河南联盟2025-2026学年高一年级下册期中数学试题（试卷+解析）

高一数学

注意事项:

1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

2-i

1.下

).

3131C一」

A.----B.-+-D.L3

22222222

2.已知向量4=（1,-6），则与5同方向的单位向量的坐标为（：）.

]_9

A.B.C.~2,~D.

㈠⑹22,

\7

3.已知平面。和两条不同的直线”?、〃，则下列说法正确的是（）

A.若加上有无数个点不在。内,则〃i〃a

B.若〃2//a,则用与。内的任意一条直线都没有公共点

C.若〃2//a,则〃?平行于a内的任意一条直线

D.若,且加//a,则〃〃。

4.设复数2=2（：0$。+4]§吊仪，则“a=。”是“忖＞2”的（）

6

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知VA3C的三个顶点分别为A（0,0）,C（l,3）,则丫A3。是（).

A.A=90。的直角三角形B.8=90。的直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

____1______3___________,__,

6.在VA3C中，AN——AC,CM=——BC,BN交AM于点P,设4户=AAM，PB-pBN，则

4

)

,11111

A.A=-,LI=---B.A=—•LI=一

3232

c.」，i21

D.A=—,zz=—

3232

7.若直三棱柱ABC—AdG的所有顶点均在半径为0的球O的球面上，且=

ZBAC=\20°,则AA=（）.

A.2B.3C.4D.5

8.在VABC中，BC=26（2AS-AC）BC=0,且VABC的面积为3&，则AC=（）.

A.3B.2币C.2715D.屈

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.下列结论正确的是（）

A.若为非零向量且4〃万，则如5=±同・|5

B.若日〃氏5〃八则日〃^

C.若（4+力）,（白一8）=0,则同

D.\a+h<|d|+|/?|

10.下列关于复数z「zz的说法正确的是（）.

A.若z：eR,则z,为实数或纯虚数B.若归+马|=卜]一可，Pl'J-0

C.若Z-二|z/，贝Ijz】=z2D.Z1,z2=Z|,z2

11.在四棱锥中，AA_L底面ABCQi，且AA=4,底面48clA是边长为2的菱形，设

NB]AR=e,则下列说法正确的是（）.

A.当。增大时，四棱锥A-A4GQ的体积逐渐增大

12

B.若sine=-，则三棱锥2-MG的体积为一

43

C.若四棱锥A-有外接球，则其外接球的表面积为24兀

D.若。=弓，则三棱锥A—4片。的内切球半径为方

乙

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为.

13.已知某圆锥的底面半径为I,体积为且;r，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为

3

14.如图，等边三角形ABC是由三个全等的三角形QACD,YCBF,△BA石）与中间一个小等边三角

形。石尸拼成的，且VA8C的面积是的面积的19倍，设4万=〃以月+则〃2一〃=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=2桃+1+（4加一1），在复平面内对应的点位于第四象.限.

（1）求实数〃?的取值范围；

（2）已知。为坐标原点，若〃?为整数，且z,z?在复平面内对应的点分别为人，B,求向量函在向量

而上的投影向量的坐标.

16.已知a,G为不共线的单位向量，a=2et-e2,b=e}-le2.

（1）若丸=2且求I，1的夹角的余弦值；

（2）若1的夹角为60。,且卜一同=5求实数；I的值.

17.某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）.已

知圆柱的底面半径为3m,高为5m,圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m.（取兀的近似

值为3）

（1）求该灯塔主体结构的体积；

（2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米

外表面枳200元（不包括底面）.人工施工费为总物料费用的20%.若景区预算为40万元，问：该预兜是

否够用？

sinB_a-c

18.在VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

sinA+sinCbtc

(1)求A.

（2）已知AO平分/84C且交8c于点。，AD=2.

（i）若sin8=2sinC,求〃；

（ii）求VA8C周长的最小值.

19.如图，圆。的半径为2,P,。为圆。上两点.

（1）若cosNOPQ=：,向量所+2①与。而一而垂直，求实数。的值;

（2）若过△。尸。的重心G的直线与边PQ,0P分别交于点M,N,且丽=4用，PN=pPO,且

儿，>。，求4+〃的最小值;

（3）设|图二x（x>0且为常数），若|用+加阕（〃修R）的最小值为忖求x的值.

高一数学

注意事项：

1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

2-i

1.l+i).

31.31C一」D."i

A.-----1B.-+-

22222222

【答案】C

【解析】

2-i(2i)(li)_23i+i2]—3i3.

【详解】

l+i(l+i)(l-i)222

2.已知向量，则与。同方向的单位向量的坐标为（）

f^39

A.(-1,73)£

B.C.~2'~2D.

2'222

【答案】D

【解析】

【详解】

则与d同方向的单位向量为g

同、2

3.已知平面。和两条不同的直线，〃、〃，则下列说法正确的是（）

A.若川上有无数个点不在。内,则机//a

B.若〃z//a,则，"与。内的任意一条直线都没有公共点

C.若加//a,则〃?平行于a内的任意一条直线

D.若m//n,且根//a,则nila

【答案】B

【解析】

【详解】对于A选项，若，"上有无数个点不在。内，则〃?//a或，〃与。相交，A错；

对干B选项，若m〃a,则直线也与平面。没有公共点，

因为平面。内的任意一条直线上的所有点都在平面。内，

所以,〃与a内的任意一条直线一定没有公共点，B对；

对于C选项，若〃〃/。，则机与久内的任意一条直线平行或异面，C错；

对干D选项，若〃?//〃，且mila,则nHa或nua,D错.

4.设复数2=2<：0$二+415亩(7,则“a二'”是“忖>2”的().

6

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】当a=—时，z—2cos—+4isin—=\/3+2i,Izl=^(>/3)24-22=\/1>2>

666111

二.“a=2”是“目〉2”的充分条件.

6

|z|>2，即J(2cosa)2+(4sina)2=J12sin%+4>2，整理得sin2«>0»

71

:.a丰kit,kjZ,不能推导出a=—.

6

，“a=2”是“回>2”的不必要条件.

综上，“a=2”是“目>2”的充分不必要条件.

6

5.已知VA8C的三个顶点分别为4(0,0),8(2,1),C(l,3),则丫48。是().

A.A=90。的直角三角形B.B=90。的直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】

【详解】A(0,0),8(2,1),C(l,3),..通=(2,1),AC=(1,3)>BC=(-1,2)：

福・〃=2xl+lx3=5w0，^BC=2x(-1)+lx2=0,

*屁=1x(-1)+3X2=5W0；

AAB1BC，即？390?：

•・•丫48。是8=90。的直角三角形.

3____________

6.在VA〃C中，7/V=iXC,CM=

BN交AM干点尸，设行=义丽7，PB-/.iBN,则

3

()

1

A.2=—B.

332

C.2=|121

〃二—D.A=—,〃=一

232

【答工1C

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于％、〃的方程组，解之即可.

【详解】如下图所示:

因为丽=3/，CM=­BC,即祈_%=_；（近—而），

故戒=2而+!而，所以而=丸丽7=%通+4/，

4444

又因为闻=〃丽，即A月一方二〃（病一A月）=〃（1/_A耳）

故而=（1+〃）通.正,

13

I+〃=一义0Z=-

/4，解得〈3

因为A^、急不共线，所以，

1

——=—

34

7.若直三棱柱43C-A4G的所有顶点均在半径为近的球0的球面上，目BC=6

ZBAC=\20°,则A4=().

A.2B.3C.4D.5

[]A

【解析】

【分析】先求出VAAC的外接圆半径，然后在中，利用勾股定理求出。。「最后求出AR.

【详解】如图所示，作出V43c的外接圆圆心。1,连接oq,Ba，OB.

V/UJC中，8C=G,N8AC=12O°,由正弦定理可得----------=2BO「：.BO,='.

sinNBAC

乂OB=&,OO11BO\,,.OO-yjoi）2-130^-V（V2）2-12-1.

二朋=20。=2.

8.在VA8C中，3c=26，（2AS-AC）BC=0,且VA8C的面积为3百，则4C=（）.

A.3B.2aC.2岳D.V57

【答案】D

【解析】

【分析】延长A8到。，使得布=2而，可得CO_L3C,由，.“=5逆8可得CO=3,进而求得

BD,AB,COSZABC,在VA8C中，由余弦定理求得答案.

【详解】如图，延长A8到。，使得而=2通,

A

C

D

由（2通—记）M=0,可得（AD—灰=0,即历.前=o,所以CDJ_BC,

因为SAABC=S/8,所以S^BCD=珅，即：8CCO=：x26cO=3g,得CO=3，

由勾股定理可得3。=JIT，则八B二亚，

在RtA^CD中，cosZ.CBD==2省=,则cosZ.ABC=—2’>

BD后77

在VA4C中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2y4B-BCcosZABC=21+12-2xV21x2>/3x^-^^=57,

所以4。=扃.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.下列结论正确的是（）

A.若万万为非零向量且了〃5,则展石二土同午

B.若〃〃尻B〃d,则〃〃c*

c.若+5）•（万一5）=（）,则同=〃

D.卜+5卜同+同

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,根据定义可知小3=±@间；对于B,易知万=。时，命题不成立；对于C,根据数量积

的运算判断即可；根据向量的三角形法则即可判断.

【详解】解：对于A,•・•N〃E,的夹角为0或兀，

：.ab=a-bco^=±a•B,故A正确;

对干B,当石=0时，4〃2不一定成立，故B错误;

对于c,因为(五+四.0—3)=讲一＞=1句2-1郎=0,所以同=5,故C正确;

对于D,根据向量加法的三角形法则，可知M+.W同+忖成立，故D正确.

10.下列关于复数4，zz的说法正确的是().

A.若Z；£R,则Z1为实数或纯虚数B.若归+221=^-21，则马々2=0

C.若"2二|z『，则Z]=Z?D.Z!-Z2=Z)-Z2

【答案】AD

【解析】

【详解】设Z]=。+6，z2=c+d\(a,b,c,deR),

选项A：计算得42=(/一从)+24历，若Z；£R,则虚部2就=0,即。=0或〃=0；

若〃=(),则Z]=awR；若4=0,则马二加，当〃。0时为纯虚数，

当〃=()时4=0£R,故4为实数或纯虚数，正确；

选项B：举反例：Z]=l,Z2=i,|1+“=|1一,=&，但Z]Z2=iW0,错误：

2

选项C：举反例：4=l+i,z2=1-i,z)z2=2=|Z)|,但Z]/Z2，错误；

2

选项D：Z1-z2=(a+b\)(c+ch}=ac+adi+bc\+bd\=(ac-bd)+(ad+bc)\.

Z)-z,={ac-bd)一(ad+bc)i，

的共短分别为Z[=4-沅，z2=c-d\i两者相乘得：

4-z2=(a—bi)(c—di)=ac—adi—bci+b小2=(ac-bd)-(ad+bc)\=zx-z2，正确.

ii.在四棱锥中，'A，底面A#GA，且AA=4,底面A/CI。是边长为2的菱形，设

则下列说法正确的是().

A.当。增大时，四棱锥A-ABC"的体积逐渐增大

12

B.若sin。二一，则三棱锥R—MG的体积为一

43

C.若四棱锥A-A4G。有外接球，则其外接球的表面积为24兀

D.若。=：,则三棱锥的内切球半径为g

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B,由

匕卜AAC=匕.Acn=1匕-A4Cn给合选项A求解判断；对C，由题可得夕==，将该四棱锥补形成长方

体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D,由分割体积

匕-4展口=§（SAA薜n+A），-3X2*2*1*4,

【详解】对于A,由题可知夕£（0,兀），

=-!-x2x2sin6^x4=­sin<9,

%枝豺-八百他=-x^Bx4£>xsin/9xA4

11t33

当6增大时，sin。的值先增大后减小，所以四棱锥A-A14GA的体积先增大后减小，故A错误;

।।g812

对于B,当sin<9=a时，匕MAG=匕_«出=耳匕一氏自=不m。=3'厂5，故B正确：

7T

对于c,若四棱锥A-AMGA有外接球，即菱形44GA有外接圆，则。二弓，

乙

将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，

可得其外接球的半径/?=玄隹=遥，所以其外接球的表面积为4兀配=24兀，故C正确;

2

对于D,若。=],设三棱锥A-A与2的内切球半径为「，

则匕.A%。二;由会利+S&4A%+5.闽+S“4/J〃=gxgx2x2x4,

所以g（gx2x2+；x2x4+gx2x4+；x2及x3近）/*=gx；x2x2x4,

解得,.二1，故D正确.

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为

【答案】o

【解析】

【详解】画出正方形的直观图如下图所示：

由斜二测画法可知该正方形的直观图是平行四边形ABCD,

其中AB=2,4O=1,作垂足为点E

又因为NZM3=45。，所以OE=lxsin450=也，

2

所以平行四边形A8CD的面积为2x立=及.

2

13.已知某圆锥的底面半径为1,体积为且;r，

则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为

3

【答案】兀

【解析】

【详解】设该圆锥的高为人母线为/,

依题意可得,兀x/x〃二立兀，解得〃

33

所以圆锥的母线长为I=VT73=2，

因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为2兀,半径为/一2：

设对应圆心角的弧度数为0,则夕二2兀，因此。=兀.

14.如图，等边三角形A8C是由三个全等的三角形(AACD,YCBF,ABAE)与中间一个小等边三角

形D石尸拼成的，且VA3C的面枳是所的面积的19倍，设4万=〃?A月+〃AC，则机一〃=.

c

【答案】

【解析】

【分析】可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数〃7,〃

后计算〃Z-〃的值.

【详解】设小等边三角形OEF的边长为，，由△AC。二

设AD=8E=b=x,则CQ=AE=8b=%+/.

=

：SjBC=19SQEF，且jSq八CD+SADEF，

35；AC。=1,艮口=6SAOEF•

由中间小等边三角形性质，ZADC=180-4EDF=120"，

6_+

S.ACD=—^^CDsin120=—x(x+/)

24

y四邛产

.y/3x(x+t)=6x正产化简得/+M-6/=0,

44

解得正根式=2乙即AO=2f,CD=3t.

在△ACO中由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos120°=4r+9r+6产=19产，

解得AC=AB=Mt.

以A为坐标原点，48所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图:

c

/D

Bx

得各点坐标：4。，。），

CDAC得sinZ.CAD=3y；

在△AC。中，由正弦定理

sinZCADsin1202V19

AD24-AC2-CD27

由余弦定理得cosZCAD=—--------......—

2-AD-AC2M

又NBA。=60°-NOW，

17G3百_4

则cosNBAD=cos(60°-ZC4/))=于而F乖F

G713Gyj3

sinZBAD=sin(60°-ZC4D)—x____=

TX^A922V19-V19

4

因此。点坐标为2r--,2r-

则AD=mAB+nAC=

・M+〃・幽

2

同

~2~

64因此〃7-〃=-^-_42_

解得m=—,n=一=

19191919~?9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=2机+1+（4〃?一1"在复平面内对应的点位于第四象限.

（1）求实数〃?的取值范围；

（2）已知0为坐标原点，若，〃为整数，且z,z?在复平面内对应的点分别为A,B,求向量方在向量

加上的投影向量的坐标.

【答案】（1）

（2）（0,-1）

【解析】

【分析】（1）根据复数与复平面齿点的对应关系，以及第四象限点的性质，列出不等式组，求出参数范围即

可；

2

（2）根据参数范围内的整数，求出复数z,2,写出点的坐标，根据投影向量的坐标公式，求出结果即可.

【小问I详解】

复数z=2"z+l+（4"Ll）i在复平面内对应的点为（2机+1,4加-1）,

2/77+1>011

可得八，解得—二<

4m-1<024

所以实数，〃的取值范围为（—g,；.

【小问2详解】

由（1）可知，当/”为整数时，根=0,

则z=l-i，z2=（l-i）2=-2i,

所以可得吊=（卜1）,砺=（。广2）,

则向量0X在向量。房上的投影向量为4？国------~2）=（°，-1）.

16.已知,，.为不共线的单位向量，a=Ae1—e2»-26.

（1）若2=2且求Z，1的夹角的余弦值：

（2）若I，晟的夹角为60。，且卜一5卜求实数4的值.

4

【答案】（1）y

（2）九=2,或兄=一1.

【解析】

【分析】（1）利用向量垂直的数量积为零，求出G,S的夹角的余弦值即可;

(2)利用不-彼的模长，以及向量的夹角为60。列出关于4的方程求解即可.

【小问1详解】

d=2e]-e2,b=e1-2e2.

alb则限行二(24一动(1_2可=0.

则2e^―4q-e2-ei-e2+2e；=0,

则4—5^=0,

.----4

则q•s=g，

则1xlxcos^p^^=—,cos(^e,e^=—.

5

【小问2详解】

0-@=m—石尸=3,

(4—1)2年+2(/1—1居W+育=3,

(%-1)?+1+2(4-l)q./=3,

(A-l)2+l+2(A-l)xlxlxcos60=3,

(A-l)2+l+(zl-l)=3,

(2-1)2+(2-1)-2=0,

解得：4=2,4=_]

当4=2时，a=2ei—e2»石二q—生成立，

当右二-1时值=-q—.，B=q-2%成立，

2=2,或4=一1.

17.某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）.已

知圆柱的底面半径为3m,高为5m,圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m.（取兀的近似

值为3）

（1）求该灯塔主体结构的体积；

（2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立.方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米

外表面积200元（不包括底面）.人工施工费为总物料费用的20%.若景区预算为40万元，问：该预算是

否够用？

【答案】（1）171m3

（2）景区预算够用

【解析】

【分析】（1）利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解；

（2）根据题意订算物料费和人工施工费，进而求解..

【小问1详解】

设圆柱的底面半径为，圆柱的高为九，圆锥的母线长为/,圆锥的高为〃2，

则r=3,%=5,/=5,所以-=J。一==4,

所以圆柱的体积为X="%=KX32x5=3x9x5=135（m）,

圆锥的体积为匕=ga，2=gx3x32x4=36（m3）,

所以该灯塔主体结构的体积为V=V；+%=135+36=171（n?）；

【小问2详解】

由（1）得：主体结构材料费为y=1000^=1000x171=171000阮），

又外部的表面枳为S=2兀，4十Ji/Z=2x3x3x5+3x3x5=135（m2）,

所以外部装饰涂料费为K=2005=200x135=27000（元），

所以总物料费为：171O（X）+27（XX）=198000（元），

所以人工施工费为198000x20%=39600（元），

所以总的费用为：198000+39600=237600（元），

即总的费用为：23.76万元〈40万元，

所以景区预算够用.

18.在VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,――----=上上.

sinA+sinCbtc

(1)求A.

(2)己知AO平分/84C且交8c于点。，AD=2.

(i)若sinb=2sinC,求a；

(ii)求VA8C周长的最小值.

【答案】(1)空

3

(2)(i)3百;5)4⑦+8

【解析】

【分析】(1)由——------二F，利用正弦定理得至1)从十。2—〃2=一机.，再利用余弦定理求解；

sinA+sinCb+c

(2)(i)由sinB=2sinC,利用正弦定理得到力=2r,再根据人。平分N8AC,由

S/8c=Sec+Sqc求得4c,再利用余弦定理求解；

(ii)由％%=5./)+5屋加和AD=2得到权+利用)”的代换,得到＞+c的最小值,再由

余弦定理/=Z?2+c2-2Z?ccosA={h+c?)2-2(Z?+c),得到。的最小值.

【小问1详解】

l,里sinBa-c,ba-c,

因为一:一--r-^=-----，所以-----=;----，aBtPt[y9+c-cr=-be»

smA+sinCb+ca+cb+c

所以cosA==_g,因为A«0,兀)，所以4=g；

【小问2详解】

(i)因为sin5=2sinC,由正弦定理得：b=2c,

因为4。平分NRAC,

71

所以N8AO=NC4O=-,

3

因为S“t8c=+SQ0»

所以L/jesin生="!■〃•4。sin£+!(?•sin£,

232323

将,4。=21=2。代入上式得。2=30解得c、=3,h=2c=6,

由余弦定理得/二尸+/—2仇？cosA=62+32-2x6x3xcos—=63,解得a=3币.

(ii)由S4ABe=S&BAD+SKAD»

得40一1。,csi•n——2兀=-10.•AAOAsi•n兀—+-1c,/AADr-s%i.n-兀,

2323