安徽某中学等学校2025-2026学年高二年级下册4月检测数学试卷（含答案）

安徽太湖中学等学校2025-2026学年高二下学期4月检测数学试题

一、单选题：本大题共8小题，共40分。

1.21x20x•••x12可表示为（）

411B41OC1C1O

A.21211D.21

2.在数列｛QJ中，即=3,册+i=1-;（九WN*）,则。3的值为（）

Qn

?17

A.-|B.-1C.|D.3

3.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案

共有（）

A.ClB.AlC.43D.34

4.下列导数运算正确的是（）

A』n2026）'=康D.(e-)

x-1

C.（sinxcosx）=cos2xD.

5.已知等差数列｛时｝的前n项和为S”，且。9+Qio+=12,PK519=（）

A.76B.68C.38D.34

6.4847+4被7整除的余数为（）

A.2B.3C.4D.5

7.己知等比数列｛%｝的前ri项积为屋，%>。，77>78>76，则使得7n>1成立的正整数九的最大值为（）

A.7B.13C.14D.15

8.已知函数/（x）=aex-x2,g（x）=x-lnx-4,若对任意的占e（0,+oo）,存在0e（0,+oo）,使得/（修）>

g（Q）成立，则a的取值范围是（）

A.区,+8）B.俄,+8）C.[|»+°°）D.[e,+00）

二、多选题：本大题共3小题，共18分。

9.已知函数y=/（无）的导函数、=/'（'）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

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A.函数y=f(x)在区间(―4,一1.5)上单调递增

B.函数y=/(%)在区间(—3,3)上单调递增

C.在％=-3处，函数y=f(x)取得极值

D.在x=2处，函数y=f(%)取得极值

10.甲、乙、丙、丁四名大学生到人B,C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公

司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是()

A.共有36种不同的安排方法

B.若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法

C.若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法

D.若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法

11.下列等式中正确的是()

A.4署1=R.丹+仁+牖+…+=285

C.蹬2M=1一击DNM(i.i!)=21!_l

三、填空题：本大题共3小题，共15分。

12.函数/(%)=x2-3c在区间［1,4］上的平均变化率为.

210220a

13.已知(1+2%-x)=a04-arx+a2x+…+a20x,则劭+/+%+…+20=，a3=.

14.在数列｛斯｝中，的=3,当■=册+3(n€N)bn=(-l)nT(2n+l)anan+1,记数列｛bn｝的前?i项和为Sn,

Qn+1

则S50=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(1)2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？

(2)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数？

(3)从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多

少种选法？

16.已知函数/(X)=X(X一Q)2+1在％=-1处取得极小值.

(1)求a的值；

(2)求/(%)在区间［-宏-月上的最大值和最小值.

17.在(2x+*)n(nGN*)的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是今

(1)求展开式中的常数项；

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(2)求展开式中系数最大的项.

18.在等差数列｛即｝中，％=1,2。3+。4=10,数列出“｝的前n项和为S”，且满足Sn=2%—l(ziEN・).

(1)求｛%｝和｛%｝的通项公式;

(2)若4=an,求数列｛0｝的前71项和〃；

(3)设因表示不超过工的最大整数，如[4.5]=4,[5.6]=5,求[看+焉+…+^J的值.

19.己知函数/(%)=ax2—ax+lnx(aeR).

(1)当a=2时，求/(无)的图象在％=1处的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性；

(3)当a=0时，求证：/(x)<ex-2.

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参考答案

\.B

2.B

3.。

4.C

54

6.B

7.C

S.A

9.BC

\O.ABC

11BCD

12.4

13.1024；780

14—

17

15.(1)解：先排4名男生，男生全排列有川种方法，

男生排好后形成5个空位，从中选2个空位安排女生，女生排列有展种方法，

故共有川潞=480种.

(2)解:分两类讨论:

第一类：末位为0,此时千位可从1-5中选，百位从剩余4个数字中选，

十位从剩余3个数字中选，有屡个，

第二类：末位为2或4,末位有2种选择，千位不能为0和末位数字，有4种选择,

百位从剩余4个数字中选，十位从剩余3个数字中选，有2X4X"个，

故共有父+2x4x&=156个.

(3)解：用间接法

从9人中选4人的总选法有心，

全是男生的选法有馥，全是女生的选法有以，

故既有男生又有女生的选法为端-第-C；=120种.

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16.解：(1)由题意得，函数/(%)=%(X-Q)2+1=炉-2a/+/%+],

所以，(x)=3x2—4ax+a2,

因为/■(%)在％=-1处取得极小值，所以广(-1)=0,

代人得：3(-l)2-4a(-l)+a2=0,即3+4Q+Q2=O,

解得Q=-1或Q=-3,

当G=-1时，/(x)=3x2+4x+1=(3%+l)(x+1),

令/(%)=0得%=-1或%=-1»

当&=-1时，/z(x)=3x2+4x+1=(3x+l)(x+1),

令/'(%)=。，即(3%+1)(%+1)=0,解得％=—1或%=-；，

当X〈一1时，r(x)>0,f(x)单调递增;

当一1<xV一g时，f'(%)V0，f(x)单调递减，

所以％=-1是极大值点，不符合题意，舍去；

当a=-3时，ff(x)=3x2+12x+9=3(%+l)(x+3),

令/'(%)=0,即3(x+1)(%+3)=0,解得％=-1或％=-3,

当％V-3时,ff(x)>0,f(%)单调递增;

当-3<x<-1时，/7(%)<0,f(x)单调递减；

当X1时，广(无)>0,f(%)单调递增,

所以工=-1是极小值点，符合题意.

综上，Q的值为—3：

(2)由(1)知a=-3,则/'(%)=%(%+3)2+1=X3+6%2+9%+1,/z(x)=3(x+l)(x+3),

令/'(%)=0,即3(x+l)(x+3)=0,解得％=-1或％=-3,

当式£[一5,一3)时，//(x)>0,/(乃单调递增；

当xW(-3,-1)时,ff(x)<0,f(x)单调递减；

当1£(一1,一切时，ff(X)>0,f。)单调递增，

fi/(4)=(-l)(-l+3)2+1=-hz+1=-T+1=-T=

/-(-3)=(-3)(-3+3)2+1=1;

-1)=(-1)(-1+3)2+1=-4+1=-3;

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rz1、/1、/11八2।11〜25112517

7(-2)=(-2)(-2+3)+1=-2XT+1="T+11=-T>

所以/(%)在区间［--月］上的最大值为1，最小值为-等.

44O

17.(1)

由题意得，二项式(2%+a)”展开式的第2项二项式系数为“，第3项二项式系数为鬣。

已知二项式系数之比碾=；,可得：充号=言]

r、,rIxr

解得n=9<,

展开式的通项公式为7\+i=瑞(2%)97(专)k=Ck•29M•/号。

令9一半=0,解得k=60

则常数项为「7=•29-6=-23=84X8=672。

(2)

设展开式中第k+1项的系数为Q〃，则的=璘-29i(k=0,1,2,-,9)o

要使系数最大，需满足:以t(k21且kW8)o

(4N«fc+i

纵_CQZ_9-k+i1_10-k人10—k修得“1°

码_C尸0。-k-r-.2~-f解传

4.吟29T_k+1今冬”D>1解得

_c较1・2°一/,一9-k乙'左9—k-L,阴

综上，k=3时系数最大，此时第4项为系数最大项。

系数。3=cl•29-3=84X64=5376,

9

该项为74=5376X9--/尸

18.解：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,又由=1,2a3+。4=10，

所以2(14-2d)+1+3d=10,解得d=1,所以%=14-(n—1)x1=n,

当ri=1时，S]=必=2bl-1,得仇=1；

当riN2时,由S”=2bn-1,得Sn_1=2--1,所以九=S“-Si=(2bn-1)-(2*-D，

所以要-=2,所以仍“｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以以=1乂2计1=2-1.

0n-l

(2)由得%=$=泰，

所以G=++含+备+…+舟’贝岭G二6+余+启+…+嬴

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所以7n=4-券.

(3)由题意知*+盍+•・•+焉=1+合+*+•••+焉‘

由-〈今，kWN*,得akWN*,

故1>2(V~5-1),>2(V-3—V-2),...»>2(，625-V624),

以上各式相加，得1+-^=+-^=H----F^==>2(1625—1)=2X(25—1)=48.

由皿一代=7^>品，得看<2(E—6)壮V,

故专<2(合-1),^=<2(73-72),......,7=<2(7624-7623),

以上各式相加，得意+a++了^克V2(1624-1)<2X(25—1)=48,

则i+a+a+…+盛<4%

综上‘48<1+a+表+…+焉<49,所以［专+盍+..•+焉］=48.

19.解：(1)当Q=2时，函数/(%)=2%2—2%+Inx,

则/'(x)=4x-2+3

/(I)=2xl2-2x1+Ini=0+0=0,

/,(l)=4xl-2+1=3,

从切点为(1,0)，切线的斜率为3,

所以切线方程为y-0=3(%-1),HPy=3x-3；

(2)函数/Q)=ux2—ax+lux,定义域为xe(0,+8),

z2axQX+1

/(x)=lax-a+^=~>分母%>0,只需分析分子g(x)=2Q%2一+i的符号。

⑦当Q=0时，g(x)=1，则/'(x)=(>0,故/(%)在(0,+8)上单调递增，

②当a>0时，g(x)为开口向上的二次函数，判别式4=。2一8°,

若/W0,即0<aW8,^(x)>0,WJ/z(x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增。

若d>0,upa>8,c/(x)=0的两根为X［=8a>0,x2=显然％1<短，

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当xe(0,%]),(亚,+8)时，gM>0,f,(x)>0,/'(%)单调递增;

当Xe。1X2)时，9(%)<0,f'Q)V0,f(x)单调递减。

2x=

③当QV0时，g(x)为开口向下的二次函数，zl=a-8a>0两根与=：；一吗2""：：一叫

a