集合的概念【九大题型】（原卷版）

专题L1集合的概念【九大题型】

【人教A版（2019）］

♦题型梳理

【题型1集合概念的理解】......................................................................1

【题型2判断是否为同一集合】.................................................................2

【题型3集合中元素特性的求参问题】............................................................3

【题型4判断元素与集合的关系】...............................................................3

【题型5根据元素与集合的关系求参数】.........................................................4

【题型6确定集合中的元素】...................................................................4

【题型7用列举法表示集合】....................................................................5

【题型8用描述法表示集合】....................................................................6

【题型9集合中的新定义问题】.................................................................7

，举一反三

【知识点1集合的概念】

1.元素与集合的概念及表示

（1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.

（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为

“互异性”.

⑶无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

【题型1集合概念的理解】

［例I］（2022.高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（）

A.中国古代四大发明B.接近于1的所有正整数

C.未来世界的高科技产品D.地球上的小河流

【变式1-1］（2023•全国•高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近企的所有实数；③

方程/+2%+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）

A.®@B.①@C.②③D.①②③④

【变式1-2］（2023•高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）

（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题：（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学

生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段A3两端点距离相等的点的全体.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-3］（2022秋・广东汕头•高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（）

的近似值的全体构成一个集合

②自然数集N中最小的元素是0

③在整数集Z中，若QEZ,则一a€Z

④一个集合中不可以有两个相同的元素

A.1B.2C.3D.4

【题型2判断是否为同一集合】

【例2】（2023•全国•高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3））

B.M=｛2,3｝,N=｛3,2｝

C.M=｛（x,y）Ix4-y=1］,N=［y\x+y=1｝

D.M=｛2,3｝,N=｛（2,3）｝

【变式2-1］（2023•高三课时练习）设Q是有理数，集合X=｛x|x=a+bV^a,bWQ,%A0｝,在下列集合

中；

2

（1）（y\y=2xfxEX｝i（2）｛y|y=^,x6X｝；（3）｛y\y=^xEX］；（4）｛y\y=xfxeX］,与X相同

的集合有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式2-2］（2022秋・湖南郴州•高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（）

A.M=｛（-1,3）｝，N=｛（3,-1）｝

B.M=｛-1,3｝，N=｛3,-1｝

C.M=｛（x,y）|y=x2+3灯,N=（x\y=x2+3x］

D.M=｛0｝,N=0

【变式2-3］（2022秋•高一课时练习）下列说法正确的是（）

A.由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝

B.。与｛0｝是同一个集合

C.集合［*|y=x2-1｝与集合［y|y=妤一1｝是同一个集合

D.集合{%|/+5x+6=0}与集合{产+5%+6=0}是同一个集合

【题型3集合中元素特性的求参问题】

【例3】（2023•高一课时练习）由a?,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数。的取

值可以是（）

A.-1B.IC.V3D.2

【变式3-1］（2022•全国•高一专题练习）数集{1,2,产一3}中的x不能取的数值的集合是（）

A.{2,V5）B.{-2,-V5）C.{±2,±V5）D.{2,一祈}

【变式3-2］（2022•全国•高一专题练习）在集合4={1,小一。一1,小一2。+2}中，a的值可以是（）

A.0B.1C.2D.1或2

【变式3・3】（2023・全国•高一专题练习）已知集合4={4,%,2y］,B={-2,x2,1-y）,若A=B,则实数x

的取值集合为（）

A.{-1,0,2}D.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【知识点2元素与集合的关系】

1.元素与集合的关系

（1）属于：如果〃是集合4的元素，就说〃属于集合A,记作“£4.

（2）不属于：如果〃不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作屋儿

【注】符号和黑”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方

向性，左右两边不能互换.

2,常用的数集及其记法

常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

【题型4判断元素与集合的关系】

【例4】（2023・江苏•高一假期作业）下列关系中，正确的有（）

磋WR；②七代Q；@|-3|eN；@|-V3|eQ.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【变式4-1］（2023•全国•高一假期作业）已知集合时=-1）=0},那么（）

A.0GMB.1WMC.-1GMD.0CM

【变式4-2］（2023春・福建龙岩•高一校考开学考试）给出下列6个关系：若WR,②国WZ,③0WN”,

④痣GN,⑤几《Q,@|—2|比Z.其中正确命题的个数为（）

A.4B.2C.3D.5

【变式4-3]（2023•贵州黔东南・凯里一中校考三模）已知集合S=[y\y=x2-1},T={（x,y）|x+y=0},下

列关系正确的是（）

A.-2ESB.（2,-2）任7C.-ICSD.（-1,1）eT

【题型5根据元素与集合的关系求参数】

【例5】（2023•全国•高一假期作业）已知集合力=[12,02+4。,。-2},—3€力，则。=（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

【变式5-1]（2023•全国•高三专题练习）若{1,3,M},则a的可能取值有（）

A.0B,0,1C.0,3D.0,1,3

【变式5-2]（2023•全国♦高三专题练习）己知集合力={%£町/+。>。},且2WA,则实数a的取值范围

是（）

A.{a\a<4}B.{a\a>4）C.{a\a<-4}D.{a\a>—4}

【变式5-3]（2022秋•高一单元测试）已知集合力={2,0,1,9},B=（k\kER.k2-2eA,k-2A],则集

合8中所有的元素之和为（）

A.0B.2C.-1D.-2

【题型6确定集合中的元素】

【例6】（2023,全国•高三专题练习）已知集合力={{0},0},下列选项中均为A的元素的是（）

（1）{0}（2）{{0}}（3）0（4）{{0},0}

A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（2）（4）

【变式6-1]（2023•全国•高三专题练习）已知集合力={0,l,2,3,4,5},8={a，y）|xW4yE4x-yEA}，则

集合B中所含元素个数为（）

A.20B.21C.22D.23

【变式6-2]（2023•高一课时练习）已知关于x的方程/一吨+机2-3=0的解集只有一个元素，则/“的

值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

【变式6-31（2023春・江苏泰州•高二校考阶段练习）已知集合4={-1,0,1},B=（m\m2-1eA,m-1A],

则集合8中所有元素之和为（•

A.0B.1C.-1D.V2

【知识点3集合的表示法】

1.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号”{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开.

（2）集合中的元素必须是明确的.

（3）集合中的元素不能重复.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

（1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示

为{x£A|P（©},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在

竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

【题型7用列举法表示集合】

【例7】（2023・江苏•高一假期作业）用列举法表示下列给定的爽合：

（1）大于1且小于6的整数组成的集合A

（2）方程F一9=0的实数根组成的集合及

（3）一次函数y=x+3与），=—2r+6的图象的交点组成的集合D

【变式7-1］（2023・江苏•高一假期作业）已知集合力={。|关于"的方程言=1有唯一实数解},试用列举法

表示集合4.

【变式7-2］（2023・江苏•高一假期作业）用列举法表示下列集合.

（1）不大于10的非负偶数组成的集合；

（2）方程r=x的所有实数解组成的集合；

（3）直线），=2r+l与），轴的交点所组成的集合.

【变式7-3］（2023•江苏•高一假期作业）若集合4={x|上/一8%+16=0}中只有一个元素，试求实数及

的信，并用列举法表示集合A

【题型8用描述法表示集合】

【例8】（2022•高一课时练习〉用描述法表示下列集合:

（1）奇数组成的集合；

（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合.

【变式8-1］（2023•江苏♦高一假期作业）用描述法表示下列集合:

（1）被3除余1的正整数的集合.

（2）坐标平面内笫一象限内的点的集合.

（3）大于4的所有偶数.

【变式8-2］（2022秋・陕西安康•高一校考阶段练习）表示下列集合：

（1）请用列举法表示方程后=1+|2y+1|=0的解集；

（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合;

（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；

（4）请用描述法表示二次函数y=/+2%-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

【变式8-3]（2023・江苏•高一假期作业）用描述法表示下列集合:

（1）函数），=-2「+工图象上的所有点组成的集合；

（2）不等式2x—3<5的解组成的集合；

（3）如图中阴影部分的点（含边界）的集合；

♦y

o3

2

（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合.

【题型9集合中的新定义问题】

【例9】（2023•云南保山•统考二模）定义集合运算：A+