高考数学题型分类突破：立体几何中的动态问题

微专题02立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的,

是一类可变的开放性问题.由于位置的不确定性，学生在解题时容易遇到困难，常

规的思考方式和解题方法可能不太适用.这类问题要求学生具备较强的空间想象

能力和灵活的思维转换能力，能够多角处分析问题.

考向1J最值（范围）问题

©典例精析

典例1如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面以C,PA1AB,PA=AB=4,且

E为尸B的中点，AnLPC于点F,当AC变化时，三棱锥P-AE尸体积的最大值

是（）•

A.幽B.V2仁逑D.壁

333

方法总结：

将待解决的立体几何中的最值问题转化为一个变量或多个变量的函数问题，借助

函数求最值的方法来解决立体几何中的最值问题.此外，用变量表示出立体几何

中待求的问题后，也常利用基本不等式的方法加以解决.

培优精练

已知正方体的棱长为2,P为线段卜的动点，则二棱锥P-

BCD的外接球半径的取值范围为（）.

A.净2]B.呼,V3]

C.呼D.冷闾

考向2J翻折问题

©典例精析

典例2如图，在平面四边形A8C。中，A8=8,CZ)=3,AQ=5JJ,ZADC=90°,

NB4D=30。，点E,尸满足方4而，而三通，将△AM沿所翻折至△PEE

使得PC=4V5.

(1)证明：EFVPD.

(2)求平面PCD与平面P8尸所成的二面角的正弦值.

培优精练

如图1,在矩形ABCQ中，AB=2tAD=26,将△A3。沿折起，得到三棱锥

M-BCD,如图2,其中△M3。是折叠前的△A3D过点M作80的垂线，垂足

为H,MC=V10.

(1)证明：MHVCD.

(2)过点，作M8的垂线，垂足为N,求点N到平面MCD的距离.

考向3J动点轨迹问题

©典例精析

典例3”多选题在正三棱柱ABC-4归Q中,43二44尸1，点P满足价=/正+4西,

其中/1£[0,1],Z/G[0,1],贝ij().

A.当2=0,〃=1时，AP与平面A6C所成的角为:

B.当2三时，有且仅有一个点P,使得4P_LBP

C.当2=1,〃三时，平面AB/J_平面448

D.若人尸二1,则点尸的轨迹长度为:

方法总结：

方法总结：

(1)几何法：根据平面图形的性质判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法计算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段的长度关系取特殊值或特殊位置排除.

培优精练

已知P是边长为1的正方体ABCD-AiB^D.表面上的动点，若直线AP与平面

ABCD所成角的大小为:，则点P的轨迹长度为().

A.3V2

B.2&+兀

(2.乌4+兀)

2

D.2V2+7

参考答案

微专题02立体几何中的动态问题

考向1最值（范围）问题

典例।c

【解析】在三棱锥P/3C中，由BC_L平面以C,WBC1AC.

又AB=4,所以

由题意可知V^(twP-AEF=V三极椎E.巩尸PAF.殍.

因为BC_L平面MC,BAu平面PAC,所以BCLPA.5LPALAB,ABABLB,AB,

8Cu平面A8C,所以用_L平面48C,所以%_LAC.

XAF±PC,所以△物/sap。,

S,PAF_PA2_PA2

所以

S&PCAPC2PA2+AC2'

又二:4C•雨，出=4,

所以孔.二蒜，

16AC.BC

所以V

设AG。，0<^<4,则3。=•16—曲,

所以娱四"考•需I

令机=/+]6,易知16＜小＜32,则V三极锥w考、/"1瞥32巧考・J（1_当噂

-1)'

令鹏则/忘余），

所以V三枝傩£/尸=学々_512%2+48x—1，

令危）=-5⑵2+48心1信＜犬哈），

由二次函数7U）=-512F+48x-l的性质知，当犬二言时，.《幻有最大值，最大值为:，

64o

所以心小府的最大值为学乂右二竽，故三棱锥P-A"体积的最大值是竽故

选C.

培优精练C

【解析】

如图，连接AC,BD,且AC交8。于点E,易得E为△BC。的外心，连接4G,

BO,且AiG交6◎于点尸，连接石尸，易知£尸_1_平面5c。，.：三棱锥尸-BC。

的外接球的球心。在E”上.

设△PC。的外接圆的圆心为0、连接CO】CO,OO\则。0」平面PCD由正

方体ABCZXAiBGDi中的棱8C_L平面CCiDiD,得OCX〃BC.

又E,三分别是3D,BQ的中点，・：。0，=1.

设^PCD的外接圆半径为r,三棱锥P-BCD的外接球半径为R,则/?2=l+r.

设PG=x,xW[0,2],WJPCD=2=^PCPDs\nZCPD,

2

・1_PC.PD=X/?^J(2X)+4

**sinzCPD~

4

CD1

又r=

2sinz.CPDsinzCPE

./=(/4X+8)(/+4)

16

设7U)=。2-以+8)(/+4),xG［0,2］,

则/W=4(x3-3x2+6x-4).

设g(x)也x),则/(幻二12(/・〃+2)>0,

・：F(x)在［0,2］上单调递增,又八1)=0,

・：段)在［0,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增.

又70)=25,/0)/2)=32,

.:於)£［25,32］,・：/£「名，21,

-16-

・：/?=«”£［浮，6］.故选C.

考向2翻折问题

典例2

【解析】⑴由"二8,AD=5^3,AE=lADfAF=^ABf得AE=2V5,AF=4.

因为ZBAD=30°,所以在△AEF中，由余弦定理，得E^Ae+AF2-

24EAbCOS/8AO=12+16-2X2V5X4X@=4,所以Ag+E尸二A尸，所以AE_LER

2

即上尸_L4O,所以EFLPE,EFVDE.

又PEC\DE=E,且PE,QEu平面POE,所以ER_L平面PQE.又尸力u平面尸DE,

所以E/LLPD

(2)连接CE,由NA3C=9()。，ED=3尊,CD=3,得CE2=ED2+CD2=36,所以CE=6.

在△PEC中，PC=A圾,PE=26,EC=6,故EG+PE^PC2,所以PELEC

由(1)知尸又ECCiEF=E,EC,ERz平面ABCQ,所以PEJ_平面ABCD

又EDu平面ABC。，所以尸E_LEQ,则PE,EF,E。两两垂直，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,0,2禽),D(0,3V3,0),C(3,38，0),尸(2,0,0),4(0,

-2。0).由产是48的中点，得5(4,2俗0),所以正=(3,3俗-2mPD=(0,

373,-273),两二(4,2百，-2同,讨=(2,0,-2百).

设平面PCO和平面尸B”的法向量分别为〃=(汨，y\,zi),m=(X2,”，Z2),

则，i.正=3x1+3d5332Kzi=0,

\n,PD=375yl.2遥Zi=0,

yz

(mV§=4X2+2y/3y2,2^2=0，

Z

\m.PF=2X2-2^2=0，

令》=2,X2=V3,得XI=0,ZI=3,}?2=-l,Z2=l,所以〃二(0,2,3)是平面PCD的

一个法向量，机=(V5,-1,1)是平面PB厂的一个法向量，

所以|cos<m,〃>|二1nl四二1二遐.

|^|p|%/5x7l365

设平面尸CQ和平面P8F所成的二面角的平面角为仇则sin。=>/1-cos28=量亘

63

即平面PC。与平面尸所成的二面角的正弦值为逅.

65

培优精练

【解析】

⑴如图，连接C".由MB=CD=2,MD=BC=2®NBMD=NBCD=90°,得BD=4,

ZMDB=ZDBC=30°fMH5,BH=T.

在△3CH中，由余弦定理，得CHKBH?+BC2.2BH.BC8S300="

因为MH2+CH2=]O=MC-,所以MH±CH.

又MH_LBD,CHCBD;H,CH,BOu平面BCQ,所以M”_L平面BCD

又COu平面BCD,所以

(2)在△M3。中，由NH工MB,MD1MB,得NH〃MD因为MOu平面MCO,

NHC平面MCD,所以M/〃平面MCD所以点N到平面MCZ)的距离等于点H

到平面MCD的距离.设点B到平面MCD的距离为七点H到平面MCD的距离

为d.

因为黑二案4所以g*

BMBD44

又cosNMOL”谓二学所以sin/MOC二半，"。。=4乂2><2^x半二挈,

2xZx2v344242

SA5CD=1x2x2V3=2V3.

由V三极箍机二V三极挑M-BC。，得MCDJZ=』SA即解得

人也竺

13

所以点N到平面MCD的距离

考向3动点轨迹问题

典例3ACD

【解析】

AG

如图1,当2=0,〃=1时，点P与点8重合，由己知得38J_平面A8C,所以

就是AP与平面A8C所成的角，因为AB=A4i=l,所以tanN340=第=1,

At)

又N3A3£((),勤，所以即"与平面ABC所成的角为会故A正

确.

AG

i1

A

8

图2

当时，取线段BC,BiG的中点分别为M,连接MM,如图2,因为

而二:而十〃西，即丽=〃两，所以笳〃两，则点P在线段MM上，设

MP=MOW烂1),则PM=1-M

则8产=8必+加/>2=(；)2+/，AIP2=AIM^+PMl=^+(1-x)2,40=2,

若AiP_L3P,则A序=BP2+4P2,则24+/+汰i㈤2,整理得今・1)=0,解得

44

产1或户0,则当点P与点”或M重合时，AiP.LBP,即当时，存在两个

点P,使得4P_L8P,故B错误.

当41,〃=!时，而二前+劣西，则而4西，所以尸是CG的中点，取BC的

乙乙乙

中点为。，BiG的中点为“，以。为原点，QA,QB,QH所在直线分别为工轴、

丁轴、Z轴，建立空间直角坐标系，如图3,则A（争0,0）,8（0,

1/

O^产(O

2\

==

所以48二《算,0）,AA1~BB1（0,0,1）,1）»/1P（­»

设平面AiA6和平面ABi尸的法向量分别为"7=（汨，yi,zi）,〃=（必Z2）,

——»x/31

则18.加=_2%1+2月=0,

..

1441.TH=Z1=0,

（―V31

1.九=—2~x2+2y2+Z2=0,

[一V311

[AP.n=--2-x2,