2025-2026学年高中数学人教版必修第二册教案-向量的减法运算

6.2.2向量的减法运算

一、向量的减法运算及其几何意义

问题I在初中，我们学过相反数，课本上是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？

结合定义和性质，我们能否给出“相反向量”的定义？

提示只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小，又有方

向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向

相反的两个向量称作相反向量.

问题2在数的运算中，减法是求两个实数的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去

一个数等于加上这个数的相反数”，类比上面的这段话，把其中的“数”变为“向量”，上面这

段话变成什么了？

提示类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互

逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.

问题3如果已知以ta,OB=b,请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到

提示如图，作而工力，由向量减法与加法的转化规则可知而，以雨和面为邻边作平行

四边形048,则a+而二沅，且AC与平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OC43中，AC

与05平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以瓦5二沆卬尻

【知识梳理】

1.相反向量：与向量〃长度相等,方向札I反的向量,叫做〃的量反向量,记作上.

2.相反向量的性质：

(1)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=^.

(3)如果0,力互为相反向量，那么。=1,b=-a,a+b=0.

3.向量的减法：向量。加上b的相反向量,叫做〃与b的差，即〃-力=〃+(1),求两个向量差的运算

叫做向量的减法.从定义可以看出，向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当

于加上这个向量的相反向量.

4.已知向量a,b,在平面内任取一点O,作引=a,OB=b,则瓦即可以表示为从向量b的

终点指向向量。的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减,

意思是求两个向量的差向量时，起点要重合，连接它们的终点，方向由减向量的终点指向被减向

量的终点.

注意点：

(Da的相反向量也是向量，也需要从大小和方向两个角度来理解.

(2)相反向量与方向相反的向量不是一回事，两个向量互为相反向量，它们的方向一定是相反的,

但当两个向量方向相反时，它们不一定是相反向量，因为它们的模不一定相等.

例1如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量〃+力匕

解方法一如图①，在平面内任取一点。，作罚=。，AB=b,贝ij砺，再作泥=c,则岳=a+〃-c.

方法二如图②，在平面内任取一点O,作而,AB=b,贝ij而=a+b,再作通二c,连接OC,贝I］反二a+b-c.

反思感悟求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以直接用向量减法的几何意义，按照“共起点、连终点、指被减”的口诀来计算，共分为两步，第一

步通过平移使两向量的起点重合，第二步得到差向量为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量.

(2)可以转化为向量的加法来进行，如a-h,可以先作”,然后作。+(/)即可.

跟踪训练1如图，已知向量。，h,c,求作向量a-b-c.

解如图，在平面内任取一点O,作向量二?二a,OB=h,则向量瓦,再作向量近二c,则向量g

二、向量加减的混合运算

例2（1）化简:

①而质-丽称

②（而-而）-（落丽）.

解①原式二杯+（丽-丽）二沛+而二林-游二0.

②原式;而-而-1?+而

二（祢-祀）+（反-丽尸无+近二0.

⑵如图，P,Q是8c的边8c上的两点，且丽二&,贝！化简通+m-Q-湎的结果为（）

A.0B.BP

答案A

解析^+^-AP-^=(AB-^)+(AC-AQ)=PB+QC=QC-BP=().

反思感悟（1）向量减法运算的常用方法

（2）向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且求和.

②起点相同且求差.

提醒：解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应月.

跟踪训练2⑴如图，设施=〃，AD=b,芯=c,则反等于（）

A.a-b+c

B.b-(a+c)

C.a+b+c

D.b-a+c

答案A

解析,：AC=AB+BC=a+c,

/.DC=AC-AD=a+c-b.

（2）化简下列各式：

①函+而）+（-砺-而）；

②而-称反.

解①方法一原式二通+而+南+丽

=（AB^）+（^+MB）=AO+OB=AB.

方法二原式二通+丽+丽+丽

，■，...‘9一'一

=AB+（MB+BO）+OM

=AB+MO+OM=AB+（i=AB.

方法三设。是平面内任一点，则原式二（万-57）+（而-丽）-丽-丽

=OB-OA+OB-OM-OB+OM

=OB-OA=AB.

②方法一原式=丽-反=而.

方法二原^=AB-（AD+DC）=AB^AC=CB.

方法三设。是平面内任一点，则原式=（赤-57）-（而-万?）-（沆-而）

=0R^jAJ）D+0AJ）C+7）T）

=OB^OC=CB.

三、向量加减法的综合应用

问题4通过上节课，我们知道已知mb,||叶四W|a+b|W|a|+|b|.用J替换式子中的瓦有什么结

论？总结一下11aH加与I。土臼及13+⑸三者有什么样的大小关系？

提示因为闺=步|,所以用1替换式子中的b可得到MHb||W|a-MW|a|+步|,结合两个式子可知||此例与I。动I

及⑷+1例的关系为土b|W|a|+瓦口诀：同号取等方向同，异号取等方向反.

例3⑴在四边形A8C。中，AB=DCt若丽-而|二|正-瓦?则四边形48。＞是（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不确定

答案B

解析\'AB=DC,

/.四边形A8CO为平行四边形.

又〈l而祠二阮丽,

：,\BD\=\AC\,

・•・四边形ABC。为矩形.

⑵己知丽=7,而|=9,则|而-衲的取值范围为.

答案[2,16]

解析・・・||希卜|函|三|而-荷|W|前|+|而|且|同|二9,

函=7,

・・・2W|通-荷|W16.

通-而|的取值范围为[2,16].

延伸探究思考对任意的向量a与力，|。+"冽。协是否一定成立？

解不一定.

当。与力不共线时，则|a+例与依例分别表示以。，力为邻边的平行四边形两条对角线的长度，其大小不定；

当。与力为非零共线向量时,同向则有|。+例＞依臼，异向则有|。+可＜在臼;

当a,b中有一个为零向量时，|0+”=依瓦

反思感悟(1)用向量法解决平面几何问题的步骤

①将平面几何问题中的量抽象成向量.

②化归为向量问题，进行向量运算.

③将向量问题还原为平面几何问题.

(2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键

①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段表示的向量相等

即可.

②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.

跟踪训练3如图，在四边形A8c。中，\DA\=\DB\=\DC\f且万壮丽-沆，则NA8C=.

B

答案120°

解析由向量的减法的几何意义可知，

DB-DC=CB,

因为瓦?二丽-沆,所以曲二丽.

所以四边形A8C。是平行四边形，

又因为|万彳|二|而|=|反|,

所以四边形A8CO是菱形，且NDA8=60。，所以N48c=120。.

1.在△ABC中，BC=a,CA=b,则同等于（）

R.a+bB.-a-b

C.a-bD.b-a

答案B

解析如图，-：BA=BC+CA=a+b,

,*.AB=-BA=-a-b.

2.化简丽-丽+丽的结果是（）

A.MPB.NPC.0D.MN

答案C

解析丽丽+丽二丽+而二0.

3.（多洗）若非零向量〃,〃互为相反向量.则下列说法中正确的是（)

\.a//bB.a^b

cm用欧D.b=-a

答案ABD

解析非零相反向量a,b的模|。|=|夙

4.若菱形ABCD的边长为2,则而-赤+而|的长度为,

答案2

解析|而-而+而1=1而+前+而|=05|=2.

课时对点练［分值：100分］

单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分

1.化简而-而-丽的结果为（）

A.诟B.而CACD.CD

答案D

解析AB-AC-D'B=CB-DS=CB+BD=CD.

2.下列各式中，恒成立的是（）

A.AB=BAB.a-a=0

C.AB-AC=BCD.A§-Cfi+C4=0

答案D

解析选项D中，7^-^+CA=AB^BC+CA=AC+CA=^

3.（多选）下列结果恒为零向量的是（）

:7........>=一♦，♦一>

A.AB-（BC+CA）B.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+ADDlW+OP+MN-TlP

答案BCD

解析A项，AB-（BC+CA）=AB^BA^AB+AB；B项，AB^AC+~BD-CD=CB+BC=O；C项，瓦•

OD+7d）=DA+AD=（i；D项，雨+而+丽丽丽+丽=0.

4.如图，在四边形A8CD中，设而=a,~AD=b,'BC=c,则反等于（）

A.a-b+cB.b-(a+c)

C.a+b+cD.b-a+c

答案A

解析DC=AC-AD

=AB+BC-AD

=AB-AD+BC

=a-b-¥c.

5.在边长为1的正三角形ABC中，|近-近|的值为（）

A.lB.2C.—D.73

2

答案D

解析如图，作菱形48CD,

^\\AB-BC\=\AB-AD\

=\DB\=V3.

6.（多选）在菱形ABCD中,下列等式中成立的是（）

\AC7^B=BCBJD^BD=AB

C.前-前二沅D.亦-初二沅

答案ABD

解析对于A,AC-AB=BC,A正确；

对于B,'AD^BD=AD+DB=AB,B正确；

对于C,BD^AC=（AD-AB）-（AD+AB^^AB-AB/BC,C错误；

对于D,前-历=前+抗演,D正确.

7.（5分）如图，在正六边形A8CDE尸中，记向量短卬~ED=b,则向量前=.（用mb表示）

答案h-a

解析由正六边形的性质知，

~ED-FA=BC,

：.BC=b-a.

8.（5分）如图，在三角形AAC中，若。是边8c的中点，E是边A8上一点，则说-万?+前二

A

E

BDC

答案0

解析因为。是边8C的中点，

所以前=沆,

所以成反+前二丽+前灰谢-反=0.

9.(1()分)如图，。为△A8C内一点，OA=a,OB=b,沆=c.求作:

(l)b+c-。；(5分)

(2)a-b-c.(5分)

解⑴如图所示，以南，沆为邻边作,连接OD,ADf^OD=OB+OC=b+c,

A

所以b+c-a=OD-OA=AD.

⑵由⑴知，

OD=b+c,

贝I]a-b-c=OA-OD=DA,

如图.

10.⑴分）在平行四边形A3CD中,已知而二a,FC=d,瓦5=c,且|。+力|=|o-b|,|a|=6,\b\=2y/3.^\a-b-c\.

解因为a+b=AC,a-b=DB,

又|a+ga询，故|荷二丽,

故平行四边形A8CO是矩形，

由⑷=6，网=2百，

得|而|二|砺|=，36+12=4百,

又a-b-c=AB^BC-BD=AB-AD+DB=DB+DB,

贝“al-c|=88.

11.已知瓦5二0,OB=b,|O2|=5,|而|二12,ZAOB=90°,则|8例等于()

A.7B.17C.13D.8

答案C

解析由乙4。8=90。，知△0A8为直角三角形，

/.\a-b\=\BA\=>J52+122=13.

12.已知菱形A8CO的边长为2,则|尼|的取值范围是()

A.(0,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(0,4)

答案D

解析\9AC=AB-CB,又在菱形ABCD中,

\CB\=\AB\=2,

A\\AB\-\CB\\<\AC\=\AB-CB\<\AB\+\CB\,

即()<福<4.

故|而|的取值范围是(0,4).

13.在平面上有A,B,C三点，设片通+近，〃与夙记，若帆与〃的长度恰好相等，则有()

A.A,B,C三点必在一条直线上

B.△力BC必为等腰三角形且N8为顶角

©.△ABC必为直角三角形且N8为直角

D.ZX/8C必为等腰直角三角形

答案C

解析由题意知A,B,C三点不共线，以瓦5,瓦为邻边作平行四边形A8C。，则m=AB+BC=AC,n=AB-

AD=DB，由%〃的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△48C必为直角三

角形且NB为直角.

14.(5分)已知非零向量°,力满足|4卜|例=依加则曾二

\a-b\

答案V3

解析如图