2026年云南省玉溪市高考数学二模试卷（带答案解析）

2026年云南省玉溪市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，

1.（5分）已知集合力=**=1}，8={-2,0,1},则/UB=（）

A.{1}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,1}D.{-2,-1,（）,1,2）

2.（5分）已知复数z=l-2i,Bjz-z=（）

A.-3-4/B.-3HzC.V5D.5

3.（5分）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与

时间的函数关系的是（）

A.25B.22C.20D.15

5.（5分）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数

据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若［65,75）的频率为0.48,a,〃的值为（）

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B.0.017,0.48

C.0.17,0.048D.0.17,0.48

6.(5分)在△彳8c中，内角儿B,C的对边分别为a,b,c,若Q=2,V3sinA+cosA=2,贝I」△力8c

面积的取值范围为()

A.[V3,+oo)B.(0,V3]C.[1,+8)D.(0,I]

7.(5分)已知定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=/(-x),且/(2x-1)为奇函数，则一定有()

A.f(0)=0B.f(2)=0C.J(3)=0D.J(4)=0

8.(5分)已知双曲线C：*餐=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为四，后，。是。上一点，且尸产2,

Fg,若△尸Fi乃的内切圆半径厂与|P尸2|的比值为*，则C的离心率为()

A.V3B.2C.V7D.3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求。全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

(多选)9.(6分)已知角9的终边过点P(s山号兀，cosing下列选项正确的是()

1[Q

A.sind=-2B.cosO=-^-

C.tunO=—，D.sin(0H-

•D4乙

(多选)10.(6分)设函数/(x)=(x-1)(x-a)Cx-h),其中aVIVb,则下列说法正确的是()

A./(X)可能为奇函数

B./(X)既有极大值也有极小值

C.不等式/(x)>0的解集是(m1)U(6,+8)

D.若/(x)/(2-x)W。恒成立,则a+b=2

(多选)11.(6分)已知菱形力8CO的边长为2,/8/。=60°,力。与8。交于点O,将Z\D4C沿4C

翻折得到△巴(7且POJLO8,E,产分别为48,BC中点,OG=xOP(0<x<l),设平面EFG截四面体

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P-ABC所得截面面积为/（x）,下列选项正确的是（)

A.若GE与平面力所成角为30°,则％=卓

B.若GE_LGE则》二辛

瓜

C./（x）的极大值为三

D.f（.V）的极小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）设抛物线Cx2=2py（p>0）的焦点为E点4（刈，1）在。上，且|/刈=3,则〃=.

13.（5分）已知a,0均是第一象限角，————=1,tanatanp=6,则cos（a+p）

stna-cosa

14.（5分）4],42，43,44,05是1，2,3,4,5的一个随机排列,对每一个中间位置的数aG=2,3,

4）,要求它左右相邻的两个数的」与am中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）如图，在四棱锥P-/8CO中，BC//AD,力。_1_平面以4,PA=AB=BC=\,AD=2,E为棱

PD上一点、,ED=2PE.

（1）证明：尸8〃平面力CE；

（2）若PB=或，求二面角P-4C-E的余弦值.

16.（15分）已知椭圆C：^+y2=l（a>l）,直线/：尸x・2.

（1）若/经过。的右焦点，求。的标准方程；

（2）若/与。交于M,N两点,且|MN|=%，求C的标准方程.

17.（15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱

装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同.

（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；

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（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性

最大.

n+1

18.(17分)已知数列｛斯｝中，%=2,an+1=2an+2.

（1）证明:数列｛缥｝是等差数列;

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，若$=察，依次连接点Pi（xi，1）,Pi（必2）…，P〃+]（x〃+i，

77+1)得到折线尸|尸2…尸〃+1，求由该折线与直线y=0,x=xi，x=x〃+i所围成的区域的面积7〃；

(3)记4+1，若42胎恒成立，求实数人的最大值.

-I几—十，沅（工7*n、）八十人

-4x)-eK+eA+2x.

(1)若。=（）,讨论/（x）的单调性;

(2)若戈＞0时，/（X）＞0恒成立,求4的范围;

8V2-3V2+18

(3)证明:——<ln2<——

1228

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2026年云南省玉溪市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，

1.（5分）已知集合8={-2,0,1},则力U8=（）

A.{1}B.{-2,-1,（）,1）

C.{-L1}D.{-2,-1,0,1,2）

【解答】解：由题可知，集合4={x|f=l}={-1,1},

又因为8={-2,0,1},

所以4U8={-2,-1,0,1}.

故选：B.

2.（5分）已知发数z=1-23则z・5=（）

A.-3-4/B.-3+4/C.V5D.5

【解答】解：z=l-2z>

得z-z=\z\2=1+4=5.

故选：D.

3.（5分）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与

时间的函数关系的是（）

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水高水高

C.。时间D.。时间

【解答】解：由图可知，该容器为倒立的圆台，可将圆台看成一个一个的圆组合而成，从下到上圆的直

径逐渐增加,

故上升高度的速度减慢,

结合选项可知，。符合题意.

故选：C.

4.（5分）记S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和.若。2+。6=10,4418=45,则S5=（）

A.25B.22C.20D.15

【解答】解：方法-：设等差数列g〃｝的公差为d,首项为依题意可得,

。2+。6=。1+4+。1+54=1()，即〃i+3d=5,

又。4。8=(a\+3d)(c“+7d)=45,解得：d=1,a\=2

5x4

所以55=5al4-xd=5x2+10=20.

2

故选：C.

方法二：。2+。6=2。4=10，4448=45,所以44=5,48=9,

从而d=-~~甘=1,于是口3=。4-4=5-1=4,

所以S5=5a3=20.

故选：C.

5.（5分）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数

据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若［65,75）的频率为（）.48,a,人的值为（）

B.0.017,0.48

C.0.17,0.048D.0.17,0.48

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【解答】解：已知数据在[65,75）的频率为0.48,

由频率分布直方图可知组距为10,则b=鬻=0.048,

又因为（0.005+0.025+6+4+0.005）X10=l,解得。=0.017.

故选：A.

6.（5分）在中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,若Q=2,y/3sinA+cosA=2,贝必力8。

面积的取值范围为（）

A.[V3,+00）B.（0,V3]C.[1,+8）D.（0,1]

【解答】解：在△48。中，内角4B，C的对边分别为mb,c,

由百si/M+cosA=2,得2(挈sizM4-^cosA)=2,

所以2(sinAcos^+cosAsin^)=2,即si〃(4+看)=1,

又OV/Vm所以二＜力十三＜2，

666

所以A+＞多解得4=*

在△/8C中，a=2,由余弦定理可得J=b2+c2-2Acos4

所以4=b2+cr-bc^2bc-bc=bc,

所以0V6cW4,当且仅当b=c=2时取等号，

根据三角形的面积公式可得S.=\bcsinA=*be,

所以OVS/BCWK，

则△/8C面积的取值范围为（0,V3].

故选：B.

7.(5分)已知定义域为R的函数/(%)满足/(x+2)=/(-x),且/(2x・1)为奇函数，则一定有()

A./(0)=0B./(2)=0C./(3)=0D./(4)=0

【解答】解：因为定义域为R的函数/(x)满足/(由2)=/(-x),且/(2「1)为奇函数，

所以/(-2x-1)4/(2x-1)=0,所以/(-x)+f(x-2)=0,且/(-I)=0,

所以/(x+2)+f(x-2)=0,

所以/(x+4)tf(x)=0，所以/(x+8)4/(/4)=0,

所以/(x+8)=f3,所以/(x)的周期为8,

所以由/(x+4)+f(x)=0,可得/(3)(-1)=0,又/(-1)=0,

所以/(3)=0,所以C选项正确：

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对其它选项中的函数值没有条件得到，所以4B,。选项错误.

故选：C.

8.（5分）己知双曲线滔一］=1（Q>0,匕>0）的左右焦点分别为产I，Fz，尸是C上一点，且尸@_L

厂砂2，若△尸的内切圆半径，•与|尸"2|的比值为右则。的离心率为（）

A.V3B.2C.y/7D.3

22

【解答］解：由小_LQ乃，令』，得？一意=1，可得y2美，

卜2

所以|Pa|=3，

A2

则由双曲线的定义可知，|P尸i|=\PF2\+2a=^-+2a,

11b2b2c

则的面积为-1^21=~'2c--=—,

周氏为|尸片|十\PF2\十IQ&I=萼+2a十2c,

2

42b2bc/r,2x峥h2

*-(—+2a+2c)r=—得“坐+2H2c

已知ZWE尸2的内切圆半径〃与|P「2|的比值为土

b2

则」-----至——______1

I房2l一处一Q+C-4'

a

则。的离心率为r3.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求。全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知角。的终边过点尸（s山cosjyr）,下列选项正确的是（）

A.sinO=—^D.cosO=一当

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C.tanO=_D.sin(e+竽)=苧

【解答】解：由题意，角6的终边过点P(si7iA，cos^n),

可得P(第，—

可得cos6=P，sinO=—i,tanO=—=■=-故WC正确，8错误：

T

可得si7i(。+岑)--sin(0+y)=-cosO=-竽，故D错误.

故选：AC.

(多选)10.(6分)设函数/(x)=(x-1)(x-a)(x-力)，其中aVIVb,则下列说法正确的是()

A.f(x)可能为奇函数

B./(x)既有极大值也有极小值

C.不等式/(X)>0的解集是(a,I)U(匹+OO)

D.若/(x)/(2-x)W0恒成立，贝lJ“+〃=2

【解答】解：对于选项人若/(4)为奇函数，则/(0)=-必=0,且aVIVb,则a=0,b>\,

这样/G)的三个零点不关于原点对称，则/(x)不是奇函数，故/错误；

2

对于选项Bff(x)=(x-1)[x-(。+力)x+ab],

所以/(x)=3?-(2a+2/>4-2)x+ab+a+b,

由/(x)=0=3f-(2a+2b+2)x+ab+a+b=0,

A=(2a+2b+2)2-12(ab+a+b)=4a2+4b2+4-4ab-4a-4b

=2(a-b)2+2(a-1)2+2(Z>-1)2,

因为0<1V仇所以A>0,

所以，(x)=0有两个不相等的零点，不妨设为MVX2，

f(x)>()>得xVx]或x>X2；f(X)V()，得x|Vx〈K2，

所以函数的减区间为(xi，X2；，增区间为(-8,XI)和(工2，+8),

所以X2是/(》)的极小值点，XI是/(》)的极大值点，故8正确；

对于选项G当x>力时，/(I)>0,当IVxV力时，/(x)<0,当aVxVl时，/(x)>0,当xVa

时，/(.r)<0,

所以/G)>0的解集为(。，1)U(b,+8),故C正确；

对于选项O,y=f(x)与y=/(2-x)关于x=l对称，若/(x)/(2-x)W0恒成立，

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则/（x）的零点a,b关于直线x=l对称，所以a+b=2,故。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）已知菱形48CQ的边长为2,NB/1D=60°,/1C与8。交于点。，将△D4C沿力C

翻折得到△口。且户O_LO8,E,厂分别为48,8C中点，OG=M》（OV%V1）,设平面EFG截四面体

尸-44c所得截面面积为/（X）,下列选项正确的是（）

A.若GE与平面48C所成角为30°,则％=亨

B.若GELGF,则"?

V6

C.f（x）的极大值为彳

3^/15

D.f（x）的极小值为一丁

16

【解答】解：过G作MN〃4C,设EFCOB=H,MNCPA=M,MNCPC=N,

因为£,尸分别为48,8c中点，则防〃4C,可得EF//MM

可知平面EFG截四面体P-ABC所得截面为EFNM,

又因为力。_1_8。，贝OBLAC,

且20005=。，PO,。&=平面208,则/C_L平面夕08,

由G〃u平面PO4可得力C_LG〃，即£^_LG”,MN工GH,

因为尸OJ_4C,PO1OB,

旦4cA08=。，AC,O8u平面为8C,则尸。_L平面力8C,

由题意可知4C=2g,PO=OB=\,

则0G=x,OH=g,EF=炳,M/V=2>/3(l-x),

可得GH=70G2+OH?=Jx2+i,

所以平面EFG截四面体P-ABC所得截面面积如下，

为f(x)=，枕雪I)x=亨J(4N+1)(2%-3)2,

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对于选项儿因为PO_L平面/8C,则GE与平面48C所成角为NGEO=30°,

且。七=1,可得OG=*OE=*，故/正确；

对于选项从若GE工GF,且〃为E/中点，则GH=*EF;瞪，

即J%2+1=坐,解得％=多故4正确；

对于选项8,因为f@)=孚)(4/+1)(2*-3)2,0<x<l,

令gG)=(4?+1)(Zv-3)2,0<x<i,

则g'(X)=8x(2x-3)2+4(4.r+l)(2x-3)=4(2r-3)(It-1)(4x7),

因为OVxVI,则2x-3VO,

令g'(x)>0,解得:VxV；：令g'(x)<0,解得0Vxv"或;VxVl；

可知g(x)在("，劣)内单调递增，在(0,i),(劣，1)内单调递减，

且y=在定义域内单调递增，

则/(x)在(/,办内单调递增，在(0,1),0，1)内单调递减，

所以/⑴的极大值为/©)=学，极小值为/'©)=零，故C正确，。借误.

乙乙1XO

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为八点力(刈，1)在。上，且旧|=3,则k4

【解答】解：由题可知抛物线C：，=2.的准线为丫=一号，

由抛物线定义可得:|尸川=1一(一专)=1+刍=3,解得〃=4.

故答案为：4.

cosa、万

13.(5分)已知a,R均是第一象限角，-------=1.tanatariA=6,则co$(«+p)=_——.

sina-cosa-z-

COSOL

【解答］解：由---------=1»可得cosa=sina-cosa,即sina=2cosa,

sina—cosa

所以tana=^^=2,结合lanalan0=6,解得tan0=3,

C-C/<JL€

(_sina_9r反

由“n0=而至=/,结合a是第一象限角，解得s出a=告，cosa二警,

isnz”a+cos^a=1

根据0足第一象限角，同理求彳寻sin/?=3^^,cosp=

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店同2店3/10_&

所以cos(a+/?)=cosacosp-sinasinp=--rx^o-=_i_-

故答案为：-苧，

14.(5分42，43，44,。5是1，2,3,4,5的一个随机排列,对每一个中间位置的数跖(i=2,3,

4),要求它左右相邻的两个数⑺一】与防+1中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为

2

15—,

【解答】解：根据题意，数字1,2,3,4,5的全排列，有福=120种排法，

因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位，

分2种情况讨论：

①当5排在第一位时，

若4排在第二位，此时排列可以是(5,4,I,2,3),(5,4,2,1,3),(5,4,3,1,2),(5,4,3,

2,1),共4种情况；

若3排在第二位，此时若4排在中间位置(如43或。4)，

其邻居(来自剩下的数)必然都小于4,不满足题设条件，枚4只能排在第五位，

此时排列可以是(5,3,1,2,4),(5,3,2,1,4),共2种情况：

若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，此时排列可以是(5,2,1,3,4),共

1种情况；

若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，此时排列可以是(5,1,2,3,4),共

1种情况；

由上可知，当5排在第一位时，共有4+2+1+1=8种情况；

②当5排在第五位时，同理可得，也有8种情况满足条件；

综上所述，共有8+8=16种排列满足条件，

162

所以该排列满足此条件的概率为而=".

JL/UJLKX

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，在四棱锥。■48CO中，BC//AD,平面以8,PA=AB=BC=\,AD=2,E为棱

PD上一点,ED=2PE.

(1)证明：P8〃平面力CE；

(2)若PB=&,求二面角P-4C-E的余弦值.

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p

E

因为8C〃XO,且BC=1,AD=2,

BODC1

故--=---=一，

ODAD2

JE1..PEBO

而指=5'故而=而‘

故

而EOu平面月£C,P8C平面山X?,

故08〃平面力CE；

(2)解；因为P4=4B=1,PB=VLPB2=AB2+PA2,

故以„

而4。1平面PAB,故可建立如图所示的空间直角坐标系,

则力(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),A(0,0,0),D(0,2,0),

T1Tl21T

故PE="O=掾(0,2,-1)=(0,三,-1),4P=(0,0,1)，

故后'=AP+PE=(0,I，|),

第13页（共18页）

又4c=(1,1,0).

设平面4EC的法向量为五=（x,y,z）,

则,=0,即取》=1,

（科+^=0

可得九1=（1，-1，1），

设平面力尸。的法向量为R=（a,b,c）,

t：Xo咽胃令4=1,

取3=(1,-1,0),

可得同.A=1X1・IX(-1)+1X0=2,|ni|=VI+1+1=V3,|7^|=VI+1+0=V2.

nn

可HT殂得COS1VT”即"*＞、=而l'而2=反2五=丁\6’

设二面角p-4C-E的平面角为e,由题设可得e为锐角，

可得cos0=|cosVn]，n2>|=苧.

16.（15分）已知椭圆C：^2+y2=l（a>l）,直线/：y=x-2.

（1）若/经过C的右焦点，求C的标准方程：

（2）若/与C交于M,N两点，且|MN|=%,求C的标准方程.

【解答】解：（1）设椭圆。的右焦点为（c,0）,因为/经过C的右焦点,

所以0=。-2,解得。=2,而6=1,所以〃2=62+°2=]+4=5,

x2

故。的标准方程为三+y2=1.

（y=x-2

（2）联立忙+2=1，消去N得（1+/）x2-4A+3a2=0,

\a2y_

Ari2Q/J2

设M（XI，yi）,N（X2，”），则勺+无2=耳冠，滔，

所以|MN|="TFxJ借lx需=警，

化简得（黑?）2-4x=H，整理可得2k/4-8342-4=0,

解得〃=4（负根舍去），故椭圆。方程为不十y2三i.

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17.35分）有三个外观相同的箱子，编号分别为I,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱

装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同.

（I）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；

（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性

最大.

【解答】解：（1）设事件以表示“球取自i号箱"（i=l,2,3）,事件/表示“取到红球”，

1119

则P（BI）=P（82）=P（B3）=）P（川％）=，P（川B3）=*

可得〃CA）=〃（81）P04“+〃（62）P（力阳）+〃（63）〃（力四）

444444=^故取到红球的概率碍；

（2）根据（1）中数据,

由贝叶斯公式知哂⑷=锵=地喘泻=等二条

PL-诞迪生®-迟■-工

气以⑸_P（A）_P（4）-n-ir

p（B⑷一「⑸力）—P（%）P®%）_我春_4

〃出闻_p（＜）-p（｛）-ii-ir

245

因为五V五〈五，所以该球取自2号箱的可能性最大.

18.（17分）已知数列｛〃“｝中，%=2,册+i=2%+2"+i.

（1）证明:数列（袋｝是等差数列;

（2）如图，在平面直角坐标系xQu中，若%n=M，依次连接点Pi（X】，1）,Pl（X2，2）…，P“+1（x〃+l，

n+\）得到折线P|P2・-P〃+1，求由该折线与直线y=0,X=X1,x=MH所围成的区域的面积7〃；

（3）记力"〃二一（几+/1%）（1、-/〃）、+.若4“2n令+1恒成立，求实数人的最大值•

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【解答】解：(1)证明：因为%+】=2即+2-1,

所以两边同时除以2叫得箝-关=1，

因为ai=2,所以今"=1,

所以数列｛果｝是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)过P],尸2,尸3,……，尸〃+1向X轴作垂线，垂足分别为。],02,。3，……，。〃+1，

nn+1n

由(1)得/吟=2,所以修计1—xn=2-2=2\

记梯形产〃办+]0〃+10〃的面积为Cn.

由题意得金=S+：+Dx2n=(2n+l)x2-1,

所以Tn=C\+C2+C3+......+Cn

=3X2°+5X21+7X22+……+(2/7-1)X2n'2+(2〃+l)X2/rl,①

123n-1

又因为2Tn=3x24-5x2+7x24-……+(2n-1)x2+(2n+1)x23(2)

①-②得：一G=3x2°+2(2+22+……+2”T)-(2九+1)x2n=(1-2n)x2n-l,

所以7“=3+2(21+22+…+2”T)-(2n+1)-2n=(2n-1)x2n+1,

所以由该折线与直线y=0,x=xi,x=x“+i所围成的区域的面积〃=(2九一1)乂2"+1；

(3)因为Tn=(2n-l)2n+l,所以1-7\=1一[(2九-1)2"+1]=—(2"一1)2八，

所以41=(n+l)|-(2n-l)2»]+1=1-(n+l)2n，

因为4N系恒成立，所以1—鬲加工总恒成立，

即(n+1)—.>2%恒成立，

因为｛(n+1)—右｝单调递增，

所以当〃=1时，[(n+1)-/嬴=|,所以21今,BIU<

所以人的最大值为土

4

19.(17分)/(x)=a(e2A・e"・4工)-ex+ex+2x.

(1)若。=0,词论/(x)的单调性;

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(2)若x>0时，/(x)>0恒成立，求a的范围;

8V2-3企+18

(3)证明:---------<ln2<----------

1228

【解答】解：(1)由题意/(%)=。(心・。2・4%)-^+e'x+2x,

当a=