期中复习讲义：立体几何初步【16大题型】原卷版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

立体几何初步【16大题型】（期中复习讲义）

内容导航

明•期中考清把握命题趋势,明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络,扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破,方法技巧精讲

题型01空间几何体的结构特征题型02斜二测画法及其计算

题型03几何体展开图的最短路径问题题型04简单几何体的表面积与体积

题型05共点、共线、共面问题证明题型06线面位关系的命题判断

题型07空间平行关系的证明题型08空间垂直关系的证明

题型09异面直线所成角的求解题型10直线与平面所成角的求解

题型11平面与平面所成角的求解题型12空间距离的求解

题型13几何体的外接球与内切球题型14几何体中的动点探索问题

题型15空间几何体中的截面问题题型16空间几何体翻折问题综合

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

基本立体图形1、能准确识别各类空间几何体的结构特征，基础必考点，多以小题（选择题、填空题）

区分易混淆儿何体；形式考查，难度较低；

2、能根据结构特征判断几何体的类型，描易错点：混淆棱台与棱锥的结构特征（忽

述几何体的构成要素；略“棱台两底面平行且对应边成比例”）、

3、能利用结构特征解决简单的几何体识别、误将圆台的母线当作高

分类问题

立体图形的直1、掌握斜二测画法的核心规则，能运用斜基础必考点，贴合新课标及课本要求，多

观图二测画法画出简单立体图形的直观图：以小题形式考查，难度较低；

2、能根据直观图，还原立体图形的原始形易错点：斜二测画法应用失误（忽略“平行

状及尺寸关系；于y轴的线段长度变为原来的一半”）、混

3、能区分直观图与原图形的形状、大小差淆直观图与原图形的面积比例关系、画直

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异，准确判断直观图对应的原图形特征观图时忽略几何体的结构特征

简单几何体的表1、熟记各类空间几何体的表面积、体积公高频考点，小题、大题均可能考查，小题

面积与体积式，能准确区分侧面积与表面积；侧重公式直接应用，大题多结合几何体组

2、能结合几何体的结构特征，代入公式计合、截面问题考查；

算表面积、体积（含组合体）：易错点：公式记忆混淆、计算组合体体积

3、能解决与表面积、体积相关的实际问题时漏算或多算部分几何体、忽略单位统•

空间点、线、面1、掌握课本中空间点、直线、平面之间的基础必考点，贴合课本知识点考杏，多以

之间的位置关系位置关系，能准确判断；小题形式考查，侧重位置关系的判断与符

2、能结合课本图形，用规范的符号语言表号表示；

示空间位置关系；命题趋势：常结合课本中长方体、正方体

3、能区分异面直线与相交、平行直线，结模型，考查线线、线面位置关系；

合课本定义判断异面直线所成角的范围易错点：误将异面直线当作相交直线，符

号语言表示不规范，忽略课本中异面直线

的定义

空间直线、平面1、熟记课本中线面平行、面面平行的判定核心难点考点，贴合课本重点内容，大题

的平行定理和性质定理，明确定理的核心条件；必考（多作为证明题的一部分），小题也

2、能结合课本例题的证明思路，运用定理会考查判定定理的应用：

规范书写线面平行、而面平行的证明步骤：命题趋势：多结合课本中棱柱、长方体模

3、能利用平行关系，解决课本习题中简单型，考查定理的综合应用，常与线面垂直

的线线平行推导问题结合命题；

易错点：忽略课本中线面平行判定中“直线

在平面外”的条件，性质定理应用不规范

空间直线、平面1、熟记线面垂直、面面垂直的判定定理和核心难点考点，贴合课本重点内容，大题

的垂直性质定理，明确定理的核心条件；必考（重点考查证明与计算），小题侧重

2、运用定理规范书写线面垂直、面面垂直判定与性质的简单应用；

的证明步骤；命题趋势：是期中大题的核心考查内容，

3、能利用垂直关系，解决线线垂直、线面常结合表面积、体积计算综合考查，贴合

垂直的推导问题，求简单的线面角课本习题难度，难度中等偏上；

易错点：遗漏课本中面面垂直判定“一个平

面过另一个平面的垂线,，的条，牛，线面角的

定义理解错误

■记•必备知识.

限知识点01空间几何体的结构特征

1、多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

5D'

图形

ABABAR

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

2、特殊的棱柱和棱锥

（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正

多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.

（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱长均相

等的正三棱锥叫做正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的

中心.

【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是楂柱.

（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台.

（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点.

3、旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

酊您@

图形A

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形

任一直角边所在的垂直于底边的腰直径所在的

旋转轴任一边所在的直线

直线所在的直线直线

互相平行且相等，垂直

母线相交于一点延长线交于一点

于底面X

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

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4、空间几何体的直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

（2）规则：

①原图形中x轴、p轴、z轴两两垂直,直观图中，V轴、轴的夹角为45。（或135°）,Z釉与H轴和y轴所在

平面垂直.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原

长度不变；平行于），轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

（3）直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：5强图=乌-5触形=2"小.

双知识点02空间几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积和体积公式

称

表面积体积

儿何体

柱体（棱柱和圆柱）S表也枳=S像j+2s底V=S欧h

1

锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=SM+S联

♦=1(s上+s下+JSiS卜M

台体（棱台和圆台）s表面积=s侧+S]+S下

4

球S=4兀R2P=F&3

3

几何体的表面积和侧面积的注意点

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

②组合体的表面积应注意重合部分的处理.

2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系

（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥,

c'=c1c'=01

贝US正较柱------S正极台忸=申。+"）刀'------->S正校献

（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱：当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，

/=/•r'=0

则S网柱例=2兀4---------S网台创=兀（厂+/）/------>S团修用="/.

3、柱体、锥体、台体体积间的关系

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肢知识点03空间点、直线、平面的位置关系

1、4个基本事实

（1）基本事实I：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据

（2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

【拓展】基本事实2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线勿二点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据

（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.

作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据

（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3、直线与直线的位置关系

（1）空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设。，6是两条异面直线，经过空间任一点O作直线”|小"仍，把"与犷所成的锐角（或直角）

叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

②范围：（0。，90°].

4、直线与平面的位置关系

直线。在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线。与平面a相交直线。与平面a平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

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符号表示auaaC\a=Aalia

---a

图形表示ZH7二

5、两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示a\\pan//=/

^^7

图形表示口

限知识点04空间直线、平面的平行

1、直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义：直线/与平面。没有公共点，则称直线/与平面a平行.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此平面内

aCa,bua,

判定定理的一条直线平行，则该直线

a\\b=a||a

平行于此平面

一条直线和一个平面平行，

Mia,au0,

性质定理则过这条直线的任一平面与

cj.C\/i=h=>a\\b

此平面的交线与该直线平行

2、平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线与另一aua,bua,aClb=P,

判定定理

个平面平行，则这两个平面平行a\\p,

两个平面平行，则其中一个平面内的

性质定理/二/a\\fi,aua=a叨

直线平行于另一个平面%/

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如果两个平行平面同时和第三个平

all夕，aC\y=a,fiC\y=b=>a\\b

面相交，那么它们的交线平行/

3、平行关系之间的转化

性质定理

I列定定理♦定定理

线线平行"■三T线面平行一、面面平行

I性质定理性质定理I

判定定理

在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转叱，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面

面平行“；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题H的具体条件而定的,

不可过于“模式化

愎知识点05空间直线、平面的垂直

1、直线与平面垂直

（1）定义：直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂直.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形看言符号语言

一条直线与一个平面内的两

1a，bua

aClh=O

判定定理条相交宜线都垂直，则该直=>/la

刁ILa

线与此平面垂直lib

ab

垂直于同一个平面的两条直

£

性质定理61〃卜加

线平行7

2、直线和平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.

（2）范围：［o,

2

3、平面与平面垂直

（1）二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两

条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

（2）平面和平面垂直的定义

两个平面相交,如果所成的二面角是有二面.角,就说这两个平面开相垂直.

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（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另i个平面的i

/1a)c

判定定理41u邛

垂线，则这两个平面垂直

两个平面垂直，则一个平面al夕

5

性质定理内垂直于交线的直线与另a=>/±a

LJan£=〃

一个平面垂直ILa

谨记五个结论

（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂宜于这个平面.

（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）.

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

4、垂直关系之间的转化

在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的

转化关系,即：

刘定

到定I

线线垂直〜台线面垂直『三面面垂直

［性质性质।

性庾

在证明两平面垂宜时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的宜线在图中不存在，则可通

过作辅助线来解决.

.破•重难题型.

3题型一空间几何体的结构特征

:解।题i转।巧

i1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）：①棱柱：看“两底面平行、侧棱平行且相等“；②棱锥：看“-一个底

1面为多边形、侧面是有公共顶点的三角形”；③棱台：看“两底面平行、侧棱延长线交于一点”.

12、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）：①圆柱：矩形绕一边旋转；②圆锥：直角三角形绕直角边旋转；③

:恻台：直角梯形绕垂直底边的腰旋转：④球：半圆绕直径旋转，核心看旋转轴和旋转图形.

：3、易混淆辨析：对比棱柱与楂台、圆柱与圆台，重点看“底面是否平行”“侧棱/母线是否平行”.

t负丽Hi…（目：天蒿二下近海烝破朝币厂下列关于圣商元荷布的注还「正福而息7—5.....

A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

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B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

C.连接圆柱上卜底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

D.圆台的轴截面不可能为直角梯形

【变式1-1]（24-25高一下•山西期中）下列说法正确的是（）

A,各侧棱都相等的楂锥为正棱锥

B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是凌台

C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面

【变式1-2]（24-25高一下•浙江宁波•期中）下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱

锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体：④直用三角形以

其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3]（24-25高一下•黑龙江哈尔滨,期中）（多选）下列说法正确的是（）

A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四楂锥

B.通过圆台侧面一点，有无数条母线

C.过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形

D.侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱

团题型二斜二测画法及其计算

1、直观图绘制：针对三角形、矩形、平行四边形，按步骤建系、变长度、连线，确保角度和长度符合规则.

2、原图形还原：由直观图反向推导，平行于父轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度加倍，还原直角

坐标系，计算原图形尺寸.

3、面积换算：原图形面积=直观图面积（期中高频考点，直接记换算关系，避免推导失误）.

ioj2]d升高一下•内蒙百包实斯用5己如As",如乳牙小是永平放亶的而直观画,

且。57勿‘，24O'=OS=2,/XS/IB中48边上的面为（）

9/35

D.4

【变式2-1］（24-25高一下•河北秦皇岛•期中）如图，正方形OWB'C'的边长为1cm,它是水平放置的一个

平面图形的直观图，则原图的周长是（）

A.8cmB.6cm

C.2(1+>/2)cmD.2(1+2扬cm

【变式2-2］（23-24高一下•浙江台州•期中）如图，水平放置的四边形48CO的斜二测直观图为矩形

A'B'C'D',已知HO'=CW=1,6'C'=1,则四边形/8CO的周长为（）

【变式2-3］（24-25高一下•天津•期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形48CO,其直观图为等腰

梯形力'B'C'D',若/8'=6，CD'=4,则下列说法正确的是（）

C.西边形4AC。的周长为10+遍+

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D.四边形14co的面积为10五

官题型三几何体展开图的最短路径问题

解「题「£「15

1、核心思路：将立体侧面展开为平面图形，转化为“两点之间线段最短”求解.

2、关键步骤：①辨侧面类型（棱柱/圆锥），沿侧棱/母线展开；②确定两点在展开图中的对应位置；③连

接两点，用勾股定理求线段长度（即最短路径）.

i羸行了苍莅,高二不.?漆清疝丽币;而函二茬定而短征万二耘茄市，…―二:…•二a道二乐「矗

一条细绳绕过侧棱尸丛PC,尸。【可到力点，则细绳的最短长度为（）

A.2&+24B.277+2C.3不D.872

【变式3-1]（24-25高一下•河北邢台•期中）正三棱柱N5C-4BG的底面边长为1,高为4,在棱叫,CQ

上分别任取点£,F,则月后十。/十/%的最小值为.

【变式3-2]（24-25高一下•新疆和田•期中）如图圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为12cm.8c为圆柱

上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从卜.底面点力处爬到上底面点8处，那么它爬行的最短路程

为（）

---------

A.10cmB.11cmC.13cmD.12cm

【变式3-3]（24-25高一下•河北邢台•期中）已知圆锥SO的轴概面£48是边长为4的等边三角形，C是SB

的中点，一只蚂蚁从点力出发，沿着圆锥S。的表面爬到点C,则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）

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A.20B.4C.2>/5D.6

3题型四简单几何体的表面积与体积计算

诲।题।花i巧

1、单•几何体：辨类型一找参数一套公式

先确定柱/锥/台/球，明确底面边长、半径、高、母线长（统一单位），区分侧面积与全面积，代入公式计算。

易错提醒：别把圆锥母线当高，台体别漏记上下底参数.

2、简单组合体：分割或补形

（1）分割法：拆成2-3个基本儿何体，分别算表面积/体积，表面积扣掉重合面（避免重复），体积直接相加。

（2）补形法：把不规则图形补成长方体/棱柱，用“整体减部分”快速计算.

【,五椀4】…苍4豆5商二不荷莆如疝丽时.普囱链的面面串在泞「、…常为店「员顺键的抵祖为二二27

【变式4-1]（24-25高一下•山东济宁•期中）如图，在直三棱柱/8C-44G中，£是48的三等分点（靠

近点力），。是的中点，则三棱锥。-4GE的体积与三棱柱的体积之比是.

【变式4-2]（24-25高一下•云南德宏•期中）已知正三棱台的上底边长为G，下底边长为4VL侧棱长为

5,则该正三棱台的体积为（）

A.63>/3B.63C.21VJD.21

【变式4-3]（24-25高一下•广东湛江•期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的

户外休闲设施.如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体4£〃，

B\FJK,CfiKL,得到的,其中瓦K,▲均为各棱的中点，且4?=60厘米.

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（1）求该石凳的体积；

（2）求该石髡的表面枳（不包含底面48CO）.

团题型五共点、共线、共面问题证明

解[题j矗

1、证明点或线共面问题的2种方法

（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

2、证明点共线问题的2种方法

（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

（2）直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上.

3、证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于•点，再证其他直线经过该点.

〒员而T5r7-2上-5着二吊疝冻床妥丽市5.哀萧7反方二彳万百，市「萱毓工5可军而益万而菱肃另

4G与4。交于点。，则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线

B.彳，M,。三点确定一个平面

C.D,M,。四点共面

D.A,B、，B,。四点共面

【变式5-1]（24-25高一下•云南玉溪•期中）在图示正方体中，。为4。的中点，直线4。口平面

GBO=M,下列说法错误的是（）

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A.A,C,G，4四点共面B.G，M,O三点共线

C.A<fe平面“RDD.4c与8。异面

【变式5-2](24-25高一下•吉林长春•期中)已知正方体43C。-44CQ中，AB=2,点、M,N分别是线

段CG的中点.

(1)求三棱锥M-4G8的体积：

(2)求证：直线4加、BN、4G三线共点.

【变式5・3】(24・25高一下•河北邯郸•期中)如图，在多面体4BCDEFGH中,四边形相C。和四边形

均为正方形，四边形48GF和四边形力。EP均为梯形，其中4BUFG,ADHEF,且48=2”.

(1)证明：B,D,E,G四点共面.

(2)证明：4F,BG,DE三条直线交于一点.

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。题型六线面位置关系的命题判断

葡版「菽「15

I、命题陷阱：警惕”一条直线平行于平面内一条直线”就判定线面平行（忽略“直线在平面外”条件）：

2、反例应用：判断假命题时，优先用常见反例（如正方体中侧凌与侧面的位置关系），快速推翻命题；

3、定理应用：严格遵循课本判定定理，不遗漏核心条件（如线面垂直需“两条相交直线“）.

【演前Nj…［立云商二不妾微吾葩.斯甲5"巨如7,…沆…〃宴三菜不同而直线「正…瓦…丁忌=不不同而苹

面，则下列命题一定正确的是（）

A.若//a,nI!p,a11p,则〃i〃〃

B.若用ua,〃ua,mlIP,〃///,则a//〃

C.若///a,/u£,a。尸=〃？，则〃/〃？

D.若mua,〃ua,lu0,且小//夕，n!H,则a〃夕

【变式6-1］（24-25高一下•福建原门•期中）设是两条不同的直线，见夕是两个不同的平面，则下列命

题正确的是（）

A.若aHa,bHa,则b//aB.若a//a,b//a,au〃,力u〃，则4//a

C.若aUp、bUa,则％//尸D.若a"p,aua,则a/R

【变式6-2］（24-25高一下•重庆渝北•期中）已知〃力是两条不同的直线，/夕/是三个不同的平面，则下

列命题中正确的是（）

A.若aua,a//,则。//夕B.若bA.a,bu0,则aJ■/

C.若a工仇则alyD.若a//"6//a,则a//a

【变式6-3］（24-25高一下•江苏镇江期中）已知/,〃?，〃为三条不同直线，a,0,7为三个不同平面,

则下列判断正确的是（）

A.若/Im,m1n,则〃/〃B.若a工。,7J■夕，则///a

C.若w_La,aLpy则加〃?D.若〃?JLa,mH。，则a_L/?

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3题型七空间平行关系的证明

露询i标「后

1、线面平行证明（必考）：方法1（中位线法）：找平面内与已知直线平行的中位线，证明线线平行，再

结合“平面外一条直钱平行于平面内一条直线”，判定线面平行；方法2（平行四边形法）：构造平行四边形,

证明对边平行，进而推导线面平行.

2、面面平行证明（高频）：先证明一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面，再根据“一个平

面内两条相交直线平行于另一个平面，则两面平行“，完成证明.

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平面£48与PC交于F.

（1）求证：CD〃平面E4B.

（2）求证:F是PC中点.

【变式7-1]（23-24高一下•北京顺义•期中）如图，四棱锥P,48CQ的底面为平行四边形.设平面产力。与

平面尸AC的交线为/,M、N、。分别为PC、CD、力片的中点.

（1）求证：M。//平面4。；

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(2)求证:BC//1.

【变式7-2](24-25高一下•重庆南岸•期中)如图，四边形力AC。是平行四边形，点瓦£G分别为线段

BCJBMD的中点.

(1)证明：政〃平面P4C；

Q)若AEC\BD=N,CGCBD=M,证明：FN/IPM.

【变式7-3](24-25高一下•浙江杭州•期中)如图，三棱锥尸-48。各棱长均为1,侧棱上的。，E,尸满

足PD=DA,绘=竺=丸，线段8c上的点G满足4G//平面点。在P。上，AQ//DF.

(1)求证：平面4QG//平面。斯；

(2)求证：QG!/EF；

(3)若GC=2AG,求义的值.

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3题型八空间垂直关系的证明

葡版「菽「15

I、线面垂直证明（必考）：方法1（判定定理法）：证明一条直线垂宜于平面内两条相交直线，即可判定

线面垂直；方法2（面面垂直性质法）：若两个平面垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线垂

直干另一个平面.

2、面面垂直证明（高频）：先证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，再根据“一个平面过另一个

平面的一条垂线，则两面垂直”，完成证明.

3、线线垂直证明（基础）：要么由线面垂直推导（线面垂直则线垂直于平面内所有直线），要么用勾股定

理逆用、等腰三角形三线合一直接证明.

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点、,4作4EJ.SB交SB于点E,过点E作EE_LSC交SC于点儿

B匕---------

（1）求证：AFLSCx

（2）若平面力£尸交SO于点G,求证：46_1_平面5。。.

【变式8・1】（24・25高一下•湖北武汉•期中）如图，在四边形4BCO中，△480是等边三角形，4BCD是

以为斜边的等腰直角三角形，将沿对角线3。翻折到△P8Q,在翻折的过程中

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(1)求证：BDLPC；

(2)若DP工BC,求证：PC_L平面4CQ.

【变式8-2](24-25高一下•福建莆田•月考)如图已知矩形"C。，过点力作S/_L平面48CZ),再过点力

作AE上SB交SB于点、E,过点E作E/LSC交9于点。求证：

(1)4£J,平面S6C；

(2)AF1SC.

【变式8・3】(24-25高一下•湖北武汉•月考)如图，四棱锥尸中，面4BCD是正方形，.

P

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（1）若8P_L平面4OP,求证：力。_L平面480：

（2）若4B=PB=也4P,E点、为PC的中点,求证：ABLPC.

2

包题型九异面直线所成角的求解

傩曲「£「15

:第一步平移：平移的方法一般有三种类型：（1）利用图中已有的平行线平移；（2）利用特殊点（线段的端点或中

:点）作平行线平移；（3）补形平移

;第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角.

;第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

L第四步取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是0。〈生90。，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为

［异面直线所成的角.

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角分别为30°和45°,则异面直线阴。与8。所成角的余弦值为（）

A.—B.—C.-D.—

4444

【变式9・1】（24-25高一下•浙江温州•期中）在长方体彳88-481GA中，若4B=AD=2,AA}=4f则

异面直线48,力。所成角的余弦值为（）

C-T鹏

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【变式9-2]（24-25高一下•江苏南通•期中）已知圆锥SO的轴截面％4是正三角形，尸为圆锥SO底面圆

上的一点，若NPBA=j则异面直线SP与所成角的余弦值为_____.

6

【变式9-3]（24-25高一下•天津和平・期中）如图，在棱长都相等的正三棱柱4中，若P为棱

的中点，则直线力4与直线〃。所成的角为

3题型十直线与平面所成角的求解

解|题|花i巧

1、垂线法求线