相似三角形的性质（同步练习）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4相似三角形的性质同步练习

一、单选题

1.已知AABCfDEF，且相似比为1：2,则LABC与〉DEF的周长比为（）

A.1：4B.4；1C.1：2D.2：1

2.如图，已知△ABCs/XACP.ZA=70°,ZAPC=65°,则NB的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

3.已知△ABOsZj）EO,且BO：EO=1：3,则△ABO与△DEO的面积比是（）

A.I：3B.3：1C.I：9D.9：1

4.如图，在10x6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为

格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上•动点，连接ED,

EC,若格点ADAE与&EBC相似，贝ijDE+EC的长为（）

B.V149

C.3713或5V5

D.3V13或V149

5.如果两个相似三角形的周长比为1：4,那么这两个三角形的对应中线的比为（）

A.I：2B.1：4C.I：8D.1：16

6.如果两个相似二角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（)

A.1：4B.1：2C.1：16D.1；V2

7.如果两个相似三角形的面积比是4：9,则它们对应边上的高之比为（）

A.4：9B.16：81C.2：3D.3：2

8.如图，已知△40E〜ZkACB,若40=6,DE=4,8c=8,则AC的长是（）

9.如图是一个由A、B、C三和相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为

SBS2、S3,（Si与S2,Sz与S3的相似比相同）,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若Si>S2>S3,

C.4s2+3S3D.3Si+4s3

10.如图，ZkABCs/XADE,且BC=2DE,则S四边形BEDC：SAABC的值为（）

B.3：4C.2：3D.1：2

二、填空题

11.如果两个相似三角形的周长比是1：4,那么它们的面积比是.

ARQ

12.若AABCSAA'B'C',—=4，AABC的面积为3cm2,则AA'B'C'的面积为

AB4------------

err2.

13.若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的倍.

14.若D为中48边上一点，且EDIIBC交力C于匕AB=6,BC=8,AC=10»若△4。£与

△ABC的相似比为。贝必E=.

15.如图所示，已知AD〃BC,ZABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点，若

△PAD与^PBC相似，则AP=.

16.如果两个相似三角形的面积比为1：4,其中较大三角形的周长为18,那么较小三角形的周长

是.

三、作图题

17.尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边AC上找一点E,使

SAADE-SAABC=1：4（保留作图痕迹，不写作法）.

四、解答题

18.已知△ABCs/\DEF,且DE=2cm,AB=4cm,BC=5cm,CA=6cm,求△DEF的局长.

19.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移

动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发，经过几

秒钟△PBQ与△ABC相似？

20.问题探究：如图①，四边形ABCD是正方形，BE1BF,BE=BF,求证：△ABE咨zXCBF；

方法拓展：如图②，ABCD是矩形，BC=2AB,BF1BE,BF=2BE,若矩形ABCD的面积为

40,△ABE的面积为4,求阴影部分图形的面积.

五、综合题

21.如图，AD和BC相交于点E,AC〃BD,点F在CD上，AC=4,BD=6,辿"=£,

bADEFJ

(2)已知SACBD=25,求ACEF的面积.

22.如图，在平行四边形ABCD中，M为对角线AC上一点，BM交4。于点N,交的

延长线于点E.

(I)请找出一对相似的三角形并证明；

(2)若2CM=3AM，求薪的值.

23.如图，在0ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且ZDAE=2F.

(2)若AB=5,AD=8,BE=2,求FC的长.

24.如图，在△A3C中，N〃=90。，AB=6cm,3c=8b〃.点夕从点A开始沿边A〃向点〃以每秒

1。〃的速度移动，点。从点8开始沿边8c向点。以每秒2cm的速度移动，点P,。分别从点A,B

同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动.

（1）经过多少秒，可使P8。的面积等于8cM?

（2）经过多少秒，△48C与△PBQ相似？

（3）线段尸Q能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理

由.

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：:△ABC^ADEF,△ABC与4DEF的相似比为1：2,

二•AABC与4DEF的周长比为1：2.

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.

2.【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：VAABC^AACP,

.,.ZACB=ZAPC=65°,

VZA=70°,

・•・ZB=180°-ZA-ZACB=180o-700-65o=45°.

故答案为：A.

【分析】利用相似三角形的性质可得。

3.【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：VAABO^ADEO,且BO：EO=1：3.

ABO与△DEO的面积比是1：9,

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案。

4.【答案】C

【知识点】勾股定理；相似三角形的性质

【解析】【解答】解:由图可知DA=3,AB=8,BC=4,AE=8-EB,ZA=ZB=90°,

若△DAEs△EBC,

DAAERM8-EB

则hiii丽=配'即丽3=』~,

解得E8=2或EB=6,

当E8=2时，EC=V22+42=2V5，DE=V32+62=3遍，

DE+EC=575，

当EB=6时,EC=V62+42=2V13，DE=V32+22=V13，

DE+EC=3VH,

若△£MEs△CBE,

则黑=签，即*与普，解得筋=竿（不符合题意，舍去），

故0E+EC=5函或3V13，

故答案为：C.

【分析】由图可知DA=3,AB=8,BC=4,AE=8-EB,ZA=ZB=90°,DAE^AEBC,根据相

似三角形的性质求出EB,进而可得EC、DE的值，据此计算；同理可得△DAEs^CBE时DE+EC

的长.

5.【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：•・•两个相似三角形的周长比为1：4,

・•・两个相似三角形的相似比为1：4,

・•・这两个三角形的对应中线的比为1：4.

故答案为：B

【分析】根据相似三角形的性质可得答案。

6.【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【蟀析】【解答】解：•・•两个相似三角形的周长比为1：4,

・•・两个相似三角形的相似比为1：4,

，它们的对应角平分线之比为1：4,

故答案为：A.

【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。

7.【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【释析】【解答】解：•,,两个相似三角形的面积之比为：4：9

・•・相似比为:2：3

・•・相似三角形对应高的比等于相似比

・••对应边上的高的比为：2：3

故答案为：C

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方,相似三角形的高之比

等于相似比求解即可。

8.【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：VAADE^AACB,

.AD_DE

・・・AC=隼等=12，

DE

故答案为：A.

【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，然后代值计算即可.

9.【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B,B与C的相似比相同，且

S1>S2>S3,

，如图，设相似比为k,EF=m,则MK=GH=mk,FH=mk2,

AEH=EF+FH=m(l+k2),

AFM=竿=m(l*),FK=：＜EH=km(1+k2),

由FK+MK二FM得：km(l+k2)+mk=7n(1产),

・・・知k2-l=O,

解得：/=二空或/=二1/匹(舍去)，

乙乙

224

AS2=kSi=T'、,写S1,S3=kS2=kSi=3、、亏,

.*.S2+S3=S1,

・,・矩形面积等于2(S1+S2+S3)=2(Si+Si)=4Si.

故答案为：A.

【分析】对图形进行点标注，设相似比为k,EF=m,则MK=GH=mk,FH=mk2,EH=m(I+k2),

2

2

FM=m(l+k),FK=km(l+k),根据FK+MK二FM可求出k?,根据S2=k2Si,S3=k2s2=kS分别表示

k

出S2、S3,据此解答.

10.【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：VAABC^AADE,HBC=2DE,

,,就一(品)-4'

.r_4—13

•・•S叫边彩BEDC：SAABC=4=4,

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形的性质解答即可。

11.【答案】1：16

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：•・•两个相似三角形的周长比是1：4,

，两个相似三角形的相似比是1：4,

・••它们的面积比是I：16.

故答案为：1：16.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行解答.

12.【答案】竽

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：,

4B3

-

「-

54

/4

.S^ABC_小2_9

・・S,,,一(4)-16,

LABc

3_9

即S-=16，

△ABC

解得：△ABC，的面积=竽(cm2).

故答案为：学

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.

13.【答案】2

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：•••一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，

••・扩大后的三角形与原三角形相似，

••・舒似三角形的周长的比等于相似比，

•••这个三角形的周长扩大为原来的2倍，

故答案为：2.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.

14.【答案】5

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：・・・ED〃BC,△ADE与AABC的相似比为义，

,AD_DE_AE_1

t'AB~BC~AC~2,

=6,BC=8,AC=10，

.AEAE1A厂-

,,正=m=2'AE=5.

故答案为：5.

【分析】根据相似三角形的相似比可得瑞=盖=兼=；,然后结合AC的值可得AE的值.

15,【答案】竽或2或6

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：・・・NB=9(T,

•・・AD〃BC,

AZA=180o-ZB=90°,

/.ZPAD=ZPBC=90°,

AB=8,AD=3,BCM,

设AP的长为x,则BP长为8-x,

若AB边上存在P点，使^PAD与^PBC相似，那么分两种情况：

①若△APDs^BPC,贝IJAP：BP=AD：BC,即x：(8-x)=3：4,

解得x号；

②若△APDs^BCP,!®AP：BOAD：BP,即x：4=3：(8-x),

解得x=2或x=6.

所以AP号或AP=2或AP=6.

故答案是：竽或2或6.

【分析】由AD//BC,NABO90。，易得/PAD二NPBO90。，乂由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的

长为x,则BP长为(8-x),然后分别从△APDsaBPC与△APDs^BCP其分析，利用相似三角形

的对应边成比例求解即可求得答案。

16.【答案】9

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：:两个相似三角形的面积比为1：4,

・•・两个相似三角形的相似比为1：2,

・••两个相似三角形的周长也比为1：2,

•・•较大的三角形的周长为18,

・••较小的三角形的周长为18xj=9.

故答案为:9.

【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案。

17.【答案】解：如图

方法一：

方法二:

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】要使SAADE：SAABC=1:4,则需满足E为AC边的中点，作NADE二NB即可.

18.【答案】解：△ABC的周长二AB+BC+CA=4+5+6=15(cm),

,?△ABC^ADEF,

.AABC的周长

••ADEF的周长一DEF一，

・•・ADEF的周长=1x15=7.5(cm).

【知识点】相似三角形的性质

【释析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解

答.

19.【答案】解：设在开始运动后第x秒，aBPQ与aBAC相似，

由题意得：AP=2xcm,PB=(8-2x)cm,BQ=4x,

分两种情况考虑：

当NBPQ=NC,NB=NB时，△PBQ^ACBA,

・BP_BQ

••品一演'

解得：x=0.8,

当x=0.8秒时，4BPQ与△BAC相似:

当NBPQ=NA,NB=NB时，△BPQ—z^BAC,

»BP_BQp8-2x_4x

99BA=BC'即n-8-=l6'

解得：x=2,

当x=2秒时,△BPQ与aBAC相似.

综上，当x=0.8秒或2秒时，zkBPQ与aBAC相似.

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，ABPQ与aBAC相似，由题意得：AP=2xcm,PB=(8-

2x)cm,BQ=4x,然后分①NBPQ=NC,NB=NB时，△PBQs4CBA；(2)ZBPQ=ZA,ZB

=NB时，△BPQs^BAC,利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.

20.【答案】问题探究：

证明：如图①中,

图①

•・•四边形ABCD是正方形,

AAB-BC,ZABC-9O0,

VBE1BF,BE=BF,

AZABC=ZEBF=90°,

AZABE=ZCBF,

在乙ABE和^CBF中，

AB=CB

乙ABE=LCBF，

BE=BF

/.△ABE^ACBF,

方法拓展：

解:如图②中，

却z

VBC=2AB,BF=2BE,

.AB_BE_1

VZABE=ZCBF,

.*.△ABE^ACBF,

寝=郡4

•3AABE_4>

••〉ACBF=16，

.*.S阴影a：分图形=S中形ABCD-SAABE+SACBF=40-4+16=52.

【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质

【解•析】【分析】（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明.（2）首先证明

△ABE0°ACBF,求出△BFC的面积，根据S阴影部分图版二S用形ABCD-ABE+SACBF计算即可.

21.【答案】（1）解：过E作EGJLCD于G,

•；AC〃BD,

/.ZA=ZEDB,ZACE=ZB,

/.△ACE^ADBE,

.i4C_4_2

^BE~DB~6~3'

bADEF3

.S&CEF_匆"EG_CF_2

•,S-DEF.\DF-EG~DF~3

.EC_CF_2

^BE=DF=3'

.EC_CF_2_2

，，BC=CD=3+2=5'

VZECF=ZBCD,

?.△CEF^ACBD,

-,-ZCEF=ZB,嚣=您’

AEF/7BD,

•・・AC〃BD,

・・・EF〃AC,

AZDEF=ZA,ZDFE=ZDCA,

・•・△DEF^ADAC,

.EF_DF

^AC=CD，

.EF,EF_DF,CF_DF+CF

^AC+BD~CD+CD~CD

.EF,EF1

,•丁+T=I'

解得E尸=F

(2)解：VACEF^ACBD,

/.SACEF

SACBDBD2=25

**25=25'

:*SACEF=4.

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】（I）由AC〃BD判断△ACEs/\DBE得到对应边成比例篇=器，再由同高三

角形的面积比等于相似比可得比例式嘉=，可判断^CEFs/XCBD,进而判断

△DEF^ADAC,然后列出比例式即可求得结果；

⑵由ACEFsacBD可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得到答案。

22.【答案】（I）解：2BMC八NMA,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：,AD//BC

=乙MNA,乙MCB=乙MAN.

A△BMC〜ZiNMA.

(2)解：°：>BMC~ANMA,2CM=3AM

BC

.BM_BC_CM_3

*9NM=~NA=AM=2'

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD.

・NO_1

••阮=G'

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

•"END=Z.EBC,乙NDE=乙BCE.

:・&DNEfCBE,

.EN_ND_1

^EB=~BC=3.

设EN=k,EB=3k,

:・BN=2k.

・・BM_3

・两=2'

24

：.MN=^BN=1k.

DKJ

BE_3k_15

一”一4•

【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD//BC,即可找到ABMCfNMA,即可求

解；

（2）根据ABMCfNMA,得到g3=怒=需=,,由平行四边形的性质得到BC=AD得

到罂=g，再证明△DNECBE,得到需=卷=4,设EN=k,则EB=3k,故

BN=2k,再表示出MN,故可代入求解.

23.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四