大学专业课学习资料-《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题(第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分)

1、已知〃=In+产,则尚=,怖=

du=o

2、设L：x2+y2=02,贝打xdy-ydx=。

L

3、设L：<x3cos3(0〈恪2兀),则曲线积分J(x2+y2)ds=

y=3sint.=

L

4、改变累次积分「d/3/(x,y)公的次序为o

5>设O：k|+|y[4]，贝！J(正+JIH式小，"<

得分阅卷人

二、判断题(正确的打“O”；错误的打“义”；每题3分,

共15分)

1、若函数/(x,y)在点p(x,y)连续，则函数/(x,y)点p(x,y)必存在一

0000

阶偏导数。()

2、若函数/(x,y)在点p(x,y)可微，则函数/(x,y)在点p(x,y)连续。

0000

()

3、若函数/(x,y)在点p(x,y)存在二阶偏导数f(x,y)和/(x)，则

00xy00yx00

必有f(x,>,)=/(x,y)«()

AJ100y.vQ0

4、Jf(x,y)dx=Jf{x,y)dxo()

UA,B)

5、若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x,y)在D上可积式)

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得分阅卷人

三、计算题(每小题9分，共45分)

1、用格林公式计算曲线积分

I=I(exsiny-3y)dx+(evcosy-3)dy,

其中月。为由A(a,0)到0(0,0)经过圆龙2+尸=上半部分的路线。

2、计算三重积分

二\\\("+y2)dxdydz,

:v

H其中是由抛物面z=心+产与平面z=4围成的立体。

E第2页共5页

3、计算第一型曲面积分

I=\\dS,

s

其中S是球面X2+y2+z2=R2上被平面Z=〃(0<Q<R)所截下的顶部()。

4、计算第二型曲面积分

I=\\y(x-z)dydz+x^dzdx+(y2+xz)dxdy,

s

其中S是立方体丫=[0/亚[()力&[()力]的外表面。

c

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5^设。=b，y）|x2+y2KR2求以圆域。为底，以曲面z=0-（/+产）为顶的

曲顶柱体的体积。

得分阅卷人

四、证明题（每小题7分，共14分）

1、验证曲线积分

第4页共5页

2-2xz)dy+3—2xy)dz，

与路线无关，并求被积表达式的一个原函数〃(x,y,z)。

2、证明：若函数/(X,y)在有界闭区域D上连续，则存在化,r|)£R

使得JJf(x,y)do="&,!])•S,这里S是区域D的面积。

DD

参考答案

一、填空题(第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分)

1、।x।।।；1无c「ix+yc』lyo

X2+y2x-+y2x2+yix2+y2

2、2冗。2；3、54K；4^\3dx\xf(x,y)dy；5、2(后+1)。

22

二、判断题(正确的打“O”；错误的打“x”；每题3分，共15分)

1、X；2、O；3、X；4、X；5、O.

第5页共5页

三、计算题（每小题9分，共45分）

1、解：补上线段。=0.0KxW。与弧AO:x2+y2=ar(yN0)构成封闭曲

线(由格林公式，有

I=J(exsiny-3y)dx+(e、cosy-3)dy-J(exsiny-3y)dx+(e、cosy-3)dy

OA+AOOA

---------------------------------------------------------------------6

分C

=fjexcosy-(excosy-3^lxcly-fnOdx---------------------8

D:x2+y2Sa.v(y^O)

分

=3ffdxdy=£--------------------------------------------------9分

D

2、解：作柱面坐标变换：x=rcos0,y=rsinO,^=z,

则〃r,6,Z）=「且

---------------------------------4分

V=>V\r2<z<4,0<r<2,0<6<2K

.0.111(x24-yi)dxdydz

=JfJs-rdrdQdz---6分

v

=fc/。jndr\dz8分

00r2

3271

9分

3、解：S：Z=J/?2一心一)”,(x,y)GD：x2+y2<Ri-a2.

dS=Jl+z2+z2dxdy

、・.•Xy

第6页共5页

R

_________dxdy

JR2-X2-y2

/=IJdS=JJ,^=dxdv-------------------------4分

S力拙一心一)，2

作极坐标变换：A=rcosO,y=rsin0,则J(r,0)=r,

且D：nD《)4&R2—a2,O<0<2TI

R

I=\\ivhviO

D.\IR2-S

2(CR

二J而J-==rdr----------------------------------7分

R2T2

00JV

=2几R(R-a)--------------------------------------------9分

4、解：用高斯公式，得

I=JJI(y+0+x)dxdydz

----------------6分

j"jb办Jb(x+y)dz---------------------------------8分

000

=Z?4------------------------------------------------9分

5、解：曲顶柱体的体积V=JJe-(/+#心办-----------------4分

作极坐标变换：x=rcosG,=rsinO,则J(r,0)=r,

且DnO'：OW/WR,OweW2兀,于是，有

V=JJe-曰rdrdo

D'

二手曲fe-r^rdr------------------------------------8分

oo

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二兀(l-e-R2)---------------------------------------------9分

四、证明题(每小题7分，共14分)

1>证明：P=x2-2yz,Q=y2-2xz,R=z2-2xy

dP_dQ.dR_5QdP_dR_.(、储

—=—■-=-2z,—=——2%—==_2y，(x,y,z)GR3.

8ydxdycz&Sx

工曲线积分与路线无关。------------------------------------4分

取『），。=0,则

“(X,y,z)=Jp(x,0,0)dx+fQ(x,y,0)dy+J/?(x,y,z)dz

ooo

二J九2公+j)，2力+J(z2-2xz)dz------------------7分

000

==L(x3+y3+z3)-2xyz-------------------------9分