高考数学 立体几何 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 （附解析）

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

激活思维

1.（教材经典题改编）已知〃，〃为不同的直线，a为平面，则下列命题中正

确的是（D）

A.若。〃江则。平行于经过b的任何平面

B.若。〃a,则〃与a内的任何直线平行

C.若a〃a,b//«,则〃〃/?

D.若a//a,冈a,则力〃a

【解析】对于A,。可能在经过直线匕的平面内，故A错误；对于B,a

与a内的直线有平行和异面两种位置关系，故B错误；对于C,。与人可能出现

三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误：对于D,已知a〃a,a//h,M

a,过Q作平面£交a于直线c,则a〃c,所以/?〃c,所以人〃a,故D正确.

2.（教材经典题）平面。与平面”平行的一个充分条件可以是（D）

A.a内有无穷多条直线与小平行

B.直线a〃a,a!/p,且直线。不在a内，也不在夕内

C.直线oua,直线bu/心旦a〃Mb//a

D.a内的任何一条直线都与夕平行

【解析】对于A,a内有无穷多条直线与/?平行，并不能保证平面。内有

两条相交直线与平面£平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；

对于B,直线a〃a,。且直线。不在a内，也不在夕内，当直线。平行于

平面。与平面”的相交直线时满足上述条件，但平面a与平面4不平行，故B

错误；对于C,直线aua,直线bu0,且。〃人b//a,当直线时，不能保

证平面a与平面夕平行，故C错误；对FD,〃内的任何一条直线都与夕平行，

则以内至少有两条相交直线与平面夕平行，所以平面。与平面”平行，故D正

确.

3.设/,根，〃是三条不同的直线，a,4是两个不重合的平面，则下歹U说法

正确的是（C）

A.若/_!_〃?，贝I]〃〃/

B.若加〃a,〃?〃夕，则a〃6

C.若加〃〃，贝ij〃〃a

D.若加〃a,a〃6,则加〃£

【解析】由题意，作长方体ABC。-4BCQ1,如图所示.对于A,当BBi

为/，加为43，〃为时，显然/J_〃z,机_1小但/n〃=B,故A错误；对

于B,当平面a为平面ABC。，平面夕为平面AM。。］,〃z为BiG时，显然相〃

a,m//p,但故B错误；对于C,因为〃z〃a,所以玉/Ua,m//a,

因为加〃〃，所以。〃〃，因为aua,所以〃〃a,故C正确；对于D,当平

面a为平面ABCZ）,平面/?为平面AIBICIOI,〃［为BiG时，显然〃7〃a,a//py

但E故D错误.

4.己知〃?，〃是两条不同的直线，。，尸，y是三个不重合的平面，下列说法

正确的是（C）

A.若a_L/?,叫,则a〃了

B.若"ZUQ,〃u6m//n,则a〃夕

C.若"?，〃是异面直线，"?ua,〃z〃4，〃〃a,则a〃£

D.平面。内有不共线的三点到平面夕的距离相等，则。〃夕

【解析】对于A,若aJ_4，月工力则。与了可能相交，故A错误.对于

B,若nufj,m/in,则。与夕可能相交，故B错误.对于C,因为

〃UQ,加，〃为异面直线，所以又〃2〃.，所以由线面平行的性质定理可知

在夕内存在/〃〃2,且管a,进而可得/〃a.因为m,〃是异面直线，〃u/?,所以/

与〃相交.又〃〃处所以由面面平行的判定定理得a〃从故C正确.对于D,

平面a内有不共线的三点到平面少的距离相等，则a与4可能相交，故D错误.

5.如图，在四棱锥产一ABC。中，底面48CD为菱形，。为AO的中点，点

历在侧棱尸。上且PM=/PC.若以〃平面MQB,则实数/的值为

AH

【解析】如图，连接8Q,交AC于点N,连接MN.因为以〃平面M2&

以u平面以C,平面朋CH平面MQ8=MM所以以〃MM由Q为AO中点,

AD//BC,得差=卷总所以器=第=/即PM=/c，所以实数/的值为

1

3,

聚焦知识

1.直线和平面平行

(1)定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行.

(2)判定方法：

文字语言图形语言符号语言

线线平如果平面外一条直线和这个l//a,]

一aUa,\=>l//

行今线平面内的一条直线平行，那

l(laJ

面平行么这条直线和这个平面平行

a

面面平如果两个平面平行，那么在

a//0,

行今线一个平面内的所有直线都平

aUa

面平行行于另一个平面

(3)性质定理:

文字语言图形语言符号语言

线面平一条直线与一个平面/〃a,[

行今线平行，如果过该直线的I",>01〃b

卜7

线平行平面与此平面相交，那

么该直线与交线平行

2.两个平面平行

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行.

(2)判定方法：

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内

a//p,、

线面平有两条相交直线%义/b〃[3,

行今面与另一个平面平aCb=P,

面平行行，那么这两个平厂aU。，

bi.」

面平行

(3)性质定理:

文字语言图形语言符号语言

两个平面平行，如

面面平

果另一个平面与这

仃0线aHy=a,>=^//h

两个平面相交，那a

线平行/加产bJ

么两条交线平行

3.常用结论

(1)平行关系中的三个重要结论

①垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则a〃人

②垂直于同一个平面的两条直线平行，即若。_La,/?±a,则Q〃江

③平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃夕，夕〃》,则。〃外

(2)与平行关系有关的性质

①夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

②两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

③同一条直线与两个平行平面所成的角相等.

题型突破思维拓展

举题说法

目帧hl与线、面平行相关命题的判定

例1若机，〃为两条不同的直线，。，p,7为三个不重合的平面，下列说法

正确的是(B)

A.若尸0/=〃，且〃2〃小则a〃夕

B.若加，〃相交且都在a，用外，m//a,n/!a,m//p,n//p,则a〃£

C.若加〃〃，/?ua,则〃?〃a

D.若〃2〃a,n//a,贝！

【解析】对于A,在如图(1)所示三棱柱中，平面BCCiBi=}s平面4CG4

=a,平面"2=CCi,n=BB\,满足0门》=〃2,4rly=〃，且加〃〃，

但a,夕相交，A错误.对于B,如图(2),/〃，〃相交且都在a,4外，设机，〃确

定的平面为人即〃3〃u7.因为机〃a,n//a,故可得了〃a,同理>〃夕，故a〃

B、B正确.对于C,若"?〃〃，〃ua,则〃zua或"z〃a,C错误.对于D,若

/7a,n//a,则/，〃可能平行或相交或异面,D错误.

图⑵

<总结提燎A

(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、

定理；

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

变式1(多选)设a,〃表示空间的两条直线，。表示平面，下列说法正确的

是(BC)

A.若且bua,则a〃a

B.若a〃a且Z?ua,则〃，Z?不一定平行

C.若o〃b且〃〃a,则〃不一定平行于a

D.若a〃a且/?〃a,则。，〃平行或异面

【解析】若。〃〃且/?u〃，贝ij〃〃。或qua,故A错误；若且Z?ua,

则〃〃〃或〃，〃为异面直线，故B正确；若〃〃〃且a〃a,则人〃1或Z?ua,故

C正确；若。〃a且/?〃a,则。〃〃或〃，/?相交或异面，故D错误.

目帧旧线面平行的判定定理的应用

例2如图，在四棱锥产一ABC。中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,H

分别为线段AO,PC,。的中点，AC与BE相交于点O,G是线段。口上的一

点.

(1)求证：AP〃平面5EE：

【解答】(1)因为AO〃BC,BC=%D,E为A。的中点，所以BC=AE,

BC//AE,所以四边形A8CE是平行四边形，所以。为4c的中点.又因为F是

PC的中点，所以尸。〃4尸.因为“Ou平面8£居APQ平面BEF,所以AP〃平面

BEF.

(2)求证：G”〃平面B4O.

【解答】如图，连接FH,EC,OH.因为凡“分别是PC,CO的中点，

所以FH〃PD.又因为"/Q平面以。，POu平面外。，所以a7〃平面附O.因

为。是8£的中点，〃是CO的中点，所以。又因为O〃Q平面B4O,

AOu平面PAD,所以0"〃平面PAD.又FHCOH=H,"/u平面OHF,OHu平

面OH凡所以平面。“尸〃平面外。.因为GHu平面OHF,所以G"〃平面PAD.

・总结提燎》

判断或证明线面平行的常用方法：

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(Wa,bUa、a//b=^a//a).

(3)利用面面平行的性质(“〃6，〃u“=>"〃/?).

(4)利用面面平行的性质(夕〃夕，小■，,a//a=>a//p).

变式2如图，四棱锥。一ABC。的底面是菱形，E,E分别是A3,尸。的中

点，求证：E/7〃平面以。.

【解答】如图，取PO中点G,连接AG,FG.因为F,G分别是PC,PD

的中点，所以R7〃C0,FG=gcD.因为底面ABC。是菱形，E是43的中点，

所以AE〃C£),A£=；CD,所以/G〃AE,FG=AE,所以四边形AEFG是平行

四边形，所以£尸〃AG,又EFQ平面PAD,AGu平面PAD,所以石尸〃平面PAD.

目帧闺线面平行的性质定理的应用

例3如图，在四棱锥P—A3CQ中，底面A3C。为直角梯形，BC//AD,

BC=CD=^AD=\,E为线段AO的中点，平面BE尸与棱P。相交于点G,求

证：BE//FG.

【解答】因为E为线段4。的中点，所以DE=；AD=1.因为BC=1,所

以DE=BC.在梯形4BCO中，DE〃BC,所以四边形8cOE为平行四边形，所

欢BE”CD.因为8项平面PC。，COu平面PCD,所以BE〃平面PCD.因为

BEu平面BEF,平面，EH1平面PCD=尸G,所以BE〃FG.

・总结提燎》

在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，

通常应严格按照定理成立的条件规范书写步躲，如：把线面平行转化为线线平行

时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.

变式3如图，在三棱锥P-ABC中，D,E分别为棱尸8,BC的中点,若

点尸在线段AC上，且满足AQ〃平面PER则器的值为（C）

A.1B.2

2

C.D.3

【解析】如图，连接CO,交PE于点G,连接/G.因为40〃平面

AOu平面ADC,平面AOCn平面尸Eb=/G,所以AO〃/G.因为。，E分别为

Arnr:i

棱的中点，/以是△的重心，所以斤

P3,8CGP3CrC=UkC=5Z.

目标匕］面面平行的判定定理与性质定理的应用

例4如图，在四棱锥P—ABC。中，ZABC=ZACD=90°fZBAC=ZCAD

=60°,设M,N分别为P。，的中点，求证：平面CMN〃平面以&

【解答】因为M,N分别为尸。，AO的中点，所以MN〃心.又MNQ平

面3B,%u平面PABf所以MN〃平面PAB.在RtA/lCD中，/C4O=60。，

CN=AN,所以NAC7V=60。.又N84C=60。，所以CN//AB.因为CNQ平面PAB,

A8u平面PAB,所以CN〃平面PAB.又CNCMN=N,CMMNu平面CMN,所

以平面CMN〃平面PAB.

・总结提燎A

(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②利用面面平

行的定义.

(2)面面平行条件的应用：①两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，

交线平行；②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

变式4如图，在四棱柱A8CD—中，四边形A3c。为平行四边形，

DE1

E,F分别在线段DB,DDi上，版=不，G在CG上且平面AEF〃平面BDiG,

L15Z

则好于(B)

I

A.2

C.1

【解析】如图，连接BIDI,/G,因为平面4E/〃平面BDiG,平面AE尸n

np

平面平面平面贝〃加)，于是诉~=

RfhGnUE/rU\

DE1

石5=不在四棱柱中，平面AODIAI〃平面BCGBi,而BGu平

nnL

面8CG8,则8G〃平面在平面AODIAI内存在与A/7不重合的直线/

//BG.又平面AE77〃平面BDiG,BGu平面BDiG,则3G〃平面AER在平面

AEF内存在与A”不重合的直线m〃BG,从而〃"//,mu平面AEF,应平面AEF,

则/〃平面AEE又/u平面AOG4,平面AEbG平面ADDi4=AF,因此人尸〃

/〃3G,5G,可确定平面ABGF.因为平面A8B4〃平面CDD\C\,平面ABGFQ

平面ABBIAI=4B,平面ABGFG平面CQDCi=FG,于是A3〃FG,即有CO〃

“^CG__DF_l

FG,斤以ptcclDDi—B。

DtC,

1.如图，AB〃平面a〃平面过点4,3的直线〃2,〃分别交a,夕于点

C,E和点。，F,若AC=2,CE=3,BF=4,则B。的长为（C）

【解析】闻ABHuJ邛,易得稣=黑，即骼=黑，所以8。=写产=

「CziUrAtLnrAZi

2X48

~=5*

2.如图，在正四棱锥S—ABC。中，SA=BS=SC=SD=2,AB=®P为

侧棱S。上的点，且S尸=3PQ,判断侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面

PAC.若存在，求斤的值；若不存在，请说明理由.

【解答】在侧棱SC上存在一点E,使BE〃平面%C,此时反=2.理由

如下：如图，取S。中点Q,因为SP=3P。，则PQ=P。，过。作尸。的平行线

交SC于点E,连接8。，BE.在△3QQ中，BQMPO、因为尸Ou平面附C,BQ

Q平面mC,所以3。〃平面%C.由于那=2,所以蓼=溪=2.XQE//PC,

尸Cu平面B4C,QEQ平面A1C,所以QE〃平面以C.因为BQAQE^Q,所以平

面BE。〃平面MC,又BEu平面BE。，所以8E〃平面PAC.

一、单项选择题

1.设。，尸为两个不重合的平面，则。〃夕的一个充分条件是(D)

A.a内有无数条直线与万平行

B.a,夕垂直于同一个平面

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,4垂直于同一条直线

【解析】对于A,,内有无数条直线与/?平行推不出a〃夕，只有。内所有直

线与4平行才能得出。〃从故A错误；对于B,a,//垂直于同一平面，得到a

〃/?或a与夕相交，故B错误；对于C,«,少平行于同一条直线，得到a〃4或

a与夕相交，故C错误；对于D,因为垂直于同一条直线的两平面平行，故a,

夕垂直于同一条直线能推出a〃从故D正确.

2.如图，已知尸为△相€：所在平面外一点，平面a〃平面ABC,且a交线

段玄，PB,PC于点4,，夕，C'.若出'：A4'=2：3,则C：S4

ABC=(D)

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

【解析】因为平面a〃平面ABC,所以A'CmB'//AB,B'C

//BC,所以SMBC-：SMBC=(PA,:PA)2.又*':AA'=2：3,所以附':

PA=2:5,所以R。:SZM"=4:25.

3.已知〃2,〃为两条不同的直线，«,夕，y为三个不重合的平面，则下列说

法正确的是(D)

A.若tn//a,则tn//n

B.若/〃〃a,a〃B，贝

C.若加〃a,〃?〃/?,则a〃夕

D.若a〃4，B〃PJlJa//y

【解析】对于A,若机〃a,〃ua,则根，〃可能平行也可能异面，故A错

误；对于B,若加〃a,a//则相可能与平面£平行，也可能在平面夕内，故

B错误；对于C,若m〃a,m/邛,则a与4可能平行也可能相交，故C错误;

对于D,根据平行平面的传递性，若a〃4p//y,则。〃力故D正确.

4.如图，在长方体A8CO—48GQ1中，朋是棱GD的中点，则(D)

A.51c〃平面4BM

B.481〃平面3DM

C.〃平面ACDi

D.BG〃平面4WC

【解析】对于A,取CG的中点N,连接MN,BN,CDi,如图(1),长方体

48。。一481。1。的对角面48。。1是矩形,48〃7)1。〃加川,且用'忆平面4由历，

而BC与BN相交，则与平面4用0有公共点，故A不正确.对于B,取

BiC的中点P,连接MP,BP,DMBD,DM,如图⑵，长方体ABCO—AIBGQI

的对角面BDQiB是矩形,DB//D\B\//MP,而AiBin£h5i=Bi,又AiBi,DB,

MP都在平面内，则4"与相交，因此48与平面8DM有公共

点，故B不正确.对亍C,取AB的中点Q,连接"Q,ADi,AC,CDi,BM,

如图(3),由AB〃/AB=A\B\=D\C\,则50〃DMBQ=D\M,四

边形BQOiM是平行四边形，因此8M〃功。，又平面ACQI=OI,贝［8M

与平面ACG相交，故C不正确.对于D,取A6的中点。，45的中点。，连

接4。,CQ,MQ,GO,OQ,如图(4),在矩形A5B4中,QO〃BB\〃CC\,

QO=〃8I=CCI,则四边形CCOQ是平行四边形，有CQ〃GO.在矩形4囱。。|

中，A\O//MC\,AiO=MCi,即四边形4MG0是平行四边形，有AiM〃GO〃

CQ.又由i=8Q,则四边形GMQ8是平行四边形,

则BG〃MQ.因为MQu平面4MC,平面AiMC,所以〃平面4MC,

故D正确.

图⑵

图⑶)

图⑷)

二、多项选择题

5.己知〃"是异面直线，"zU”，"仁外，那么（AB）

A.当"Z_1_夕或"J_a时，a》

B.当〃?〃夕且〃〃a时，a//p

C.当a_L夕时，或〃_La

D.当a,夕不平行时，〃7与4不平行且〃与a不平行

【解析】对于A,当机_1_夕，机ua时，al.fi；当〃_La,〃u4时，a邛、故

A正确.对于B,当〃1〃/?,时，又〃?，〃为异面直线，所以。〃/?,故B正

确.对于C,当a_L/?时，由mua,得加〃夕或根与万相交；当a_L夕时，由〃u£,

得〃〃a或〃与。相交，故C错误.对于D,当。，夕不平行时，可能加〃4或,〃

与0相交，〃〃a或〃与。相交，故D错误.

6.如图是一儿何体的平面展开图，其中四边形ABC。为正方形，E,F,G,

”分别为%,PD,PC,PB的中点，在此儿何体中，下列结论正确的是（ABC）

A.平面EEG”〃平面A3CQ

B.%〃平面BOG

C.石尸〃平面

D.E/7〃平面BDG

【解析】先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示.对于A,因为E,F,

G,”分别为%,PD,PC,尸B的中点，所以E产〃A。，GH//BC,因为4。〃

BC,所以EF//GH,所以EF,GH确定平面EFGH,因为Efu平面E/G”，AD

Q平面EFGH,所以AQ〃平面ErG"，同理可得力8〃平面E/GH.因为ABCA。

=A,ABfAOu平面48C。，所以平面EFG”〃平面A8CO,所以A正确.对于

B,连接AC,8。交于点。，则。为AC的中点，连接。G,因为G为。。的中

点，所以OG〃勿，因为OGu平面BOG,RW平面8OG,所以以〃平面8DG,

所以B正确.对于C,由E,产分别为勿，尸。的中点，可得七/〃4）,又由A。

//BCt可得EF//BC.因为£7巾平面PBC,BCu平面PBC,所以EF〃平面PBC,

所以C正确.对于D,若EF〃平面BDG,因为％〃平面3OG,且七/0必=

E,EF,B4u平面见O,可得平面出。〃平面，。G,显然不正确，所以ER与平

面BOG不平行，所以D不正确.

7.在三棱柱人48cl中，E,F,G,H分别为线段A4i,AiCi,CiBi,

30的中点，则下列说法正确的是（ABC）

A.E,F,G,”四点共面

B.平面EG”〃平面ABG

C.直线4A与FT/异面

D.直线BC与平面A"/平行

【解析】如图，由题意可知EH//A\B\、FG!/A\B\,贝《EH//FG,故A正

确.易知GH//BC\tEH//ABtG川平面A8G,8Gu平面A8G,平面ABCi,

ABu平面ABC\,所以〃平面ABC\,EH〃平面ABC\.又GHCEH=H,GH,

EHu平面EG”,所以平面EGH〃平面ABG,故B正确.A,Ai,F三点确定一

个平面，点”不在此平面内，故C正确.取的中点M,连接产M,则尸M〃

BiCi,所以“M〃3C.又点尸在平面内，点M在平面AF”外，所以直线

尸M与平面A/7/不可能平行，即直线BC与平面A/77不可能平行，D错误.

三、填空题

8.如图，在四棱锥尸一A8CZ）中，B4_L平面ABC。，PCA.AD,底面ABCO

为梯形，AB//DC,AB^BC,AB=BC,点E在棱PB上,若尸。〃平面E4C,则

丝=2

【解析】如图，连接8。交AC于点。，连接。及因为应，平面ABC。，

A£）u平面ABC。，所以附J_A。，因为PC_L4力，*GPC=P,H,PCu平面B4C,

所以ADJ_平面以C.因为ACu平面B4C,所以AQ_LAC.因为A8J_8C,AB=

BC,所以AC=/AB,NBAC=45。，XAB//DC,所以NACD=NBAC=45。,

所以△ACO为等腰直角三角形，CD=pAC=2AB,所以黑=得=今因为物

〃邛面KAC,尸。u邛面尸8。，且平面EACH邛面产。。=0石，所以OE〃PD,故

PE=OD

~EB~~OB~2

9.如图，四棱锥P—A3CQ的底面是平行四动形，PA=PB=AB=2,E,F

分别是AN,C。的中点，平面AGF〃平面PEC,尸。0平面47尸=6,且PG=

2GQ,则1=1:若上。与AF相交于点从KJ

【解析】因为四边形ABCO是平行四边形，所以A