人教版数学八年级上册 分式方程（第1课时）

第十八章分式

18.5分式方程

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分

式方程的模型作用；

2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.

3.了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.

【过程与方法】

经历“实际问题一分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的

能力,渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.

【情感、态度与价值观】

1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决

问题的进取心，体会数学的应用价值.

2.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式

方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

1.正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.

2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.

【教学难点】

产生增根的原因.

五、课前准备

教师：课件、直尺等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程

（-）导入新课

一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它沿江以最大航速顺流航行90km

所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？（出

示课件2）

解:设江水的流速为vkm/h,根据题意，得篇二黑

这样的方程与以前学过的方程一样吗？

（二）探索新知

1.创设情境，探究分式方程的概念

教师问1:为要解决导入中的问题，我们得到了方程悬二锻？仔细观察这

3U+V5U-1/

个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4）

12110x_2x十］

教师问2:方程ETx+l3x+3与上面的方程有

什么共同特征？

教师问3：上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？

学生回答：不是.

教师问4:以前我们学过什么方程？试举例说明.

学生回答：以前学过一元一次方程和二元一次方程，如'—1=3,x+y=7

等.

教师问5:仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？

学生回答：分母中都含有未知数.

教师问6:像这种，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.，你能再写出几

个分式方程吗？

学生思考后，找学生回答。

总结点拨：（出示课件5）

分式方程的概念：

分母中含有未知数的方程叫作分式方程.

分式方程的特征：分母中含有未知数.

注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.

2.师生互动，探究分式方程的解法

教师讲解：分式方程和我们以前研究的一（二）元一次方程一样，是一种反映

现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上

述同题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式

方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”.

教师问7：你能试着解分式方程：急=系；（出示课件7）

30+V30-V

教师问8:为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

回顾一下一元一次方程是怎么去分母的？

学生回答：方程的两边同乘以最简公分母.

教师问9:从中能否得到一点启发？

学生回答：分式方程的两边也乘以最简公分母.

教师问10：我们可以试解方程\i+

学生回答：解：方程两边同乘以6,得3⑶-1）+2（5x+2）=6X2.

去舌号，得9x-3+10x+4=12.

移顷，得9x+10x=12+3-4.

合并同类项，得19411.

系数化为1,得产总

教师问11：能不能效仿分母不含未知数的一元一次方程的解法，想办法去

掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？（出示课件8）

教师问12:怎样去分母？

学生回答：方程的两边乘以最简公分母.

教师问13:在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？

学生回答：把分母相乘即可.

教师问14:这样做的依据是什么？

学生回答：等式的基本性质.

师生一起解答如下：（出示课件9）

解:⑴盛=悬

方程两边同乘以(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v).

去名号，得2700-90U=1800+60U

移顶，得-90门60x1800-2700.

合并同类项,得-1504900.

系数化为1,得v=6.

教师问15:由此我们如何找最简公分母呢？

师生共同解答如下：(1)定系数：找系数的最小公倍数；(2)定相同因式:

相同因式取指数较大的因式；(3)定单独因式：单独的因式作为公分母的一个因

式.

总结点拨：(出示课件10)

(1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了.

(2)利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子一各分母的最简

公分母.

教师问16:你得到的解V6是分式方程5£=黑的解吗？(出示课件11)

oU+VDU-V

学生回答：检验：把k6代入分式方程得：

90_90_5

左边二30+6-36-2

_60__60_5

右边二30^6~24-2

左边二右边，所以26是原方程的解.

1in

教师问17:试一试：解方程一7二.(出示课件12)

X-□X-Z5

学生回答：方程两边同乘以(x+5)(x—5),约去分母，得

x+5=10.

解这个整式方程，得

x=5.

教师问18:x=5是原分式方程的解吗？

学生通过代入原式发现：x=5时，原方程的分母为()，分式根本没有意义.

学生产生困惑并且问：问题出在哪里？

师生共同讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤没

有问题.

教师趁机提出下一个问题

教师问19:上面分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整

式方程，为什么悬=黑去分母后所得整式方程90(30—口)=60(30+H的解就是

30+V30-V

1in

原分式方程的解，而工二n哀去分母后所得整式方程工+5=10的解却不是原

分式方程的解呢？(出示课件13)

师生共同讨论后解答如下：

因为在去分母的过程中时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先

不知道的，我们实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使

“(3()+430—等于零，避开了麻烦，而上去分母后所得整式方程的

X-5『一

解恰好使得两边乘的整式“(x+5)(x—5)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，

以致出现分母为零的现象，因此x=5只是化整后整式方程的解，而不是原分式

方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目

了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验.

总结点拨:

原因：

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方

程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0.

教师问20:解分式方程，如何检验？(出示课件14)

师生共同解答如下：

方法一：将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；

方法二：将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0.

教师问21:回顾解分式方程悬=削与白二居的过程，你能概括出解

分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？(出示课件15)

师生共同解答如下：

基本思路：将分式方程化为整式方程.

一般步骤：

(1)去分母；⑵解整式方程;(3)检验.

注意：由于去分母后解得的格式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需

要检验.

例1：解下列方程：(出示课件17)

23

x-3x

师生共同解答如下：

解：方程的两边同乘以3),

得2x=3x-9.

解得：x=9

检验：当时，x(x-9)#0.

所以，原方程的解是户9.

例2:解方程：(出示课件19)

二十、3、，

x~\(xT)(x+2)

师生共同解答如下：

解：方程两边同乘U-l)(x+2),

得x(x+2)-(x-l)(x+2)=3.

化简，得x+2—3.

解得X，

检验:当E时，(x-1)(x+2)=0,

因此x二l不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.

总结点拨：(出示课件20)

解分式方程的思路：

去分母

分式方程整式方程

解分式方程的一般步骤：

1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.

2.解这个整式方程.

3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方

程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.

4.写出原方程的解.

简记：一化二解三检验

总结点拨：(出示课件23)

易错易混点拨:

⑴去分母时，原方程的整式部分漏乘.

(2)约去分母后，分子是多项式时，没有添括号.(因分数线有括号的作用)

(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0,不舍掉.

(三)课堂练习(出示课件2l29)

1.若关于x的分式方程f=1的解为尸2,则〃7的值为()

X-1

A.5B.4C.3D.2

2.方程？后的解为()

31

A.x=-1B.x=()C.x=-DM二一

57

x+11_x+A

3.已知关于X的方程丁二'X=3^3有增根，求该方程的增根和k的

值.

4.解方程：

[+[+]+]_11

(X-1)(x+2)+(x+2)(x+5)+(.V+5)(x+8)+(x+8)(,v+11)-3x-324

参考答案：

1.B

2.D

3.解：去分母，得女+3-(x-1)=f+Ax

整理，得(k-2)x-4=0.

因为有增根，所以增根为40或尸1.

当x=0时，代入方程得-4二0,所以厂0不是方程的增根;

当X=1时，代入方程，得k=5,所以k=5时，方程有增根x=l.

4.解：方程可化为:

-x+2x+2x+5x4-5x+8

3x-324

得

1<11vu」____]

31x-1x+11;3（无一18）

解得x二-3.

经检验：工二-3是原方程的根.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容：

1.分式方程的定义.

⑴