2026年广东省深圳市高考数学冲刺试卷与答案解析（5月份）

2026年广东省深圳市高考数学冲刺试卷（5月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）（1+5/）j的虚部为（）

A.-1B.0C.ID.6

2.（5分）己知全集。={1,2,3,4,5,6,7},集合力=但（x-1）Q-3）=0},则Cu»=<）

A.{I,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

3.（5分）已知双曲线C：l（a>0,b>0）的焦距与其虚轴长之比为3：2,则。的离心率为（）

l4百3百遍

A.v5B.—-C.-—D.—

552

4.（5分）已知函数/（x）=£cm（3%+9）（3>0,|如V*）图象相邻的两个对称中心间的距离为n,若/（0）

=1,则函数/5）图象的一个对称中心为（）

A.弓,0）B.6,0）C.0）D.（IT,0）

5.[5分）设人工）是定义在口上的函数,且对任意实数工恒有（叶2）=-（1）,当.诧（0,2]时,/（为二1050*+1,

则/（1050）=（）

A.1052B.1051C.1050D.0

6.（5分）已知平面直角坐标系上牲中，做2,0）,8（-1,0）,\OC\=2,OA-OC>-2,则|2薪+易|

的取值范围是（）

A.[2V3,6]B.[2,6]C.[1,3]D.[VL3]

7.（5分）已知圆C：（x-4）2+/=4,A（xi，/）,B（小二）是圆上的两个动点，且|力用=2百，则g

-yi+l|+|x2的最大值为（）

A.10-2>/2B.—4-1C.5+&D.10+2企

8.（5分）已知正实数a,b,c满足20+1=2"-a,—^―=3?,-b,——=4r-c,则。，b,c的大小关系

abc

为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得。分.

第1页（共21页）

（多选）9.（6分）在棱长为a的正方体力8CO-AIBICIDT中，点E为BBi的中点，点P满足BP=ABB1+uBC,

Ae[O,1],|16[0,1],则下列说法正确的是（）

A.若入=口，则。P〃平面力所。1

B.若入=2p,则。£_L平面48P

C.若〃=今则存在入，使小E〃。"

D.若则存在入，使小CJ_平面。尸8

（多选）10.（6分）设。为坐标原点，直线/过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点尸且与C交于4B

两点（点力在第一象限），|力用哂=4,/为C的准线，AMLI,垂足为M,Q（0,1）,则下列说法正确

的是（）

A.p=2

B.MM+MQI的最小值为加

C.若NMFO=^,则|第=5

D.x轴上存在一点M使匕时融丹为定值

（多选）11.（6分）在△力8c中，角力，B,C所对的边分别为。，b,c,且满足（a+什c）"（siM+sinB

-sinC）=asin8+2加iM,则（）

A.C=j

B.C建

C.若△48C为锐角三角形，且6=2,则△48C面积的取值范围为谆，2V3）

D.若c=2而，ZUBC的内心为/,则△48/周长的取值范围为（4旧，4+2V3]

三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分.

12.（5分）若直线^=依是曲线的切线，也是曲线的切线，则a=.

13.（5分）已知等比数列｛如｝的前〃项和为S”且m=S3=2,则。6=.

14.（5分）某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年

级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用X表示

这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E（X）=.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQO,将其分为[0,50],（50,100],（100,150],

第2页（共21页）

(150,200］的4组，画出频率分布直方图如图所示.若4Q/W100,称当天空气质量达标；若40/>100,

称当天空气质量不达标.

(1)求4：

(2)从4月的3()天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；

(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2X2列联表，根据小概率值a=0.l

的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？

________n(ad-bc)2________

(a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d)

16.(15分)记数列｛斯｝的前〃项和为

(1)设用=1,若S“=2Q〃・1,求｛斯｝的通项公式;

(2)记/(X)=1+人+¥+/+...+'〃，设斯=/(2),求S”.

17.(155?)如图，在几何体48CDEE中，已知四边形力8。是边长为2的正方形，E4_L平面48CZ),EA

//FC,EA=2FC=2.

(1)求异面直线£4与。歹所成角的余弦值.

(2)证明：平面平面".

(3)若"是几何体力BCD所内的一个动点，且力1=£(6+6)+(1-2t)6(0型44点N满

第3页(共21页)

足。可+(/1+〃)。尸=/1。8+〃。。+。凡收入/=2,求的最小值.

=l(a>b>0)的左、右顶点分别为人〃且焦距为2,上顶点为M,且

Q

直线河4的斜率之积为-本

(1)求椭圆£的方程：

(2)设直线/|不经过"点且与上相交于P、。两点，仪=3

kBQ

⑺证明：直线人过定点G;

(/•/)设〃为①中点G关于j轴的对称点，过点，作直线12交于椭圆E于C、。两点，且求

四边形PCQD面积的取值范围.

19.(17分)意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部

分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数/(%)=/罟的图象，我们称这个

函数为“双曲余弦函数”，记为MQ)=学二，把g(x)二竺/称为“双曲正弦函数”，记sh(T)二竺尹,

易知s力(2x)=2sh易)*ch(x).

(1)证明：([')当x>0时，sh(x)>x；

(ii)当x>0时，cosx>1-<工2；

22

,、、十口s/i(2)sh(l)sh(§)shq)4n.

(2)证明：-----+----r+---r+…+---r>2n-----(nWN).

tan-tan-tan-2n+l

23n

第4页(共21页)

2026年广东省深圳市高考数学冲刺试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）（1+5。，的虚部为（）

A.-1B.0C.1D.6

【解答】解：令2=（1+5/）3则z=5尸+j=-5+3

所以z的虚部为1.

故选：C.

2.（5分）已知全集U={\,2,3,4,5,6,7},集合力={x|（x-1）（x-3）=0},则Cu4=（）

A.{1,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

【解答】解：全集U={1,2,3,4,3,6,7},

集合力={x|（x-1）（x-3）=0}={l,3},

，Cw/={2,4,5,6,7}.

故选：B.

3.（5分）已知双曲线C：盘—*1（40,b>0）的焦距与其虚轴长之比为3：2,则。的离心率为（）

4V53V5V5

A.v5B.——C.——D.—

JJ乙

【解答】解：由题意可知，2c：26=3：2,则c：b=3：2,设c=3小（〃A0）,则b=2m,

所以a=\!c2—b2=V5m,故C的离心率为e=-=

a5

故选：C.

4.（5分）已知函数/（%）=〃/（。比+0）3>0,阳V?）图象相邻的两个对称中心间的距离为IT,若/（0）

=1,则函数/（X）图象的一个对称中心为（）

A.（*,0）B.G，0）C.（与，0）D.（H,0）

【解答】解：函数/1（%）=tm（s+0）（3>O,⑼<3）图象相邻的两个对称中心间的距离为n,

由题可得g=兀，7=2TT,又3>0,所以a>=*=5

所以/'（%）=tangx+8）,则/（0）=tan（p=1,

第5页（共21页）

则9=kn+,kEZ,

又阿邙，则0=%Jft/W=tan(1x+^).

+4=~,kEZ,解得％=k7i—5，kEZ.

结合选项可得当％=I时，%=*，

故(5,0)是/(x)图象的一个对祢中心.

故选：B.

5J5分)设/U)是定义在R上的函数,且对任意实数x恒有/(x+2)=-/(x),当尤(0,2]时,/(%)=10502+1,

则/(1050)=()

A.1052B.1051C.105()D.0

【解答】解：/(x+2)=-/(X),

则/(x+4)=-f(x+2),

故/(x+4)=/(x),则函数/(x)为周期函数，周期为4,

因为当在(0,2]时，/(x)=1050^+1,所以/(1050)=/(262X4+2)=/(2)=1051.

故选：B.

6.(5分)已知平面直角坐标系工。)，中，4(2,0),B(—l,0),\OC\=2,OA-OC>-2,则|2前十乙|

的取值范围是()

A.[2V3,6]B.[2,6]C.[1,3]D.[V3,3]

【解答】解：设C(x,y),由题知|且|二J』+y2=2,即，+炉=4,

因为4(2,0),8(-1,0),所以&=(2,0),OC=(x,y),

所以占•左=2%之一2,即x2-l,所以-1WXW2.

因为几=(一3,0),CA=(2-x,-y),则26+0=(一%—4,-y),

所以|24%+CA\=J(-％-4产+(-斤=7(x+4)2+y2,

又因为f+y2=4,即J，=4・X2,

所以|24%++4尸+4-9=V8x+20,

因为-1WXW2,所以12W8x+2()W36,所以2百W《8%+2D18,

第6页（共21页）

所以|2力8+&4|的取值范围是［2百，6］.

故选：A.

7.(5分)已知圆C：(x-4)2+/=4,A（xi，yi）,B（小/）是圆上的两个动点，且|48|=2代，则防

-7|+1|+|X2-及+1］的最大值为（）

5企

A.10-2V2B.V+1C.5+V2D.10+2V2

【解答】解：如图,

圆C：（x-4）2+f=%圆心为点C（4,（））,设线段的中点为M,

得CMJ.血\CM\=y/\AC\2-\AM\2=1,

所以点M的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆,

即为。-4）2+y2=1,昆二沪11可看作点A到直线X-川=0的距离,

V2

同理，匣等11可看作点B到直线x-y+l=（）的距离,

枕1一、1+1|+1%2-丫2+1|.可看作点必到直线「声］=0的距离,

因此

2&

14-0+115企

于是点M到直线x-）升1=0的距离最大值即।「I+1=—+K

V1+12

|xi-yi+l|+|x2-y2+l|572l

则<—+1,即氏1一丫1+1|+氏2-丫2+1|410+2企，

2企

故。正确.

故选：D.

2a+l3匕+1,4c+l

8.（5分）己知正实数a,b,。满足-----=2a-a,丁=3F—=4<-e,则m“，b,。的大小关系

a

为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【解答】解：由「一=2"-a得,2+：=2"-〃，

aa

Aa+^1=2a-2,

，函数y=x+"与函数y=2'-2的图象在（0,+°0）上交点的横坐标为a,

第7页（共21页）

1

同理，函数y=x+7与函数歹=3*-3的图象在（0,+8）上交点的横坐标为力，

函数与函数y=4'-4的图象在（0,+°0）上交点的横坐标为c,

人

在同一个平面直角坐标系中画出函数函数y=x+/,y=2x-2,y=3*・3,y=4*・4的图象，如图所示:

人

由图可知，c<b<a.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得。分.

（多选）9.（6分）在棱长为。的正方体48CO-/hBiCiDi中，点E为BBi的中点，点尸满足前=ABB1+而C,

Ae[0,1],咋[0,1],则下列说法正确的是（）

A.若入=p,则。尸〃平面力协力।

B.若入=2上则"_L平面48户

C.若〃=/则存在入，使小E〃。①

D.若〃=提则存在入，使小C_L平面。P4

【解答】解：若入="，则而=/t8》i+a而=4821，Ae[0,1],

则点Q在线段4cl上，如图，

第8页（共21页）

D

1

4

A

由平面山6clz)1〃平面T6CZ),且平面ZBCOn平面B]D}DB=BD,

平面4181。。］n平面BiDiDB=B\Di，得BiDi〃BD,

•••力。10平面4。。，BQu平面A。。,

・・・丽〃平面BCD同理可证N5〃平面BC\Dt

又..【Oin/氏=4・,•由平面与平面平行的判定定理可得平面力41。1〃平面BC\D,

而。Pu平面月。。，则力尸〃"面/8|。1，故力正确;

若入=2山则BP=+〃BC=〃(28Bi+BQ=2〃8N,

1］，

,:CE工BN,：・CE±AB,则CE_L平面48P,故3正确;

［TT1fTTTT

当〃=抑，有8P=/I88i+加C=/I88i+8M,即MP=28%,

・••点尸在线段上，如图,

第9页(共21页)

M,Mi分别为6a6C1的中点，则小£与。IP界面，故C错误;

当〃=4时，有而=2丽+/命=入丽+易，即诂=痴1，

・•・点尸在线段MM］上（如上图），M,Mi分别为8C,81cl的对应三分点,

又使出C_L平面。8P,・••点尸在8。上，

而8。与有公共点，点尸存在，故。正确.

故选：ABD.

（多选）10.（6分）设O为坐标原点，直线/过抛物线C：炉=2px（p>0）的焦点尸且与C交于4B

两点（点力在第一象限），|力用而〃=4,/为C的准线，AM1/,垂足为M,7（0,1）,则下列说法正确

的是（）

A.p=2

B.MM+MOI的最小值为迎

C.若NMFO=E，则|力用=5

D.x轴上存在一点M使匕时火用v为定值

【解答】解：如图，对于力项，

因直线/1经过点月故当且仅当力8为通径时，最短,

即2P=4,即〃=2,故A项正确；

对于8项，

由抛物线定义知XM=I/Q，故。|=I48+1彳。|，

第10页（共21页）

由图知，当且仅当。，A,广三点共线时，0尸|+|力。|取得最小值，

即(|AM|+\AQ\)min=\QF\=企，故8项正确;

对于C项，

因甲K|=p=2,在RtZXMFK中，由乙MFO=£可得：|KM|二2百，\FM\=2\FK\=4,即得点4(3,2百),

于是y=百工一班代入炉=4%中，整理得：3*2-1()戈+3=0,

解得：4=3,科=/即得力(3,2代)，一竽)，

故|4B|=|"|+网=3+2=学，即C项错误；

对于。项，

设直线4：x=my+l,代入丁=4》中，整理得：-4my-4=0,设力(xi，y\),B(X2»

Yi+=4m

则得:

7172=-4

设在x轴上存在一点N(/,0),

川”_力।及_力।-2-2"91%+(1——31+、2)

2-m+—2

、ANBNx^—tx2—tiny^+l—tmyz+lTmy1y2+(lO(yi+y2)(^O

_2m(—4)+4(l—t)m_2m(_4)+4(lT)m_-47n(t+l)

——4m24-4(l—t)m2+(l—t)2——4m24-4(l—t)m2+(l—t)2—(f—l)2—47712^

故当尸-I时，kA/kBN=O,即存在点N(-1，0)使得匕VTBN为定值0.故。项正确.

故选：ABD.

(多选)11.(6分)在△4AC中，角力，B.C所对的边分别为a,h,c,且满足(〃+/>+<?)•(sinJ+sinfi

-sinC)=«sin5+2/)sinJ,则()

C=6

C.若△ABC为锐角三角形，且8=2,则△48。面积的取值范围为(字，2V3)

D.若c-2乃，△/IBC的内心为/,则周K的取值范围为(48，4+2旧］

【解答】解：因为(o+6+c)•(sia-4+sin5-sinC)=asin4+26sin/,

所以(a+h+c),(a+b-c)=3ah,整理得初十晶-02=〃/),

所以a2+b2c21

所以cosC-2ab~一_岫颓一_2'

因为CE(0,n),所以C=E，选项/1正确，选项8错误；

C,AABC的面积S=AabsinC=卓。，

第11页(共21页)

ab

由正弦定理得,

sinAsinB'

gcpi_bsizM_2sE4_2sin/l_4

sEBsin^-A)^cosA+^sinA嘉+1

P</1<2r

因为△力BC为锐角三角形，所以《L冗，解得77r<4<：77,

（0<8二等一力号62

所以ta7h4>4，所以1V4+1V4,

5CG/izi

所以托（1,4）,故SW（亭，2百），选项。正确:

D,因为。=去所以4ABC+乙84（7=竽

因为△力8c的内心为/,所以018/+，84/=号，故/力/8=半

A

设41B/=8(OV0V勃则®/=(一①

4.-1,口BlAIAB2V3

在△/£/中'由正弦定理得‘加莎=-=嬴而=靖=4,

所以B/=4sin/一。），AI=4sin0,

所以△48/的周长为4sin©—。）+4s出8+273=4s比（。+守）+2存

,n11.江兀27r

因为ovev。所以gve+wv-r，

口333

所以sin（8+E）£（字，1],所以45配（6+曰）+26£（4后4+26

,选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分.

12.（5分）若直线丁=h是曲线y=a九r的切线，也是曲线y=F的切线，则a=e^_.

【解答】解：因为y=质与相切，

y'=（F）'=ex,设切点坐标为（JQ,eX1）»

则切线方程为y—eXl=eXl（x-xj,

第12页（共21页）

因为切线过原点，所以0-e"=ex,(0-%i)=>xi=I,

故切点为(I，e),所以"=e,

对函数多=。加,yr-(alnx)z=

X

,Qa

由一=e=>x=

xe

根据y=ex得切点纵坐标为：e^=a,

根据y=alnx得切点纵坐标为：Q」琮=a(lna-1),

由a=a｛Ina-1),

又由题可知“#()=4=3.

故答案为：e2.

13.(5分)已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”，且m=S3=2,则然=-2.

【解答】解：设等比数列｛斯｝的公比为小

因为ai=S3=2,所以qWl,

所以q)=2,解得夕=-1或4=o(舍去)，

i-q

所以外=QiqS=2x(—1)5=-2.

故答案为：-2.

14.(5分)某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年

级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用X表示

39

这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X)=—_.

Zo

【解答】解：若三个年级名额数分别为a,b,C,

此时a+b+c=9,

因为每个年级至少一个名额，

其相当于9个球分成3份，旦每份至少有一个球，

即用2个隔板插入8个空，

共有髭=28种情况，

由题意X=加〃｛q,b,c｝,X=l,2,3,且各年级人数为(a,b,c),

其中X=3的情况有(3,3,3)一种情况，

1

所以P(X=3)=转,

第13页(共21页)

X=2的情况有(2,2,5)、(2,5,2)、(5,2,2)、(2,3,4)、(2,4,3)、(3,2,4)、(3,4,2)、

(4,2,3)、(4,3,2)九种情况，

所以P(X=2)=葛，

可得P(X=1)=1-点-义=祟

则E(X)=3x28+2x28+lx28=^8-

39

故答案为：—.

Zo

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)某市统计了2024年4月的空气质量指数CAQD,将其分为[0,50],(50,100],(100,150],

(150,200]的4组，画出频率分布直方图如图所示.若40/W1OO,称当天空气质量达标；若40/>100,

称当天空气质量不达标.

(1)求。；

(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质品达标的概率；

(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2X2列联表，根据小概率值a=0.l

的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？

________n(ad-bc)2________

(a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

第14页(共21页)

【解答】解：⑴根据题意可得(a+0.006+0.01+a)X50=l,解得4=0.002；

(2)由频率分布直方图知:

4月份的空气质量达标的天数为:50X(0.002+0.006)X30=12,

所以4月份的空气质量不达标的天数为：30-12=18,

所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1-摩=卷；

(3)列联表如下:

月份空气质量合计

达标不达标

4月121830

6月82230

合计204060

假设“0：空气质量是否达标与月份无关，

则x2=‘°装蕊默普》=1.2V2.706,

所以根据小概率值a=0.l，没有充分理由推断Ho不成立，

所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联.

16.(15分)记数列｛如｝的前〃项和为S”.

(1)设防=1,若S“=2%・1,求｛斯｝的通项公式;

(2)记/(x)=1+^+x2+x3+..,设(2),求S”.

【解答】解：(1)设m=1,若*=2斯-1,

当〃22时，内产S“・S“j=2斯・2a“.i，整理得人=2,

QR—1

数列｛斯｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以%=2“T.

(2)记/(x)=I+.r+x2+x3+...+x"，

第15页(共21页)

可得/(x)=1+2计3/+...+履厂I,

an=f(2)=1+2・2+3・22+...+〃・2”-I,

2劭=1・2+2・22+3・23+...+〃・2",

相减可得・。〃=1+2+22+...+21・〃・2〃=与§一〃・2"=(1-n)・2〃・1,

1-Z

则an=(«-1)・2〃+1,

令%=其前〃项和为G，

1234n-1

：.Tn=1x2+2x2+3x2+4x2+•••+(n-1)-22”①,

2345nn+1

：,2Tn=1x2+2x2+3x2+4x2+(n-1)-2+n-2(2),

①-②得：-7\=2+1x22+1x23+…+1x2”-n♦2n+1=(1-/;)・2田-2.

n+1

：.Tn=(n-1)-2+2.

令Cn=2",其前"项和易知为：2M+,-2,

所以又=(n-1)-2n+1+2—(2"+i-2)4-n=(n-2)x2n-1+n+4.

17.(15分)如图，在几何体川?COEE中，已知四边形45c。是边长为2的正方形，£4_L平面/18CO,EA

//FC,EA=2FC=2.

(1)求异面直线E8与。尸所成角的余弦值.

(2)证明：平面E8Q_L平面8OF.

(3)若M是几何体48CQE/内的一个动点，且屁=t(几+而)+(1-2£)融(0乂亡工,).点八，满

乙

足扇+(/1+〃)&=/1涛+〃晶+&，间＞=2,求心方\/的最小值.

A1-----------------海

【解答】解：(1)由四边形力BCO是正方形，E4_L平面力8CQ,

可得48,AD,4E两两垂直，故以力为坐标原点,

AB,AD,4E所在直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示,

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则。(0,2,0),F(2,2,1),E(0,0,2),B(2,0,0),

则D尸=(2,0,1),EB=Q,0,-2),

联I、I三三、DFEB2同

所以cosVDF，EB>=~—=-7=--7==^77,

\DF\\EB\店x、'810

VTo

故异面直线EB与。尸所成角的余弦值为彳丁；

(2)证明：取80的中点O,连接O£,OF、则。(1,1,0),

所以n=(一1,-1,2),OF=(1,1,1),EF=(2,2,-1),£7)=(0,2,-2),

所以OE=|OE|=VS,OF=\OF\=V3,EF=\EF\=3,

则。£2+0产=£772,所以OE_LO凡

又ED=\ED\=2V2,EB=\EB\=2&，则ED=EB,

又。为。8中点，所以OEJ_O8,OFCDB=O,

所以。£，平面3。b，因为O£u平面£8。，

所以平面E4Z)_L平面BDF；

(3)因为儿=£(/1%+6)+(1-2£)6=2弘3+(1-2£)族(0<t<|)，

所以M在线段OE上，

因为扇+(4+〃)&*=%&+〃2)+CF,

所以丽=入港+〃而，故N在平面瓦小上，

-AN=(A0+0^­(AOON)=AO2+AO(0M+ON'),

设G为MN的中点，

所以4%-AN=(AO+01^^(AO+ON)=2+2A0-0G,

因为MN=2,所以|OG|=1,

第17页(共21页)

故所以的最小值为2-2a.

18.（17分）已知椭圆£：捻+餐=l（Q>b>0）的左、右顶点分别为力，8且焦距为2,上顶点为M,且

直线M/,的斜率之积为一1

（1）求椭圆E的方程：

（2）设直线人不经过"点且与£相交于P、。两点，理=3

k!3Q

（/）证明：直线人过定点G;

（//1）设〃为①中点G关于J，轴的对称点，过点〃作直线12交于椭圆七于C、。两点，且求

四边形PCQD面积的取值范围.

【解答】解：（1）根据题意可得8（m0）,A{-a,0）,

2222

令A/（x,y）,即%/?=品，^^=一本则化简得点+景=1，再根据3+1=1，

可得匕2=%。2,

由于椭圆焦距为2,那么02一匕2=小-，/="02=1,解得公=3,次=4,

因此椭圆E的标准方程为丁+5=1；

43

（2）（/）根据题意可知直线4不过椭圆的右顶点，

所以可设直线/］：m（x-2）+〃），=1①，

那么椭圆方程整理为3［（x-2）+2产+4产-12=（）,

整理可得：3（x-2）MAI!（x-2）=0（2）,

联立①②得：3(x-2)2+4-+12(x-2)[m(x-2)+〃刃=0③,

令。（X2,"），P（XI，川），这两点坐标都满足方程③,

7^7=kpA92

人]4%2-2

方程③两边同除以X-2得:3+4启+12（〃什府）=0,

所以纵此方程的两根为切nkQA.

因为点P在椭圆上，所以kpAkpB=肃j，器^=策^=3；_：）=-

又因为，^=3,所以总人心"=一上,所以——=-［，所以m=-%

所以直线匕：一/（%-2）+ny=1,/i：x=3ny-1,与x轴交点坐标为（-1,0）,

第18页（共21页）

所以直线人恒过定点G(-1,0).

(//)G(-1,0)关于原点的对称点为〃(1,0).

当直线人的斜率不为零时，设其方程为A：x=U-1.

22

XV

将直线/|：x=Xy-1代入椭圆E的标准方程为7+彳=1，

整理得：(3入2+4)6勾，-9=0,A=122(A2+l),

|PQ|=VTT^|-y|=加不理彳=嘿鲁，

yi2同理得|CD|=

又.・・/I_L/2，・••四边形尸C0。面枳为:

24+12(*+玄)1288[,288

1

-\PQ\\CD\=6xEW=6(1-QE)[/，6),当入=±1时'取到语

乙

AA

又•・•当直线/I的斜率为零时，必经过椭圆的左右顶点，与题意矛盾,

・••四边形尸C。。面积的取值范围是［鬻，6).

19.(17分)意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部

分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数/'(")=£—的图象，我们称这个

pXJ^p-XXpX_p-X

函数为“双曲余弦函数”，记为MQ)把g(x)=幺介称为“双曲正弦函数”,记s/i(x)=幺介,

乙乙