐，万表示，由反EG三点共线，得++七7=1故

24+8”3+8〃）++归=与+或+等结合基本不等式即可求解.

【详解】如图:

由赤=%而,#=〃抚(2>0,//>0),得，荏.*=,万

—1—1—11

所以"G=IY"E+丁彳/，乂E,F,G三点、共线,所以77+丁=1

323〃343〃

17/38

I1102A8z/

所以24+8〃=(2/l+8〃)一+——=—4-——+—,

⑶3〃,33〃3/1

因为九＞0,以＞0,故萨+争2佟当g当且仅当”号时,

3〃323%33〃3A

即又=2〃时等号成立，所以22+8〃=J+三+鲁之：+,=6

33〃3433

包题型六等和线求系数和、差

善「题「售i福

定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有丽=4鼐+〃而。+〃=1）。

总结有：若点P在直线AB上或在立行48的直线上则加=/IOA+〃丽（2+/1=。反之也成立，我们把直线

48以及与直线4B平行的直线称为等和线。

等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题。

【典例I】（25-26高三上•四川成都期末）如图,圆。的内接四边形488的面积为4正,已知例=3,

贝jix+3y=()

9

C.D.2

2

【答案】A

【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及

运算律计算求解.

【详解】由7月=3万心/8=3,贝！44〃。。,。。二1.四边形48co内接于圆O,则四边形为等腰梯形

ABCD.

18/38

设等腰梯形力3c。高为力，又面积为:（1+3）〃=4拒，则等腰梯形力8C。高为2&，

则4D=g与生'+肥=，,（2&）2=3.

'法一：取4D中点M,直线欣?、川5相交于N,在RLM4N中，AM

AB-DC3

--------9

8S/"4=^_=L贝UCOS/M4V="=2=L所以就=5.

AD3ANAN3

A0=xAB+yAD=yAN+2yAM,乂A/、O、N三点共浅,

而益二封西2+y通.而

法二：＜

万.石=工方•而+y|与『'

—x32=xx32+yx32x—

23

所以

—x32=xx32x-+yx32

23

所以x=y=[,

O

3

所以x+3y=a.

故选：A.

【典例2】（25-26高一下•北京•月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女,

深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤

翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形C。。，其中/。。。=年，。。=4"=4,动点P在①上（含端点）,

连接"交扇形。18的弧弱于点。，且丽=1心+），而，则下列说法正确的有.

19/38

o

①若歹=x,则x+V=l②若j，=2x,则刀.方=0

____2?

③丽•丽N-2④9•丽之万

【答案】②④

【分析】建立平面直角坐标系，求得力，8,C,。的坐标，设。（cosasin。），根据丽=.丫反+），。5建

立等量关系，然后对4个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确

定正确答案.

【详解】如图，作OE_LOC,分别以OCOE为x,y轴建立平面直角坐标系,

则4(1,0),C(4,0),B(-；净,。(-2,2①

设0((；05仇$而夕),0£0,^-L则P(4cos/4sing)

由丽=.丫反+少历可得cos<9=4工-2y,sin<9=2V3v,且x>0,y>0,

对于①，若y=x,则8s2。+疝2。=(4公2才+卜底丫=1,

解得x=y=；(负值舍去)，故"y得，①错误；

对于②，若y=2x,则cos6=4x-2y=0,于是万・丽=4cos®=0，故②正确:

对于③，ABOP=•(4cos0,4sin=-6cos04-2>/3sin0=4VJsin(0-—

、22J\3J

由于故夕-pj，故一644&sin(e-?)w6,故③错误；

对于④，由于P4=(1-4cos/9,-4sin<9),PB=|-y-4cos0y-4sin0,

20/38

则=(l-4cos〃)x(—g-4cos，)+(-4sin0)x

-4sin。

=--2cos0-25/3sin-4sin+—j,

2216yl

I1------31?3…

lc兀71n兀57兀cn।.(八兀

而"三£，贝|Jsine十:G-J,故尸4尸8之$—4=彳，故④正确.

6|.666」I6)4乙乙

【变式1】（25-26高一上•江苏南通・月考）如图，已知

1041=1,|1=2,|SC|=473,AA0C=30；ZZ?(9C=90°,如果反=尤况+〃砺，则24+〃=

【答案】18

【分析】过点C作向量场，历的平行线与它们的延长线分别交干。，£两点，得到四边形ODCE平行四边

形，结合平面向量的基本定理，即可求解.

【详解】如图所示，

过点C作向量次,砺的平行线与它们的延长线分别交于。，E两点,

所以四边形。QCE是平行四边形，则反=而+诟，

因为向量反与33和瓦的夹角分别为30°和90°，

即ABOC=90\ZAOC=30°,则AOCD=90°,NOC£=30°,

在直角△OC。中，|沅|二4jJ,N4OC=30"，所以|OO|=-L2S4=8,

cos30

在直角△CCE中,西=4&NOCE=30°,所以|酝|二|瓦|•⑶130°=4,

又由|方11,|赤12,|瓦|=4有，可得方=历+诙=8刀+2万，

又因为反=/8+〃砺（义,〃€A）,所以％=8,〃=2,

所以2/l+〃=18.

21/38

故答案为：18.

【变式2】（24-25高一下•四川广安•月考）如图，平面内有三个向量而、为、反，其中而与方的夹角为

120。，刀与反的夹角为30。，且网=|词=1,匹卜石，若反=〃方+〃。却则"4=

【答案】3

【分析】对反=4况+〃历两边平方得出3=万一〃,+〃2①，对反=/况+〃历两边同时点乘次即可

得出2=万一4/+£②，联立①②即可解出九〃的值.

44

【详解】•.国与方的夹角为120：，场与瓦的夹角为30°，且网=/=1,|明=6;

对方=AOA+/JOB两边平方得：3=分一+X?①；

对。c=%。<+两边点乘0力得：—=♦两边平方得:2=方-即+2②；

2244

①•②得：空■='根据图象知，A>0,

44

•・・〃=1，代入:=义一4得，义=2；

22

/./+〃=3.

故答案为：3

团题型七等和线求范围（最值）

善i最需1届

等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题时，则求系数和（差）的范围问题转换成线段

比值的范围为题，则可以直接根据目标线段的取值范围来计算。

【典例1】（2025高一•全国•专题练习）如图，己知一个扇形月06,半径。4=06=1,406=120。，点。

在圆弧力8上运动，若反=工刀+卜砺，求工+旷的最大值.

【答案】2

22/38

【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得1+»=用=焉，把工+歹的最大值转化为

。。的最小值即可.

【详解】设0C与48相交于点。，可得些而=沅=工况+>^瓦

31

\OC\1

因为4丛。三点共线,所以x+歹=—=--

\OD\\OD\

因为。0的最小值为点。到直线疑的距离，因为半径。/=。8=1,408=120。