立体几何的轨迹问题-2026高一数学重难点（含答案）

轻松搞定立体几何的轨迹问

题--2026高一数学重难点

较依搞定贪体几何的就迹问题

【目录】

题型一:轨迹图形

题型二:轨迹长度

题型三:轨迹面积

【典型例题】

题型一轨迹图形

1.（2024•浙江温州•一模）如图,所有棱长都为1的正三棱柱ABC-48G,BE=2EC,^R是侧棱44」

的动点，且行=21，”为线殁尸8上的动点，直线CHO平面力EG=M，则点M的轨迹为（）

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

2.（2024・高二・湖北黄冈・期末）如图所示，A4DP为正三角形,四边形ABCO为正方形，平面2。_L平面

/BCD.“为平面ABCD内的一动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方

形/WC。的中心）

cD、C

C.A'------------bD.A'_------

3.（2024・高一•辽宁铁岭•阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-W6CD中，E是BC的中点，尸点在侧面

△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE±力。.则动点P的轨迹与4SCD组成的相关图形最有可

有是图中的（）

ADC

题型二轨迹长度

4.（2024.高一.浙江绍兴.期末）已知点。是边长为1的正方体—表面上的动点，若直线

/尸与平面ABCD所成的角大小为手，则点尸的轨迹长度为（）

4

岑（+兀）

A.3V2B.2^/2+KC.4D.2V2+-y

5.（2024・高一・湖南长沙.期末）在如图所示的楼长为1的正方体4BCD—4BQQ］中.点P在该正方体的

表面上运动.且2=。（0＜。々，5）.记点尸的轨迹长为/（乃.则/（1）+/（万）的值为（）

...........»

B.(1+V2)7rC.3兀D.3+3V2

6.（2024・全国・模拟预测）如图，在棱长为2的正方体4反刃一486"中，石为棱口。的中点，P为底面

/mCD内一动点（含边界）.若。尸〃平面AEG，则动点9的轨迹长度为（）

C.2V2D.V2

7.（2024・高三.湖南长沙•阶段练习）如图，在四棱锥。一43CD中，底面⑷3CD是正方形，AP=46=4,侧

棱A4J.底面力88,7是的中点，Q是ZX/%。内的动点，TQJ.6n则Q的轨迹长为（）

A.V2C.2V2D.2V3

题型三轨迹面积

8.（2024・高一・江苏南通•阶段练习）已知正四面体S-ABC的棱长为汨,点M为平面ABC内的动点，设

直线SM与平面ABC所成的角为若sin6€当2,1],则点河的轨迹所形成平面图形的面积为

-J」

)

人A三4B.7TC.2兀D.4兀

9.（2024・高一・浙江杭州•期末）如空，已知正方体力BC0—48GR的极长为2,长为2的线段的一个

端点M在棱上运动,点N在正方体的底面ABC。内运动,则A//N的中点P的轨迹的面积是（）

冗

A.4/LB.7LC.2xD.

2

10.（2024・高一・广东广州・期末）已知正方体4BCD—4BGR的边长为2,M是BB1的中点，点。在正方体

内部或表面上，且MPH平面AB.D.,则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）

A.V3B.2/5C.3V3D.4V3

【过关测试】

11.（多选题）（2U24・高一•辽宁大连•期末）如图，正三校锥产一ABC和正三棱锥O—ABC的侧棱长均为1,

声.若将正三棱锥尸一绕旋转,使得点AP分别旋转至点4P处，且四点共

面，点P,。分别位于两侧，连接44,则（）

A.4PH平面ABC

B.A'BA.AC

C.多面体44700。的体积为原多面体PABCD的体积的2倍

D.点4P旋转运动的轨迹长相等

12.（2024•高一・河北保定•开学考试）如图，点P是校长为2的正方体ABCD-4BGR表面上的一个动点,

直线AP与平面力ZJCD所成的角为45°,则点尸的轨迹长度为.

B

13.（2024・高三・重庆•阶段练习）已知四面体/WC0满足0。=。。=3。=4《，它的体积为28代，其外接

球球O的表面积为100兀,则点.4在球O表面的轨迹长度为；线段长度的最小值为.

14.（2024•高三•江苏南京•阶段练习）如图，在矩形48CD中，八6=四力。=4,E,F,G,H分别为力3,

BC,CD,4。的中点，47与交于点O,现将△CFG,ZXOGH分别沿K",EF,

尸G,GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与。重合，B与C重合,重合后的点分别记为M,N,Q为

MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为；若点。是该多面体表面上的动点，满足PQd_ON

时，点尸的轨迹长度为.

H・OF

------------------

E

15.（2024・高一・江苏南通•阶段练N）如图，正方体43co的棱长为2,E是棱。R的中点，平面

截正方体ABCD-ABGR所得截面图形的周长为，若R是侧面CDRG上的动点，且满

足B、FH平面A助，则点5的航迹长度为.

16.（2024・高一・河北邢台・阶段练习）己知正方体A3QQ1的棱长为2,E为CD的小点，且点。在

四边形BCGB内部及其边界上运动，（1）若总是保持EP//平面则动点尸的轨迹长度为

:（2）若总是保持4尸与43的夹角为30°,则动点P的轨迹长度为.

17.（2024.高一.辽宁沈阳.期末）在棱长为1的正方体ABCD-AXBXCXDX中，E在棱DDX上且满足DXE=

E。，点E是侧面4B84上的动点，且。1〃面AEC,则动点R在侧面4534上的轨迹长度为

18.（2024・高一・北京昌平・期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，P4，底面ABCD,

B..................................

PA=4?=1.G为尸C的中点，M为△尸石。内一动点（不与尸，区。三点重合）.给出下列四个结论:

①直线BC与。。所成角的大小为一;②4GBVf；③GM的最小值为圣；④若AM=挈,则点M

4<52

的轨迹所围成图形的面积是

其中所有正确结论的序号是.

19.（2024.高一.山东枣庄.期末）ATN分别是棱长为1的正方体438—AB。。的极CG,48的中点,

点P在正方体的表面上运动，总有MP_L3N,则点P的轨迹所围成图形的面积为.

...........»

窿小与定鱼体及何的机建冏被

【目录】

题型一:软迷图册

题型二:轨迹长度

题型三:轨迹面积

【典型例题】

轨迹图形

1.（2024•浙江温州•一模）如图,所有棱长都为1的正三棱柱ABC-48G,BE=2EC,^R是侧棱44」

的动点，且行=2五，”为线殁尸6上的动点，直线can平面力EG=M，则点M的轨迹为（）

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

【答案】4

【解析】如下图所示:

首先保持H在线段FE上不动，假设”与厂重合

根据题意可知当9点在侧棱441上运动时，若9点在4点处时，G为CC\的中点，

此时由行=2历可得满足前=2位?，

当9点运动到图中E位置时，易知丽=2的，取力GnC£=P,可得质=2户方,

取棱力。上的点N,满足俞=2位?,根据三角形相似可得M,N,P三点共线，

当点9在侧棱441上从4点运动到4点时，M点轨迹即为战段MN；

再研究当点〃在线段F3上运动，

当点H在线段EB上从点R运动到点B时，M点的轨迹是线段及的，

当点H在线段RB上从点、R运动到点B时，M点的软迹是线段PE,

因此可得，当点R是侧棱44上运动时，”在线段歹3上运动时，点M的轨迹为及其内部的所有

点的集合；

即可得M的轨迹为三角形（含内部）.

故选：A

2.（2024.高二.湖北黄冈・期末）如图所示，A4OP为正三角形,四边形45CD为正方形，平面以。_L平面

为平面ABCD内的一动点,且满足MP=则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方

形为BCD的中心）

【答案:M

【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P,。两点的距离相等，此平面与平

而ABCD相交，两平面有一条公共直线.

在空间中，存在过线段P。中点且垂直线段PC的平面，平面上点到RC两点的距离相等，记此平面为

火平面°与平面4BCD有一个公共点。，则它们有且只有一条过该点的公共直线.取特殊点B,可排除

选项B,故选A.

考点：软迹方程.

3.（2024・高一•辽宁铁岭•阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-AZCO中，E是的中点，。点在侧面

△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE±力。.则动点P的轨迹与△SCO组成的相关图形最有可

有是图中的（）

...........»

【答案】力

如图：连石。交4。与o,R、G分别是SC、CD中点；易证平面SBD〃平面EFG,AC-L平面SBD

••・4CJL平面EFG;所以尸在尸G上.故选4

题型二轨迹长度

4.（2024・高一・浙江绍兴•期末）已知点P是边长为1的正方体HBCD-ABSa表面上的动点，若直线

/P与平面力BCD所成的角大小为手，则点P的轨迹长度为（）

4

A.3V2B.2&+兀C.*4+兀）D.2V2+-y

【答案】。

【解析】若点。在正方形43Qn内，过点P作PP'_L平面ABCD于P,连接4户,4P.

则/PAP'为直线AP与平面ABCD所成的角，则NPAP=7T

T

又PP=1,则上4=方，得D4|=l,

贝I点尸的轨迹为以4为圆心半径为1的圆(落在正方形内的部分)，

若点尸在正方形力石“儿内或AOR4内，孰迹分别为线段和42,

因为点尸不可能落在其他三个正方形内，所以点尸的孰迹如图所示：

故点P的轨迹长度为2«TT+!X2兀=22+全

故选：。

5.(2024・高一・湖南长沙•期末)在如图所示的棱长为1的正方体477g-A耳GR中.点尸在该正方体的

表面上运动.且Q4=VzV代).记点P的轨迹长为/⑺.则/⑴+/(V2)的值为()

A.6V2B.(4+V2)TTC.3兀D.3+3A/2

【答案】c

【解析】如图，当7=1时，点尸在正方体表面上的轨迹是以4为圆心，1为半径的三个面上的三段弧.

分另为助,@,福，贝I]/(l)=3x乂2兀=萼；

42

当i=6时，点尸在正方体表面上的软迹分别为在平面4BGD上以4为圆心，1为半径前“

在平面口而CG上以3为圆心，1为半径的瓦0,

在平面。CG"上以。为圆心，1为半径的66,

贝1/(V2)=3X+x2TT=.所以/(1)十/(V2)=37r.

6.（2024.全国.模拟预测）如图，在棱长为2的正方体43cD—4BQQ］中，E为棱反7的中点，R为底面

ABCD内一动点（含边界）.若。万〃平面4EG，则动点9的轨迹长度为（）

A.V3B.瓜C.2V2D.V2

【答案】。

【解析】如图，取40的中点M、CD的中点N,连接DiM,MN,D】N,ME,AC,

因为E为石。的中点，M为力。中点，由正方体的性质可得，

CE=DM,CE〃OM,所以四边形CEMD是平行四边形，

曲以ME"CD,ME=CD,又0为CQ\〃CD,CQ、=CD,

所以ME〃CQi,ME=CQ\,所以臼边形C\EMD.是平行四边形，

所以。］"〃GE,由正方体的性质可得，

A.A=CQ,AtA〃GC,所以四边形A.ACC.是平行四边形，

所以4G〃力C,又因为M为乂。中点，N为CD中点，

所以MN//AC,所以MN"4G,

因为D、M,MNQ平面AXEC{,GE,4Gu平面AXEC{,

所以，w〃平面A{ECX,MN/；平面A\EC\,

又DMClAW=M，所以平面4MN〃平面AEG,

因为D.F〃平面Am，所以。尸u平面DiMN,

所以动点R的轨迹为线段MN.

又号之=血，故动点尸的轨迹长度为2.

故选：。,

7.（202小高三・湖南长沙・阶段练习）如图,在四棱锥。一436中，底面486是正方形，4^=46=4,侧

棱B4_L底面43CD,T是C。的中点，Q是△%（?内的动点，TQ_LBP,则。的轨迹长为（）

q..................

//、、、\/D

[/

BC

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

【答案】6

【解析】先找到一个平面总是保持与BP垂直，取BP,CP的白点、E,尸,连接力

因为力BCD是正方形，所以48J.4D因为。4J.底面为BCD.所以Q4_L4D又=所以

4D_L平面R4B.所以4DJ_PB.

因为在中，4P=4B,E为BP的中点，所以AEP反又AEA=A,所以BP_L平面

AEFD.

进一步.取BE,CF,AB的中点M,N,S,连接MS,MN,NT,ST,易证平面MNTSH平面AEFD.

故/P_L平面MATS,

记STCI4O=。，又Q是△PAC内的动点，

根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面MNTS与平面24。的交线段NO,

在△NOC中，NC=75,CO=2/，cosZNCO=乎,

由余弦定理得:NO2=8+3—2乂2，乂，5乂乎=3.故%0=，5.

故选:A

题型三轨迹面积

8.（2024,高一・江苏南通•阶段练习）已知正四面体5-ABC的棱长为2瓜，点M为平面ABC内的动点，设

一平,1],则点M的轨迹所形成平面图形的面积为

直线SM与平面ABC所成的角为。，若sin。€

JJ

()

A.4B.7TC.2兀D.4兀

4

【答案】B：

【解析】在正四面体S—ABC中，顶点S在底面ABC的投影为正△力BC的中心，即SO_L平面力BC,：

因为正四面体S-43。的棱长为2/，所以49='x^-x2V3=2,：

oZ1

...................B

所以SO=倔甲二N"=，

因为直线SM与平面ABC所成的南为氏所以sinJ=韶=第•,

SMSM

因为sinJ.平』，所以需q平」],

LJ」bMLJJ

所以2/&SM&3,

因为。Vf=y/SM2-SO2=y/SM2-8，所以00OM41,

所以点”的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆面，

所以点M的轨迹所形成平面图形的面积为兀，

故选：B

9.（2024・高一・浙江杭州・期末）如期，已知正方体ABC。—力BGR的棱长为2,长为2的线段A4N的一个

端点M在棱DD、上运动,点N在正方体的底面ABCD内运动,则MN的中点P的轨迹的面积是（）

A.47rB.7TC.2兀Df

【答案】。

【解析】连接DV,则△MDV为直角三角形，在放ZSV中，A/V=2,P为M/V的中点，连接。P,则。P

=^-MN=l

所以点P在以。为球心，半径R=1的球面上

又因为点P只能落在正方体上或其内部

所以点「的轨迹的面积等于该球面面积的e

8

故所求面积S=]X47由2=.

o2

故选：D

10.（2024•高一・广东广州•期末）已知正方体A68—4BGR的边长为2,M是⑻的中点，点。在正方体

内部或表面上，且MP//平面AB}D},则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）

A.瓜B.2向C.3V3D.4V3

【答案】C

【解析】根据题意，过点”作出平面43口的平行平面，如下所示:

也为1J"HNUB、D\,KIHMNUAD、，MJ"HKUAB、,

又BQinADi=Di,BQ】,ADiu平面ABR,

HNC\MN=N,HN,MNu平面MNHKIJ,

故平面ABXD,〃平面MNHKIJ.

则点P的轨迹图形如上图阴影部分所示.

显然，该六边形是正六边形，边长为:力8=嚣.

故该六边形面积为6个全等的边长为四的三角形的面积和.

即S=6x乎X（V2）2=3V3.

故选：C

【过关一试】

11.（多选题）（2024・高一•辽宁大连•期末）如图，正三棱铢尸一4?。和正三棱锥D-/WC的恻棱长均为1,

3。=四.若将正三棱锥。一/及7绕6。旋转,使得点力,尸分别旋转至点4,。处,且「,5。,。四点共

面，点P,。分别位于两侧，连接A4,则（）

A.4P'H平面ABC

B.A'B^AC

C.多面体的体积为原多面体以BCD的体积的2倍：

D.点A尸旋转运动的轨迹长相等：

【答案】3c

.............G

【解析】正三棱锥P-ABC和正三棱锥。一ABC的侧棱长均为1,BC=V2,

可得ABPC=4BDC=90°,

财三棱锥_P—48。的侧棱互相垂直，正三棱锥。一ABC的恻棱互相垂直，

于是旋转前后的正三棱锥。一ABC和P-ABC可以放在正方体中，

四边形P'BDC为该正方体的一个侧面，如图所示，

对于4中，AP'〃幺。，而4。。平面ABC=A,

则4P不平行于平面为6C,所以A错误；

对于B中，如图所示，连接QE,

因为AB〃DE,DE±AC,则W6力。，所以6正确；

对于。中，多面体力4尸的体积为1-2x春xjxlxlxl—日，

原多面体/^48co的体积为2x^-xlxlxl=^-,

o40

所以多面体4Ap7?。。的体积为原多面体PABCD的体积的2倍，所以C正确;

对于。中，根据题意，点A尸的旋转角度相同，但旋转半径不同，

则运动的轨迹不相等，所以。错误.

故选：BC.

长度为C=3，5.

故答案为：3方.

12.（2024.高一.河北保定.开学考试）如图，点尸是棱长为2的正方体ABCD-AXBXCXDX表面上的一个动点,

直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹长度为.

2G

fl

小

C

.4B

【答案】7i+42

【解析】若直线4,与平面46CD所成的角为45°,则点尸的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨,

在平面ABB{A［内，点P的轨迹为对角线力场（除掉A点，不影响）：

在平面ADDXA［内，点P的轨迹为对角线力£\（除掉4点，不影响）；

在平面45GA内是以点4为圆心2为半径的二圆弧,如图，

故点P的轨迹长度为c=7：4-472.

故答案为：7U+4V2.

13.（2024・高三・重庆•阶段练习）已知四面体？1BCD满足6。=©9=6。=4一,它的体积为28—,其外接

以球。的表面枳为100兀,则点A在球。表面的轨迹长度为;线段40长度的最小值为

【答案】67r5V2

【解析】设外接球半径为A,

因为外接球的表面积为100兀,则47rH2=100兀，解得《=5,

设△BCD的中心为。，则6。尸4v?x今x=4,

如图过点石作球的轴截面，

2222

贝IOOX=y/OB-OiB=V5-4=3,

设点八到平面BCD的距离为a

V：I-BCD=28A/3=［x乎x（4小饱,解得h=7.

34

则由题意知，点4在以5为半径的球面上，且距离平面BCD为7的平面内，

则点4在球。表面的轨迹为圆，设圆心为且0。2=九一：3=4

则40，二04一。已=52—42=9,即圆。2的半径为3,

所以点A在球O表面的轨迹长度为6几；

由题意可看作点4在圆台OiQ底面圆周。2上运动,

则当月8为圆台母线时，43最小，

即当AB,。1,。?四点共面时，」B取最小值,

22

如图，ABmill=VAH+BH=々2+（4-3>=5V2.

故答案为：6冗；52.

14.（202小高三・江苏南京・阶段练习）如图，在矩形436中，/1石=24。=4,石，F,G,H分别为力3,

BC,CD,4。的中点，47与笈。交于点O,现将△4E",△BED△CFG,ADG”分别沿EH,EF,,

FG,GH把这个矩形折成一个空间图形,使人与。重合，3与C重合,重合后的点分别记为M,N,Q为：

AW的中点，则多面体M/VEFG”的体积为:若点P是该多面体表面上的动点，满足PQ_LON：

.............3

时，点。的轨迹长度为

DC

G

H・O

4

£,

【答案】2V22+2V2

【解析】连接EGQN,有EGLFH,和NG=NE=2,O为EG中点,则有ONJLEG,

ONO2一。，则EG_L平面ORN,同理EGJ.平面OHM,又平面ORN与平面0HAl有公共点。，

于是点、M,N,F,H共面，而NG7NE?=8=GE?,即有NG工NE,ON=^-EG=V2=NF=HM,

因为NF工NG,NFA.NE,NGCNE=N,NG,NEu平面NEG,则NF工平而NEG,

又ONu平面NEG,即有NF_LON,则4NOF=乙NFO=45°,同理2OHM=45°,

即NNOF=/OHM,从岛ON*HM,即四边形ONMH为平行四边形,MN//HF,MN=0H=2,

等腰梯形MNF'H中，高OQ=N/sin45°=1,其面积SMNFH=际+乎3==3,

显然EGJL平面MNFH，所以多面体MNEFGH的体积V=2VK.MNEH=2xgSMNEH•OE=2x;x3

Jo

xV2°=2V2°;

因为NFJ,平而NEG,同理可得HAf_L平而MEG,又则ON±平而MEG,

依题意，动点P所在平面与ON垂直，则该平面与平面MEG平行，而此平面过点Q,

令这个平面与几何体棱的交点依次为E,Q,T,S,R,则PQ〃EM.QTIIMG.TS//NF//P,RyRS//EG,

又Q为MN的中点，则点R、TSR为所在棱的中点，即点P的轨迹为五边形QRRST,

长皮为：QR+RR+RS+ST+TQ=3(ME+NF+EG+NF+MG)

=-y(2+V2+2V2+V2+2)=2+2V2.

故答案为：2/；2+2/5

15.(2024・高一・江苏南通•阶段练工)如图，正方体力4G。一月以GQi的校长为2,〃是校""的中点，平面

工目后截正方体ABCD-所得截面图形的周长为，若尸是侧面CDRG上的动点，且满

足B.F//平面4BE,则点R的轨迹长度为.

【答案】3V2+2V5/2V54-372V2

【解析】取CO中点G,连接SG、EG,

正方体中，石C〃AR,SC=42,四边形BCDA为平行四边形，则历I1〃C。,

E是。R中点，G是CD中点，GE〃CR〃8A,则等腰梯形AEGI3为截面，

而A1E=GB=,A\B=Wi、EG=6、

故梯形AiEGB的周长为3、泛+24;

取CD中点M,CC\中点、N,连接B】M,B】N,MN,NE,MG,

则NE〃力故四边形力NiNE为平行四边形，

则将B\NHAE,而场NQ平面A.BE,4后J平面A.BE,

故B.N//平面4目后，同理B、M"平面AiBE,

而B\NCBXM=Bi,3N,BiMu平面3MN,故平面BXMN/：平面A.BE,

.•,点F的运动轨迹为线段MTV,其长度为，

故答案为：3、欠+24;、/5.

16.(2024・高一・河北邢台•阶段练工)已知正方体力BCD—力BG。的棱长为2,E为CD的口点，且点P在

四边形3CG区内部及其边界上运动,(1)若总是保持EP//平面BDDB，则动点尸的轨迹长度为

；(2)若总是保持AP与AB的夹角为30°,则动点P的轨迹长度为.

【答案】24兀

【解析】分别取BC,B.G的中点RG,连接EF,FG,EG,则BF=±BC,BG=g8G,

因为BC//BC,BC=BQi，所以BF//gG,BF=B.G,

所以四边形6尸GB为平行四边形，所以B8〃FG,,

因为E为CD的中点，所以ER//，

因为EF,FGD平面BDDXBX,BDBBq平面,

所以砂1//平面EDDB，尸G〃平面BDDQi,；

.........亩

因为EFCFG=F，所以平面EFG〃平面,

因为平面EFGCI平面BCC、8=RG,点P在四边形BCC、8内部及其边界上运动，EP〃平面BDDB,

所以点P的轨迹是RG,

因为RG=©/=2,所以动点。的枕迹长度为2,

因为AZ?_L平面BCCB,SPu平面BCCA，所以AB_LBP,

在RtAABP中，=2,ZBAP=30°,则tanZBAP=第=4,

ziDO

所以BP=§AR=2^,

JJ

所以点P的轨迹是以B为圆心，当之为半径的一段孤，且圆心角为直角，

O

所以动点F的轨迹长度为:X2TTX^=乎兀，

•JJ

17.（2024・高一•辽宁沈阳•期末）在棱长为1的正方体ABCD-46GR中，后在棱DD】上且满足DXE=

EO,点尸是侧面4654上的动点，且〃面AEC,则动点R在侧面力&34上的轨迹长度为

【答案】乎

【解析】如图，取ABB.A,的中点G,并连接GDi、GB、BDX,

因为E在棱DDi上且满足。出=ED,即E是棱DD的中点，J

所以BG〃CE,"BGC平面AEC,CEu平面AEC,j

所以BG〃平面力EC,同理可证RG〃平面4EC,/

又BGnGR=G，所以平面BGR〃平面4EC,又BGu平面BG。，

所以3G〃平面/EC,所以动点F在侧面ABB.A{上的挑迹即为BG,

因为正方体的棱长为1,由勾股定理有：=不不行=乎.小/D}

故答案为：理.

18.（2024・高一・北京昌平・期末）如图，在四棱锥P—力BCD中，底面ABCD是正方形，D4±底面ABCD,

~4=46=1.6为尸。的中点，八/为^。外。内一动点（不与尸,民。三点重合）.给出下列四个结论：

①直线BC与PO所成角的大小为笄②4G_L8W；③GM的最小值为今；④若AM=^~,则点M

TCJ/

的轨迹所围成图形的面积是？.

6

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】由于3C〃工。,所以乙PDA即为直线Z?C与PD所成的角或其补角，

由于。4J.底面ABCD,ADu平面43co，所以O4_L4D,又04=40=1,所以NPZM=①正确;

由于R4J,底面ABCDQDU平面ARCD,所以P4±CD,

^ADA.3、PAAAD=A,44,AZJU平面PAD,

所以CD_L平面04。，

取PD中点、为N,连接NA,NG,

由于G为FC的中点，所以NG〃⑺，所以NGJ,平