2026年高考数学复习事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（学生版+解析）

专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1相互独立事件的判断】.........................................................................3

【题型2相互独立事件的概率】........................................................................4

【题型3条件概率】....................................................................................4

【题型4全概率公式】..................................................................................5

【题型5贝叶斯公式】..................................................................................5

【题型6条件概率与其他知识综合】....................................................................6

1、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第21题，12

分

2023年新高考H卷：第12题，5从近几年的高考情况来看，本节是

分高考的重点、热点内容，主要考查相互

⑴了解两个事件相互独立

2023年全国甲卷(理数)：第6独立事件的概率、条件概率与全概率公

的含义

题，5分式等，一般以选择题或填空题的形式考

⑵理解随机事件的独立性

2024年新高考H卷：第18题，17查，难度不大；有时也会在蟀答题中作

和条件概率的关系，会利

分为一小问出现，与其他知识结合考查，

用全概率公式计算概率

2024年天津卷：第13题，5分难度中等，复习时需要加强这方面的练

2024年上海卷：第8题，5分习.

2025年天津卷：第13题，5分

2025年上海卷：第13题，5分

知识梳理

知识点1事件的相互独立性

1.事件的相互独立性

⑴定义

对任意两个事件人与如果尸(/18)=P(A)P(B)成立，则称事件4与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质

若事件A与4相互独立，则♦与&A与氏■与月也相互独立.

(3)推广

两个事件的相互独立性可以推广到〃(心2,个事件的相互独立性，即若事件A，八2,…，A〃相互独立,

则这n个事件同时发生的概率P(A也…4)=P(4)P(A2)・・・P(A〃).

2.求相互独立事件同时发生的概率的方法

⑴利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)王面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

知识点2条件概率与全概率公式

1.条件概率

⑴条件概率的定义

一般地，设A,3为两个随机事件，且P(A)>0,我们称。(川A户夕第为事件4发生的条件下，事件3发

生的条件概率，简称条件概率.

(2)性质

设P(A)>0,C为样本空间,则

①P(B|A)W[O,1],P(C|A)=1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

③设8和B互为对立事件，则P(E|A)=1-P(B|A).

2.概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与8,若尸(A)>0,则P(A8)=P(A>P(B|4).

3.全概率公式及应用

(1)全概率公式

一般地，设4,4，…，A”是一组两两互斥的事件，U-UAn=Q.,且P(A,)>0,i=l,2,­,•,n,则

n

对任意的事件8GC,有P(B)=ZP(4)-P(8IAj).我们称此公式为全概率公式.

r=1

(2)全概率公式的意义

全概率公式的意义在于，当直接计算事件8发生的概率尸(8)较为困难时，可以先找到样本空间Q的一个划

分A,,4,…，A”两两互斥，将4,4,…，A“看成是导致8发生的一组原因，这

样事件4就被分解成了〃个部分，分别计算P(8|4)，P(8|4),…，P(5|4),再利用全概率公式求解.

4.贝叶斯公式

设A”A2,…,4是一组两两互斥的事件,4U4U-U4=C,且尸(4)>0,i=L2,…，〃,则对任意的

,,一，、P(4)P(阴4)P(4)P(〃I4)

事件3GQ,有夕(4渡)=苗〉।(।.

£P(4)P(4|4)

*=|

贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下:

(DA的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(A)已知；

(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B匹)已知；

(3)P(8)未知，需要使用全概率公式计算得到；

⑷求解的目标是用人的某种情况A,的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(A|〃).

5.求条件概率的常用方法

⑴定义法:P(剧介今井

⑵样本点法:P(/A)=；(2).

⑶缩样法:去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.

6.利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件4G12…,〃)：

(2)求尸(4)和所求事件B在各个互斥事件4发生条件下的概率ABI4)；

(3)代入全概率公式计算.

【方法技巧与总结】

1.如果事件4,4,…，4相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即

P(4A2・・・4)=P(AI)P(42)・・・P(4).

2.全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下

发生的简单事件的概率的求和问题.

举一反三

【题型1相互独立事件的判断】

【例1】(2025・上海青浦•模拟预测)一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷

一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间Q={123,4},记事件A={1,2},事件8={1,3},

事件C=[1,4},则()

A.事件48,C两两独立，事件4S。相互独立

B.事件4,8,C两两独立，事件4,8,C不相互独立

C.事件4,8,C不两两独立，事件48,。相互独立

D.事件48,C不两两独立，事件C不相互独立

【变式1・1】(2025・湖南•模拟预测)甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为%,y,A表

示事件“%>4”，8表示事件“y为奇数”，C表示事件“x+y>8”，。表示事件"％+y=7”，则相互独立的事

件是()

A.力与CB.B与CC.C与。D.B与0

【变式1-2](2025•上海奉贤•三模)如果■了分别是48的Xj立事件，下列选项中不能判断件人与事件8相互

独立的是()

A.P(AAF)=P(A)-P(B)B.P(AnF)=P0)­(1-P(S))

C.P(B\A)=P(A)D.P(B|4)=P⑻

【变式1-3](2025•广东湛江「一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和

D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M="甲、

乙两人所选选项恰有一个相同“，事件％=”甲、乙两人所选选项完全不同"，事件乂=”甲、乙两人所选选项

完全相同“，事件丫="甲、乙两人均未选择B选项”，则（）

A.事件M与事件N相互独立B.事件X与事件丫相互独立

c.事件M与事件y相互独立D.事件N与事件丫相互独立

【题型2相互独立事件的概率】

【例2】（2025•山西临汾•三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影

响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

396464

【变式2-1］（2025・湖南•三模）已知事他4,B是相互独立事件，且2（4）=泉P（8）=i则P（通）=（）

A.-B.-C.-D.-

1221212

【变式2-2］（2025•广东肇庆•二模）小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为%受到妈妈表扬

的概率也为点假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）

A—B.iC.：D,1

【变式2-3】（2025・山东济南•模拟预测）某AI训练平台使用强亿学习算法训练机器人完成迷宫任务.机器

人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为》已知首轮成

功率为j且前两轮都成功的概率为3则三轮训练中恰好成功两次的概率为（）

A.-B.C.：D.-

6432916

【题型3条件概率】

【例3】（2025•江西•三模）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，

乙被选中的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3253

【变式3-1］（2025・甘肃白银•三模）若P（/l）=g,P（8|才）=|,P［8|/l）=i则P（/l|8）=（）

A.-B.-C.-D.-

5111115

【变式3-2】（2025・河北•三模）除夕夜吃饺子是中华民族的传统习俗，若一盘饺子共有三种馅，其中猪肉三

鲜水饺有6个，素三鲜水饺有7个，羊肉大葱水饺有7个，现从盘中夹取3个饺子，在取到的都是同种馅

的条件下，取到的都是羊肉大葱水饺的概率是（）

A.-B.—C.-D.-

182283857

【变式3-3］（2025・辽宁•三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学

从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一匚也是“美育”课程的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

103510

【题型4全概率公式】

【例4】（2025•广东深圳•模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级

快充桩和3个普通充电桩，3充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从

A站调度1个充电桩至4站，随后技术人员从3站随机选取2个充电桩进行升级调试，记”选取的两个充电

桩均为普通桩”为事件B,则P（B）=（）

A.2B.上C.工D.壬

25502525

【变式4-1］（2025・湖南湘潭・一模）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年

级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,且这三个年级的教师

人数之比为3：3：4,现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（）

A.0.35B.0.32C.0.45D.0.36

【变式4-2］（2025•云南红河•模拟预测）播种用的•批•等葫芦种子中混有2%的二等种子，15%的三等种

子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5,0.15,0.1,

0.05,则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（）

A.0.0005B.0.4815C.0.5005D.0.4825

【变式4-3］（2025・广东汕头•二模）某学校有小B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如

果第1天去力餐厅，那么第2天去/餐厅的概率为0.6；如果第I天去B餐厅，那么第2天去4餐厅的概率为

0.8,则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）

A.0.7B.0.6C.0.5D.0.4

【题型5贝叶斯公式】

【例5】（2025•湖南邵阳二模）有甲、乙、丙3台车床加工同•型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、

3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%.30%.任

取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

47474710

【变式5-1］（2024・江苏宿迁•一模）人工智能领域让贝叶斯公式：P（4|8）=空嘿⑷站在了世界中心位置，

AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团

队决定用AI对抗AL研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是

伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下，它有4%的

可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

【变式5-2］（2025•北京朝阳•模拟预测）现有一种检验方法，对息X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未患X

疾病的人化验结果99.9%呈阴性.我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知一地区X疾病的患病

率为0.0004,则这种检验方法在该地区的误诊率为（）

A.0.716B.0.618C.0.112D.0.067

【变式5-3］（2025•江西南昌•一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从

甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中

取出的也是2个白球的概率为（）

A.二B.2C."D-

15075372

【题型6条件概率与其他知识综合】

【例6】（2025•江苏镇江•模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面

震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采

用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为右

从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为：；如果上一局失败，则本局获胜的概率为:，每局比

z4

赛均没有平局.

（1）该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；

（2）记整场比赛该同学的获胜局数为求下的分布列和期望.

【变式6-1］（2025・湖南•模拟预测）近口，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进

行，引发广泛关注.某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：

性别不关注赛事关注赛事

男性25150

女性5075

（1）列出2X2列联表并根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？

⑵现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事

知识问答.已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为不；，每个人是否顺利完成相互独立.求在

42

有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率.

附・/-----n(ad_bey-----------J2=a+b+c+d

,n

阳♦*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a十"C十a.

a0.10.050.0250.010.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

xa

【变式6-2］（2025•全国•模拟预测）在卡塔尔此界杯的开幕式上中国元素随处可见.从体育场建设到电力保

障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物,中国制造为世界杯提供了强有力的支持.国内也再次掀起

足球热潮.某地足球协会组建球队参加业余比赛.该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调

查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：

球队

乙总计

胜负

未参加比赛30b70

参加比赛C10f

总计70en

⑴根据小概率值Q=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？

(2)根据以往的数据统计,甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后四个位置，旦出场率分别为：

0.20.4,0.3,0.1,当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4,0.3,0.4,0.2.贝lj：

①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；

②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件卜，求甲球员担任边锋的概率;

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？

附表及公式：

P(K2>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

______n(ad-匕c)2_____

—(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)

【变式6-3](2025・河南•模拟预测)某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质

都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“。”或“X”，不同颜色和符号的小球个数如

下表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件力为“摸出红球”，事件B为“摸出画。的球”.

红球蓝球

□□□

iio

□

画x

(1)求PG4)和P(川8).

(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放【可地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号

是否相同设置二种奖项,等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖：仅颜色相同或仅符号相同为

二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖.

（i）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；

（ii）若按（i）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖励2a元，三等奖

奖励a元，要使•次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？

过关测试

一、单选题

1.（2025・甘肃白银•三模）已知随机事件A,B发生的概率分别为PG4）=0.3,P⑻=0.6,若P（3|A）=0.4,

则PQ4B）=（）

A.0.5B.；C.0.12D,0.18

2.（2025•海南海口•模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为右小刚击中靶

心的概率为全比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心,

则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（）

2„7广7p.20

AA.-B.—C.-D.—

927927

3.（2025•海南•模拟预测）小明参加•场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，己

知他射中这三个靶子的概率分别为x,x,若他恰好射中两个靶子的概率是:，那么他三个靶子都没射中

36

的概率是（）

A.；B.IC.1D.I

3588

4.（2025・海南•模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参

加活动的甲、乙两班的人数之比为2:3,其中甲班的女生占右乙班中女生占则该社区居民遇到一位进行

民意调查的同学恰好是女生的概率为（）

5.（2025•河北石家庄•三模）已知随机事件A、B,后表示事件3的对立事件,P（A）=0.4,P（B）=0.6,则

下面结论正确的是（）

A.事件A与8一定是对立事件

B.PQ4U8）=1

C.PQ4B）=0.24

D.若事件4、8相互独立,则P（4—）=0.16

6.（2025•江西•模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%的学生

牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，旦其中早晚都刷牙的学生中约有70%的学生牙齿健康.现从不是

早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（）

「26「

AA.—39DB.—31C.-D.—9

70703535

7.（2025•全国•模拟预测）已知三台车床加工同•型号的零件，第1,2,3台车床加工的次品率分别为5%,

2%,4%,加工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数目之比为4:5:11,现任取一个

零件，记事件力="零件由第1台车床加工”，B="零件为次品“，则P（川B）=（）

8.（2025・河北保定•二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有几个红球和3个黑球（所有球除颜

色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出I个球，记”从甲箱中

取出的球恰有i个红球”为事件A（i=0,l,2）,“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B,则「（418）是（）

A.与72有关的常量B.与九有关的变量

C.与71无关的定值,且为与D.与鹿无关的定值，且为二

14

二、多选题

9.（2025•云南玉溪•模拟预测）已知A,8为随机事件,且P（A）=0.5,P⑻=0.4,则下列垢论错误的是

（）

A.若48互斥，则PG4UB）=O.9B.若4B相互独立，PQ4UB）=0.7

C.若P（川B）=0.5,则P（8区）=0.3D.若48相互独立，则P（4万）=0.2

10.（2025・河北•模拟预测）已知有甲、乙两个盒子，甲中有3个白球，2个黑球，乙中有1个白球，3个黑

球.从甲中取出一个球放入乙中，再从乙中取出一个球放入甲中.记事件4="从甲中取出的球为白球”；事

件B="从乙中取出的球为白球“：事件C="甲中最后有3个白球”.下列说法正确的是（）

A.PWA）=lB.P（B）丑

c.PQ4|8）=：D.尸（川C）=,

11.（2025•贵州•模拟预测）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能

完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑

行”的概率为0.8：该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立

平衡”，事件4为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（）

A.P(B)=0.76

B.4与B相互独立

C.P(AU=0.94

D.P⑷8)=工

三、填空题

12.（2025•甘肃甘南•模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜.甲、乙

两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为：，乙在每局比赛中获胜的概率为;，各局比赛结果相互

独立.已知前两局比赛中，甲、乙各胜I局，则最终乙获胜的概率为.

13.（2025•浙江宁波•一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完

全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一

次摸到红球的条件下，第一次摸到的也是红球的概率是.

14.（2025・天津・高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈

的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为：若一周至少跑II圈为运动量达

标，则连续跑4周，记合格周数为X,则期望E（X）=.

四、解答题

15.(2025・上海金山•三模)有两个罐子，力罐中放有3个白球和2个黑球，8罐中放有5个白球.

(1)若从A罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率；

(2)若从力罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率；

(3)现在从两个罐子各摸•个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X,求X的分布和数学期望.

16.(2025・全国•模拟预测)随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热.某

小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，

乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军.已知甲胜乙、丙的概率均为j乙胜丁的概率为：，甲胜丁的概率为

且各场比赛的结果相互独立.

4

⑴求甲获得冠军的概率；

(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制(即先赢三盘者获胜，并结束比赛)，甲每盘获胜

的概率为|.求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率.

17.(2025・广东•模拟预测)为了研究生活习惯M与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调食了其他条件

都基本相同的340人，调查数据如表所示.

无习惯M者有习惯M者合计

没患疾病N者120160280

患有疾病N者154560

合计135205340

(1)根据小概率值a=0.050的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关?

⑵常用)=2招表示在事件A发生的条件下事件6发生的优势，在统计中称为似然比.现从340人

r\B\A)

中任选一人,A表示“选到的人是有习惯M者”,8表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计L(3|A)

的值.

_n(ad-bc)2

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)'

p#>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(2025・湖南郴州—模)湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺

繁杂，一•幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环

节相q独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作48,C三幅不同的湘绣作品，已知48,C

三幅作品通过设计图案环节的概率依次为：,；士通过刺绣环节的概率依次为;

435345

⑴求4aC三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；

(2)若已知48,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为力的概率；

(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，48,。三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量X的分布列及数学

期望E(X).

19.(2025・广东•模拟预测)在数字通信中，信号是由数字。和I组成的序列，信号的传输相互独立.由于随

机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为a(0vaV1),

收到。的概率为1一a；发送1时，收到0的概率为夕(0</?<1),收到1的概率为1一/?.假设发送信号0

和I是等可能的.

(1)若a=0.1,/?=0.05,求接收的信号为。的概率；

⑵现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号

重复发送3次.收到的信号需要译吗，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收

到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

(i)若采用三次传输方案，若发送1,求依次收到1,0,1的概率：

(ii)若发送的信号为I,译码为1,则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.

专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1相互独立事件的判断】.........................................................................3

【题型2相互独立事件的概率】........................................................................4

【题型3条件概率】....................................................................................4

【题型4全概率公式】..................................................................................5

【题型5贝叶斯公式1.............................................................................................................5

【题型6条件概率与其他知识综合】....................................................................6

1、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考【卷：第21题，12

分

2023年新高考H卷：第12题，5从近几年的高考情况来看，本节是

分高考的重点、热点内容，主要考查相互

⑴了解两个事件相互独立

2023年全国甲卷(理数)：第6独立事件的概率、条件概率与全概率公

的含义

题，5分式等，一般以选择题或填空题的形式考

⑵理解随机事件的独立性

2024年新高考H卷：第18题，17查，难度不大；有时也会在解答题中作

和条件概率的关系，会利

分为一小问出现，与其他知识结合考查，

用全概率公式计算概率

2024年天津卷：第13题，5分难度中等，复习时需要加强这方面的练

2024年上海卷：第8题，5分习.

2025年天津卷：第13题，5分

2025年上海卷：第13题，5分

知识梳理

知识点1事件的相互独立性

1.事件的相互独立性

⑴定义

对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(8)成立，则称事件A与事件4相互独立，简称为独立.

(2)性质

若事件4与8相互独立，则3与比A与后，才与后也相互独立.

(3)推广

两个事件的相互独立性可以推广到〃(心2,〃WN")个事件的相互独立性，即若事件Ai,A2,…，A”相互独立,

则这n个事件同时发生的概率尸(442…A”尸P(4)P(/h)…P(A”).

2.求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)王面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

知识点2条件概率与全概率公式

1.条件概率

(1)条件概率的定义

一般地，设A,3为两个随机事件，且P(A)>0,我们称尸(3|A尸夕*为事件A发生的条件下，事件8发

生的条件概率，简称条件概率.

(2)性质

设P(A)>0,Q为样本空间，则

①尸(34)W[O,1]，P(C|A)=h

②如果8和C是两个互斥事件，则P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA)；

③设月和4互为对立事件，则。(月|A尸1-P(/*A).

2.概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(A8)=P(A>P(8|A).

3.全概率公式及应用

(1)全概率公式

一般地，设Ai,4,…，A”是一组两两互斥的事件，AiUA2U-UAri=Cl,且P(A)>0,/=1,2,…，〃，则

n

对任意的事件6三a,有尸(6尸£P(4),P⑻Aj).我们称此公式为全概率公式.

r=1

(2)全概率公式的意义

全概率公式的意义在于，当直接计算事件8发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Q的一个划

分Q=4U4U…U4,4,4，…，4两两互斥，将4,4,…，A〃看成是导致8发生的一组原因，这

样事件8就被分解成了〃个部分，分别计算P(8|4)，P(8|4),…，P(8|4),再利用全概率公式求解.

4.贝叶斯公式

设A”4，…，A”是一组两两互斥的事件，4。42U…IM*。，且尸(4)>0,i=l,2,••・，〃,则对任意的

事,,件户(3)>0,一有夕(,40)、=P(4客)P(；a4)P(\4)P((8।|4”)

£P(4)P(8|4)

*■1

贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下:

(1M的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即尸(4)已知；

(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即尸/比)已知；

⑶P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；

(4)求解的目标是用人的某种情况A,的无条件概率求其在/3发生的条件卜.的有条件概率P(A|4).

5.求条件概率的常用方法

⑴定义法:P(8]A片卞筑.

(2)样本点法:P3A)=唱井.

⑶缩样法:去掉第•次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解..

6.利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件4(=12…,〃)；

⑵求尸(4)和所求事件B在各个互斥事件4发生条件下的概率P(B|4)；

(3)，’弋入全概率公式计算.

【方法技巧与总结】

1.如果事件4,4,…，4相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的枳，即

P(A\Ar'-Art)=P(Ai)P(A2),,-P(A”).

2.全概率公式为概率论中的重要公式,它将对•个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下

发生的简单事件的概率的求和问题.

举一反三

【题型1相互独立事件的判断】

【例1】(2025・上海青浦•模拟预测)一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3.4.任意掷

一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间C={1,2,3,4},记事件4={1,2},事件B={1,3},

事件C={1,4},则()

A.事件48,C两两独立，事件48,C相互独立

B.事件4,8,C两两独立，事件4,8,。不相互独立

C.事件48,。不两两独立，事件A,8,C相互独立

D.事件4,8,C不两两独立，事件48,C不相互独立

【答案】B

【解题思路】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误.

【解答过程】由题知：P(4)=；=；,P⑻=；=：,P(C)=：=；,

P{AB)=%P(71C)=%P(BC)=%P(ABC)=:.

因为尸(48)=[=P(力)P(B),PQ4C)=：=P(71)P(C),P(8C)=1=P(B)P(C),

所以事件48,。两两独立；

但户Q4BC)=；HP(A)P(B)P(C)=所以事件43,C不相互独立.

故选:B.

【变式1-1](2025・湖南•模拟预测)甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x,y,力表

示事件“3>4”，8表示事件“y为奇数”，C表示事件"3+y>8'\0表示事件"％+y=7”，则相互独立的事

件是()

A.4与CB.B与CC.C与。D.B与D

【答案】D

【解题思路】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立

事件的概率乘法公式检验即得.

【解答过程】由题意得：事件A%>4”的情况有：

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1)