集合的概念【九大题型】-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题1.1集合的概念【九大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型I对集合概念的理解】....................................................................1

【题型2判断是否为同一集合】.................................................................3

【题型3集合中元素特性的求参问题】............................................................5

【题型4判断元素与集合的关系】...............................................................6

【题型5根据元素与集合的关系求参数】.........................................................7

【题型6集合中的元素个数问题】...............................................................9

【题型7列举法表示集合】.....................................................................11

【题型8描述法表示集合】.....................................................................12

【题型9集合中的新定义问题】.................................................................13

A举一反三

【知识点1集合的概念】

i.元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母，，h,C,…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为

“互异性”.

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

【题型1对集合概念的理解】

[例1](23-24高一上•重庆•期中)下列叙述能组成集合的是()

A.接近。的数B.数学成绩好的同学

C.中国古代四大发明D.跑得快的运动员

【解题思路】根据集合的确定性逐项分析判断.

【解答过程】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误；

对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确.

故选：C.

【变式1-1］（23-24高一上•天津南开•期中）下列给出的对象能构成集合的有（）

①某校2023年入学的全体高一年级新生；②或的所有近似值；

③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3%-10<0的所有正整数解

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据集合的定义判断即可.

【解答过程】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；

对于②：&的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②

错误;

对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；

对于④：不等式3%-10V0的所有正整数解有1、2、3,能构成集合，故④正确；

故选:B.

【变式1-2］（23-24高•上•山西临汾•阶段练习）下列对象不能组成集合的是（）

A.不超过20的质数

B.IT的近似值

C.方程%=1的实数根

D.函数y=%乃6R的最小值

【解题思路】根据集合中元素的性质逐项判断即可.

【解答过程】对于A,不超过20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合；

对于B,n的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合；

对于C,方程%=1的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合；

对于D,函数y=x,x£R不存在最小值，可以组成空集；

故选：B.

【变式1-3］（23-24高二上•河北张家口•阶段练习）卜列对象能构成集合的是（）

①裕华中学高一所有个子高的学生②方程/+6%-7=0的实根

③所有小于20的自然数④6的近似值

A.®®B.C.①④D.③④

【解题思路】一些元素若能构成集合，则当且仅当满足：“确定性”，“互异性”，“无序性”，逐一判断每一个

序号即可求解.

【解答过程】对于①：由于“裕华中学高一所有个子高的学生“高到什么程度，没有一个明确的界限，即不满

足确定性，故“裕华中学高一所有个子高的学生”不能构成集合；

对于②：解方程/+6%-7=0得，必=-7,%2=1，所以方程/+6%-7=0的实根显然可以构成集合

{-7,1}；

对于③：所有小于20的自然数构成的集合可以由描述法表示为：口[不＜20,XEN}：

对于④：由于没有指明”力的近似值”具体精确到什么程度，即不满足确定性，故的近似值''不能构成一

个集合；

综上所述：能构成集合的是②③.

故选:A.

【题型2判断是否为同一集合】

【例2】（23-24高三上•河北保定•阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},N={（2,3）}B.M={（x,y）|x+y=1},N=[y\x4-y=1}

C.M-[1,2},N-{（1,2）}D.M-{y\y-x5+3）,N-{x\y-Vx-3]

【解题思路】根据集合的定义，依次分析选项即得.

【解答过程】对于A,两个集合都为点集，（3,2）与（2,3）是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；

对于B,”是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；

对于C,"是数集，N是点、集,故M、N为不同集合，故C错误；

对于D,M={y\y=x2+3}=[3,+co）,N={x|y=Vx-3}=[3,4-oo）,故M、N为同一集合，故D正确.

故选：D.

【变式2-1]（23-24高一上•上海浦东新•期末）设Q是有理数，集合X={x|%=a+b或,a/WQ,%H0},

在下列集合中；

（1）{y\y=2x,xeX}；（2）{y\y=^=,xGX}；（3）[y\y=pxGX}；（4）[y\y=x2,xE.¥}；与X相同

的集合有（）

A.4个B.3个C.2个D.I个

【解题思路】将X=。+人鱼分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断p,q与Q,b是否一一对应，再举反

例判断（4）.

【解答过程】对于（1），由2（。+b&）=p+得p=2a,q=2b,------对应，则{y|y=2x,%EX}=X

对于⑵，由匕强生=力+]•&=p+勺鱼，得p=d,q=],-----对应，则{y|y=套,％€X}=X

对于（3），由石/=湛京+（-』）・&=P+q&，得P=4，q=/摄，一一对应，则{y|y=jx€

X)=X

对于(4),一1-夜£X,但方程-1一&=/无解，则{y|y=wX}与x不相同

故选：B.

【变式2-2](23-24高一上•辽宁沈阳•阶段练习)下列关于集合相等的说法正确的有()

①{标+1=0}川{容3娱°}；

②{y|y=Zx2+1}=[x]y=2x24-1)；

③卜卜=1(~1),nENj={x|—1<x<2,xGN)；

④{(%y)|y=④-1+V1-x]={04}

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.

【解答过程】因为{*/+1=0}=0,1=所以①正确：

因为{y|y=2/+1}=[1,+00),{不仅=2/+1}=R,所以②不正确；

因为卜卜二上严，"WN}={0,1},{X|-1<X<2,XGN}={0,1},故③正确；

{(%,y)|y=Vx-1+V1-x}={(1,0)}H{0,1}，故④错误.

故选：C.

【变式2-3](23-24高一上•河北,阶段练习)已知集合知={(1,0)},则下列与M相等的集合个数为()

*y)售;

②{(居y)Iy=Vx-1+Vi-x]

③卜Ix=空二nEN}

®{xI-1<x<2,xeN)

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究〃为奇数、〃为偶数可计算③，由

N定义可得④，依次判断即可求得结果.

【解答过程】对于①，[a，y)i={(1,0)}=M；

对干②，{(x,y)Iy=Vx-1+-%)中{；_；：*解得x=1,故{(x,y)Iy=Vx-1+-x)=

{(1.0)}=M；

对于③，当〃为奇数时，X=-1：当〃为偶数时，x=0,

所以卜Ix=T,neNJ={-1,0}hM；

对于④，{%I-1Vx<2/EN}={0,1}HM.

所以与M相等的集合个数有2个.

故选：C.

【题型3集合中元素特性的求参问题】

【例3】（23-24高一上•山东烟台,期中）若集合A={l,2m,7n2一加）,且OwA,则〃?的值为（）

A.0B.IC.0或ID.0或-1

【解题思路】根据集合的元素不重复可解得7儿

【解答过程】因为OWA,所以2力=0或m?-7n=o,解得血=0,或m=1,或m=0,

当m=0时，2m=m2-m,又集合中不能有相同的元素，所以m=1,

故选：B.

【变式3-1]（23-24高一上•四川成都・期中）集合{2a,M}中实数0的取值范围是（）

A.{a\a=0,或a=2}B.{a\a=0,且a=2}

C.[a\aH0,或aH2}D.{a\a*0,且QH2}

【解题思路】根据集合元索的互异性，即可求解.

【解答过程】由集合元素的互异性可知，2a丰心,解得QW0且QW2,

所以实数a的取值范围为{a|aH0,且aH2}.

故选:D.

【变式3-2]（23-24高一・全国•课后作业）由//一如4组成一个集合4,且A中含有3个元素，则实数。

的取值可以是（）

A.1B.-2C.-1D.2

【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.

【解答过程】对A,当Q=1时，a2=l,2-a=1,不满足题意；

对B,当。二一2时，a2=4,不满足题意；

对C,当。二一1时，a?=1,2-a=3,满足题意；

对D,当a=2时，a2=4,不满足题意；

故选:C.

【变式3-3]（23-24高三上•重庆沙坪坝•开学考试）若{。2,0,-1}={240},则ab的值是（）

A.0B.1C.一1D.±1

【解题思路】根据｛Q2,0,—1｝=｛。,40｝得到｛：;二_；或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即

可.

【解答过程】因为｛。2,0,-1｝=仞,瓦0｝,所以①｛；：二；或②du，由①得『:'或其中

与元素互异性矛盾，舍去，ff\符合题意，由②得f,符合题意，两种情况代入得ab=-1.

故选:c.

【知识点2元素与集合的关系】

1.元素与集合的关系

（1）属于：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作40A.

（2）不属于：如果〃不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作aCA.

【注】符号和黑”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素,右边是集合，具有方

向性，左右两边不能互换.

2.常用的数集及其记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN"（或N+）ZQR

【题型4判断元素与集合的关系】

【例4】（23-24高一上•湖南株洲•阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（）

A.-36N*B.V56RC.|eZD.0CN

【解题思路】根据元素与集合的美系依次判断选项即得.

【解答过程】对于选项A,因-3不是正整数，故A项错误；

对于选项B,正是无理数，故必是实数，故B项正确；

对干选项c,:是分数，故不是整数，故C项错误；

对于选项D,0是自然数，故D项错误.

故选:B.

【变式4-1]（23-24高一上.河南南阳•阶段练习）已知集合A中的元素又满足2,则下列选项正确的

是（）

A.56/1,且一4c力B.5EA,且一4€4

C.5c4且一4C4D.5c4,且一464

【解题思路】由元素和集合的关系判断.

【解答过程】由％—1>2解得”>3,

因为5>3,-4<3,

故55,且一4WA,

故选：A.

【变式4-2]（23-24高一上•四川凉山•期中）下列关系中，正确的有（）.

©ye/?；②四葭；@|-3|eN；®|-V5|eQ.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断.

【解答过程】对于①：因为R为实数集，所以4WR,正确：

对于②④：因为Q为有理数集，所以或£Q,|-而|二乃任Q,②正确，④错误；

对于③：因为N为自然数集，|-3|=3WN,正确；

所以正确的有3个.

故选：C.

【变式4-3]（23-24高三上•重庆渝中•阶段练习）已知集合4={x\x=4k,kEZ\,B=[x\x=4m+1,mEZ},

C=\x\x=4n+2,nEZ\,D={x\x=4t4-3,t6Z},若a€B,bWC,则下列说法正确的是（）

A.Q+b€4B.a+bWBC.tz4-b€CD.a+bWD

【解题思路】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到a+L判断其与集合的关系即可.

【解答过程】因为QW8,bee,

则由题意可设a=4m+1,b=+2,其中mWZ,九eZ,

则a+b=4（m+n）+3,月.m+nEZ,

故a+b£D,

故选:D.

【题型5根据元素与集合的关系求参数】

[例5]⑵-24高一上•湖南长沙,阶段练习）已知集合力=[xeR|x2-a<0},且2WA,则实数a的取值范

围是（）

A.{a\a<-4}B.{a\a>-4}

C.{a\a<4}D.{a\a>4}

【解题思路】利用元素与集合的关系，列式求解即得.

【解答过程】依题意，22-a<0,解得QN4,

所以实数a的取值范围是{a|a>4].

故选：D.

【变式5-1]（23-24高一上•河南郑州•期中）设集合4={x|4x—2<m},若2W4且3£4则实数加的取

值范围是（）

A.6<m<10B.6<m<10C.6<m<10D.6<m<10

【解题思路】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.

【解答过程】由题意伫当一式血=>6<7n<10.

故选：D.

【变式5・2]（23・24高一上.山东临沂・期中）己知集合P有三个元素一1,2。+1,小一1.若06。，则实数a的

值为（）

A.三B,1C.一焚1D.。或]

【解题思路】根据0EP，分类讨论结合元素的互异性求解即可.

【解答过程】因为0EP,所以2Q+1=0或。2一1=0.

当2a+1=0即a=-：时，=满足题意；

当次—1=0即Q=±1时,

若。=1,则。={-1,3,0},满足题意；若。=-1,则「={-1,0},不满足题意；

综上，实数a的值为-g或1.

故选：C.

2

【变式5-31（23-24高一上•陕西安康•阶段练习）已知集合4={2,0,1,9},B=[k\kER,k-2eAfk-2eA],

则集合B中所有的元素之和为（）

A.0B.2C.-1D.-2

【解题思路】根据集合的定义求出集合B后可得结论.

2

【解答过程】A={2,0,1,9},B=[k\keR,k-2EA,k-2^A]t

①当/-2=2时，k=±2,

k=2时，k—2=0EA,A/c^2；

k=-2时，k-2=-4"A,满足条件；

②当1-2=0时，k=±5/2,/c—2=1四一2任4,满足条件；

③当必一2=1时，k=±遮，k-2=±y/3-2^A,满足条件；

④当£2一2=9时，k=±V1T,k-2=±VH-2c4满足条件.

从而得到8={±V2,±A/TT,±V3,-2）,

所以集合8中所有元素之和为-2.

故选：D.

【题型6集合中的元素个数问题】

【例6】（23-24高三上•山东泰安•期中）已知集合4={1,2,3},B={3,5}，则。={x|x=2Q+b,Q€4b£8}

中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】利用集合中元素的互异性，对。，》的取值进行分类讨论即可.

【解答过程】由题意，x=2a+b,

当a=1,6=5=>x=7,

当a=l,b=3=>x=5,

当a=2,b=5=>x=9,

当a=2,b=3=>%=7,

当a=3,b=5=x=ll,

当a=3,b=3=>x=9,

由集合中元素满足互异性，所以C={5,7,9,11）.

故选:B.

【变式6-1］（23-24高一上•广西・假期作业）已知关于”的方程%2-巾工+巾2-3=0的解集只有一个元素,

则血的值为（）

A.2B.-2C.±2D.2或3

【解题思路】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.

【解答过程】因为关于X的方程好一加工十根2-3=0的解集只有一个元素.，

所以A=m2—4（m2—3）=0,解得m=±2.

故选:C.

2

【变式6-2］（23-24高一上•全国•课后作业）己知集合力={-3,-2,-1,0,1,2},B=（y\y=x-ltxEA）,

则集合B中所有元素之和是（）

A.10B.13C.14D.15

【解题思路】将集合4中所有元素代入y=x2-1求得集合8即可求解.

【解答过程】•.•集合4={-3,-2,-1,0,1,2),

：.B=B={y\y=x2-l,xEA]={-1,0,3,8),

集合8中所有元素之和为一1+0+3+8=10.

故选:A.

【变式6-3](23-24高一上•山西朔州•阶段练习)已知集合4={x|ax2-3%+2=0,xe/?}.若集合4中至

多有一个元素，则实数。的取值范围是()

A.cz>B.a>-0C.a>=0D.a<=0

8888

【解题思路】因集合A是方程a/-3%+2=0的解集，欲使集合力=[x\ax2-3%+2=0}至多有一个元素,

只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对a进行讨论求解即可.

【解答过程】解：•.•集合A={x\ax2-3x+2=0}至多有一个元素，

分类讨论：

①当Q=0时，4=0|—3%+2=0}只有一个元素，符合题意；

②当a工0时，要力={x\ax2-3x+2=0}至多有一个元素，

则必须方程：ax2-3x+2=0有两个相等的实数根或没有实数根，

a

<0,得：9-8a<0,Aa>

8

综上所述：u>，或a=0.

故选:B.

【知识点3集合的表示法】

1.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定义：一般地，设人表示一个集合，把集合人中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示

为{x£A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在

竖线后写出这个集合中元素所ft有的共同特征.

3.图不法

图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩

形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.

【题型7列举法表示集合】

【例7】(23-24高一・全国•随堂练习)用列举法表示下列集合：

(1)4={x|(x-l)2(x+1)=0}

(2)B={xGN|^GN].

【解题思路】根据题意，分别用列举法表述即可.

【解答过程】(1)•••(3-1)2(无+1)=0,・•.％=1或%=—1,4={1,一1}；

AB={0,3,4,5}.

(2)•••xGN,—6-xGN,x=0,3,4,5,

【变式7-1](2024高一上.全国・专题练习)用列举法表示下列集合

(1)11以内非负偶数的集合；

(2)方程(％+l)(x2-4)=0的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数y=2%与y=x+1的图象的交点组成的集合.

【解题思路】(1)根据偶数的定义即可列举所有的偶数，(2)求出方程的根，即可写出集合，(3)联立

方程求交点，进而可求集合.

【解答过程】(1)11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10},

(2)(X+1)(/-4)=0的根为4=-1,工2=2,工3=-2，所以所有实数根组成的集合为{-2,-1,2},

(3)联立y=x+l和y=2%,解得,所以两个函数图象的交点为(1,2),构成的集合为{(1,2)}.

【变式7・2】(23-24高一上•全国,课后作业)用列举法表示下列集合.

(1)不大于10的非负偶数组成的集合4

⑵小于8的质数组成的集合B；

⑶方程2*2-x-3=0的实数根组成的集合C

(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.

【解题思路】由题意，依次求出(I)、(2)、(3)、(4)集合中的元素，再用列举法写出即可.

【解答过程】⑴不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,

所以A={0,2,4,6,8,10}；

(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={235,7}；

（3）方程2/一%一3=0的实数根为一1,支

所以"卜闫.

y=%+3省卜=1

（4）由y=-2x+6,叫y=4.

所以一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点为（1,4）,

所以。={(1,4)}.

【变式7-3］（23-24高一上•海南三亚•阶段练习）用列举法表示下列集合:

（I）小于10的所有自然数组成的集合4

（2）方程/="的所有实数根组成的集合5；

（3）方程%2-4=0的所有实数根组成的集合.

【解题思路】（1）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果;

（2）解一元二次方程即可求出结果;

（3）解一元二次方程即可求出结果.

【解答过程】（1）因为自然数包括0和正整数,所以4={0,1,2,3,4,567,8,9}；

（2）因为方程/=x的实数根为0,1,所以8={0,1}；

（3）因为方程/-4=0的实数根为一2,2,所以方程所有实数根组成的集合{-2,2}.

【题型8描述法表示集合】

【例8】（23-24高一上•新疆•期中）用描述法表示下列集合；

（1）不等式3X-620的解集.

⑵所有的偶数组成的集合.

【解题思路】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可.

【解答过程】（1）解不等式3%-6之0得XN2,

所以，原不等式的解集用描述法表示为卜懊N2}.

（2）所有的偶数组成的集合为{x|%=2n,?i€Z}.

【变式8-1］（23-24高一上.全国,课后作业）用描述法表示下列集合.

（1）所有不在第一、三象限的点组戌的集合；

（2）所有被3除余1的整数组成的集合：

（3）使y="3有意义的实数工组成的集合•

(4)方程G-2)2+(y+3)2=0的解集.

【解题思路】(1)根据点的特点得出解集：

(2)根据被3除余1的整数可表示为3几+1,得出解集；

(3)解不等式/+%-6装0即可；

(4)解方程得出解集.

【解答过程】(1)•・•不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，

,所有不在第一、三象限的点组成的集合为{Q,y)|xy<O,xeR.yeR).

(2)•・•被3除余1的整数可表示为3n+1,〃6Z,・••所有被3除余I的整数组成的集合为

{x|.t=3n4-l,nGZ}.

(3)要使、=石，有意义.则、2+%-6装0.解得％H2且不工一3.

X+X-6

••・使y=号7有意义的实数X组成的集合为{x|x。2且%装-3).

(4)由(％-2/+(y+3/=0,解得％=2,y=-3.，方程的解集为{(%y)|x=2,y=-3}.

【变式8-2](23-24高一・全国•课堂例题)用描述法表示下列集合：

(2)偶数集；

(3)被3除余2的正整数组成的集合；

(4){1,22,32,42,-}.

【解题思路】(1)、(2)、(3)、(4)根据描述法求得正确答案.

【解答过程】⑴原集合为《，苗，然卜

则描述法表示为：卜|无=」4，"€寸且几35}.

I71十C

(2)偶数集，用描述法表示为：[x\x=2n,nEZ].

(3)被3除余2的正整数组成的集合，

用描述法表示为：{幻工二3九十2,nwN}.

(4)原集合为[1,22,32,42,…},

用描述法表示为卜|X="2,"£N*}.

【变式8-3](23-24高一・江苏•课后作业)用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合

(1)所有能被3整除的自然数

(2)不等式Y+2%-3V0的解集

（3）f+2工-3=0的解集

【解题思路】根据集合的表示法求解.

【解答过程】（1）{x|x=37i,zieN},集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；

（2）X2+2X-3<0,HP（X-1）（X+3）<0,-3<x<l,

集合为{幻-3<%<1},集合中元素有无数个，不能用列举法表示；

（3）集合可表示为以|/+2%一3=0},列举法表示为l一3,1）.

【题型9集合中的新定义问题】

【例9】（2024•云南保山•二模）定义集合运算：A+B={z\z=x+y,xEA,yGB},设4={1,2},B={1,2,3）,

则集合力+B的所有元素之和为（）

A.14B.15C.16D.18

【解题思路】由集合的新定义计算即可.

【解答过程】由题设如A