长方形和正方形（专项训练）-苏教版三年级数学下学期

专题09：长方形和正方形(期末专项训练)

点梳理.................................................1

考点一、平行与垂直的特征及性质................................................1

考点二、点到直线的距离........................................................2

考点三、画垂线和平行线........................................................2

考点四、长方形和正方形........................................................3

题讲解.................................................4

题型一、平行与垂直的特征及性质................................................4

题型二、点到直线的距离........................................................4

题型三、画垂线和平行线........................................................5

题型四、长方形和正方形........................................................7

专项训练.................................................8

练习一、平行与垂直的特征及性质................................................8

练习二、点到直线的距离.......................................................11

练习三、画垂线和平行线.......................................................12

练习四、长方形和正方形.......................................................16

点梳理

考点一、平行与垂直的特征及性质

1.认识平行

⑴定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。

⑵关键要素：

①同一平面：必须是在同一个平面上(比如都在桌面上，或者都在黑板面上)。

②不相交：无论怎么延长，两条线永远碰不到一起。

⑶生活中的例子：

①铁轨的两条轨道。

②黑板的上下两条边。

③双杠的两根横杆。

(4)表示方法：如果直线a与直线b平行，记作a//b,读作“a平行于b”。

2.认识垂直

(1)定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，

它们的交点叫做垂足。

⑵关键要素：

①相交：两条线必须交叉。

②直角：相交的角度必须是90度（可以用三角尺的直角去比对）。

⑶生活中的例子：

①墙角线与地面线。

②书本相邻的两条边。

③十字路口两条笔直的道路。

（4）表示方法：如果直线a与直线b垂直，记作alb,读作“a垂直于b”。

3.重要性质（必背）

（1）平行的性质：

①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行C

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

⑵垂直的性质：过直线上（或直线外）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

考点二、点到直线的距离

1.什么是“点到直线的距离”？

（1）定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。

（2）注意：距离是一个数值（长度），单位通常是厘米或亳米，而不是那条线段本身。

2.重要规律

⑴垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。

⑵应用举例：

①小明要从路边（直线）走到学校门口（点），走垂直于路边的路线最近。

②测量跳远成绩时，尺子要与起跳线垂直，因为这样量出的才是最短距离（真实成绩）。

3.如何测量？

⑴将三角尺的一条直角边与已知直线重合。

（2）沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过直线外的点。

⑶从点向直线画垂直线段。

（4）用直尺量出这条垂直线段的长度，即为距禽。

考点三、画垂线和平行线

2

1.画垂线的方法（使用三角尺）

⑴情况一：过直线上一点画垂线

①重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。

②平移：沿直线移动三角尺，直到直角顶点与直线上的已知点重合。

③画线：沿三角尺的另一条直角边画一条直线。

④标记：画上直角符号，标出垂足。

⑵情况二：过直线外一点画垂线

①重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。

②平移：沿直线移动三角尺，直到另一条直角边经过直线外的已知点。

③画线：从已知点开始，沿另一条直角边向直线画线段。

④标记：画上直角符号。

2.画平行线的方法（使用三角尺和直尺）

（1）口诀：一贴、二靠、三移、四画

①一贴：将三角尺的一条直角边贴在已知直线上。

②二靠：将直尺靠在三角尺的另一条直角边上（固定直尺不动）。

③三移：按住直尺，推动三角尺，直到三角尺的原来那条边经过已知点（或到达指定位置）。

④四画：沿三角尺的这条边画直线。

（2）检验：画完后，可以用三:角尺的直角检查两条线之间的距离是否处处相等，或者看它们是

否永不相交。

考点四、长方形和正方形

1.长方形的特征

⑴边：

①有.4条边，对边平行且相等。

②通常把较长的一组对边叫“长”，较短的一组对边叫“宽

⑵角：有4个角,都是直角（9（）度）。

⑶对称性：是轴对称图形，有2条对称轴（分别通过对边中点的连线）。

2.正方形的特征

⑴边：

①有4条边，4条边都相等。

②每条边都叫“边长”。

⑵角：有4个角，都是直角（90度）。

（3）对称性：是轴对称图形，有4条对称轴（2条对边中点连线，2条对角线）。

（4）特殊关系：正方形是特殊的长方形（当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形）。

例题讲解

题型一、平行与垂直的特征及性质

【例题1】如图，直线a和直线c互相（）,直线a和直线b互相（）,直线c和

【答案】垂直平行相交

【分析】直线a与直线c相交所成的角是直角，所以它们互相垂直；直线a和直线b延长后永

远不会相交，所以它们互相平行；直线c和直线d延长后会相交。据此解答即可。

【详解】直线a和直线c互相垂直，直线a和直线b互相平行，直线c和直线d相交。

【练习1］过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（）条，两条平行线间可以画

（）条垂直线段，这些线段的长度都（）o

【答案】一无数相等

【分析】过直线外任意一点都可以画一条直线与已知直线平行，过直线上任意一点，只有一条

直线与已知直线垂直，直线上有无数的点，则能画无数条直线与已知直线垂直，也就是两条平

行线间可以画无数条垂直线段，这些线段的长度都相等；据此解答即可。

【详解】过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，两条平行线间可以画无数条垂直线

段，这些线段的长度都相等。

题型二、点到直线的距离

【例题2】小鸭子要尽快游到小河对岸，它应该选择路线（）o

小河

小鸭子

4

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,所以小鸭子要从起点游到河对岸,

想要游的路线最短，需要过起点向河对岸所在的直线作垂线段。据此解答。

【详解】观察题目所给图形，路线②是小鸭子到小河对岸的垂线段，依据“点到直线的垂线段

最短“，这条路线长度最短。

所以，小鸭子要尽快游到小河对岸，它选择路线②。

故答案为：B

【练习2】若点A表示一个货运中转站，直线m为一条公路，现在准备修一条柏油路连接公

路，该怎么修建呢？在图中画出来。

【答案】见详解

【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出从A点

到公路m的垂线段即可。把三角板的一直角边靠紧直线m,沿直线滑动三角板，当另一直角

边经过A点时，沿这条直角边画出A到直线m的垂直线段就是现在准备修的一条柏油路。

【详解】如图：

题型三、画垂线和平行线

【例题3】过C点作直线M的垂线，过D点作直线M的平行线。

【答案】见详解

【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合;

沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角动K：沿三角尺的另一条

直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。

（2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一

条直线或先让三角尺的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直

尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条

直线。

【练习3】下面是一张街区的示意图。

（1）文昌路经过街心花园，与园林路互相平行，在图中画出文昌路。

（2）如果从学校出发，修一条路连接到发达路，怎样修路距离最短？请在图上画一画。

【答案】见评解

【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺,

沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的

平行线。过街心花园作园林路的平行线即可。

（2）过一点作直线的垂线：7巴三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一

直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；根据两点之间线段最

短，所以过学校作到发达路的垂线即距离最短，据此作图即可。

【详解】作图如下：

学

校

，

发

达路/

街心花

文昌\\林路

6

题型四、长方形和正方形

【例题4】有.3组小棒，如果要搭一个长方形，我可以选()号，搭一个正方形可以选

()号。

【答案】③①

【分析】根据长方形的特征，长方形对边相等，由此可知，可以选5厘米、5厘米、7厘米、7

厘米的小棒围成一个长方形；根据正方形的特征，正方形四条边都相等，所以要选四条一样长

的小棒。

【详解】根据分析，如果要搭一个长方形，我可以选③号；搭一个正方形可以选①号。

【练习4］在下面的方格纸上画一个边长是5厘米的正方形和一个长6厘米、宽4厘米的长方

【分析】正方形是正正方方的，由4条边围成，且4条边都一样长；据此画一个边长是5厘米

的正方形。

长方形是长长方方的，由4条边围成，且对边一样长；据此一个长6厘米、宽4厘米的长方形。

【详解】由题意分析得：

o专项训练

底与二■隼岩呜霸而福证芨在凝

互相平行

C.

互相垂食

【分析】同一平面内，如果这两条直线永不相交，就说明这两条直线互相平行；两条直线相交

成直角时，这两条直线互相垂直。依此选择即可。

【洋解】

垂直属于相交，此图中相交包含垂直，正确;

互相平行的直线不可能相交，此图中相交包含平行，错误;

此图中平行和垂直属于包含关系，错误。

2.下面各图中，两条直线互相垂直的是（）o

C.D.

【答案】C

【分析】根据题意，明确在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其

中一条直线是另一条直线的垂线。以此逐项分析即可。

【详解】根据分析可知：

A.这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。

B.这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。

8

C.这两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。

D.这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。

两条直线互相垂直的是0

故答案为：C

3.“空中造楼机”可建千米级高楼。在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果

墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（）。

Z/1

A.互相平行B.互相垂直0.相交

【答案】A

【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做互相平行。如果两条直线相交成直角（9（）。），

就说这两条直线互相垂直。

【详解】铅垂线受重力作用，永远是竖直向下的直线，墙壁竖直，墙壁的边线也是竖直方向，

两条竖直方向、永不相交的直线，位置关系是互相平行。

4.把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（）o

A.互相平行B.既不平行，也不垂直C.互相垂直

【答案】B

【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在

同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此画图并选择。

【详解】如图所示：

由此可知，把一张正方形纸末折再对折，打开后，两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直,

所以两条折痕不可能既不平行，也不垂直。

故答案为：B

5.在同一平面内，不相交的两条直线叫做（）,或者说这两条直线（）平行。

【答案】平行线互相

【分析】这道题考查平行线的定义，明确前提条件“在同一平面内”，再根据“两条直线不相交”

这一关键特征，结合定义得出这样的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

【详解】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，或者说这两条直线互相平行。

6.教室黑板的上下两条边相互（）,相邻两条边相互（）o

【答案】平行垂直

【分析】教室黑板的上下两条边是水平且方向相同的直线，它们在同一平面内且不相交，因此

相互平行；相邻两条边（如一条水平边和一条垂直边）相交且形成的角为直角，因此相互垂直。

【详解】黑板的上下两条边是平行的，因为它们是两条永不相交的直线;相邻两条边是垂直的，

因为它们相交成直角。

7.小梦去参加环保实践活动，图中是活动附近的街道平面图，图中互相平行的两条路是

（）和（），互相垂直的两条路是（）和（）。

工/龛汇路

农

路/红星路

山河

\路f

【答案】工农路文昌路文昌路红星路

【分析】判断两条路是否互相平行，看两条路在图中是否永远不相交，并且之间的距离处处相

等；判断两条路是否互相垂直，看两条路相交形成的角是不是直角；在图里找出符合条件的道

路名称。

【详解】从图中可以看出，图中互相平行的两条路是工农路和文昌路，互相垂直的两条路有很

多，如文昌路和红星路、工农路和红星路、山河路和星汇路，任选一组填写。

8.按要求将序号填在括号里。

在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是（）,有互相垂直的线段的图形是

（），既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是（）。

【答案】①②③④②④⑥②④

10

【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。两条直线相交所成的四个角中，有

一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此解答即可。

【详解】在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是①②③④，有互相垂直的线段的图形是

②④⑥，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是②④。

练习二、点到直线的距离

1.某景区为迎接春节，要在景区的一个湖边晚上设置灯光秀，小梦从景区大门到湖边观看灯

光秀，有4条路线可供选择（如图），（）路线最近。

A.ABB.ACC.ADD.AE

【答案】B

【分析［从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。观察图形可知：景区大门

（点A）是直线（湖边灯光秀所在直线）外的一点，路线AC是从A到该直线的垂线段。

【详解】AC与直线垂直，有直角符号标识，所以AC最短。

小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，AC路线最近。

故答案为：B

2.在笔直的公路上有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，112米，其中

有一-条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是（）米，你判断的理由是（）。

【答案】112从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短

【分析】从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。因此，与公路垂直的小路长

度应该是最短的。比较三条小路的长度即可得解。

【详解】112米V125米V207米

那么这条小路的长度是（112）米，你判断的理由是（从直线外一点到这条直线所画的垂直线

段最短）。

3.乐乐家要修一条通向公路的小路，怎样修最近？请在图上画出小路的示意图。

【答案】图见详解

【分析】从直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂直线段最短，这条垂线段的长度叫做点

到直线的距离。据此可知I,要使修路最近，则从乐乐家向公路作垂线，这条垂线即为所求。

【详解】如图：

练习三、画垂线和平行线

1.以下是得到一组“平行线''的三种方法，下面说法中正确的是（）o

A.只有方法①和方法②正确B.只有方法①和方法③正确

C.只有方法②和方法③正确D.三种方法都正确

【答案】D

【分析】平行线是两条永不相交的直线组成。

分析得到一组“平行线''的三种方法：

方法①：利用三角板的平移面平行线，是正确的平行线画法。

方法②：借助直尺和三角板平移，这是画平行线的标准方法，是正确的。

方法③：利用网格的平行特性，画出的直线会保持平行，也是正确的。

12

【详解】根据分析可知，三种方法都正确。

故答案为：D

2.按要求画图。

过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？

【答案】垂直；画图见详解

【分析】过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三

角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线。

画平行线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，

用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。

观察图可知，画出的两条直线相交于点A.组成4个角，根据量角器的使用方法，中心点需与

角的顶点对齐，零刻度线需与角的一条边对齐，看另一条边对应的刻度，就是该角的度数。据

此分别测量出这4个角的度数，看看是不是9()。，如果4个都是9()。，画出的两条直线相交于

点A,组成4个角都是直角，即画出的两条直线互相垂直；据此解题即可

【详解】过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线，画图如下：

通过测量，画出的两条直线相交于点A,组成4个角都是直角，所以，画出的两条直线互相垂

直。

3.过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。

【答案】见详解

【分析】(1)过A点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线a重合；

再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A

点在三角尺匕沿直角动画出另一条直线即可。

（2）过A点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线b重合；沿着直线移动三角尺,

使直线外的A点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画

上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。

4.经过点A向线段BC画一条垂直线段，并分别量出它们的长度。

【答案】作图见详解；11

作图见详解；13

【分析】过直线外一点画已知线段的垂线，用三角尺的直角边配合平移完成，再用直尺测量长

度。

【注解】把三角尺的一条直凭边与线段BC重合，平移三角尺，让另一条直角边经过点A,沿

这条直角边画线段，与BC交于一点，标上垂足符号；根据线段的起点和终点用直尺量出垂直

线段的长度，作图如下：

测得三角形中的垂直线段长度为11mm；（以实际测量为准）

测得梯形中的垂直线段长度为13mm。（以实际测量为准）

5.下图是某国道旁的几个村的位置示意图。

14

（1）请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。

（2）请找到互相平行的线，在图中圈一圈。

（3）计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。

C村。村

【分析】（1）根据垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。通过对示意

图中线段关系的观察，寻找相交成直角的线。

（2）根据平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。观察示意图中是否存在

不相交的直线。

（3）根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短”，要从B村往国道修最短的路，就

是过B村作国道的垂线段。

【详解】（1）A村通过一条垂直线段连接到C村，所以A村与C村的连线和CD所在的水平

方向线段互相垂直，在其相交处标上直角符号；D村通过一条垂直线段连接到上方的国道，所

以D村与国道的连线和D村所在的水平方向线段互相垂直，在其相交处标上直角符号。

（2）观察图中，AC、D所在的线段互相平行，将其圈出。

（3）过B村向国道作垂线段，此垂线段即为最短的路，在图中画出该垂线段。

练习四、长方形和正方形

1.下面三组小棒中，能围成长方形的是（）0

【答案】A

【分析】根据题意，明确长方形相对的两条边相等，也就是四条边中两两相等，以此选择即可。

【详解】根据分析可知：四条小棒代表图形的四条边。

♦）

A..0------；四条边,两组相对的边相等，能围成长方形，符合题意。

。）

B.八四条边中三条较长的边，一条较短的边，不能围成长方形。

0）

C.四条边三种长度，不能围成长方形。

故答案为：A

2.用哪根小棒能拼成一个长方形。（）

7厘米

|一12厘米

16

A.----4厘米B.------6厘米C.--------7厘米

【答案】C

【分析】由长方形的对边相等，四个角都是直角，即可做出选择。

【详解】

用“--------7厘米”能拼成一个长方形。

故答案为：C

3.下列图形中，长方形有（），正方形有（）o（填序号）

【答案】④⑥⑦②⑤/⑤②

【分析】长方形的特征：四边形，4个角都是直角，对边相等；正方形的特征：四边形，四个

角都是直角，且4条边长度都相等，判断即可。

【详解】由分析得出：②⑤符合正方形的特征，是正方形；④⑥⑦符合长方形的特征，属于

长方形。

4.一个正方形有（）条边，（）个直角；一个长方形有（）组对边相等。

【答案】442

【分析】长方形的特征：两组对边分别相等，四个角都是直角的四边形是长方形；

正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

【详解】由分析知，一个正方形有（4）条边，（4）个直角；一个长方形有（2）组对边相等。

5.如图是宣传海报，由多个长方形组成，请问一共有（）个长方形。

【答案】15

【分析】我们可以先数由1个长方形组成的长方形有几个，再数由2个长方形组成的长方形有

几个，以此类推，最后数到由5个长方形组成的长方形为止。

【详解】根据分析，由1个长方形组成的长方形有5个，由2个长方形组成的长方形有4个,

由3个长方形组成的长方形有3个，由4个长方形组成的长方形有2个，由5个长方形组成的

长方形有1个，列式计算为：

5+4+3+2+1=15（个）

一共有15个长方形。

6.画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。

【答案】见详解

【分析】长方形由邻边和对边组成，邻边相互垂直，对边相互平行，根据长方形的特点，用三

角尺先画两条垂线，以垂足为起点，分别截取3厘米和2厘米的线段作为长和宽，过另外两个

端点再画出已知长和宽的垂线，将这两条