人教版高中数学必修2考点训练：平面与平面垂直-解析版

8.6.3平面与平面垂直

【考点梳理】

＞考点一、面面垂直的判定

＞考点二、证明面面垂直

＞考点三：面面垂直性质的应用

＞考点四、二面角的求法

＞考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度

＞考点六、已知二面角的大小求异面直线所成的角

＞考点七：面面垂直的综合问题

【知识梳理】

知识点01、二面角的概念

L定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的按；(2)两个半平面叫做二面角的瓦

3.画法：

4.记法：二面角「一/一6或二面角或二面角PT—O或二面角P-AB-Q.

5.二面角的平面角：(1)若有①。豆/；②O/jz,③O力JJOBJJ,则二面角小一/一£的平面角是口力。心

(2)二面角的平面角a的取值范围是()。忘。或180。.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

知识点02、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面用,就说这两个平面互相垂直.

⑵画法：

(3)记作：a_L6.

1

知识点03、平面与平面垂直的判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

符号语言/1«,/u£=»a_L6

T~i

图形语言

知识点04、平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言aJ•H，aCfi=1,aUa,a_L/=>a_L6

图形语言

【题型归纳】

题型一、面面垂直的判定

1.（24-25高一下•全国）对于直线机，〃和平面能得出a•!•〃的一个条件是（）

A.mA.n,mlla.n/!pB.m±n»mu0,nu。

C.阳〃〃,〃_!_〃,/〃uaD.m//n,〃_L〃

【答案】C

【分析】在AB中，可得a与0相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得在D中，由面面平行的判

定定理得a/6.

【详解】在A中，mln,ml/a,nlip,则e与丑相交或平行，故A错误；

在B中，〃?_!,〃，机u/7,〃u夕，贝!。与夕相交或平行，故B错误；

在C中，m//n,〃_L〃，则〃1■夕，

且〃?ua,由面面垂直的判定定理得a_L〃，故C正确；

在D中，m//n,mla,nLpy由面面平行的判定定理得a//,故D错误.

故选：C.

2.（24-25高一下•全国）已知直线a,8与平面a,丫,下面能使a1〃成立的条件是（）

A.«1/,0工yB.ary/3=a,bLa,bu。

C.aliP^aliaD.alia,aLP

2

【答案】D

【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,若•九尸！•/,则夕可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误；

对于B：若acD=a,bLa,bu。，由线面垂直判定定理可知，力与a不一定垂直，

因此见尸相交，不一定垂直，B错误；

对于C,若。〃。,。//夕，则。,夕可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误；

对于D,由o//a,得存在过直线。与平面。相交的平面，令交线为c,则〃〃c,

又a了,于是c，/,因此a_L〃，D正确.

故选：D

3.（23-24高一下•安徽蚌埠期末）已知〃?，〃是两条不同的直线，/仇7是三个不同的平面，下列命即正确的是（）

A.若“ua,〃u〃，m//n,则。〃"B.若〃?_La,w1/?,则aJ./?

C.若mua,〃u/7,m±n,则D.若aly,4〃Y,则a_L〃

【答案】D

【分析】对于ABC,举例判断，对于D,利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.

【详解】对于A,如图当切ua,〃u〃，用〃〃时，a与〃相交，所以A错误，

对于B.如图，当〃?_La,/时，a//p,所以B错误,

对于C如图当〃?ua,nu/3,m_L〃时，。〃），所以C错误,

对于D,设=在平面。内作/因为aly,所以九

因为夕〃7,所以b_LP，

3

因为bua,所以a_L〃，所以D正确.

题型二、证明面面垂直

4.（24-25高一下•全国）如图，四面体/YCO中，△〃气?是正三角形，“CQ是直角三角形，NABD=NCBD,

AB=BD.证明：平面AC。_L平面48c.

【答案】证明见解析

【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出力。=8,取/1C的中点。，作出。-4C-8的平面角后利用条件及

勾股定理，逆定理判定即可.

BD=BD

【详解】由题意知•/D8C=ZJ8C,所以可得△44。*&?。,从而/1。=。。，

CB=AB

又A/CD为直角三角形，所以/力力。=90、

取4C的中点0，连接BO,则OO1/1C,DO=AO,

又由于△力8。是正三角形，

故BO1/C,所以NQO8为二面角。-力。一8的平面角.

在中，BO2+OA2=AB\

又AB=BD,所以80?+QO?=BO2+AO2=AB2=BD1，

故/DOB=90、所以平面彳C。，平面48c.

5.（2025高三•全国•专题练习）如图，在四楂锥P-48CD中，底面46co为正方形，4_L平面488,4=/。=2,E

4

为线段PO的中点，尸为线段PC（不含端点）上的动点.证明：平面/石尸，平面尸8；

【答案】证明见解析

【分析】先由线面垂直得出线线垂直，再由线面垂直应用面面垂直判定定理证明即口r

【详解】因为底面4次》为正方形，则CdQ,

又因为21d.平面力4CO,CQu平面/4CO,PAICD.

且尸=P4,XDu平面P/1D,

可得。。_1平面尸力£）,由4Eu平面尸力£）,可得

因为=且£为产。的中点，则4EJ.PD,

rtlCZ）C|PD=D,CAPDu平面PCD,可得/E_L平面PCD,

且力£u平面力上尸，所以平面力即J.平面PCQ.

6.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在三棱锥尸一力8c中，/8_LPC,G4=CB,M是48的中点.点、N在棱PC

上，点力是8V的中点.

求证：

⑴〃。//平面P/1C；

（2）平面力8N-平面尸MC.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）只需证明A/Q//4N,结合线面平行的判定定理即可得证;

（2）只需证明48J.平面结合面面垂直的判定定理即可得证.

【详解】（1）在△力8N中，M是力4的中点，。是BN的中点，

所以MD//4N.

5

又因为4Vu平面P4C,AWE平面P4C,所以MD//平面尸4C.

（2）在△月6CU」，CA=CB,M是的中点，所以月6〃MC.

又因为45"PCJCi平面PMC,MCu平面PMC,PCQMC=C,

所以48_L平面PMC.

乂因为48u平面48N,所以平面/出N"平面尸MC.

题型三：面面垂直性质的应用

7.（2025高三・全国•专题练习）如图所示，在三棱锥尸-48c中，平面P/C1平面48C,PA±AB,NP4C为锐

角.证明：AB上AC；

B

【答案】证明见解析

【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可.

【详解】在平面出C中，过点P作AC的垂线，垂足为。.

B

则PQ1/C,又平面P/C_L平面"C,且平面尸/CD平面力8。二4C,POu平面力PC,故PD_L平面48C.

又平面4AC,所以尸O_L48,

又PA工AB,PA[}PD=P,0Ou平面E4C,P4u平面P4C,

所以15_1_平面?月C,又ZCJ平面PdC,故

8.（24-25高一下•全国•课后作业）如图所示，四棱锥P-48CQ中，底面力8。是/。48=60。且边长为。的菱形,

侧面尸乂。为正三角形，其所在平面垂直于底面48CO,G为力。边的中点.求证：

6

（1）86_1平面"。；

（2）ADLPB.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可：

（2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可.

【详解】（1）因为四边形488是菱形且/。48=60。，

所以△48。是正三角形，因为G为力。的中点，所以8G_L4O,

乂平面P4£>_L平面ABCD,且平面PADCl平面力SCO=AD,AGu平面ABCD,

所以4G_L平面尸力。，

（2）因为侧面为正三角形，G为力。边的中点，

所以尸GJ./O,又由（1）可知灰714。，

又4GCIPG=G,BG,PGu平面P8G,

所以平面08G,又PBu平面PBG,所以401P8,

9.（23-24高一下•内蒙古•期末）如图，在直角梯形/也CQ中，已知力0〃8。，AD=AB,/84。=90>,ZBCD=45°,

E为对带线的中点，现将△川兑>沿8。折起到△P8O的位置，使平面P8QL平面8s.求证：

（1）直线PE_L平面8CQ：

（2）平面PBC±平面PCD.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知上为8。中点，可得利用面面垂直的性质定理即可证明；

（2）由已知，可得CQJ•平面PAD,则CO_L/^,又得BP工PD,则9尸1.平面尸。C',利用面面垂直的判定得证.

7

【详解】（1）因为平面尸8D1平面8CQ,且平面P8Z）n平面4c。=4。，

又AD=AB,贝U〃/=〃〃，且石为月。中点，所以/%_!.”〃，

又PEu平面尸8。，所以PE_L平面8CO；

（2）在直角梯形18C0中，AD=AB,NB4D=90°,

则NABD=ZADB=45’，

又ADhBC,则ZD5C=45°,

又NBCD=45。,所以NBDC=90°,

在折后的几何体28。。中，BD上DC,

因平面P8D1平面8CQ,平面。8。。平面8。。=8。，

又COu平面8C。，

所以CD_L平面P8O,

又P8u平面尸80,则。。_LP4,

又NB/1D=9O。，即^BPLPD,

又CDCPD=D,PDu平面PDC,COu平面尸OC,

则BP1平面PDC,

又8Pu平面P8C,

所以平面PBC_L平面PCD.

题型四、二面角的求法

10.（24-25高一下•全国）如图，已知四边形川?。。是正方形，211平面求:

P

（1）二面角8平面角的度数；

（2）二面角8-21-。平面角的度数.

【答案】（1）90。

（2）45°.

【分析】（1）（2）利用二面角的定义找到二面角，再求解角度即可.

【详解】（1）平面力8CQ,4又/。＜=面48。。，

/.AB1PA,ADA.PA,

/BAD为二面角B-PA-D的平面角.

••♦四边形44CO是正方形，N比1。=90。，

8

••・二面^B-PA-D平面角的度数为90。.

（2）平面/8cO,4B,4Cu面A8CD,

ABA.PA,ACLPA.

.•.N8/1C为二面角的平面角.

•••四边形44。。为正方形，.•.N8/C=45。.

即二面角8-7M-C平面角的度数为45。.

11.（23-24高一下•河南海河•期中）如图，在四棱锥尸中，底面为直角梯形，N4BC=NBCD=90°,

PA_L平面ABCD.PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.

（1）证明：平面P8cl平面尸43；

（2）求二面角M-4力-8的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵平

【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论.

（2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果.

【详解】（1）・♦・2<1■平面处?CO,ACu平面力4。0,PA1BC.

•・,8。148,40力8=4,尸力0：平面尸/3，44<=平面尸/也，

/.8CJ.平面尸18,

•••^。（2平面/^。，，平面尸8C_L平面产力反

9

取4C中点0,连接。M,过点。作0，_L/O于点〃，连接必〃.

；点。，加分别为/C/C的中点，・・・。0//尸力，OM=；PA=2,

・・・OMJL平面力SCO,

OHu平面ABCD,ADu平面ABCD,AOM'OH,OM-AD,

VOH(]OM=(),OHu平面MHO,0知(=平面加〃。，

，力。_平面%〃0,

•・•HMu平面MHO,；•ADLHM,

・•・/MHO为二面角M—力。一4的平面角，

在直角梯形片8c。中，AD=^/(4-3)2+42=V17.

,・,=；心0H亭皿=；qQ8C=3,J0〃=击，

tanD；W/(?=—=—，即二面角M-AD-B的正切值为卫.

OH33

12.(23-24高一下•云南昭通•阶段练习)已知如图甲，在梯形48co中，AD//BC,Z.ABC=^BAD=

AB=BC=2AD=4,E,尸分别是/9C。上的点，EF//BC,AE=x,沿E尸将梯形翻折，使平面AEFQ1

(1)证明：平面力8E：

⑵当x=2时，求二面角。-8/-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由题意得到EF1BE,从而得到线面垂直；

(2)作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而。G_L8P,进而证明出故G"J_4/L所以NDHG为二面角

。-8尸-E的平面角，求出各边长，求出tan/OHG=而，进而求出二面角的余弦值.

【详解】(1)证明：在直角梯形/18CD中，因为乙48。=/8力。=5，故DA上4B,BC上AB,

因为EF〃BC,故,EF上AB.

所以在折叠后的几何体中，有EF工AE,EFtBE,

而为En8E=E,4E,BEu平面ABE,

10

故上/_L平面ABE.

(2)如图，在平面力石尸。中，过。作。G_LE尸且交石尸于G.

在平面。8b中，过D作DH1BF且交BF于H,连接G，.

因为平面力EFQ_L平面E4C77,平面/E/Qc平面=QGu平面/EFO,

故。GJ_平面EBCF,

因为平面E8C凡故DG1BF,而。Gno，=。，故平面。GH,

又GH：平面DGH,故GII上BF,所以/O〃G为二面角8/-E的平面角,

在平面力EFO中，因为4EJ_£/LDGA.EF,故4E〃QG,

又在直角梯形力8c。中，所〃BC且律=；(8。+4。)=3,

故EF"AD,故四边形4EGO为平行四边形，故DG=4E=2,GF=l,

BE0

在直角△4E尸中，tan^BFE=——=-,

EF3

因为N8/芭为三角形内角，所以N8FE为锐角，

sinZ.BFE2..•/qb2

——---=-,sin2ZBFE+cos2ZBFE=1,解得smNB/7——,

cosZ.BFE3V13

故GH=GFsin/BFE=条,故ta”wG盗号毋3

因/OHG为三角形内角，故/Q/7G为锐角，

se/=：，sin2ZDHG+cos2ZDHG=I»解得cos/OHG=^，

cosZ.DHG314

所以二面角。-8产-E的平面角的余弦值为巫.

14

题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度

13.(23-24高一下•广东湛江•阶段练习)如图，在直四棱柱488-44GA中，底面48CO是边长为2的菱形,

ZJDC=120°.CC,=4,忆N分别是线段。"，8。上的动点，且。N=/1。8(0<%<1).

II

⑴若二面角〃-AC-G的大小为45。，求DM的长；

（2）当三棱锥M-ADC的体积为且时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围.

3

【答案】（1）。河=石；

【分析】（1）利用直棱柱和底面是有：20'角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可.

（2）利用等体枳法来求线面角，即只需要求出点N到平面8cM的距离，再用距离与CN长度的比值就是线面角的

正弦值，从而可求解.

【详解】（1）

AG

AB

取8c口点P,过P点作交瓦。于点0，连接尸

由直四棱柱力8C'O—44GA，可得cq_L平面/8CQ,

而BCu平面/8CQ,所以CG_LZ;C,即Cg〃尸0,

又因为CC〃QR,所以尸。〃。〃，

因为底面48c。是边长为2的菱形，Z^Z）C=120°,

所以△8CO为等边三角形，则。P1BC,

又因为OPClP。=P,DP、PQu平面PQD}D,所以8cl平面PQD.D,

又因为PMu平面所以8cl.PW,

12

即乙MP。为二面角M-4C-G的平面角，所以APQ=45°.

在平面产0Q0中，由尸0〃Z)R,可得NOMP=/「WP0=45。.

在RtZ\MZ)P中，8c=2,DP=—BC=y/3,

2

则lanNOMP=lan45o=W-,解得。河=百；

DM

(2)因为0口,平面/叱6所以匕〜⑺=白/⑺。“，

SAC/)=-DCDAsinZADC=-x2x2x—=yf3.

/'/"〃222

因为三棱锥M-ADC的体积为且，

3

所以LjLOM=@，解得。M=l,

33

因为Z)M_L平面ABCD,所以K”N8C=1DM-S^NBC=1S.BC・

在△8CQ中，DN=WB(0<Z<\)t

S.cv=a-4应3皿=(1-2)xgx2x2x¥=Vi(l-㈤，

所以匕fHC=会(1-幻.

设N到平面BCM的距离为d,

在△M8C中，MB=MC<，8c=2,

2UX74-2,

所以治"8c-IBC^CM-^—2

一I2

所以—N-MBC=].d,S&MBC=gd

因为匕…c=加曲，所以立(1")=军，解得d=』(lT).

332

在△OW中，由余弦定理得CN,=CD2+DN2-2CQ•ON•COS60。，

所以C/「二48一4/1+4.

设CN与平面8cM所成的角为夕.

w、一cd73(1-2)V31-20]-

所以sin0=---=—,=------(0<A<1).

CN一4/1+44V/l2-2+l

.a氏mx/31

令1-4=〃-0,1),则sU4J〃i+14nr-.

\V~m2m

因为所以所以O<sin0<3，

m4

13

所以CW与平面BCM所成角的正弦值的取值范围是（）、

14.（23-24高一下•广东茂名•阶段练习）如图1,在Rt448C中，ABLBC,/4=26，8c=2,D、£分别为48、

4c的中点,将△力。E沿。七折起来，使得二面角4-QE-C为120°（如图2）,则48=,三棱锥4-8QC的

图2

c327t

【答案】3亍

【分析】由题意可知：二面角的平面角为/4。4=120、利用余弦定理运算求解：根据题意可证8c_1平

面进而求外接球的半径和体积.

【详解】由题可知：DE±AD,DE上BD,

由二面侑的定义可知，二面角4—QE—C的平面角为/4。8=120"

由余弦定理可得4B=yjBD2+Afi1-2BD-J,Z)cosl20：=3+3-2x^xV3x—=3,

因为OE_L4。，DELBD,AQcBD=D,A}D,BOu平面4QB,

可知。E_L平面,

R.DE"BC,所以8C_L平面

.4B.3.万

因为A4QB外接圆半径2sin/4〃8、8，

2x——

2

则二棱雄的外接球半径为R=J/+（与J=HT=2,

所以三棱锥4-BDC的外接球体积为『==?乂分二等.

JJJ

故答案为：3：一.

15.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）如图，在四棱锥月-4?。。中，已知底面44。。为矩形，侧面左。是正三

角形，侧面P4Q_L底面48。。，M是棱。。的中点，40=2.

14

p

(1)证明：4Md.平面PC。；

(2)若二面角.历-8C-。的余弦值为g,求异面直线48与尸。所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)妪

3

【分析】(1)应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可;

(2)先应用二面角余弦值求出N”,再求异面直线所成角的正切即得.

【详解】(1)在四棱锥夕-48CO中，由底面48co为矩形，得CZ)_LN。，

由侧面产力。上底面至CO,侧面/MQc底面如?CQ=4),COu平面月8c。，

得CQ_L平面,

又力Mu平面21。，则COJ.4W,

又侧面21。是正三角形，/是尸。的中点，则

又PDcCD=D,POu平面尸CO,COu平面PC3,所以平面PCD.

(2)如图，

在正三侑形尸力。内，过点M作"〃_14。，垂足为〃，

2

MH1AD,侧面底面力8CZ),面P4/)c面,48。。二月。，MHu面P4D,

，加〃1.底面力SCO,8Cu底面48CZ),则8C_LM〃，

过〃作〃N_LAC,垂足为N,连接MM,MHCHN=H,

MH,HNu平面MNH,则8C_L平面MN",而MNu平面MNH、；.BC上MN,

则/MNH即为二面角M-8C-£＞的平面角，即cos乙MNH=—

3

:.sin/MNH=Vl-cos2ZMNH=—•

15

・・sinZMNH6

••tan£MNH=----------=——

cos4MNH2

在RtdM〃N中，tanZ;W7VH=—,ANH=—,

NH2

由NHMCD,DHI/CN,得四边形CZV/N为平行四边形，：.CD,

2

由4B//CD,得/PC。为异面直线48与0C所成角，

tan/PCD.2."巫

由（1）知CO_L平面40,则△PCD为直角三角形，而一诿一亍，

T

所以异面直线AB与PC所成角的正切值为巫.

3

题型六、已知二面角的大小求异面直线所成的角

16.（23-24高一下•四川南充・期末）已知菱形n8CO的边长为2,且N4?C=120。，将菱形沿对角线力。翻折成直二

面角8-公-。，则异面直线48与CO所成角的余弦值是：二面角4-的余弦值是.

【答案】7/0-754

4

【分折】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或共补角，结合题意和余弦定理先求出=N即可；空2：

4

作出二面角力-8O-C的平面角，利用余弦定理即可求解.

【详解】如下图，过点〃作80J.4C,连接DO、BD,BB「

结合题意可知。为NC的中点,且0O14C,

所以N8OQ即为二面角8-4的平面角，由题意可知，BO1DO.

因为8A=4C=2,ZJ5C=120°，所以/8彳。=/8。=30°,BO=\,AO=CO=y/3,

所以/。=2®,且AO=BO=1,进而得到后々=0.

因为明〃CQ,则异面直线AB与CD所成角即为4物或其补角，

在中，由余弦定理可得cosN历14=2一+2、2=」,

12x2x24

则异面直线43与CO所成角的余弦值是：；

4

取40的中点尸，连接加7,。7,因为力8=力。，CB=CD,

所以力Cb±,则///<'即为所求二面角/一49一。的平面角,

16

在RalPA中，因为/6=2,BF=-BD=交,

22，

所以AF7AB2-BF?=叵,同理C"V14

2

77..

222

AF+FC-AC/+三-125

在△4C『中，由余弦定理可得cosNK=

2AFFC2x巫x巫7’

22

35

故答案为：-；­.

【点睛】关健点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角.再结合勾股定理和余弦定理即可1

17.(22-23高一下•辽宁•期末)如图，已知在矩形力8。。和矩形中，48=2,AD=AF=\,且二面角C—川?—尸

为60%,则异面直线4C与8尸所成角的余弦值为

【分析】取CE中点M,根据二面角平面角定义可知/C3E=6()、得到ABCE为等边三角形；根据三角形中位线性

质和异面直线所成.角定义可知NM08或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得cos乙必。8,进而

得到结果

ABA.BE,

平面48Cn平面48尸二48,8Cu平面48C,8Eu平面48/，

NCBE即为二面角C—-厂的平面角，NCBE=60'，

又BC=AD,BE=AF,：.BC=BE=1,「.△BCE为等边三角形,

分别为4£，CE中点，/.OMUAC,OM=-AC,

2

乙MOB或其补角即为异面直线/1C与BF所成角,

•/AC=BF=Vl2+22=y/5»:.MO=OB=立，

2

17

55_3

OM、OB'-BM)=4+4-47

cosNMOR=

20MOB-510

7

即异面直线/C与6厂所成角的余弦值为伍.

7

故答案为：

18.（22-23高一下•广西南宁•期末）如图所示，正四棱锥。-43。。中，。为底面正方形的中心，己知侧面左。与

底面力贸?。所成的二面角的大小为60°,E是PB的中点.

（1）请在棱48与AC上各找一点M和M使平面MNE〃平面H1C,作出图形并说明理由;

（2）求异面直线产。与力E所成角的正切值.

【答案】（1）作图、理由见解析

⑵当

【分析】（1）取/伤，5C的中点A1,N,连接MN、NE,可得平面M/Vf,再利用面面平行的判定定理证明即可;

40

（2）连接可得NOE力为异面直线P。与4E所成的角或其补角，计算lan乙4月。==即可；

EO

【详解】（1）分别取45,4c的中点M,N,连接MN,NE,

则平面MNE//平面PAC,

证明：在△力3P中，M,后分别为依的中点，

所以A/E//4P,同理，NE//PC,

又MEu平面MNE,平面P/1C,

所以ME//平面尸月。，同理NE//平面PXC

乂MECNE=E,ME,NEu平面MNE，所以平面MNE〃平面尸力C,

18

（2）连接力E,OF,取彳。中点为H,连接

由于OH//CD,:.OH±AD,

由于PO_L底面Z8CQ,，。"。,/。（=底面48。。，

AD1PO,又因为HO_L4。，POcHO=O,PO,〃Ou平面POH,

所以40平面POH,PHu平面POH，故AD1PH,

故APHO为侧面PAD与底面/BCD所成的二面角的平面角，故ZPHO=60°,

不妨设底面正方形的边长为。，则尸。=立〃，DO-a.

22

因为OE//PD,所以ZOEA为异面直线PQ与4E所成的角或其补角,

因为A0_L3。，AOA.PO,PO(^BD=O,P0,BDu平面P8D,

所以力。_1.平面P8。，又OEu平面PBD,所以力O_LO£,

所以OE=、PD=1y/P(f+QO2=—a，

224

&

-

A()2

J9flUtanZJ£0=—旦

4

则异面直线PD与AE所成角的正切值为重;

5

题型七：面面垂直的综合问题

19.（23-24高一下•青海・期末）如图，在四棱锥P-48C。中，底面四边形48C。是直角梯形,

AD=2AB=2BC=4,AB工481BC,七是力。的中点，PCLBE.

19

p

(1)证明：8E_L平面21C.

(2)若E4=PC=2及，求二面角8—P4—O的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【分析】(1)连接CE，通过四边形/18CE1是正方形，得到/C,进而可求证；

(2)作〃〃_L2f,垂足为〃，连接先证明P/_L平面BE”,得到N8//E是二面角8-尸力-。的平面角，在

判断四棱锥P-48CE为正四棱锥，求得EH=BH=叵,再由余弦定理即可求解.

2

【详解】(1)证明：连接CE.

囚为石是/。的中点，所以力£>=2力£.

分因为力。=248=28。=4,且力8，力O,/13J.3C,所以四边形力BCE是正方形,

则BEJ.ZC.

因为PC_L8E,PC,4Cu平面产力。，旦PCc/1C=C,

所以8E_L平面21c.

(2)解：

作垂足为，，连接EH、PE.

由(1)可知平面",40.又Rdu平面A4C,所以尸

20

因为B〃,BEu平面BEH,且BHCBE=B,所以04_1_平面

因为£77u平面6£H,所以产力_L石〃，则石是二面角6-尸月一。的平面角.

记4C1BE=O,连接OP,则。是力。的中点.

因为尸4=PC,且。是4C的中点，所以OP_L4C.

因为8£_L平面A4C,且OPu平面P/C,所以8E1OP.

连接P£.因为4C8£u平面力4CE,且4CIBE=O,所以。Pl平面力灰芯，

则四棱椎尸-4BCE为正四棱锥，椒PA=PB=PE=24i.

因为APNA的面积S=-PABH,

2丫I2J2

BP-X2XV8^T=-X2X/2X5/7,

22

所以8〃=巫.

2

同理可得£7/=4"=巫.

2

在中，由余弦定理可得cos/BHE=BH'*"一一郎一=一j.,

2BHEH7

则sin4BHE=小”?NBHE=述,即二面角8。的正弦值为逋.

77

20.（23-24高一下•江苏常州•期末）如图，三棱柱48C—44G所有棱长都为2,N8/C=6（）。，。为8C中点，D

为4c与4G交点.

（1）求证：。。〃平面力。4；

⑵若直线与平面4。用所成角的正弦值为毛1,求二面角4-AC-4的大小.

【答案】（1）证明见解析：

（2）120°.

【分析•】（1）取力4中点石，连接DE,BEQE,证明四边形。EOC为平行四边形，得出C£）〃Of,从而证明。。〃平

面力。%

（2）利用线面垂直的判定证得8CJ.平面力。4,进而得/。8卢为直线。4与平面力。4所成角并求出。印,利用勾

21

股定理求出力4,再由余弦定理求出乙4。£,利用二面角的定义即可得答案.

【详解】（1）在三楂柱48C—44G中，取力彳中点E,连接DE,BE,OE,

由。西分别为阳和明的中点，得DE//々G且DE=；8£,

由。为8c中点，得0C“4G且oc=；纥G，则。£7/CO且。七=CO,

即四边形OEOC为平行四边形，于是CO//OE,又O£u平面力。4，。。仁平面力。4,

所以C。//平面/。4.

（2）由三棱柱45。一力向G所有棱长都为2,NBIBC=60。,得△力8C,△48c都是正三角形，

而。为8C中点，则3。_1.力。，BCLOB],40,。4<=平面月。用，OB^AO^O,

于是8C_L平面力。4，又DEHBC、则OEJ,平面水出，

/DB\E为直线DB、与平面所成角，

因此a/。“=卷=6=噜，DB、=叵,而平面水四，则

乂£为44中点，则AB[=2B]E=2切叶一QE2=2J孚-1=3，

在“。与中，40=40=G,8s4°4=3+3-9」,则//04=120。，

2x32

由4C，4。，BC10叫,得乙1。片是二面角力―4C—4的平面角，

所以二面角4的大小120。.

21.（23-24高一下•福建福州•阶段练习）如图，在四楂锥尸-/18CZ）中，底面/i8CQ为正方形，侧面左。是正三角

形，力6=2,侧面P/IOJ.底面/18CQ,M是PO的中点.

⑴求证:4W_L平面PCD；

22

(2)求C点到平面PAB的距离：

(3)求侧面尸5c与底面月5c。所成二面面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)73

⑶乎

【分析】(1)找到图形中的线面垂直与线线垂直的转化关系，进而可证4W1平面PCD；

(2)利用等体积法转化，三棱锥P-/I4C与三棱锥。-48体积相等，利用图形的几何关系求出△48的面积，进

而可得C到平面44的距离；

(3)做辅助线，找到侧面P8C与底面。。所成二面角的平面角，利用几何关系求解即可.

【详解】(1)在正方形力8c。中，CD1AD,

又侧面夕力。1底面ABCD,恻面RWc底面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面"D,又4Vu平面广力£>,所以。14W,

因为是正三角形，〃是P。的中点，则4WLP。，

乂CDr.PD=D,CD,PDu平面PCD,

所以4M_L平面PCD;

(2)取力24。的中点分别为民尸，连接4瓦尸E,

在正中，PE1AD,因为平面P力。J.平面/5CO,

平面尸/。门平面/8。9=4),所以PE_L平面/18C。，

所以PELBE,AE=T,PE=C,PB=\lPE2+BE2==2及，

所以△46为等腰直角二角形，S.”=；x2x2=2,

设C到平面48的距离为"，

V