2026年高考数学复习讲义二次函数与一元二次方程、不等式（学生版+解析）

专题1.5二次函数与一元二次方程、不等式(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1不含参一元二次不等式的求解】................................................................3

【题型2含参一元二次不等式的求解】..................................................................3

【题型3由一元二次不等式的解选定参数】.............................................................4

【题型4分式、高次、绝对值不等式的求解】...........................................................4

【题型5一元二次不等式根的分布问题】...............................................................5

【题型6二次函数的单调性、最值及图象问题】........................................................5

【题型7一元二次不等式恒成立问题】................................................................6

【题型8一元二次不等式有解问题】...................................................................7

【题型9一元二次不等式的实际应用】................................................................7

1、二次函数与一元二次方程、不等式

考点要求真题统计考情分析

一元二次不等式是高考数学的重要内

⑴会从实际情景中抽象容.从近几年高考情况来看，解不等式、

2023年新高考I卷：第1题，5

出一元二次不等式三个“二次”的关系是常考内容，高考中

分

⑵掌握三个“二次”的关主要以选择题、填空题的形式呈现，难

2025年全国二卷：第4题，5分

系，会解一元二次不等式度不大；此外，“含参不等式恒成立与

2025年天津卷：第15题，5分

(3)了解分式、高次、绝对能成立问题”也是常考的热点内容，其

2025年上海卷：第2题，4分

值不等式的解法以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活

等特点备受高考命题者的青睐.

知识梳理

知识点一元二次不等式

1.一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:

①通过对不等式,变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

(2)解食参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;

②若求对应••元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

2.分式、高次、绝对值不等式的解法

⑴解分式不等式的一般步骤:

①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元•次不等式组求解，但要注意分母不

为零.

②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分:不要去分母)，使之转化为不等号右边为零,

然后再用上述方法求解.

(2)解高次不等式的一般步骤：

高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2,一般采用“穿针引线法”,

步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线：⑤得解集.

(3)解绝对值不等式的一般步骤：

对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解：还可以借助数轴来求解.

3.一元二次不等式恒成立、存在性问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式加+队+c>0,它的解集为R

的条件｛4=/-4加<0.

、(a>0

一元二次不等式加+/u+c20,它的解集为R的条件为J4=/_4砒^0.

一元二次不等式加+区+<>0的解集为。的条件为J.

【方法技巧与总结】

1.已知关于X的一元二次不等式仆2+公+。>0的解集为R,则一定满足

[△<0

2.已知关于x的一元二次不等式+法+c>0的解集为0,则一定满足”<?；

[A<0

3.已知关于x的一元二次不等式ad+bx+cvO的解集为R,则一定满足卜<?：

A<0

4.已知关于x的一元二次不等式a*+/»+cv()的解集为0,则一定满足f>?.

A<0

举一后二

【题型1不含参一元二次不等式的求解】

【例1】（2025・天津•模拟预测）已知p:%2+2%-3<0,q:/+x—2VO,则p是q的（）条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式1-1]（23-24高一上•山东济宁•阶段练习）不等式（％-2）（3-2%）>0的解集为（）

A.Jx|x>B.^<%<2j

C.{%|工工,或工22}D.^x\x<

【变式1-2]（2025•江西上饶•一模）已知集合M={%32-6X-7V0},N={x\2x>a},若MEN,则实

数a的取值范围为（）

A.（-co,14]B.（-co,14）C.（-2,4-co）D.（-oo,-2]

【变式1-3]（2025•河北•模拟预测）己知集合A=[x\x2<1},B={x\2a<x<2a+l）,若“t€ZT是“teA”

成立的充分不必要条件，则实数4的取值范围为（）

A.卜刊B.（-刊C.（0,1）D.[0,1]

【题型2含参一元二次不等式的求解】

【例2】（2025高一上•河北保定・专题练习）若0<tV1,则关于工的不等式（无一。（％->V0的解集为（）

A.{x|-<x<t}B.{%[%>三或“<£}

tt

C.或％〉t}D.{x\t<x<1}

【变式2-1]（24-25高一上•上海金山・期末）当0Va<1时，关于x的不等式（％-3）[（1-a）x+（a-3）]<0

的解集为（）

A.（-8,合）U（3,+8）B.（-8,3）U（詈+8）

C（3,合）D.（詈3）

【变式2-2]（24-25高一上•广东汕头・期末）对于给定实数。，关于"的一元二次不等式（ax-1）（%+1）<。的

解集可能是（）

A.（x|-1<x<B.{x\x1}C.{x|^<x<-ijD.R

【变式2-3]（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）关于t的不等式a/+（2a-l）x-2>0,其中aW0,则该

不等式的解集不可能是（）

A.（-oo,-2）B.（-2,今

C.（-00,-2）uQ,4-00）D.&-2）

【题型3由一元二次不等式的解确定参数】

【例3】（24-25高二下•江苏无锡•阶段练习）不等式炉-以-bV0的解集是卬1<x<3},则必—一1>

0的解集是（）

A.{x|-3<x<-1}B.-1VxV-：}

C.{x[x<-3或%>-1}D.<-1或x>—

【变式3-1]（2026高三・全国•专题练习）若关于%的不等式/一（m+3）%+3mV0的解集中恰有3个整数,

则实数m的取值范围为（）

A.（6,7]B.[-1,0）C.[-1,0）U（6,7]D.[-1,7]

【变式3-2]（24-25高一上•云南昭通・期中）已知不等式a/+版+cV0的解集为{xlx<-1或x>3},则

下列结论正确的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+cAO

D.ex2-bx+a<0的解集为{x|-1<x<J

【变式3-31（2025•福建南平•二模）关于£的实系数二次不等式£2+（匕-IR+QV。的解集为（_2,一1）,若

ax-by=1,（x”R）,则的最小值为（）

A.\B.V2C.2D.2V2

【题型4分式、高次、绝对值不等式的求解】

【例4】（2025•全国二卷•高考真题）不等式2的解集是（）

A.{x|-2<%<1}B.{x|%<-2）

C.{%|-2<x<1}D.{x|x>1）

【变式4-1]（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知集合力={xeZ\-2<x<4},^={x1^->1j,WiMn^=（）

A.{x|-l<x<4]B.{-1,04,2,3,4}C.{04,2,3,4}D.(2,-1,0,1,2,3,4)

【变式4-2］（2025•上海・高考真题）不等式的解集为♦

【变式4-3］（2025・上海崇明・二模）不等式|%-1|V2的解为.

【题型5一元二次不等式根的分布问题】

【例5】（24-25高一上•浙江•期中）关于%的方程*2+9一2沈+5-。=0有两根，其中一根小于2,另一

根大于3,则实数a的取值范围是（）

A.{a\a<-5或Q>-4}B.{a|-5<a<-4］

C.{a\a<-5}D.{a\a>—4}

【变式5-1］（24-25高一上・安徽合肥・期中）已知关于x的方程M+（m-2）x+5-m=0有两个大于2的相

异实数根，则实数〃，的取值范围是（）

A.{m|-5VmM-4或m24}B.{m|-5<m<—4}

C.{TH|—5<m<—4}D.{m|-5Vme-4或m>4}

【变式5-2］（24-25高三上•四川•阶段练习）若关于x的方程/-2ax+a+2=0在区间（一2,1）上有两个不相

等的实数解，则a的取值范围是（）

A.（—Ji）B.（-/I）

C.（-8,一§u（-1,+8）D.（-00,-^u（1,4-00）

［变式5-31（24-25高一上•辽宁大连•期中）关于x的方程a/+钛+1=0至少有一个负根的充要条件是（）

A.0<a<4B.a<0C.a<4D.a<4

【题型6二次函数的单调性、最值及图象问题】

【例6】（24-25高一下•云南迪庆・期末）抛物线y=。/+板+«。#0）的部分图象如图所示，下列说法正

确的是（）

A.abc>0B.b=2a

C.3cz+c<0D.b2<4ac

【变式6-1]（24-25高一上•陕西西安・期末）若函数八%）=。/-2%+4在区间[1,3]上不具有单调性，则实

数a的取值范围是（）

A.（1,1）B.C.（-oo,1）D.&+8）

【变式6-2]（24-25高一上•北京・开学考试）已知二次函数y二m¥2一2加工（m为常数），当一14工£2时。,

函数值y的最小值为-2,则m的，直是（）

A.-2B.1C.2或一；D.-1

【变式6-3]（2025•陕西汉中•三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下

的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守

队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶

段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述

数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A,B,

C,。四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（）

2'P

o~~i_24""X

A.P-MTQB.PTBTQC.PtCtQD.PtDtQ

【题型7一元二次不等式恒成立问题】

【例7】（2025•浙江•模拟预测）若不等式k/+（k_6）%+2>。的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）

A.2</c<18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0<k<2

【变式7-1]（24-25高一下•贵州•期中）若不等式?n/+mx-4V2x2+2%对任意实数%均成立,则实数m的

取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-14,2）C.（-8,-2）U[2,+8）D.（-14,2]

【变式7-2]（24-25高三上•山西•阶段练习）若命题pTxW[-2,2],使得/-2%-m?+2m20为假命题,

则实数ni的取值范围为（）

A.(—co,1)U(1,4-oo)B.(—oo,0)U(2,4-co)

C.(—co,-4)U(2,+co)D.(—8,-2)U(4,+8)

【变式7-3](24-25高三上•河南许昌•期中)VxW(-2,+8),/十缶一+7-2。20恒成立，则实数a的

最大值为()

A.V3B.3C.2A/3D.6

【题型8一元二次不等式有解问题】

【例8】(24-25高一上•北京•期中)已知存在％W[0,1],使得/一似之Hi?一4m成立，则m的取值范围是()

A.[0,1]B.[1,3]C.[0,4]D.[0,+oo)

【变式8-1](24-25高一下•湖北黄冈•阶段练习)关于工的不等式/一(a+2)x+2a<0有解是“a>2”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D,充分不必要条件

【变式8-2](2025・河南•模拟预测)已知命题-辞+3n+a>0”为真命题，则实数Q的取值

范围是()

A.(-a),-2)B.(-8,4)C.(-2,+8)D.(4,+8)

【变式8-3](2025•陕西宝鸡•模拟预测)若存在实数，使得血炉一(根一2)%+卅〈0成立，则实数m的取

值范围为()

A.(-co,2)B.(一8,0]U6,|)

C.(-8,§D.(-oo,l)

【题型9一元二次不等式的实际应用】

【例9】(24-25高一上•广东肇庆•阶段练习)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.

若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高I元，日销售量将减少2个.为了使这批

削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价%(单位：元)的取值范围是()

A.(10,20)B.[15,20iC.(16,20)D.[15,25)

【变式9-1](2025高二下•湖北•学业考试)若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度九(单位：

2

m)与时间t(单位：s)满足关系式h=v0t-^gt,其中g«lOm/s2,%为初速度晌盼归同学以%=llm/s

竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m处及以上的位置最多停留时间为()

A.1.8sB.2.8sC.3.8sD.4.8s

【变式9-2]（24-25高一上・云南・期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高

2

度力与时间£满足关系九=vot-其中g«10m/s,一名同学以初速度%=llm/s竖直上抛一排球,

排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留（）

A.1.6sB.1.7sC.1.8sD.1.9s

【变式9-3]（24-25高一下•河南•开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的

黄河等自然风光构成了河南十富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持

续发展.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天

的定价在200元的基础上提高10x元（14X410,XGZ）,则被租出的客房会减少15%套.若要使该连锁

酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）

A.250元B.260元C.270元D.280元

过关测试

一、单选题

1.（2025・甘肃白银•模拟预测）使不等式/+3<较成立的一个充分不必要条件为（）

A.1<x<3B.0<x<3C.x>3D.1<x<3

2.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）若关于％的不等式。/+以一2>0的解集是弓,-2）,则a的取值范围是

（）

A.（-8,-J

C.（-1,0）D.（-pO）U（0,+oo）

3.（2025•重庆•一模）已知aGR,则3+2x+a>。的解集为R”是"a>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024・甘肃张掖•模拟预测）不等式-3x|<2-2%的解集是（）

A-（-M）B.（-1,0C.（T手）D.（三*）

5.（2025・陕西渭南•二模）若关于%的不等式2以2-4%有且只有一个整数解，则实数a的取值范围

是（）

A.（1,2]B.[1,2）C.（0,2）D.（0,2]

6.（2024•山西•模拟预测）已知关于工的不等式ax+b>0的解集为（一4,+8）,则关于刀的不等式。/一公<。

的解集为（）

A.（-;,0）B.（-00,-1）U（0,+Q0）

C.（0,?D.（一8,0）U（%+8）

7.（2024.贵州遵义.模拟预测）已知函数/（%）=/-2比+2£2—2匕则下列选项正确的是（）

A.f（x）的图象恒过点（0,0）B./（%）的图象必与％轴有两个不同的交点

C./（幻的最小值可能为-2D./（%）的最小值可能为-1

8.（2024.北京朝阳•模拟预测）定义区间（m,7i）（mV舞）的长度为n-m,设〃>0,若对于任意a#朝不等

式」-+三>上的解集所包含区间长度之和恒为3,则4的值为（）.

x-ax-b

A.1B.-C.2D.3

2

二、多选题

9.（24-25高一上•广东广州•期末）使不等式2kM+依一：〈0对一切实数％都成立的一个充分条件是（）

O

A./c=0B.k=1C.k=-lD.-3<k<0

10.（24-25高一上•吉林通化•阶段练习）已知关于x的不等式a/+加+cv。的解集为{无忱<-2或%>3],

则下列说法正确的是（）

A.a<0

B.ax+c>0的解集为{x|x>6}

C.8a+4b+3cV0

D.ex2+bx+a<0的解集为一：VxV[}

II.（2024.广东深圳.模拟预测）下列说法正确的是（）

A.不等式4%2-5%4-1>0的解集是{x|x>或％<1j

B.不等式2/—%_6W0的解集是卜卜<—弓或工.2}

C.若不等式Q/+8QX+21Vo恒成立，则〃的取值范围是0

D.若关于x的不等式27+以一3Vo的解集是（q,l）,则,+q的值为一g

三、填空题

12.（2025・上海・三模）不等式三-V_工,30的解集为-------

13.（2024・辽宁・三模）若FxC（0,18）,使“2一"+4〈0”是假命题，则实数。的取值范围为.

14.(2025•甘肃兰州・模拟预测〉若不等式m/+2mx-4<2/+4%对任意xGR都成立，则实数m的取值

范围是.

四、解答题

15.(2024•山东•二模)已知/(%)是二次函数，且，(1)=4,/(0)=1,/(3)=4.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若x6[—1,5],求函数外外的最小值和最大值.

16.(2025高一•全国•专题练习)已知%1、必是关于％的方程--(4+1)%+；/+1=()的两个实数根，根

4

据下列条件，分别求出k的值：

(l)xtx2=5；

⑵岛|=x2.

17.(2024・广东中山•模拟预测)某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水

的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)

与设备的占地面积工(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2,预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单

位：万元)与设备占地面积》之间的函数关系为C(x)=言。>0),将该企业的净水设备购置费与安装后4

年需缴水费之和合计为y(单位：万元).

⑴要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；

(2)设备占地面积3为多少时，y的值最小？

18.(2024•全国•模拟预测)已知函数f(%)=|2%-a|,且/(%)Nb的解集为［-1,3］.

⑴求a和b的值;

(2)若f(x)W-£|在上恒成立，求实数t的取值范围.

19.(2024•吉林长春•模拟预测)定义区间(m,n)、［科用、(科林］、［犯")的长度均为九一m,其中九>TH.

(1)若关于％的不等式/+bx+l<。的解集区间长度为2,求匕的值；

(2)若a>b>c且a+b+c=0,求关于3的不等式1ax?+bx+c<0的解集区间长度范围.

专题1.5二次函数与一元二次方程、不等式(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1不含参一元二次不等式的求解】................................................................3

【题型2含参一元二次不等式的求解】..................................................................3

【题型3由一元二次不等式的解确定参数】.............................................................4

【题型4分式、高次、绝对值不等式的求解】...........................................................4

【题型5一元二次不等式根的分布问题】...............................................................5

【题型6二次函数的单调性、最值及图象问题】.........................................................5

【题型7一元二次不等式恒成立问题】................................................................6

【题型8一元二次不等式有解问题】...................................................................7

【题型9一元二次不等式的实际应用】................................................................7

1、二次函数与一元二次方程、不等式

考点要求真题统计考情分析

一元二次不等式是高考数学的重要内

⑴会从实际情景中抽象容.从近几年高考情况来看，解不等式、

2023年新高考I卷：第1题，5三个“二次..的关系是常考内容，高考中

出一元二次不等式

分

⑵掌握三个“二次”的关主要以选择题、填空题的形式呈现，难

2025年全国二卷：第4题，5分

系，会解一元二次不等式度不大；此外，“含参不等式恒成立与

2025年天津卷：第15题，5分

(3)了解分式、高次、绝对能成立问题”也是常考的热点内容，其

2025年上海卷：第2题，4分

值不等式的解法以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活

等特点备受高考命题者的青睐.

知识梳理

知识点一元二次不等式

1.一元二次不等式的解法

⑴解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:

①通过对不等式,变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;

④根据函数图象与X轴的相关位置写出不等式的解集.

(2)解含叁数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

2.分式、高次、绝对值不等式的解法

⑴解分式小等式的一般步骤：

①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不

为零.

②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分〔不要去分母)，使之转化为不等号右边为零,

然后再用上述方法求解.

(2)解直迭不等式的一般步骤：

高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2,一般采用“穿针引线法”,

步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.

⑶解绝对值不等式的一般步骤:

对「绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.

3.一元二次不等式恒成立、存在性问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式公+c〉()，它的解集为R

a>0

{△=/-4QCVO•

一元二次不等式加+bx+c20,它的解集为R的条件为.

一元二次不等式aF+A+c>0的解集为0的条件为{黑、.

【方法技巧与总结】

I.已知关于x的一元二次不等式•2+公.+。>0的解集为R,则一定满足卜>°；

△<0

2.己知关于X的一元二次不等式公2|法〉。>0的解集为0,则一定满足；

A<0

3.已知关于X的一元二次不等式仆2+乐+c〈o的解集为R,则一定满足

A<0

4.已知关于x的一元二次不等式仆2+公+c<0的解集为0,则一定满足

A<0

举一反三

【题型1不含参一元二次不等式的求解】

【例1】(2025・天津•模拟预测)已知p:%2+2%-3<0,q:/+x—2VO,则p是q的()条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解题思路】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.

【解答过程】由口:产+2%-3<。得一3cx<1,

由q:/+无-2<0得一2<x<1,

则p是q的必要不充分条件.

故选:B.

【变式1-1](23-24高一上•山东济宁•阶段练习)不等式(％—2)(3-2幻N0的解集为()

A.{x\x>|)B.{x||<x<2)

C.卜忱工,或XN2}D.[x\x<

【解题思路】利用二次不等式的解法求解即可.

【解答过程】因为a-2)(3-2幻N0,

所以(％-2)(2x-3)<0,解得曰<x<2,

则不等式a-2)(3-2x)>0的解集为卜弓WxW2}.

故选：B.

【变式1-2](2025•江西上饶•一模)已知集合用={划/-6%-7<0},N={x\2x>a],若MJN,则实

数a的取值范围为()

A.(-00,14]B.(-8,14)C.(-2,+oo)D.(-00,-2]

【解题思路】解不等式求得集合M,N,由MGN,可得：工一1,求解即可.

【解答过程】由/一6%—7<0,得(无一7)(无+1)<0,解得一IV无V7,所以M=(-l,7),

N={x\2x>a)=^x\x>"，

由M£N,所以]4一1，解得QW—2,所以实数a的取值范围为(—8,—2].

故选:D.

【变式1-3](2025•河北•模拟预测)已知集合A=[x\x2<1},B={x\2a<x<2a+l],若"tEB"是%GA”

成立的充分不必要条件，则实数”的取值范围为()

A.[-1,0]B.(-1,0)C.(0,|)D.[0,1]

【解题思路】先求解不等式/VI，得到集合4再由戈€中是成立的充分不必要条件，

分析得到8手4再列出不等式组，求解即可.

【解答过程】由公<1解得一1<%<1,故4=(一1,1),

因为、,te8”是。ezr成立的充分不必要条件，

所以8曝4所以有，2£二\，解得一3WaWO，

l，Q+1<12

故选：A.

【题型2含参一元二次不等式的求解】

[例2](2025高一上•河北保定・专题练习)若0VtV1,则关于工的不等式(x-t)(x-1)<0的解集为()

A.{x||<x<t]B.{%|%>，或％<1}

C.{%[%<；或=>£}D.{x\t<x<

【解题思路】根据给定条件，比较e*的大小，进而结合二次函数的图象写出解集.

【解答过程】当0<£V1时，|>1>t>0,W(x-0(x-1)<0,得t<%<I，

所以不等式Q-t)(x-1)<0的解集为<x<1].

故选：D.

【变式2-1](24-25高一上•上海金山・期末)当0VaV1时，关于x的不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0

的解集为()

A.(-8,悬)U(3,+s)B.(-8,3)U(E，+8)

C(哈)D.(詈3)

【解题思路】将原不等式转换为(％-3)[一统]V0,在OVa<1的前提下，比较3,公的大小即可得解.

【解答过程】0<a<1时，1一Q>0,不等式(％-3)[(1-a)x+(a-3)]<0可化为(x-3)卜一岩]<°，

mM.0—3a-3-3a+3-2ap

因为----3o=--------=——，KOA<a<1,

a-la-1a-1

所以3>0.—>3,

a-1a-1

解原不等式，得3Vxe巴米

a-1

所以原不等式的解集为5|3<x<

故选：C.

【变式2-2](24-25高一上•广东汕头・期末)对于给定实数〃，关于x的一元二次不等式(ax-1)(%+1)<0的

解集可能是()

A.卜|一1V%<JB.{x|x1)C.1x|<x<—ljD.R

【解题思路】根据参数a的符号，以及△和-1的大小关系分类讨论即可.

a

【解答过程】当Q<-1时，-1<^<0,此时解集为口优<一1或%>}},

当6=-1时，=-1,此时解集为{x|XH-1},

当-lVaVO时，:<一1，此时解集为{幻％<；或%>-1}，

当。=0时，不等式为一(工+1)<0,此时解集为>一1},

当a>0时，3>0，此时解集为卜I-1V%<£(，

故A正确，B、C、D错误.

故选：A.

【变式2-3](24-25高一上.陕西渭南•阶段练习)关于x的不等式"2+(2。一1)丫一2Ao.其中a<0,则该

不等式的解集不可能是()

A.(—oo,—2)B.(一

C.(-CO,-2)UQ»+°°)D.G

【解题思路】考虑a=0和aV0两种情况，当QVO时将不等式变形为0+2)[-3)<(),根据根的大小关

系得到aw(-(0),a=-p。€(-8,-9三种情况，解不等式对比选项即可.

【解答过程】当Q=0时，不等式QM+(2。—1)%—2>0,即—x—2>0,x<—2»

故不等式的解集为(—8,-2),故A可能；

当a<0时，a/+(2a—l)x—2=(z(x+2)(%—>0,即(x+2)(x—<0,

当a€(-：,0)时，0+2)(无一今<0的解集为(；,一2),故D可能;

当a=一决寸,不等式a+2)&一?VO无解;

当“6(-8,-3时，(％+2)卜一?VO的解集为(一2,£),故B可能.

故选：C.

【题型3由一元二次不等式的解确定参数】

【例3】(24-25高二下•江苏无锡•阶段练习)不等式/一QX—b<。的解集是{划1<x<3},则b%2—一1>

0的解集是()

A.{x|-3<x<-1}B.-1VxV-：}

C.{x[x<-3或%>-1}D.<-1或x>—

【解题思路】首先根据不等式的解集求出a,b的值，可求出6/_以_1>0的解集.

【解答过程】因为不等式/一ax-b<0的解集是{x[l<x<3},

所以1,3是方程炉一QX一匕=0的两个根.

所以解得

(9-3a—b=03=-3

所以不等式一3/-4x-1>0化简得(3x+l)(x+l)<0.

所以一1<%V—].

故选:B.

【变式3-1](2026高三.全国•专题练习)若关于%的不等式％2-(m+3)无+3mV0的解集中恰有3个整数,

则实数m的取值范围为()

A.(6,7]B.[-1,0)C.[-1,0)U(6,7]D.[-1,7]

【解题思路】分类m>3,m=3,znV3时，分别得出解析计算求参.

【解答过程】不等式/-(m+3)x+3m<0可化为(％-3)(x-m)<0,

当相>3时，不等式的解集为(3,m),要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4,5,6,所以6<m工7；

当加=3时，不等式的解集为0,此时不符合题意；

当血<3时，不等式的解集为(m,3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0,1,2,所以-1工mV0.

综上可知，实数m的取值范围是[-1,0)U(6,7].

故选：C.

【变式3-2](24-25高一上•云南昭通•期中)已知不等式+bx+cV0的解集为(xIxV-1或%>3},则

下列结论正确的是()

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c>0

D.c/-bx+Qvo的解集为{无|一1<x<：}

【解题思路】利用三个二次的关系分析得到a<0,b=-2a,c=-3a,即可判断AB；对于C,由1C{"x<-1

或x>3}可得Q+匕+c>U；对于D,利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得.

【解答过程】由题意知，一1和3是方程Q/+"+C=O的两根，且Q<0,

则有-1+3=-a(-1)x3=-a,故得b=-2a,c=-3a.

对于AB,由。<0和b=-2a,c=—3a,可推得匕>0,c>0,故AB均错误；

对于C,因1{xIx<—1或%>3},故a+b+c>0,故C正确：

对于D,由上分析，不等式ex?一bx+a<0可化为a(3%+1)(%-1)>0,

因aV0,,故可解得一gvxvl,即c/一bx+aV0的解集为卜卜：V%<1},故D错误.

故选：C.

【变式3-3】(2025•福建南平•二模)关于t的实系数二次不等式/+S—l)t+Qvo的解集为(-2,-1),若

ax-by=1,(x,ye/?),则的最小值为()

A.-B.\f2C.2D.2V2

2

【解题思路】由已知可得一2,-1是一元二次方程d+(匕-1)£+。=0的根，进而可得,可得2*-y=

詈=2，+条可求2…的最小值.

【解答过程】因为关于t的实系数二次不等式产+(匕-l)t+a<0的解集为(-2,-1),

所以一2,-1是一元二次方程/+(b-l)t+a=0的根，

所以尸；：，之一1),解得片=3所以2"-4'=1,所以4=厂+1,

所以2、=喋=2、+/之2J2yx泉=2,

当且仅当y=O,x=1时取等号.

所以4-y的最小值为2.

故选：C.

【题型4分式、高次、绝