人教A版高一数学暑假预习：基本不等式（练）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

2.2基本不等式

【题型解读】

【题型一对基本不等式的理解】

1.（多选题）（2022•无锡校级月考）下列结论成立的是（）

A.若〃，旄R,则小+3°2245b5

B.若x#0,则/+志工2

C.若E+222,则a>0,b>0

ba

D.3aER,使。2+9<6。

2.12022•衡水市第十三中学高一月考）已知x,），都是正数，且工工九则下列选项不恒成立的是（）

C.资〈而…+导2

3.（2022•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学

家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证

明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大

正方形.若直角三角形的直角边长分别为。和4则该图形可以完成的无字证明为（）

a+b

A.>yfab(a>0,d>0)

2

B.cT+b2^2tib(4>0,b>0)

C.>/ab>ij(a>0,b>0)

竽(a>0,b>0)

D.

4.（2022•河北•高一月考）下列不等式的推导过程正确的是

①若心>1,则艮=2；

②若xvO,则X+：=_［（_刈+（_?）］

③若a，/?£R，则"2\^^=2.

【题型二直接法求最值】

1.12022•甘肃酒泉•高一期中）设x,y满足叶产40,且x,），都是正数，则冷，的最大值是（）

A.400B.1（X）C.40D.20

2.（2022•河北•高一期末）已知。>0,b>0,则2而+：+*的最小值是（）

A.2B.4C.4V2D.6

3.（2022.湖北十堰期末）若"+人W0,则/+从+言仔的最小值为.

4.（2022•河北石家庄期中）（1）已知%>0,求〃x）=U+3x的最小值；

4

（2）已知x<3,求〃x）=-^+工的最大值.

X-J

【题型三凑配法求最值】

4（\\

1.[2022•山西怀仁市第一中学校月考）函数+X"的最小值为（）

3x-lV?）

A.8B.7C.6D.5

2.12022•上海虹口•高一期末）当x>l时，求2x+±r的最小值为

X-1--------

3.（2022・北京大兴•高一期末）若则4（1—2。）的最大值是（）

4.（2022.全国•高一专题练习）已知x>—l,求函数y=x+」一的最小值是（）

x+l

A.4B.3C.2D.I

【题型四“1”的代换法求最值】

I3

1.（2022•河南•夏邑第一高级中学高i期末）若正数X,>满足一+—=5,则3x+4），的最小值是

yx

（）

2428

A.—B.—C.5D.25

55

_14

2.12022・安徽•南陵中学高一月考）已知正数工、>满足x+），=l,则一+;—的最小值为_____

xI+y

「，21

3.（2022・安徽•高一阶段练习）正实数满足：2x+y=l,则一+一的最小值为_____.

xy

4.（2022•全国高一课时练习）设/〃，〃为正数，且〃?+〃=2,则」一十小之的最小值为___________.

"2+1〃+2

【题型五二次商式求最值】

1.[2022•全国•高一课时练习）设XV-1,求（-+））（/卜2）的最大值

X+I

2.322・江西・宁冈中学高一月考）当~2时，函数户石的最小值为-----------

3.（2022•全国•高一课时练习）函数），=三厂上+3x二+3。＞—1）的最小值为（）

尤+1

A.3B.2C.1D.-1

4.（2。22・全国•高一课时练习）若对任意之号恒成立'则实数〃的取值范围是，）

A.B.13,+00）C.|收）D.S1]

【题型六基本不等式求参】

/[、

1.12022•全国•高一课时练习）已知不等式（X+），）-+-29对任意实数无、丁恒成立，则实数。的最

1%y）

小值为（）

A.8B.6C.4D.2

2.12022•南开区校级月考）已知。＞0,b＞0,若不等式一十一之」—恒成立，则〃的最大值为

ab2a+b

（）

A.9B.12C.16D.20

x

3.（2022・全国•高一课时练习）若对于任意工＞0，F~■——《。恒成立，则。的取值范围是（）

X+3x+l

A.（g'+8）B.4,+8）C.（0,+oo）D.（5,+co）

4.（2022.全国高一课时练习）已知x,y«0收）,且x+y=l,若不等式/+9+口〉；〃?、；“恒成立,

则实数〃?的取值范围是（)

f3]B.-1,1C.(-2,1)D.-oo,-|lu(l,+oo)

A.

【题型七基本不等式的实际应用】

1.12022.全国•高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买X吨，已知每次的运

费为4万元/次，一年总的库存费用为4X万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量1为

2.（2022•山东济宁.高一月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量），（千辆/小时）与汽车的平均速度V

92（）v

（千米/小时）之间有函数关系：）,=丁一;——（v>0）.

u"+3v+1600

（1）在该时段内，当汽车的平均速度丫为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）

（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

3.（2U22•全国•高一课时练习）为响此国家扩大内需的政策，呆厂家拟在2022年举行促销活动，经调管测

算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（G0）万元满足>4-鼻（k为常数）.如果不搞

促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产I万件

该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的L5倍（产品成本包括固定

投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

⑵该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

2.2基本不等式

【题型解读】

【题型一对基本不等式的理解】

1.（多选题）（2022•无锡校级月考）下列结论成立的是（）

A.若a,bER,则J0+/2245b5

B.若xWO,则，+当42

ab

C.若二+-N2,则b>（）

ba

D.使J+9<6。

【答案】AB

【解析】解：对于选项A：・・・/°+心227^丽=2|/胡|22〃5分（当且仅当〃=6时取”=

“），・•・选项A正确；

对于选项8：1当xWO时，f+/N2卜.g=2（当且仅当x2=爰时取"=“）,・••选项8

正确；

对于选项C：当。=》=・1时满足£+工2,但。V0,〃<0,・••选项C错误：

ba

对于选项。：Va2+9-6a=（a-3）2^01即于+926〃恒成立,・,•选项。错误.

故选：AB.

2.（2022彳期水市第十三中学高一月考）已知「），都是正数，且工工九则下列选项不恒成立

的是（）

A.受,向

C.工向D.母+卷＞2

【答案】D

【解析】X，都是正数，

由基本不等式，彳之而，上+土之2,金:或苧=而，这三个不等式都是当且仅当

2vX)，x+y2Qxy

x=y时等号成立，而题中xwy,因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

町+,22中当且仅当孙=1时取等号，如x=!，y=2即可取等号，D中不等式不恒成立.

xy2

故选：D.

3.(2022•秦淮区月考)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法

是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图

形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等

的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为。和

b,则该图形可以完成的无字证明为()

a+b/—

A.>7ab(a>0,b>0)

2

B.a2+h2^2ab(〃>0,/?>())

C.ab>]2](0>0,b>0)

a+b

nQ2+/J2Q+b,.

D.I—2———2-(a>02b>0)

【答案】B

【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为。和人

所以斜边即大正方形的边长为VHr不宜，大正方形面积J+房，

由题意得。2+户24乂2帅=2岫，当且仅当。=〃时取等号，故选：B.

4.(2022•河北•高一月考)下列不等式的推导过程正确的是

①若x>l,则X+：22\艮=2；

②若大<0,则x+(=一](一/)+(一9)

―人(-刈•(-9=-七

③若4,8WR,贝碌+注2'g1=2.

【答案】②

【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，

当x=；,即X=1时，等号成立，

因为x＞l,所以x+±＞2；

③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.

【题型二直接法求最值】

1.（2022.甘肃酒泉•高一期中）设x,），满足x+y=40,且x,y都是正数，则孙的最大值是

（）

A.400B.）00C.40D.20

【答案】A

【解析】•.•，耳〈甘々%＞（）,）＞0）,

当且仅当x=y=20时，等号成立.

2.（2022•河北•高一期末）已知。＞0,b＞0,贝IJ2而+：+1的最小值是（）

A.2B.4C.4&D.6

【答案】B

【解析】解：〈。〉。，》＞0,・・・2竭+1+1之2而+卷之4当且仅当。=8=1时，取等

号.

故选：B.

3.（2022.湖北十堰期末）若则―一7的最小值为.

【答案】V2

【解析】由题意，/+…2+/）+（/+六）22+2叽二,当且仅当

222

。=8时等号成立，

所以/+/+—二2（。"1+—」》2、口=也,当且仅当

（〃+力22（a+b）2V2

(a+b)2_1

时取等号‘所以当"此2-沛，取得最小值

~2~~(a+b)2

12

4.（2022•河北石家庄期中）（1）已知x>0,求〃x）=一+31的最小值;

JC

4

（2）已知rv3,求==+x的最大值.

【答案】(1)12;(2)-1.

【解析】（I）vx>0,

12I?

/.f(x)=—+3x>2—3x=12，

x

12

当且仅当一=3x=x=2时取等号:

x

所以/⑴的最小值为⑵

(2)vx<3=>3-x>0»

/、44,、

〃x)=-^+工-3+3=---------F3-x+3W—2.(3-x)+3=-l,

Xr53—x-----)JX

当且仅当｝二3-xnx=l时取等号，所以/（x）的最大值为一1.

D人

【题型三凑配法求最值】

4

L（2。22・山西・怀仁市第一中学校月考）函数尸的最小值为（)

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】因为所以3x—1>0,

所以k3Hs=（3、7）+3+.2，（3］一】）・3+1=5

4

当且仅当3x-1=；；-即x=l时等号成。：，

3x-\

故函数），=3X+Q「>9的最小值为5.

故选：D.

2.（2022・上海虹口•而一期末）当4>1时，求2%+白的最小值为.

【答案】10

【解析】解：当%>1时，21+=2（x-1）+-^-+2^22（x-l）--^r+2=10,

x-1x—1\'X—1

（X>1o

当且仅当8，即x=3时等号成立，所以2x+目的最小值为10.

（2（x-1）=^%T

故答案为：10.

3.（2022・北京大兴•高一期末）若0va<g,则-2a）的最大值是（）

D.1

【答案】A

【解析】。<。<:，故1一2。>0,则

2

当。=，时取“=”，所以正确选项

a(l-2a)=g(2a)(l—之"；2〃)="

4

为A

4.（2022.全国•高一专题练习）已知了〉一1,求函数y=x+」一的最小值是（）

X4-1

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】由x>-l,即x-l>0,所以

y=x+—=（x+l）+——一1>2J（X4-1）<--1=1,x=0时取“="，所以正确选

A+1'）x+\V）x+l

项为D

【题型四“1”的代换法求最值】

13

1.（2022・河南•夏邑第一高级中学高一期末）若正数X,）'满足一+二二5,则3x+4y的

最小值是（）

24

A.——B.一C.5D.25

55

【答案】C

13「

【解析】••正数］，>满足一+—=5,则

用

力1

11313+7+-

3x+4y=-(3A-+4y)(-+-)=-5当且仅当

x=2），=l时取等号..一了+外，的最小值是5.故选：C.

14

2.（2。22安徽.南陵中学离一月考）已知正数X、y满足=L贝咚+,的最小值

为.

9

【答案】万

【解析】，x+y=l,所以，x+（i+y）=2,

4十」）=生十山十5.24x1+y

则)=[A+(I+J)](-+5=9,

1+,,1+），1+yxi+y

149

所以，1+=…3

2

4x_l+yx=—

3

当且仅当〈1+yx,即当<；时，等号成立,

x+y=\y=-

-3

149

因此，一十;-的--最小值为一，故选：B.

x1+y2

21

3.（2022•安徽•高一阶段练习）正实数x，y满足：2x+y=l,则一+一的最小值为.

【答案】9

21(2x+y)=5+至+生

【解析】-+-=—I—>5+2>5+2^=9,当且

v））Xy)大>,

仅当X=）,=g时取等号.故答案为：9.

n+3

4.（2022•全国高一课时练习）设〃?，”为正数，且〃z+〃=2,则的最小值

rn+1〃+2

为.

9

【答案】一

5

【解析】令。=加+1/=〃+2,则。+/?=5，且2<〃<4,

1n+311,

又-----+-----=-+--1,

〃？+1〃+2ab

111,1(ba}2+2

而一+：==xx\a+b)=—2+―+―4()4

ab551abJ

当且仅当。=〃=2时等号成立,

2

1〃+39

故-----+-----的最小值为不

tn+\〃+2-J

9

故答案为：

【题型五二次商式求最值】

1.(2022•全国•高一课时练习)设xv—1,求(八+5).+2)的最大值

x+]

【答案】1

【解析】Vx<-1,AX4-1<0A-(X+1)>0

所以广(x+5)(x+2)_/+7.+10=(%+1>+5(/+1)+44今

x+1x+\x+1x+l

4"I

=--(x+\)+-------+5<-2V4+5=l

当且仅当(R+1)2=4,即x=—3时等号成立

所以(x+5)(x+2)的最大值为i

X+1

=八以+6的最小值为___________.

2.(2022•江西•宁冈中学高一月考)当x>-2时，函数y

x+2

【答案】2&

x2+4x+6(x+2)2+2.2

【解析】因为x>-?,则.r+2>(),则==''=(xI2)1

y7

A+2x+2'x+2

刊(》2)-2二2。，

当且仅当工=应-2时，等号成立，

所以，当*>-2时，函数[，='+41+6

的最小值为2VL

x+2

故答案为：2VL

3.(2022・全国•高一课时练习)函数y=土土竺二(x>-1)的最小值为()

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】x>-l,则x+l>0,

_x2+3x+3_(x+1)+(x+1)+1

Gn+—+1>3»当犬=0时取"="，所乂正

X+1-X+1=\+7X+1

确选项为A.

4.(2。22・全国•高一课时练习)若对任意恒成立’则实数。的取值范围是

()

A.[-1,-KC)B.f3,4-oo)C.D.(-00JI

【答案】C

2x2,22

------=------4——=—1

【解析】解：因为x>o,所以v+x+iv+i+1~2rr+13,当且仅当即x=i

时取等号,因为心焉恒成立,所以即。年收

故选：C

【题型六基本不等式求参】

1.(2022,全国,高一课时练习〉己知不等式+对任意实数X、)，恒成

lxy)

立，则'实数。的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】c

【解析】•.(x+y)-+-=—+—+674-1.

axV

若冷，<(),则2<0,从而一+二+。+1无最小值，不合乎题意;

X八

若9>°，则上>0,—>0

Xy

axV

①当。vO时，一+=+〃+1无最小值，不合乎题意；

yx

②当。=0时，竺+)+。+1=)+1>1,则(x+y)不恒成立;

Xxxy)

③当。>0时，

(1、

/、1aaxv

(x+y)-+—=—+—+a+l>2竺.2+4+1=〃+2&+1=(6+1),

(xy)yx

当且仅当y=JZx时，等号成立.

所以，(6+1『29,解得。24,因此，实数。的最小值为4.故选：C.

2In

2.（2022•南开区校级月考）已知。>0,。>0,若不等式一十一之------恒成立，则〃的

ab2a+b

最大值为（）

A.9B.12C.16D.20

【答案】A

【解析】因为。>0,b>0,所以2。+/?>（）,—I—2---------=>（2〃+份（—I—）之〃，

ab2a+bab

（2f/4-/）（-+-）=5+—+—>5+2J—•—=9（当且仅当。二6时，取等号），要想

?abba\ba

G1

不等式±+上之一^恒成立，只需〃W9,即〃的最大值为9,故本题选A.

ab2a+b

x

3.（2022•全国•高一课时练习）若对于任意K>0,————恒成立，则。的取值范围

x+3x+l

是()

A.Q+8

B.[-,+co)C.(0,+O0)D.(5,+00)

【答案】B

X_1

【解析】因为x〉0,所以Y+3X+]=1

5+X+—

X

因为1>0,所以x（当且仅当x=l时取等号），

x

1<-Ll

则3+X+；3+2=5,

x

即一:一；的最大值为!，故

+3x+l55

故选：B

4.（2022.全国高一课时练习）已知x.ye（O.-Fw）,且x+y=l.若不等式

x2+y2+g,>J/+?”恒成立，则实数〃?的取值范围是（）

二13

B.C.(-2,1)D.—00,——5入+8）

2’2

【答案】A

【解析】因为X,je(O,-K»),且x+y=l,

所以J+V+^=(x+y)2-xy=>1-

214

当且仅当x=y=g时，等号成立；

又不等式x2+y2+^>l而+；m恒成立，

3113

所以只需W>/"r+7〃，即2〃『+〃L3<0,解得一5Vm<1.

故选：A.

【题型七基本不等式的实际应用】

1.（2022・全国•高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买工

吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x万元，为了使总的费用最低，

每次购买的数量x为；

【答案】20吨

【解析】由题意，总的费用）'=%x4+4x=4（%+1］之160,当x=20时取“=”，

所以答案为20吨。

2.（2022