高中数学基础练习题-直线的倾斜角与斜率（解析版）

2.1直线的倾斜角与斜率

模块一：基础知识...................................................2

考点一：直线倾斜角的定义........................................2

考点二：直线的斜率..............................................2

考点三：过两点的直线的斜率公式..................................3

模块二：题型分类...................................................3

题型一：直线的倾斜角与斜率定义..................................3

题型二：倾斜角与斜率............................................6

题型三：两点与斜率..............................................8

题型四：直线方向向量与斜率......................................9

题型五：斜率与倾斜角概念辨析...................................10

题型六：斜率与倾斜角的变化关系.................................11

题型七：直线与线段相交求斜率范围...............................15

题型八：共线问题...............................................18

题型九：倾斜角与斜率求参数.....................................19

题型十：斜率公式的几何意义应用.................................21

模块三：综合巩固..................................................23

2.1直线的倾斜角与斜率

模块一：基础知识

考点一：直线倾斜角的定义

1.倾斜角的定义：当直线/与X轴相交时，我们把X轴称为基准，X轴的正向与/向上的方向之间所产生的

角a叫做直线/的倾斜角.

2.倾斜角的范围：

当直线/与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00.因此，直线的倾斜角。的取值范围为

0°4a<180°,具体如下：

倾斜角(7=0°0<a<90,90'<a<180'

1yI)

-——//I

直线图示7一

0X()\X

00't

3.对倾斜角的理解

（1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②x轴正向；③小于180”的角.

（2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

（3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

（4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直

线的位置.

考点二：直线的斜率

1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角。（a/90°）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母女表

示，即％=tana.

2.倾斜角与斜率的关系

直线的情况平行于X轴由左向右上升垂直于X轴由左向右下降

a的大小a=00<a<90"a=90,90,

才的取值范围A-=0k>0不存在k<0

k的增减性—左随a的增大而增大—左随。的增大而减增大

3.倾斜角与斜率的区别和联系

（1）每条直线都有唯一的倾斜凭，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率；

（2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角

可以互相转化.因此，确定一条不垂直于X轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可.

考点三：过两点的宜线的斜率公式

为一弘

1.斜率公式：如果直线经过两点4（玉,凹），B（x29y2）（玉工々：，那么可得到如下斜率公式：k=

W一玉

2.对斜率公式的理解

（1）当玉=》2时，直线与X轴垂直，直线的倾斜角为90°,斜率不存在，此时公式不适用.因此，在研

究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.

（2）直线的斜率公式中”的值与巴两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其

斜率均不变.

（3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说,

如果分子式乃一切，分母必须是X2-X1；如果分子是切一为,分母必须是玉-占，即〃二L二21ZA.

x2-X]X]-x2

（】）当必=乂时，斜率4=0,直线的倾斜角a=0、直线与x轴重合或者平行。

3.直线的斜率与方向向量的关系

我们知道直线勺鸟上的向量£6以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线[々的方向向量的

坐标为（马一%，%—%）•当直线与X轴不垂宜时，此时向量而也是直线62的方向向量，且

W-xJ2

它的坐标」一（心一不刈一%），即（1,三二匕）=（1,左），其中％是直线的斜率.因此，若直线/的

x2-x,x2-Xj

斜率为左，它的一个方向向量的坐标为（x,y）,则斜率为攵=2.

X

模块二：题型分类

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

1.直线/的倾斜角a的取值范闹是（）

A.ae[0,可

C.as[o,2n)D.ae[O,兀)

【答案】D

【解析】直线/的倾斜角是指直线向上的方向与x轴的正半轴之间所成的角，故。的取值范围是。€［（）,九）.

故选：D

2.图中a能表示直线I的倾斜角的是（）

D.②④

【答案】C

【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.

【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的废为直线I的倾斜角,

图③中的a的对顶角为直线I的倾斜角，

图②中的a的补角为直线，的倾斜角，

图④）中的a+90。为直线［的倾斜角.

故符合题意的只有①③.

故选：c

3.已知直线，］的倾斜角力=15。，直线。与％的交点为力，直线，1和％向上的方向之间所成的角为120。，如

图所示，求直线％的倾斜角.

【分析】根据给定图形，结合倾斜角的定义求解.

【详解】设直线%的倾斜角为。2,结合图形及三角形外角与内角的关系,

得散=120°+%=120°+15°=135°,

所以直线G的倾斜角为135。.

4.己知4（一2,0）,3（-5,3）,则直线48的倾斜角为（）

【答案】D

【分析】根据斜率公式求出心8,再根据斜率与倾斜角的关系判断即可.

【详解】因为4（一2,0）,8（-5,3）,所以/8=/左=-1,

设直线48的倾斜角为氏则tane=k48=—l,又。£[0m），

所以”乎即直线4B的倾斜角为手.

故选：D

5.直线Z经过4（4,2⑹,8（3,6）两点，则，的倾斜角是（）

A--B-C-D-

.6•6,3•2

【答案】C

【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案.

【详解】由题知：设直线的倾斜角为6,故tane=V5,所以倾斜角8=g.故选：C

6.已知直线2的方程为y=x+l,则直线珀勺倾斜角为（）

A.45°B.90°C.120°D.135°

【答案】A

【分析】根据直线的斜率的定义即可求解.

【详解】由题意知，直线/的斜电为*=1,设直线，的倾斜角为火0W8<180°）,则tan6=l,

解得8=45°,即直线/的倾斜角为45°.故选：A

7.直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角范围是（）

A.00<a<90°B.90°<«<180°

C.90°<a<180°D.0°<«<180°

【答案】C

【解析】直线倾斜角的取值范围是0。工。<180。，又直线/经过第二、四象限，

所以直线I的倾斜角范围是90。<180°.

故选：C

8.（多选）设直线/过坐标原点，它的倾斜角为明如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转45。，杼到直线人,

那么/）的倾斜角可能为（）

A.a+45°B.a-135°C.135°~aD.a~45°

答案AB

解析根据题意，画出图形，如图所示.

通过图象可知，

当0。・々<135。时，八的倾斜角为a+45。；

当135。<<180。时,/1的倾斜角为45。+〃-180。=々-135。.

9.已知直线/向上方向与y轴正向所成的角为30。，则直线/的倾斜角为.

答案60。或120°

解析有两种情况：①如图(1),直线/向上方向与x轴正向所成的角为60。，即直线/的倾斜角为60。.

②如图(2),直线/向上方向与x轴正向所成的角为120。，即直爱/的倾斜角为120。.

10.已知直线」的倾斜角ai=15。,直线3与为的交点为力,直线人和，2向上的方向所成的角为120。，如图,

则直线h的倾斜角为________.

答案135。

解析设直线，2的倾斜角为以2,八和，2向上的方向所成的角为120。,

所以N历1C=120。，所以。2=120°+©=135°.

题型二：倾斜角与斜率

1.若直线的倾斜角为120。，则直线的斜率为

答案一3,k=tana=tanl20°=—3

2.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为60。，则该直线的斜率为.

【答案】G

【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得.

【详解】因为直线的倾斜角为60,所以直线斜率〃=tan6(T=6.

故答案为：百

3.直线>=底+声的倾斜角等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可.

【详解】化简得y=显然斜率为6,故倾斜角为60。.

故选：B

4.直线y=y/3x+\0086的倾斜角为.

【答案】y/60-

【分析】由题意，根据斜率的定义直接得出结果.

【详解】由题意知，直线的斜率k=石，

设直线的倾斜角为0,贝han0=£,

所以夕建.

故答案为：m

5.直线y=-x+12的倾斜角是（）

nn3n7t

A.-B.-C.—D.一

4243

【答案】C

【分析】求出直线的斜率即可求解.

【详解】因为、+»-12=0,所以y=—x+12,

所以直线"+"12=0的斜率为一1,所以直线x+j—2=0的倾斜角为手.

故选：C.

6.已知直线丁=-（"-百卜-2的倾斜角为3（f,则（）

A.2GB.-C.-D.0

33

【答案】C

【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求〃的值.

【详解】直线（a-G）x+y+2=0的斜率为G”，所以tan30==走,

3

解得”=坦.

3

故选：C.

7.已知直线/的方程为丁=立工+叵〃？，则直线/的倾斜角为（）

33

7t7T3兀,*

A.—B.—C.--D.不确/上

636

【答案】A

【分析】求出直线/的斜率，根据斜率再求直线/的倾斜角即可.

【详解】直线/的方程为X-岛-"7=0,即”且X+正小

33

则直线/的斜率为正，设直线/的倾斜角为。，所以tana=正，

33

因为04。＜兀，所以a=2.

故选：A.

题型三：两点与斜率

1.直线/经过川4,2百）,8（3,6）两点，则/的倾斜角是（）

itititn

A.--B.—C.-D.-

6632

【答案】C

【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案.

【详解】由题知：A9二超=G，

”3-4

设直线的倾斜角为凡故tan9=后，

所以倾斜角夕=早

故选：C

2.已知直线/经过两点M（2,6）,,V（-4,-2）,则它的斜率为.

41

【答案】

JJ

【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率.

【详解】因为直线/经过两点“（2,6）,N（-4,-2）,

（）

所以它的斜率为6丁-乂-2=74

4

故答案为：—.

3.若直线经过4（1,0）1（4,3）两点，则直线的倾斜角为（）

A.30B.45-C.60°D.120°

【答案】B

【解析】由46两点的坐标代入两点间的斜率公式可得储3=汴=1,

设直线48的倾斜角为仇。€[0,兀），可知tanO=l,所以。=：=45=

故选：B

4.已知直线/的倾斜角为且直线经过外-2,6），。（-叽0）两点，则实数〃?的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由题意，直线/的斜率为％=tan四=6=正型，解得〃1=3,故选：B.

3-2+m

5.求经过两点J（2/«,1）,8（切,2乂〃?eR）的直线/的斜率.

【答案】答案见解析

【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况.

【详解】当2〃?=〃?，即6=0时，直线/垂直于x轴，其斜率不存在；

k,-__2_-1_——.1

当2加工切，即加工0时，直线/的斜率m

题型四：直线方向向量与斜座

1.已知（一3,6）是直线1的一个方向向量，则直线[的倾斜角为（）

.ncn-2n〜5n

A-6B-icTD-T

【答案】D

【分析】由直线I的方向向量可知直线l的斜率，进而可得倾斜角.

【详解】设直线1的倾斜角为aw防），由直线I的方向向量可知直线，的斜率k=1211或=-鼻所以。=萼.

36

故选：D.

2.已知直线，的〜个方向向量为（4,一4）,则直线I的倾斜角。=.

【答案】135。/汴

4

【分析】根据给定条件，求出直线I的斜率，进而求出倾斜角.

【详解】由直线I的一个方向向量为（4,一4）,得直线I的斜率〃=tamz=m=-l,而0。Wa<180。，

所以a=135。.故答案为：135°

3.经过4（0,4）,伙-1,3）两点的直线的方向向量（1,6，贝必=（）

A.-IB.0C.1D.2

【答案】C

【解析】由题意而=（TT）与直线的方向向量（1的共线，所以;=J解得攵=1.故选：C.

题型五：斜率与倾斜角概念辨析

1.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（）

A.任意一-条直线都有斜率

B.倾斜角的范围为［0,兀）

C.倾斜角为0的直线只有一条，即x轴

D.若直线的倾斜角为则sinae（OJ）

【答案】B

【解析】对干A,垂直干x轴的直线没有斜率.A错误：

对于B,直线倾斜角的范围为⑼力，B正确；

对于C,垂直于y轴的直线倾斜角都为0,C错误；

对于D,直线的倾斜角为贝lJsina£［OJ,D错误.故选：B

2.在下列四个命题中，正确的是（）

A.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

B.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tana

C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

D.直线的倾斜角的取值范围是口动

【答案】D

【解析】对于A,直线N=x的斜率为1,而tan学=1,显然”不是直线夕=工的倾斜角，A错误；

44

对于B,直线x=l的倾斜角为而直线x=l的斜率不存在，B错误：

对于C,坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误;

对于D,直线的倾斜角的取值范围是［0,冷，D正确.故选：D

3.（多选）已知直线的倾斜角为a,斜率为女，则下列命题正珑的有（）

A.女存在则a一定存在B.e存在则上一定存在

C.有些直线不存在a,但存在〃D.有些直线不存在〃，但存在。

【答案】AD

【解析】所有直线都有倾斜角，但倾斜角a=90。时直线没有斜率.

由此可知，AD正确；BC错误.故选：AD.

4.（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）

A.任意一条直线都有倾斜角和斜率

B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大

C.若一条直线的倾斜角为々，则该直线的斜率为tana

D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0。或90。

【答案】ABC

【解析】对于A,当直线的倾斜角为90。时，直线没有斜率，故A错误；

对于B,当直线的倾斜角为45。时，斜率为1,

当直线的倾斜角为135。时，斜率为7,故B错误；

对于C,若一条直线的倾斜角为。=90。，则该直线的斜率不存在，故C错误；

对于D,当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是9（）。，

当直线与V轴垂直时，直线的倾斜角是0。，

即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0。或90。，故D正确.故选：ABC.

题型六：斜率与倾斜角的变化关系

1.直线的斜率

（1）当倾斜角时，定义tan。为直线/的斜率，常用字母A表示，即:当。即直线/与x

轴垂直时，我们说直线/的斜率不存在.倾斜角不是;的直线都有斜率，其取值范围是（-8,+8）.

<2）直线上任意两点<01，y。、8（%2，、2），当时，k=;当X1="2时，斜率k.

（3）事实上，k=tan。即正切函数在［0m）上的图像受正切函数定义域的限制，1=12句在［0刀）上的图像不

连续，从而k=tan。在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求

得斜率k的范闱，再取并集即可.

（4）斜率左和倾斜角区之间的关系

H

0<0<0

It2

e0

TT2

<2<TT

k————

【答案】仁tane（eW）皆不存在0k>0不存在k<0

【分析】略

【详解】略

2.已知两条直线匕，％的斜率分别为姮，&，倾斜角分别为“，仇若a<]</?，则下列关系正确的是（）

A.0<<k2B.<k2<0C.kx<0<k2D.k2<0<

【答案】D

【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数y=tanx的单调性即可得解.

【详解】依题意得，ki=tana,k2=tan/?,aE[o,1）,即&a），

而丫=tanx在[o,§和gm）上单调递增，且在|o4）上，y=tanr>0,

在5口）上y=tanx<0,所以tan0<0<tana,即七V0V

故选：D

3.已知直线，的倾斜角为a,并且。"WaClZUu,直线]的斜率〃的范围是（）

A.-V3</c<0B.k>->/3

C.kNO或kV-百D.k>0«£/c<-—

3

【答案】c

【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.

【详解】因为斜率九=tana,且0。WaV120。，其中a=90。时直线I无斜率，

当0。工1<90。时，得kNO；

当90。<a<120。时，得k〈一任

故选：C.

4.如图，已知直线4/4的斜率分别为勺，攵2，勺，则（）

B.

C.k3<k2<kxD.k、<k3Vh

【答案】D

【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】设直线4的倾斜角分别为6，%，%，

由题图知，直线人的倾斜角/为钝角，「小〈o.

又直线44的倾斜角见，%均为锐角，且%>%，

0<小<《，

.，.K}<ky<ky.

故选：D.

5.直线心/2,小乙的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）

A.4B.6C.hD.

【答案】B

【解析】由图知：见,勺>0>M>坛,故斜率最小的直线是£

故选：B

6.设直线/的方程为y=-xcosO+l,则直线/的倾斜角a的范围是（）

【答案】D

【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可.

【详解】因为直线xcos0+y-l=0的斜率％=-cos6w[-l』，即tanaw[-l,l],

又1«0,兀），

所以aw0,quU

故选：D

7.直线y=-（后sina卜-2的倾斜角夕的取值范围是

【答案】件,「

.J」L3/

【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.

【详解】tan0=-V3sinae[-石,4],故。3。[叫,,兀）.

故答案为：0,1uI，711

1I

8•直线卜二（777）J十一（777）的倾斜角的取值范围是（）

八花]「3兀\「71兀1兀3兀

A.0,—B.--,TCC.—D.

4」L4/L42J5'了

【答案】B

【分析】

先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.

【详解】

直线工+（/+1》-1=05€*的斜率为—工

由于设倾斜角为。，

fl-+1

则0Wa<7t,-1<tana<0,

所以当工。<九

4

故选:B.

9.若直线团的斜率ke（-co,-l）U（l,6]，则直线机的倾斜角的取值范围是

【答案】（抬]喏寻）

【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解.

【详解】解：设直线〃?的倾斜角为。，则。式0㈤，斜率A=iana("孙

由题意，直线机的斜率〃=tanac(—叫―1)U。,A],贝U：

.1r兀371

当tana<-l时，一<。<一；

24

当IvtanaW百时，*a消;

综上知，直线加的倾斜角的取值范围是招用D修券.

7t7t

故答案为:4,3MPT)

10,直线x+(/+l)y-l=OmeR)的倾斜角的取值范围是()

八九]「3兀\「冗兀、

A.0,—B.——C.—

L4jL4)\_42J

【答案】B

【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.

【详解】直线.*+(/+l)y-1=0(aeR)的斜率为一”,

由于0>-±2-1,设倾斜角为。，

a'+l

则0«a<7t,-l<tana<0,

所以学<。<兀.

4

故选：B.

题型七：直线与线段相交求斜率范围

1.设点44,-3),8(-2,-2),直线/过点尸(U)且与线段45相交,则直线/的斜率左的取值范围是()

44

A.k>\s^k<-4B.kN\或k4一一C.-4<A：<1D.一一<A:<1

33

【答案】B

【分析】根据给定条件求出直线根,尸4的斜率，再画出图形分析可得上“即4或左》即「从而即可得解.

【详解】依题意，直线P4P8的斜率分别为即,=毕^=-。即8=；科=1,

1-4J1-I-ZI

如期所示:

4

贝心的斜率上满足女《原或上之心8=1,

4

即/的斜率4的取值范围是左？|或k<--.

故选：B

2.已知点力(-1,1)、8(1,2)、C(O.-l),过点。的直线/与线段4B有公共点，则直线/的斜率左的取值范

围是()

A.(-2,3)B.(-2,0)50,3)

C.]u[3,+^)D.以上都不对

【答案】C

【分析】过点C的直线/与线段.45有公共点，利用数形结合，得到直线/的斜率左<攵桢或人整心c，进而

求解即可

【详解】如图，过点C的直线/与线段45有公共点，则直线/的斜率“W3c或左之心一

而kAC=-2,kBC=3,于是直线I的斜率左V-2或A之3,

所以直线/斜率A的取值范围是(3,-2]u[3,go),

故选：C

41

3.已知点42,1),5(-2,2),若直线/过点且与线段48有交点，则直线/的斜率4的取值范围

JJ

是.

【答案】(f-当ug,+°o)

O/

【分析】

根据题意，利用斜率公式，分别求得线产力和直线心的斜率，结合图象，即可求解.

【详解】

由题意，点力(21),例一2,2),直线/过点

,1一

可得直线PA的斜率为kp尸TV直线依的斜率为kpB=-=-＞，

2+-7-2+-6

55

如图所示，要使得直线/与线段48有交点，

则直线/的斜率〃的取值范围为3,-71111141收).

0/

11?

故答案为：(~°0»-"-]U[—,-KO).

0/

4.已知两点力(T2),8(2,1),过点尸(0,-1)的直线/与线段//(含端点)有交点，则直线/的斜率的取值

范围为()

A.(-oo,-i]u(l,-Ko)B.[-1,1]C.u[l,+oo)D.-1,1

【答案】A

【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.

【详解】如图所示，

直线PB逆时针旋转到4的位置才能保证过点尸的直线与线段AB有交点，

从P8转到比过程中，倾斜角变大到斜率变大到正无穷，

此时斜率怎8=与等=1,所以此时攵«1,内)；

从尸尸旋转到以过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，

此时斜率%==上"=-1,所以此时攵G(T»,T],

综上可得直线/的斜率的取值范围为(3,-1]D[1,+8).

故选：A

5.若点力(-2,-3),8(-3,-2),直线/过点P。/)且与线段48相交，则直线/的斜率〃的取值范围是()

4_3

B.3，-4

34

D.

4,3

【答案】D

【分析】直线以和尸8的斜率，结合图形判断直线/与线段相交时斜率A的取值范围.

【详解】因为%胃%=三管==•

34

由国可知，直线/与线段48相交时，直线/的斜率k的取值范围是

43

故选：D

题型八：共线问题

L若三点3(2,3),8(3,—2),。停,〃，共线，则，，―.

71

【答案】y

【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得.

【详解】由题意，直线力〃的斜率为仁=汽=-5,直线8c的斜率为："2=詈=一3〃'+2),

2-3

因48,C三点共线，故尢=口，即］劭+2)=-5,解得：W=y.

21

故答案为：—.

2.已知力(0,3),8(1,2)((3,〃?)三点共线，则实数〃?的值为.

【答案】0

【分析】根据力，B,C三点共线可得38=怎。，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可.

【详解】由/(0,3),3(1,2),(7(3,相)三点共线可得的8=品「

即泮=瞽，解得〃?=().

1—03—1

故答案为：0.

3.已知J(a,2),8(5,1),C(-4,2〃)三点在同一条直线上，求。的值.

【答案】2或g

【分析】利用点共线的定义求解参数即可.

【详解】•.•4&C三点共线，

「•"8=怎。，=解得〃=2或〃=£.

a-5-4-52

故所求的a的值为2或

题型九：倾斜角与斜率求参数

1.己知直线/的倾斜角为且直线经过〃(-2,仃)，。(一叫0)两点，则实数6的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据斜率公式计算即可.

【详解】由题意，直线/的斜率为左=tan'=6二由於，

3-2+w

解得m=3,

故选：B.

2.若经过力(机-1,3),8(见1-6)两点的直线的倾斜角是:，贝朋=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】A

【分析】根据斜率公式计算即可.

,1-一371,

【详解】由题意可得-7—77=tan-=l,解得〃?=一3.

故选：A.

2

3已知坐标平面内两个不同的点4。,1),P2(a\a-3a+3)(aeR),若直线"舄的倾斜角是钝角，则。的

取值范围是

【答案】(T，l)u(l,2)

【解析】因为直线4A的倾斜角是钝角，所以直线＜4的斜率A存在，且女＜0,

、r/-3a+3-]_

a2-I(a+l)(a-l)*

(a-2)(a---<0f(iz-2)(tz+1)<0

则*=―甘―^<0=a+1=「「f，解得”«-")51，2).

故答案为：(-覃)51，2).

4.若过点P(1—a,1+a)与0(4,2幻的直线的倾斜角为钝角，且〃7=3加一4小则实数机的取值范围是

「4、

【答案】--,39

-JZ

【解析】设直线的倾斜角为处斜率为A

E・.2Q—(1+Q)Q—1...一

贝！)k=tane=T^~-=-又a为钝角

4-(l-a)tz+3

A—<0,即(4-1)伍+3)<0,故一3<。<1,

a+3

2

因为关于〃的函数〃?=3/-4。的对称轴为y

・・・3x图-4x1<m<3x(-3)2-4x(-3)

「4、

・・・实数，〃的取值范围是--,39.

5.若三点4(2,2),8(a,0),C(0力)，(而’0)共线，则9的值等于___________.

ab

【答案】i/0.5

【解析】由题知，直线4c的斜率存在，由三点共线可知。工2.

由心=心得：一2-02-b即。+6=：1时，又必工0,

2-a2-02

故答案为：y

6.已知力(-1,2),4(3,2)，若直线AP与直线RP的斜率分别为2和-2,则P点的坐标为

【答案】(1,6)

【解析】设尸(工/),显然xw—I,xx3,则匕1=2,匕!=一2,

x+1x-3

解得x=l,y=6,所以P(l,6).

故答案为：(1,6)

7.若过力(〃/+2,2〃?2一3)、8(3-吁〃亡2m)，两点的直线倾斜角为4-贝胴=.

【答案】-j2

【解析】已知点力（>+2,2加2—3）、且直线初的倾斜角为45。，

2

2m-2m-31n\--2m-3,.,o

贝此8==——；-----------=tan45=1,

(〃/+2)_(3-机_〃?2)2m+m-\

2m2-2m-3=2m2+m-12

整理可得解得“=_；.

2〃/+〃?一100

2

故答案为：.

题型十：斜率公式的几何意义应用

1.已知实数小），满足方程），=-£+3,当0<x<4时，则二的取值范围是_________

2x+2

【答案】（0,1）

方程x+2y-6=0,令x=0,贝!]y=3,令x=4,贝!]y=l,

设点40,3）,8（4,1）,

所以二可以表示线段48上的点与C（-2,1）构成的直线的斜率,

x+2

3-1

限=0+2=匕限，

所以二的取值范围为（0,1）.

故答案为：（。，1）.

2.已知正△力5c的顶点4（1,1）,5（1,3）,顶点C在第一象限，若点P（x,y）是△力8c内部及其边界上一点,

则言的最大值为（）

236-3

C.—

3

【答案】B

【解析】正"6。的顶点力(1,1),8(1,3)且顶点C在第一象限，故顶点。的坐标为。+石，2),

士可看作“8c内部及其边界上一点与点(7,0)的连线斜率，

当「运动到点8(1,3)时，直线的斜率最大，故—的最大值为二=。故选：B.

X+11+12

3.已知函数/(x)=ln(x+l).则/⑴，零,拶的大小关系为()

A.小)3犯B.但“⑴3

八)233八，2

C,与＜与＜/⑴D,§＜/⑴〈与

【答案】C

【解析】将函数N=lnx图象向左平移1个单位长度可得函数y=ln(x+l)的图象，如图,

由图可知，函数y=h】(1+1)在(0,+功上单调递增,

点。,/。)),(2,〃2)),(3,/(3))分别与原点(0,0)的连线的斜率随着x的增大而减小,

即雷＞磊＞钾，所以加)＞与〉平.故选：C

4.已知实数-y满足方程-2尸6=。，当。＜…时，则汜的取值范围是--------

【答案】(0,1)

【解析】

方程x+2y-6=0,令x=0,则尸=3,令x=4,则y=l,

设点4(0,3),8(4,1),

所以匕!可以表示线段48上的点与C(-2,1)构成的直线的斜率，七°=色=1,3c=0,

八।4"i/

所以口的取值范围为(0,1).

x+2

5.点加(不,乂)在函数p=e'的图象上，当%式0,1),则匕工的取值范围为______.

阳T

【答案】(F,-2]

【解析】由归表示河(项,必)与点力。,-1)所成直线的斜率〃,

又由历(司,必)是尸U在x«0,l)部分图象上的动点，

如图所示：可得C(0,l),B(l,c),则〃“.二-2,

所以ZM-2,即a的取值范围为2].

模块三：综合巩固

1.图中T能表示直线/的倾斜角的是()

D.®®

【答案】C

【解析】根据倾斜角的定义可知图①中的。为直线/的倾斜角,

图③中的。的对顶角为直线/的倾斜角，

图②中的0的补角为直线/的倾斜角，

图④中的a+90。为直线/的倾斜角.

故符合题意的只有①③.故选：C

2.经过两点力（2,〃?）5（-m,4）的直线/的倾斜角为135°，则〃，的值为（

A.-2B.1C.3D.4

【答案】B

【解析】经过两点力（2,〃?）,8（一肛4）的直线/的斜率为4==，

2+m

ni—4

又直线/的倾斜角为135',所以—=tanl35a=-i,解得朋=1.故选：B.

3.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角

B.•条直线的倾斜角可以为-30。

C.倾斜角为0。的直线有无数条

D.若直线的倾斜角为a,则sinae（OJ）

【答案】AC

【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案.

【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确；

对选项B：倾斜角的范围是0。£。＜180。，不可能为负，错误；

对选项C：倾斜角为0。的直线有无数条，它们都垂直于J，轴，正确；

对选项D：当。=0。时，sin（z=0；当a=90。时，sina=1,错误.

故选：AC

4.若4（1,2）,8（3,〃?），C（7,/w+2）三点共线,则实数m的值为（）

A.-2