中考数学总复习《圆的拓展》专项测试卷（带答案）

中考数学总复习《圆的拓展》专项测试卷（带答案）

1.问题探窕如图1,A8是。。的直径ZC=15°.

⑴求284。的度数.

⑵拓展延伸如图2,若AC=BC，A8与CO的交点记作E,AE=2.

①求00的半径；

②如图3,若。尸是。。的切线，且点尸在明的延长线上，求图3中阴影部分的周长.

2.如图，在。。中，A8为直径，0C_LA8,弦CO与OB交于点F,在A8的延长线上有一

点E,且EF=ED.

（1）求证：OE是。。的切线；

⑵若探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明：

（3）在（2）的条件下，若。F=l,求。。的半径和CO的长.

3.问题背景：如图（1）在四边形A3CO中ZACB=ZADB=90°AD=BD探究线段AC

BCCO之间的数量关系.小明探究此问题的思路是：将△放?力绕点。逆时针旋转90。到

△ATO处点、BC分别落在点AE处（如图（2））易证点C4E在同一条直线上并

且是等腰直角二角形所以CE=&CO从而得出结论：AC+BC=41CD.

简单应用：

（I）在图（I）中若AC=6BC=2近求C。的长

（2）如图（3）48是。。的直径点C。在。。上若A3=134c=12求

C。的长.

(1)求证：AB=BC

（2）探究△膏二的值是否为一个定值？若是求出这个定值若不是请说明理由.

（提示：将ZMDC。5转化到同一个三角形中）

5.问题背景：已知点4是半径为「的圆。上的定点连接。4将线段绕点。逆时针方

向旋转。（。°vav90。）得到0石连接AE过点人作圆。的切线/在直线/上取点C使

得/CAE为锐角.

图1图2图3

初步感知:

(1)如图1当。=60。时ZCAE=。

问题探究：

(2)以线段AC为对角线作矩形4BC。使得边A。过点E连接CE对角线AC8。相

交于点F.

①如图2当AC=2尸时求证：不论。在给定的范围内如何变化8C=8+£D总是成立.

②如图3当处=：=4时请补全图形并求出31。及柴的值.

r30E3AC

6.在人教版九年级上册数学课本儿3页的实验与探究提及到了圆与圆位置关系其中内切

是指一个圆在另一个圆的内部且两圆有且只有一个公共点且过该公共点关于两圆的切

线为两个圆的公切线.如图。。2与oa内切于点了0a的半径为Ro。?的半径为广

R=2r87为OQ与0a的公切线连接厦劣交O。?与OQ于CA两点连接C7.

⑴求证：ZCTA=ZBTA

⑵若「=痴tanZC4T=3求AB的长.

7.阅读材料某个学习小组成员发现：在等腰VA3。中A。平分NZMCVAB=AC

BD=CD:,黑=咚他们猜想：在任意V48C中

一个内角角平分线分对边所成的两

CCZ-/

条线段与这个内角的两边对应成比例.

图1图2

【证明猜想】如图1所示在V48c中AD平分N8AC求证：

ACCD

丹丹认为可以通过构造相似三角形的方法来证明

思思认为可以通过比较NBD和△人6面积的角度来证明.

⑴请你从上面的方法中选择一种进行证明.

(2)【尝试应用】如图2是心△ABC的外接圆点E是。O上一点(与8不重合且

AB=AE连结AE并廷长AEBC交于点、D〃为AE的中点连结5H交AC于点G求

HG*古

丽的值.

(3)【拓展提高】如图3在(2)的条件下延长8,交。。于点尸若BE=EFGH=x求

。。的直径(用x的代数式表示).

8.定义：如果三角形的两个内角。与/满足。+2尸=90。那么称这样的三角形为“类直角

三角形

【尝试运用】

(1)如图1在RtZ\A8C中ZC=9008c=3AB=58。是N48C的平分线.

①求证：△A3。是“类直角三角形”

②求出此时CO的长

③请在边4c上找一点石(异于点。)使得.A/组也是。类直角三角形”并求出此时CE的

长.

【类比拓展】

(2)如图2△A3。内接于直径A8=13弦AQ=5点E是弧40上一动点(不包

括端点A。)延长8E至点C连接AC且NCAD=NAOQ当VA3c是“类直角三角

形”时求AC的长.

9.【问题背景】定义：若两个三角形有一对公共边且另有一组对应边和一对对应角分别对

应相等那么这两个三角形称为邻等三角形.

例如：如图1AB=ACZB=ZCA。是公共边则AAB。与△ACQ是邻等三角形.

（I）【探究发现】如图2四边形是的内接四边形点。是8c的中点那么请判

断△A8Q与△ACO是否为邻等三角形并说明理由.

（2）【拓展探究】以点A（2、2）为圆心Q4为半径的0A交x轴于点8（4,0）交），轴于点。

△OBC是。A的内接三角形4coB=30。.

①如图3求/C的度数和OC的长

②如图4点P为上一点（点P不与点。和点。重合）连接PCOP若NPOC=75。

判断△小#与△OBC是否为邻等三角形（如果是请写出证明过程如果不是请说明理由）

并求点人到线段PC的距离.

10.综合与探究

如图1VA4c内接于。。点。在AC上连接3。交AC于点EAE=DE

N8EC=60°.

猜想证明：

（1）请判断V8EC的形状并说明理由.

拓展延伸：

（2）如图2过点。作OM_LAC于点M延长交BD千点、N.若AE=6EN=4求

8C的长.

（3）在（2）的条件下尸为平面内的一点且BPLCP连接PE请直接写出小的最大

值.

11.问题探究：

⑴如图1在。0中点C是优弧AB上一点点尸在0。外且cP在直线AA的同侧

则/C与NP的大小关系为NC______NP（填“v="或。"）

⑵如图2在RtZXABC中?B90?AB=BC=2点E是8C的中点.若点尸是边AC上

一点试求P8+P石的最小值

⑶如图3社区便民步道！与书干道OO相交于点。步道入口C到。的距离为500mC

到主干道的距离。。为300m.步道上有一休息椅M它到点。的距离为250m.现需要

在主干道。。上设置一段长5m的便民服务宣传栏为节约成本需使步道入口C到A

休息椅M到8的路程和最短（即C4+M8最小）且居民在步道上散步时希望在点P处

能以最佳视角（即/八PK最大）看清宣传栏人B上的内容求点P到路口。的距离.

12.【问题情境】如图矩形ABC。中作㈤尸=45。分别交8c边于点E交C。边于点

【特殊体会】当NR4£=15。时如图1判断。〃与AF之间的数量关系是

【初步探究】当。。经过点。时如图2试探究人8CF八。之间的数量关系并加以

证明

【深入探究】当。。与8c相切时如图3解决下列问题：

①判断。。与CO的位置关系并说明理由

②若BE=5DF=3求EF（直接写出结果）.

参考答案

1.(1)75°

⑵①3+g②（3+.卜+2/.

6

【分析】（1）连接8。允根据圆周角定理得到NADB=90。进而结合题意进行角的运算

即可求解

（2）①连接OC先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质得到N4OC=90。

ZC4E=45°进而得到NOEC的度数设0。的半径为1则0七=。4一AE=〃-2再根

据题意解直角三角形即可求解②连接OO进而根据圜周角定理得到448=30。由①

可得。。的半径为3+6进而根据弧长的计算公式得到AO的长再根据切线的性质得到

ZODF=90°再解直角三角形得到O尸和AA从而根据“阴影部分的周长为

2+8+人尸唧可求解。

【详解】（1）解：如图1连接8。

•.•A8是。。的直径

：.ZADB=90°.

•/Zfi=ZC=15°

/.ZBAD=90°-15o=75°.

图1

（2）解：①如图2连接OC.

AC=BCAB是O。的直径

/.ZAOC=90°ZC4E=45°

.•.ZO£C=ZC4E+ZAC£=45o+15o=60°.

设。。的半径为「则一AE=r-2.

在Rt/XCOE中4OEC=60°

（）C

：.tanZOEC=—即，-=6

OEr-2

解得r=3+G.

图2

②如图3连接OO.

•••ZC=15°

/.ZAOD=3（）°.

由①可得oo的半径为3+百

•加的长为上巫!L但庭.

1806

尸是0。的切线

ZO£>F=90°.

•・•在Rt^ODF中4FOD=30°

DF

tanZFOD=—

OD

DF=—OD=73+1

3

OF=2DF=2x/3+2

A/=O产一。人=26+2—（3+石）=6-1

・•・阴影部分的周长为/+。/+4产="段+6+】+6一1="生+26

4D66

c

图3

【点睛】本题考查了圆周角定理切线的性质弧长的计算以及解直角三角形等解题的关

键在于正确画出辅助线.

2.(1)证明：如图连接。。

\'OC=OD

.\Z3=Z4

EF=ED

：.^EDF=Z2

Z1=Z2

:.ZEDF=Z\

OCLAB

ANl+N3=90。

Z4+Z1=Z4+ZEDF=90nBP“DE=9(T

•••O。是0。的半径

.,.OE是。。的切线

(2)AB=3BE

理由如下：如图连接

c

OA-OD

：.ZOAD=ZODA

•••45是0。的直径

/.ZADB=900即ZADO+ZODB=90°

.•.£>石是。。的切线

ZODE=90。BPNEDB4-NODB=90°

:.ZA()D=NBDE

ZE=NE

.△ADESQBE

DBDEBE

~DA~~AE~~DE

B[)]

在Ri△ABD中tanA=-----=—

AD2

.DE-BE-1

"~AE~~DE~2

设OE=a

AE=2DE=2a.BE=；DE=；a

3

...AB=AE-BE=-a

2

AB=3BE

(3)。0的半径为3CO=%萼

【分析】(1)根据等边对等角可得N3=/4/EDF=N2根据。C_LAB可得

-l+N3=90。进而根据等量代换可得N4+N£Q/7=90°根据切线的判定定理即可证明

。七是。O的切线

RRIr\pnp।

(2)证明△A£>ES/\£)5E在用VA8O中tanA=—=-可得——=——=-设

AD2AEDE2

DE=a分别表示出AB,BE即可得到AB=3BE

(3)过点尸作PG_L3C于点G设/G=〃z则G8=a,F8=Ji〃?CG=2FG=2m在

RAOBC中根据&OC=AC求得/〃=应进而求得OC=OB=3过点。作O〃_LCD

根据tanNOCH=H=tanOCr=22=：解直角三角形即可求得C”的长进而求得

CHOC3

CQ的长.

【详解】（1）略

（2）略

（3）如图过点尸作FGJL8C于点G

•，OCJ-ABAC=AC

:.ZABC=-ZAOC=45°

2

.•.△8PG是等腰直角三角形

DB=DB

4FCG=AA

I

,/tanAA=—

2

/.tanZGCF=-

2

1

/.FG=—

CG2

设FG=m则GB=m.FB=CG=2FG=2m

BC=3m

在R^OBC中OC=OB=OF+FB=T+6m

gOC=BC

即(1+0〃？)0一3〃？

解得〃1=解

:,FB=2

；.OC=OB=OF+FB="2=3

过点。作

-OC=OD

:.CD=2CH

/~；------71—0尸又℃335/10

在RtQCF中

CF7OC-+OF2=9)OH-CF=^=—

在RSOCH中

CHOC3

9x/io

CH=3OH=

10

：.CD=2CH誓

3.(1)3

【分析】（1）本题主要考查对上述结论的理解与应用代入上述结论：AC+8C=夜CD直

接计算即可.

（2）本题主要考查在圆内利用已知结论求解线段长作辅助线根据直径所对的圆周角是直

角得：ZADB=ZACB=9U。由弧相等可知所对的弦相等得到满足图I的条件所以

AC+BC=V5cn代入可得。的长解答本题的关键在于作出合适的辅助线.

【详解】解：（1）由题意知：AC+BC=6CD

••・&+2无=血8,

・・・CO=3

故答案为3

(2)如图3连接ACBDAD

图3

•・•AB是。O的直径

/.ZWB=ZACB=90°,

=AD=BD

，AD=BD

VAB=\3BC=12

・••由勾股定理得：AC=5

由图1得：AC+BC=6CD,

5+\2=y/2CD,

•「八J友

2

4.(1)证明见详解

(2)是定值值为友

【分析】(1)根据角平分线得到相等的圆周角利用'谁等的圆周角所对的弧相等“推出

AB=BC再由“等弧对等弦“证明AB=BC

(2)采用截长补短法构造全等三角形将D4+DC转化为线段。产结合直径所对圆周角

为直角角平分线的性质证明△D8尸是等腰直角三角形从而建立D4+DC与。8的数

最关系求出比值.

【详解】(1)证明：:瓦)平分/4/X?

・•・NADB=/CDB

JAB=BC

，AB=BC.

(2)解：空华是定值定值为夜理由如下：

DB

延长0c到点”使得b=D4连接8尸如图

•••四边形48CQ内接于。。

/84。+/8。。=180。

又,/NBCD+NBCF=180°

，NBAD=/BCF

由（1）知A8=8C

DA=CF

在.BAD和&BCF中、/BAD=NBCF

AB=BC

•••△朋。3△8C*SAS）

，BD=BFNABD=NCBF

〈AC是GX）的直径

/.NADC=90°90。即NABD+NDBC=90°

・•・/CBF+NDBC=/DBF=90°

又•••平分/AQC

NADB=NCDB=45。

由△BAD*BCF得ZF=/ADB=45°

在ADBF中ZDBF=9（r//=45。

•••△08/是等腰直角三角形

,DF=42DB

又•：DF=DC+CF=DC+DA

DA+DC=>/2DB

DB

5.（1）30"（2）见解析（3）①见解析②图见解圻tana=g凳二

3nC2

【分析】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质锐角三角函数全等的判定和性质

相似的判定和性质等熟练掌握相关知识点是解题关键.

（1）根据等腰4。七的角度和切线的性质即可求出NC4£=30。

（2）因为AO=8C且AO=A£+£D要证3C=CD+£D实际要证CD=A£根据我

们证线段相等的思路：（1）同一个三角形证等腰（2）不同三角形证全等可证

AAS）即可

4AC4FHOF3

（3）由4C=7/•得==：再作。H1AE证△OE〃s^c也）得到中=二=二

3OA3EDCE2

通过设边长再利用勾股定理建立勾股方程即可找到线段之间的关系.

【详解】（1）；0A=0E3LZA0E=（A）0

是等边三角形

N04£=6O°

•.•直线/是圆。的切线A为切点

AOA±l即/。4。=90。

二.ZC4£=ZCMC-ZCZ4£=90o-60o=30°

故答案为：30°

（2）证明：•.•四边形A3CQ是矩形AC=2r

OA=OE=CF=DF=r

ZO4C=ZADC=90

ZOAE+ZC4D=ZACD+ZCAD

^OAE=ZACD

-OA=OECF=DF

:.ZOAE=ZOEA=ZACD=/CDF

在△。4£和4^。。中

ZOEA=ZFDC

-NOAE="CD

OA=CF

.•.△O4E^AFCD（AAS）

:.AE=CD

,/AD=AE+ED

二.BC=CD+ED.

即无论夕在给定的范围内如何变化BC=CD+ED总、成立.

（3）①补全图形如图

•・・AC是切线

/.ZOAC=90

4

•.MC=-r

3

tanZAOC=—=-

OA3

4

设。A=3ni贝ljAC=-r=4m

3

OC=>JOA2+AC2=J©,"+(4〃。2=5m

CE2

•/----=—OE=OA=3m

OE3

CE=2mOE+CE=5m=OC

即点E在线段OC上

4

/.tana=tanZ.AOC=—.

3

②：由OH〃CO得

4DCE=4HOE=4CAD

又•:ND=ND

.CDCE_2m_I

AD=7C=4^=2

AB1

----=—.

BC2

6.⑴见解析

【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理可证NCT8=N8QJZD=ZA7B根据

0Q=&A可证2ZD=乙40/从而可证ZCTA=NBTA

(2)由(1)可知NG=N。又有/ACT=ND4r=90。^vF.^CAT^ATD根据相似三

角形的性质可得tanNA7D=3设AT=x贝i」AO=3A7=3x利用勾股定理可得AT=4

4）=12设AC=y则b=3），利用勾股定理可得八。=①。7=347=迎

55

。生叵再利用相似三角形的性质可得BC-%叵从而可求人“-回.

5102

【详解】（1）证明：如图1延长。2a交oa于点。连接A。连接。］

BT为。。2与OQ的公切线为OO2的半径

图1

/.O-T±BT

zLO-JB=90°

2002=O；T0。与。。2内切

・••0i027三点共线

又•.•。/为的直径

ZO,C7'=90°

ZCOJ+ZCTO[=90°ZCTB+NCTO、=90°

:.NCTB=NBO】T

•••ZBZ4+ZATO=90°ZATO+ZD=90°

•・ZD=ZATB

又O{D=O.A

2ZD=ZAOJ

1.ZCTA=ZBTA

⑵解：VZCL4=ZDZACT=ZZMr=90°

^CAT^ATD

•CAAT

~CT~~ADZ.CAT=ZATD

VtanZCAT=3。7=4，=4M

tanNA77)=---=3

AT

T^AT=X贝IJ47)=3A7=3X

在R^AOT中AT2+。尸=DT2

.-.x+(3x)2=(4>/i0)2

解得：x=4

/MT=4

AAD=3AT=\2

设4C=y则CT=3y

在RSACT中AC2+CT2=AT2

.-.y2+(3y)2=42

解得：),=2叵

5

.._2屈57.T6x/io

55

...cq=yjo^-cr2=J40-—xio=5^

j255

4CTB=ZBOJ/([CT=/BCT=90°

:.△CTO\S&BCT

.CT_BC

CO^~CT

5J,9亚

CO,8910

,AB=BC-AC=^-^=^.

1052

【点睛】本题主要考查了圆周角定理圆与圆的位置关系相似三角形的判定与性质勾股

定理本题的综合性较强解决本题的关键需要熟练地掌握图形的性质并综合运用这些

性质.

7.(1)见解析

(3)。。的直径为竽x

【分析】(1)选丹丹延长4。交过点C与A8平行的直线交于E4。平分/84C得出

ZBAD=ZCAD根据可得AC=EC再证△4B7)S/\EC。即可

选思思过点。作汽＞_L"OQLAC于点PQ根据角平分线性质得出户。=。。根据

q—'AB-PD，nq-BD-flnr\

三角形高等得出产2-^--------=—再根据-------=右即可

'△ACDi.ACDQAL242Dh"

(2)连接CE先证NAEC=90。再证R"ABC/RlZkAEC(HL)得出N8AC=NE4C即

AC为N34E的角平分线得出空=空根据〃为AE的中点可得4/4!人石即

GBAB22

可

(3)作助V_L4£交AE于点N设8E交AC于M光证小HBEs^BAE得出

ABAEBE

而=诙=应根据4B.得出BH=BE根据GM=X可求BH=BE=3x得出

华=条求得田亚

可得"=4£=2〃石=3正工根据勾股定理BN=

3xHE

=加工利用三角函数得出

>IBE2-NE2

4

后―一3岳12"

cosZ.NBE=-----=----=cosZBAC在A/VA3O中cosZ.BACJ|47”即可.

BE4---

4

【详解】(1)选丹丹方法丹丹认为可以通过构造相似三角形的方法来证明

证明：延长人。交过点C与48平行的直线交于石

•••A。平分NB4C

：,ZBAD=ZCAD

，：CE〃AB

・•・/BAD=/CED=/CAD

：,AC=EC

•:AB〃CE

/.AABDs4ECD

,ABBD

*~EC~~CD

.ABBD

'7c-CD

选择思思方法：思思认为可以通过比较△A8O和△ACO面积的角度来证明.

证明：过点。作OQJL4C于点。Q

•二人。平分/BACPD1ABDQ1AC

PD=DQ

$LABPDAN

S4ABD_2_，/

L.ACDQAC

&BDh_BD

又：

S.ACD-CDhCD

2

.ABBD

'~AC~'CD

(2)解:连接CE

*/0。是的外接圆/A8O90。

JAC为0。的直径

・•・ZAEC=90°

在Ri△人BC和RIA4EC中

AB=AE

AB=AB

・・・R3A8CgRt"EC(HL)

A

ZBAC=ZEAC

即4c为NBAE的角平分线

.HGAH

又•・•，为4E的中点

：.AH=-AE=-AB

22

.AH_GH

',~AB~2~~GB

(3)作8N_LAE交AE于点N设8E交人。于加

，NF=NEBH

•：4BAE=/BFE

；・NHBE=NBAE

•••NHEB二NBEA

△HBEs△BAE

.ABAEBE

*：AB=AE

:・BH=BE

又"：GH=x

由（2）知BG=2G〃=2x

BE4

仅，――3历12仃

在R/VA3O中一COSYBAL9一7八

丁

即0。的直径为"也》.

7

【点睛】本题考查角平分线定义平行线性质等腰三角形判定与性质相似三角形判定与

性质三角形面积三角形全等判定与性质角平分线性质线段中点勾股定理一元

二次方程锐角三角函数圆的直径掌握以上知识是解题关键.

79R45

8.（1）①见解析②；③=：（2）—

【分析】（1）①证明4+2244短=9（）。即可解决问题

②由勾股定理得AC=4再由角平分线的性质得CO=ZW然后由面积法求出CD的长

即可解决问题

③如图假设在AC边设上存在点E（异于点功使得zMBE是“类直角三角形证明

△ABCs^BEC可得隽=*由此构建方程即可解决问题.

CEBC

(2)分两种情形：①如图当NA3c+2NC=90。时作点。关于直线A8的对称点尸连

接£4FB.则点小在。。上旦NDBF=NDOA.

②如图由①可知点CA尸共线当点E与。共线时由对称性可知平分

2FBC可证NC+2N/WC=90。利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题.

【详解】（1）①证明：

QBO是NA8C的角平分线

.\ZABC=2ZABD

ZC=90°

:.ZA+ZABC=90P

.-.ZA+2Z4BD=90°

为“类直角三角形”.

②解：如图过点D作DW/AB于点M

C

\VZC=90°BC=3AB=5

AMB

:.AC=\IAB2-BC2=4DCYBC

Q8£＞平分/ABCDM1AB

\CD=DM

,•^SABC=S^BD+S、cBD

：.-ACBC=-ABDM+-BCCD

222

..AC-BC=ABDM-¥BCCD

即3x4=58+38

3

解得：CD=3

③解：如图假设在AC边设上存在点£（异于点必使得△A即是“类直角三角形”.

c

•••ZAEB=ZC+ZEBC>9()0

AB

二.NA跳：+2/4=90°

ZABE+ZA+Z.CBE=9^

:“=NCBE

:.AABCS^BEC

,BCAC

~CE~~BC

•8c29

AC4

(2)解：•.・"是直径

.­.ZADB=90°

•：AD=5AB=\3

:.BD=7AB2-AD2=V132-52=12

①如图当NABC+2/C=90。时作点。关于直线ABH勺对称点尸连接£4则点

尸在。。上且ND8/=/力。4

\Z.DBF+^DAF=\W且NC4O=NAOQ

.•.ZC4D+ZmF=180°

-CAr共线

•/ZC+ZABC+ZABF=9(F

/.ZC=ZABF

—BP—=——

FBFC1212+AC

1|Q

.•.4C=手(不合题意舍去).

②如图由①可知点、CA尸共线当点E与。共线时由对称性可知明平分

NFBC

Z.CAD=NCBFZC=ZC

.△DACs/BC

CDADCD5

——=——即niI------=一

CFBFAC+512

.-.CD=(4C+5)

在Rl^ADC中CD2+AD2=AC2

A。=(含去负值)

综上所述当V/WC是“类直角三角形”时AC的长为8常45.

【点睛】本题通过“类直角三角形”为背景考查角平分线的性质勾股定理相似三角形的判

定和性质对称性和共线的性质解题的关键是熟悉相似三角形的判定和性质以及分类讨

论思想的应用.

9.(l)z\A4O与是邻等三角形理由理由见解析

⑵①ZC=45°OC=2+2x/3②点A到线段PC的距离为6-1

【分析】⑴根据点。是BC的中点BD=CD,?BAD?CAD又4)=4)符合邻等

三角形的定义

(2)①作44_L0B连接AO,AB作6K_LOC在RtZXBOK中0B=4

NBOK=30°进而求得0长=2道,在口33“中CK=2,BC=2夜根据

OC=CK+KC即可求解②先证？OCP30??BOC再证即可证出结论

作b_Lx轴垂足为点F先求出PC所在直线与x轴间的距离是1+G再求出结论即可.

【详解】(1)解：△A3。与AAa)是邻等三角形理由如下：

丁点。是5c的中点

:,BD=CD,?BAD2CAD

AD=AD

•••△ABD与AAC力是邻等三角形

(2)①如图2作连接AO,A8

•：OA=OB

/.OH=BH

•・•点A的坐标是（2,2）

/.AH=OH=BH=2

/.ZO\B=90°

<NC=4NOAB=45。

2

作8KJLOC在RIA80K中08=4,?BOK30?

ABK=2,OK=2也

在RtAJ5KC中NC=45。

:,CK=2,BC=2也

，OC=2+2/

②△OCP与△O8C是邻等三角形理由如下：

由①知?BOC30靶OCB=45?

\?OBC180?30?45?105?

B、C、P四点都在。。上即四边形08cp为圆内接四边形

\?OBC20PC180?

\?OPC75?

•;?POC75?

\2OCP180?75?75?30??BOC

\OP=BC

\OP=BC

•・•0C为公共边

「.△OC/与△08C是邻等三角形

作3_1_不轴垂足为点尸

V?OCP?BOC30?

\尸。〃不轴

在RIZXCO尸中OC=2+2GZBOC=30°

\CF=loC=l+x/3即PC所在直线与k轴间的距离是1+G

由①知点A到x轴距离=2

•・•点A到线段PC的距离为1十百-2=g-1.

【点睛】本题考查了圆与三角形综合考查圆周角定理圆内接四边形性质及勾股定理解

直角三角形等知识牢记相关性质是解题的关键.

10.（I）△BCE是等边三旃形（2）10（3）5+56

【分析】（1）先证明VAQE是等边三角形从而可得/ZME=NADE=60。再利用圆周角

定理得出ZACB=ZADE=60°/CBD=ZDAE=600从而可得△4CE是等边三角形

（2）先根据等边三角形的性质得出/NEM=60。再利用含有30度角的直角三角形的性质

求得£用从而可求得4例利用垂径定理求得4c从而可结合等边三角形的性质求得

BC

（3）先根据题意得出?在以BC为直径的圆上并确定直线EQ交圆。于点P如图此时

庄为最大分别求出QEP。相加即可.

【详解】（1）解：连接AO如图

・•以）交AC于点七

/.ZAED=ZBEC=ar

•:AE=DE

，VADE是等边三角形

AZmE=ZA£>E=60°

，ZAC/?=Z4DE=60°

/CBD=NDAE=&T

•••△4CE是等边三角形

(2):△BCE是等边三隹形

A/LNEM=60°BC=EC

OM±AC

/.ZENM=90°-NNEM=30°

又EN=4

EM=-EN=2

2

,?AE=6

AM=AE+EM=S

VOM±AC

AC=2AM=16

/.EC=AC-AE=\6-6=W

•••BC=EC=U)

(3)VBPVCPBC=EC=\0尸为平面内的一点

・・・P在以8c为直径的圆上

作O_L4C于点。如图

图2

•••△3C£是等边三角形

:.BE=EC=BC=IO/£8C=60。

就是以BC为直径的圆的圆心

・••EQ垂直平分BC

直线£Q交圆Q于点。如图此时PE为最大

BQ=；BC=5

在R3BQE中BE1=BQ2+EQ1

.\102=52+Ee2

・・.£Q=±5石(负值舍去)

:BP1CP

.・.QP=3BC=5

・•・EP的最大值为尸Q+Q£=5+56.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质含30度角的直角三角形用勾股定理解三

角形利用垂径定理求值圆周角定理等知识解题关健是掌握上述知识点并能熟练运用

求解

11.(D>

⑵石

(3)点尸到路口。的距离为

【分析】(1)令加)与。。的交点为Q连接3Q根据同弧所对的圆周角相等得出

NC=ZAQB根据外角的性质可得乙即可得出NC>NP

(2)作E关于直线AC的对称点£连接C£EEBEBE交AC于P根据对称的

性质得出推得当点。PE三点共线时P3+庄的值最小最小值为

的长度根据等腰直角三侑形的性质得出4CB=45。根据中点的定义得出C£=l结合

对称的性质和勾股定理求得4£=石即可求解

(3)根据勾股定理求出OD=400m过点A作/UT〃/加旦AM'=8W过点M'作0。的

对称点M"M'M"交OD于点、E过点M作交于点尸过点M"作

M"G_LCO的延长线于点G连接CM"与。。交于点《连接4M"结合三角形中位线

的定义求出Mb=150mDF=200mME=ME=M/=150mGM*=195m

CG=450m根据三角形的三边关系得出CA+MBNCM"推得当点CAM"三点共

线时C4+M8取最小值结合相似三角形的判定和性质求出。4'=130m结合（1）得出

满足最大则需要点P人8三点在同一个圆上据此过弦AB确定圆O'0<7

与C。相切于点/>连接08O,BOD过点。'作。9_LOD交于点P结合垂直平分

线的性质求出PO=267.5m根据勾股定理推得=产斤-产夕即可求出符合条件时

点尸到路口。的距离.

【详解】（1）ZC>ZP理由如下：

令”与。。的交点为。连接3。如图：

・•・ZC=ZAQB

在NBPQ中ZAQB=NP+NQBP

即ZAQB>NP

:.ZC>ZP.

(2)作E关于直线AC的对称点£连接EE!BE'BE交AC于P如图:

，PE=PE

，PB+PE=PB+PE

当点、BP£三点共线时P8+庄的值最小最小值为的长度

VZABC=90°AB=BC=2

ZACT=45°

•・•点E是BC的中点

：.CE=-BC=\

2

■:E£关于直线AC对称

，ZACE=ZACB=45°CE=CE=1

，NBCE=90。

在RtABCf*中BE=，BC,+EC?=4+/=石

•••PA+正的最小值为后.

(3)根据题意可得MZ)=250mCD=5(X)mCO=3(X)mA8=5m

故点M是CD的中点OD=yjcDr-OC2=75002-3OO2=400m

过点人作W〃8M且AA7'=8W过点M'作。。的对称点ATM'M8交OD于点E过

点、M作MF上OD交OD干点、F过点AT作ATG_LCO的延长线干点G连接CM〃与

交于点A连接AM".如图：

则EF=MM'=AB=5m四边形MM'EF是矩形四边形M/WM是平行四边形

'：MF工ODCO1OD

：.CO\\MF

.CDOP

^~MD~~DF

又•••点例是C。的中点

，DF=-OD

2

故M歹是△COQ的中位线

JMF=-OC=\50mDF=-OD=200m

22

M'E=MnE=ME=\50mGM"=OE=Dk-£卜=200-5=195m

CG=CO+OG=CO+MT=300+150=450m

C4+8M=C4+AM'=C4+AM"

在△CAM”中C4+4M"之CM"

，CA+MB>CMn

故当点。AM"三点共线时C4+M8取最小值.

〈ON〃GM"

，△COASCGAT

.OArCO

GMnCG

AOA，=C£^=30()xl95=130m>

CG450

由第1小问可得满足NAP8最大则需要点尸A