巧用有理数的七种方法（七大题型）解析版-七年级数学上册重难点题型突破

专题03巧用有理数的七种方法（七大题型）

国___________________

【题型1归类法】

【题型2凑整法】

【题型3拆项法】

【题型4组合法】

【题型5逆向法】

【题型6裂项相消法】

【题型7倒数求值法】

国满今於珠

【题型1归类法】

【典例1】计算：0.125+2+（转）+（-0.25）•

【答案】0.

【解答】解：0.125+2高+（一吟）+（-0.25）

=0.125+2.25-2.125-0.25

=0.

【变式1-1】计算：一也上+（一口）.

【答案】-5-Z.

013

【解答】解：-3A的

F13

=-3&(-2-2-)+且

1113

=-6+且

【变式1・2】计算:1+(4)-(-4)-2.5.

626

【答案】-1.

【解答】解：|+(-1)-(-11)-2.5

=f+(4)+(+1i)-2-5

=-1-1+17-2.5

ozo

=1+A4—2.5

boz

=2-3

=-1.

【变式1・3】计算.

(1)(4)-(T)+(4)+(+8・5)"■；

e/4o

⑵0-+(-5y)-(-2y)-I-6ry|-

【答案】(1)居：(2)-7.

【解答】解：(1)原式=(*+(1)+(4+(+8,5)+(.)

=[(等)+(《)]+[(卷)+(+8.5)]+(总)

=0+9-£

0

(2)原式=()+(+*)+(-5*!)+(+*)+(-得)

=0+[(+*)+(+弓)]+[(1)+(号)]

=5+(-12)

=-7.

【变式1-4]计算：

(1)(-2.125)+(+1)+(+5/)+(-3.2)；

⑵0-2谤+(+g)-(得)-(耳)；

(4)(-7y)+(-3.37)+亭2.125+(-0.25)+(-2.63)­

【答案】⑴3；

(2)-18；

(3)-四；

30

(4)-5.

【解答】解：(1)(-2.125)+(+1)+(+5/)+(-3.2)

=(-2,125+5.125)+(3.2-3.2)

=3；

(2)0-21y+(+3-j)-(-y)-(^)

=(-212+2)+(31-1)

3344

=-21+3

=-18；

30

(4)(-7y)+(-3.37)+^-+2.125+(-0.25)+(-2.63)

=(-7.125+2.125)+(-3.37-2.63)+(6.25-0.25)

=-5-6+6

=-5.

【变式1・5】计算：1.计算：(-卓+(+15.5)+(-1号)+(号)・

【答案】-10.

【解答】解：原式=(-3立-16.2)+(15.5-5.5)=-20+10=-10.

77

【变式1-6]计算：

(1)(-2.7)+1.5+(-0.9)+(-0.3)+3.9；

(2)(-32)+9+(・1)+3工+(-14)+5.

44

【答案】(1)1.5；

(2)-1.

【解答】解：(1)(-2.7)+1.5+(-0.9)+(-0.3)+3.9

=[(-2.7)+(-0.3)]+[3.9+(-0.9)]+1.5

=-3+3+1.5

=1.5；

(2)(-31)+9+(-1)+3-14-(-14)+5

44

=[(-3工)+3』+[9+(-1)+(-14)+5]

44

=0+(-1)

=-1.

【变式1・7】计算：5+(_3^)+(-2.75)+(+/>

【答案】1.

【解答】解：原式=[-0.5+(+71)]+[(-3.25)+(-2.75)]

=7+(-6)

=1.

【变式1-8]273b(-211)+28(-12)

7373

【答案】7.

【解答】解：哈

।Or0

=27y+2y+[(-21y)+(-ly)>

=30+(-23),

=7.

【变式1-9】简便计算：

①1.4十(-0.2)+0.6+(-1.8)；

②(*藉+(£)号+(">

【答案】①0：②

5

【解答】解：①原式=(1.4+0.6)+(-0.2-1.8)

=2+(-2)

=0；

②原式=(w■(w+卷

=0-1+1.

5

=-12~,•

5

【变式I/O】计算：

(1)(+7)+(・19)+(+23)+(-15).

(2)(-2.125)+(+31)+(+5/)+(-3.2>

(3)(母)+(弓)+(号)+(-1卷>

(4)(-7-1)+(-3.37)+6^+2.125+(-0.25)+(-2.63)•

【答案】(1)-4；

(2)3；

(3)-申

(4)-5

【解答】解：(1)(+7)+(-19)+(+23)+(-15)

=(7+23)+[79+(-15)]

=30+(-34)

=-4；

(2)(-2.125)+(-Sy)+(+5-1)+(-3.2)

=(-若+5卷)+(。-3.2)

OOv

=3+0

=3；

⑶(年)+(-k|-)+(4y)+(-ly)

(4)(-7y)+(-3.37)+^+2.125+(-0.25)+(-2.63)

=(胃+*)*G&37-2.63)+(1-)

=-5-6+6

=-5.

【题型2凑整法】

【典例2】计算：(-0.5)-(-3.2)+(+2.8)-(+6.5).

【答案】-1.

【解答】解：原式=-0.5+3.2+2.8-6.5

=(3.2+2.8)-(0.5+6.5)

=6-7

=-1.

【变式2-1】计算：4-(2.4-14)+(-1.6)-

【答案】1.

【解答】解：号-(2.4-申+(-1.6)

=3旦.2.4+1A-1.6

77

=32+12-2.4-1.6

77

=5-4

=1.

【变式2.2】计算：吟+吟+(号)一(一55).

【答案】5.

【解答】解：原式=22+2工・52+52

5775

=(2-2+52)+(21-51)

5577

=8-3

=5.

【变式2-3】(1)25.7+(-7.3)十(-13.7)+7.3；

(2)(-2.125)+(+31)+(+51)+(-3.2).

58

【答案】(1)12；(2)3.

【解答】解：(1)原式=(25.7-13.7)+(-7.3+73)

=12+0

=12；

(2)原式=(-2.125+5工)+(3-1-3.2)

85

=3+0

=3.

【变式2-41计算：

(1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7；

(2)(-A)+13+(-2)+(-17).

33

【答案】(1)-5：

(2)-5.

【解答】解：(1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7

=-2.4-3.7-4.6+5.7

=(-2.4-4.6)+(-3.7+5.7)

=-7+2

=-5；

(2)(-A)+13+(-2)+(-17)

33

=-A+13-2-17

33

=(-1-2.)+(13-17)

33

=・1+(-4)

=・5.

【变式2・5】计算(-3.14)+(+4.96)+(+2.14)+(-7.96).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(-3.14)+(+4.96)+(+2.14)+(-7.96)

=(-3.14+2.14)+(4.96-7.96)

=-1-3

=-4.

【题型3拆项法】

【典例3-1］数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：

计算：-5/+(一*)+17曰+(一W>

解：

原式=[(-5)+(-1)]+[(-9)+(4)]+(17年)+[(-3)+(4)]

=0+(-g)

=-*

上述这种方法叫做拆项法.

请仿照上面的方法计算：

(1)(+28y)+(-25y)；

⑵(-202ly)+(-2022y)+4044+(-y)-

【答案】(1)3生

7

(2)0.

【解答】解：(1)(+2&y)+(-25y)

=(28+立)+[(-25)+(-1)1

77

=(28-25)+(立-1)

77

=3+1

7

=3生

7

(2)(-202号)+(-2022,)+4044+(子)

=[(-2021)+(-2)]+[(-2022)+(-A)]+4044+(-A)

=(-2021-2022+4044)+(・2■2-工)

777

=1+(-I)

=0.

【典例3-2】用简便方法计算：29星X(-3).

9

【答案】-89-2.

3

【解答】解：29rX(-3)

9

=(30-1)X(-3)

9

=30X(-3)-Ax(-3)

=-90+-1

3

=-89-2.

3

【变式3-1】阅读材料：对于(・5旦)+(-92)+171+(-32)可以如下计算:

6342

原式=[(-5)+(■反)]+[(・9)+(-2)]+(17+2)+[(-3)+(-

634

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-->+(--)+旦+(-A)]

6342

=0+(-11)

4

=-1A.

4

上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：

(-888)+(-77.2)+]66务(-1A).

6342

【答案】-旦

4

【解答】解：(-88互)+(-772)+166-1+(-1A)

6342

=(-88)+(-+(-77)+(-2)+166+旦+(-1)+(-1)

6342

=(-88-77+166-1)+(-1-1-^-1-X)

6342

=0+(-立)

4

4

【变式3-2]阅读下面文字：

对于(一59)+(-9?)+17-1-F(-3工)

6342

可以如下计算：

原式=[(-5)+(-§)]+[(-9)+(-2)]+(17+W)+[(-3)+(-

634

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-§)+(-2)+旦+(-A)]

6342

=0+(-11)

4

=-1-1

4

上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？

仿照上面的方法,计算：(-2020营)+201/+(-2018、)+20174・

3462

【答案】-2-1.

4

【解答】解：原式=-2020-2+2019+2・2018--5-4-2017+1

3462

=-2020+2019-2018+2017-2+2一旦+」

3462

=-1-1+_2--2

126

=-2-A

4

T

【变式3-3】用简便方法计算：29&X(-12)

24

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=(一红)X[(-5)+13-3]

5

=(-11)X5

5

=-11.

【题型4组合法】

【典例4]2022秋•南开区期中)计算：・1+2・3+4-5+6+--97+98-99=_二

50.

【分析】根据结合律，可得答案.

【解答】解：原式=[(-1+2)+(-3+4)+1-5+6)+・・•(-97+98)]-99

49

=1+1+£+­••+1-99

=49-99

=-50,

故答案为：-50.

【变式4-1】Q022秋•襄汾县期中)计算：1+2・3・4+5+6・7・8+…+2013+2014-

2015-2016

【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为-4,20164-4=504,正好

为4的倍数，从而得出结论.

【解答】71+2-3-4=-4,5+6-7-8=-4,即每四项结果为-4,2016

4-4=504,

工1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016=-4X504=-2016.

【变式4-2](2022秋•工业园区月考)计算1+(-2)+3+(-4)+・・・・・•-97+

(-98)+99+(-100)的值为()

A.50B.-50C.101D.-101

【分析】原式两项两项合并正好得50个(-1),最后计算结果即可.

【解答】解：原式=(1-2)+(3-4)+(4-5)+…+(99-100)

50

**.

=-1—1—11

=-50,

故选：B.

【变式4・3】(2022秋•工业园区月考一)计算：

(1)1-3+5-7+9-114--+97-99；

⑵।赤.而田话一出-1赤一而卜

【分析】(1)两个一组计算，再相加即可求解；

(2)先计算绝对值，再抵消计算即可求解.

【解答】解：(1)1-3+5-7+9-11+-+97-99

=(-2)+(-2)+…+(-2)

=-2X25

=-50；

(2)ITO2-TOTI+I1O3-TO2I_1103~1011

=--1---1+--1----1+--1----1

101102丁102103丁103101

=0.

【题型5逆向法】

【典例5】计算：-13x2-0.34X2+」X(-13)-@X0.34.

3737

【答案】见试题解答内容

【解答】解：-13x2-0.34义2+工X(-13〕-立X0.34

3737

=-13X2+_LX(-13)・0.34x2■在X0.34

3377

=-13X(2+_1)-0.34X(2+立)

3377

=-13X1-0.34X1

=-13-0.34

=-13.34.

【变式5-1】用简便方法计算

-5X(-4+13X(-11)-3X(一旦)

555

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=(一且)X[(-5)+13-3]

5

=(-11)X5

5

=-11.

【变式5-2】计算：-5X(-^)+UX(-ii-)-3X

555

【答案】见试题解答内容

【解答】解：-5X(-H)+11X(-11)-3X(一丝)，

555

=-5X(-H)+11X(-11)-6X(一红)，

555

=(-5+11-6)X(-H),

5

=0.

【变式5.3】利用适当的方法计算：二x(-9)+1义(-18)^-.

131313

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=」-乂(-9-18+1)

13

=j_X(-26)

=-14.

【变式5-4】2X(-11)-2xll+2x(-

7137137

【答案】见试题解答内容

【解答】解：lx(-君一弊皆弃(-

(-11)x(2+与+2),

13777

二-llxi,

13

=-11

13

【变式5.5】计算：19X(+L75X(-10)-(1-|-)X(-7).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=(19-10+7)xZ

4

=16x2

4

=28.

【题型6裂项相消法】

【典例6】阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题.

⑴①-5/+(一吟)+17》(一唠)

解：原式=[(一5)+(>1)]+[(-9)+(4)]+(174)+[(-3)+(~4)]=

06Z乙

[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-T-)+(^T)=+(—)尸0+(-14-)=-吟.

0oZZ乙/

上面这种方法叫做拆项法.

②计算：(-2022卷)+(-2022营)+(-12)+4045・

b6Z

(2)(1)1-X—»]-32乂里，1-x~,…，上面这种方法

2222呼33/44

叫做裂项法.

②计算：X(1-^7)x…X(1-----X(1-------------

22322021220222

【答案】⑴②-2；(2)②空军.

4044

【解答】解：(1)@(-20227-)+(-2022v)+(-14-)+4045

0oZ

二[(-2022)+(4)]+[(-2022)+(~|)]+[(-1)+(3)]+4045

06Z

二[(-2022)+(-2022)+(-1)+4045]+[(4)+(~4)+(4)]

0oZ

=0+(-2)

=-2.

1131121_3_5...

(2)@Vi.X1——=~sXzA,i-v

22232

2233444

.1sz3sz2X9X3_yl...X2021y2022_20212023

2233442021202120222022

:12023二2023

72022二4044

【变式6-1】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似,

得出它们在其他特征上也可能相似的结论.阅读感知：在异分母的分数的加

减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：

*二二丁幺邛凸我们将上述计算过程倒过来，得到

232X33X266

!这一恒等变形过程在数学中叫做裂项.类似地，对于’

62X3234X6

可以用裂项的方法变形为：二—=!（■!」）.类比上述方法，解决以下问

4X6246

题.

【类比探究】(1)猜想并写出：一

nX(n+1)nn+1

【理解运用】(2)类比裂项的方法，计算：

---1-+---1--+1+.…+.----1----；

1X22X33X4----99X100

【迁移应用】(3)探究并计算：

---1---+—1---p1----1--+.…+.-------1-----.

-1X3-3X5-5X7-7X9-2021X2023

【答案】＜1）1^

【解答】解:(1)1-11

nX(n+1)nn+1

故答案为:11.

nn+1

(2)由(1)易得：(l-A)+(——)+(——)+•••+(————)

k2，3)飞4，’99100;

—一11+11+11十・•1•十---1-

2233499100

100

_99.

而，

/2)、---1---+----1--+----1--+---1---++-------1------

-1X3-3X5-5X7-7X9-2021X2023

=-Ax(—?—十一2—十—2—+—2—+•・•+---------------)

22023

__1V2022

-22023-

=_1011

2023"

【变式6-2】阅读下面的文字，完成解答过程.

请你观察：---=-^-,—--=-^—,—-—上」,

1X2122X3233X434

，q=l二，_l=l」工

1X22X3122333

1X22X33X4122334144'

以上方法称为“裂项相消求和法”.

请类比完成：

1X22X33X44X515一

111411003

1X33X55X72005X2007—2007—

(3)根据(I),(2)的计算，我们可以猜测下列结论：―r=_-

nX(n+k)k

(2-')_(其中〃，&均为正整数)，并计算

nn+k

111..1

----------P----------P----------+…+--------------------.

1X44X77X1Q2005X2008

【答案】⑴/

5

(2)

2007

(3)-1(AL：669

knn+k2008

1111

【解答】解:(1)1X2+2X3+3X4+4X5

=i-iaia

12233445

故答案为：A；

5

(2)

1X33X55X72005X2007

X)+-lx(A-A)+Ax(A—)+…+-i_X(--嬴）

4442352522005

=Axr(A-A)+(A-A)+(A-A)+…+

213355720052007

;1003

20075

故答案为：翳；

2007

(3)1____=JL(A-1.).

nX(n+k)knn+k

故答案为：A（1--L）；

knn+k

1X44X77X102005X2008

=Ax(A-A)+J_x(A-A)+_lx(A-_L)+-..+Ax

314347371032008

-1)(1-1)4-

=Axr(A+（藕

31447710

二669

2008

【变式6-3】观察下列等式:，二1八，，卫工

1X222X3233X434

将以上三个等式的两边分别相加得:111

177+2x3+3x4

111-3

（1）计算:----+--+..-__—（直接写结果）

1X22X33X4-4一

(2＞计算：---4--+~--+…仁12016（直接写结果）；

1X22X33X4:2016X2017—2017

（3）探究并计算:

11007

①11+1

2X4+4X6+6X82014X2016—4032—

②7351

2450-50一

【答案】(1)2：

4

(2)

2017

(3)

^4032

②显.

」50

111

【解答】解：（1）1X2+2X3+3X4

=1-11111

22

=1-』

4

—_—3,

4

故答案为:一3；

4

(2)-^-4^1-4—^1-+…+1

1X22X33X42016X2017

=1。—工…1______1

223342016-2017

=1---—

2017

;2016

20175

故答案为：2011：

2017

(3)①111+.••+1

2X47X6卜6X82014X2016

(1.11+・・・+.1一）

224820142016

8一1

=—x)

22016

=1X1OOL

22016

;1007

4032

故答案为：12”；

4032

②国至」上41一…q

261220302450

―1+2—2+3.3+44+5.5+6一…上49+50

1X22X33X44X55X649X50

1223,,345……4950

1X21X22X32X33X43x44x54X549X5049X50

=「111111...11

5+1万下NHTT50

=1+—

50

=51

而.

故答案为：&.

50

【题型7倒数求值法】

【典例7】数学老师布置了一道思考题“计算：（/）+（2-4A工）”，小

307匕1065，

明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：

小明的解法：原式=［母+-懵卷］

一（可）~忆至，

=■

=1

Io

小红的解法原式的倒数为

浮112、.，1s_z2112、v

万）;（F）一（TWV万）（侬）

=-20+3-5+12

=-10

故原式=」

10

（1）你觉得」的解法更好.

（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题:

计算：（米）+得得卷今

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好.12分）

（2）原式的倒数为（年322s.,1

五77)「(下

="H)X(-42)

=-7+9-28+12

=-14,

故原式=

14

【变式7-1］请你先认真阅读材料：

计算(奇)+修得T卷

解：原式的倒数是1苔-士+告咯)4-(二)

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