函数性质及其应用大题专项训练【七大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【七大题型】

【人教A版(2019)]

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题型一利用函数的性质求解析式

1.(2024.上海.三模)己知外幻二段，函数y=f(%)是定义在(一2,2)上的奇函数，且/'⑴=1.

(1)求/(%)的解析式;

(2)判断y=/(口的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

2.(23-24高一下•广西南宁•开学考试)已知函数/'(X)是定义在R上的奇函数，且当％<0时,/'(%)=2/+3%,

⑴求函数八幻的解析式；

⑵求函数/'(%)在区间[1,4]上的最小值和最大值.

3.(23-24高二下•辽宁大连,阶段练习)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数%,恒有/•(%+2)=-/(外,

当xe[0,2]M/(x)=2x-x2.

(1)求证:/(%)是周期函数:

(2)当工€[2,4]时,求/1(%)的解析式;

(3)求/(0)+/(I)+/(2)+…+/(2025)的值.

4.(23-24高一上•江苏盐城・期末)已知二次函数y=f(x)的图像过点(-2,-6),满足/*(0)=-2且函数"％-2)

是偶函数，函数g(x)=§2

(1)求二次函数y=f(x)的解析式；

(2)若V/e［1,2］疝26［1,2］,使g(xj>mx2+4成立，求实数m的取值范围.

5.(23-24高一上・福建宁德・期末)定义域为R的奇函数/(%)=筌只能同时满足下列的两个条件:

①/(%)在区间［一1,1］上单调递增②/(一1)=:③/(1)=3

(1)请写出这两个条件的序号，并求f(x)的解析式；

(2)判断f3)在区间(1,十8)的单调性，并用定义证明.

题型二i利用函数的性质求最值O|

6.(23-24高二下.福建龙岩•阶段练习)已知函数/(%)=号.

(1)判断函数/■(%)在(2,+8)上的单调性并证明；

(2)判断函数/'(X)的奇偶性，并求/(%)在区间上的最大值与最小值.

7.(23-24高一上.浙江杭州.期中)已知函数/(无)=|X-Q|-：(aWR)

(1)当a=l时，求的单调递增区间(只需判定单调区间，不需要证明)：

⑵设/(x)在区间(0,2］上最大值为g(a),求y=g(a)的解析式.

8.(23-24高一上•宁夏银川•期末)设函数，(%)=x2-2ax+3.

(1)当a=1时，求函数/'(%)在区间［一2,3］的最大值和最小值：

(2)设函数/(外在区间［-2,3］的最小值为g(a),求g(Q).

9.(23-24高一上.北京•期中)已知函数/(x)=ax+£的图像经过点做1,3)方(2,0).

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数/(%)在(0,+8)上的单调性并证明；

(3)当工€畛,7九］时，f(x)的最小值为3,求TH的值.

10.(23-24高二下•江苏徐州•期天)已知函数/(%)=--4%+3,g(x)=(a4-4)x—3,aeR

(1)若对任意的不£［1,4］,总存在q£［1,4］,使得，(不)=0(皿)，求。的取值范围;

⑵设九(x)=|fa)+g(x)|,记M(a)为函数在［0,1］上的最大值，求M(a)的最小值.

题型三、利用函数的性质比较大小

II.(23-24高一上・贵州•阶段练习)已知函数/(%)=了.

(1)利用函数的单调性定义证明外幻在(1,」8)上单调递增;

(2)若£>1,试比较/Q),/(2—J的大小.

12.(23-24高一上•江苏常州•期口)定义在(。,+8)上的函数/⑺满足/(nm)=f(m)+n>U),

且当％>1时，/(x)>0.

(1)求证：/(X)在(0,+8)上是增函数；

(2)若/'(2)=1,解不等式/■(%+2)-f(2%)>2；

⑶比较/(等)与弋侬的大小.

13.(23-24高一上.江西南昌•阶段练习)已知/(%)是R上的奇函数，且对任意的实x,H当x+y区0时,

都有>0.

x+y

(1)若Q>b,试比较/(a)与/(b)的大小；

(2)若存在“W[1,3],使/(%-。)+/(%-。2)>0成立，求实数。的取值范围.

14.(23-24高一上•四川自贡•期末)已知定义在(0,+8)上的函数/(%),满足/(nrn)=f(m)+f(n)(m>0,n>

0),而且当％>1时,有f(x)>0.

(1)求证：/(%)在(0,+8)上是增函数;

(2)判断/(管)与式人m十八明的大小，并说明理由.

15.(23-24高一上•广东广.州・期口)己知函数f(%)=/+：.

⑴求川)，/2)的值;

(2)设。>。>1,试比较/(〃)，/(力)的大小，并说明理由；

(3)若关于x的不等式-l)>2(x-l)+^-+m恒成立，求实数〃1的取值范围.

题型四利用函数的单调性「奇偶性解不等直

16.(23-24高二下•湖南邵阳•期中)已知函数/(%)是定义在(一2,2)上的奇函数，满足/'(1)=£当一2V%W0

时，有/。)=筌・

(1)求函数/(均的解析式；

(2)判断/(幻的单调性，并证明；

(3)解不等式/(2x-1)4-/(x)<0.

17.(23-24高一上•广东湛江•阶段练习)定义在(0,+8)上的函数/(%)满足/Qy)=f(x)+f(y),-3)=1,

且力>IH'J,f(x)>0.

⑴求「⑴；

⑵判断/(X)在(0,+8)上的单调性；

(3)若/(%)+/(%-8)V2,求％的取值范围.

x+b.„

——,-1<X<0

18.(23-24高一上.云南昆明•期口)已知奇函数/(%)=1-X

—,0<x<1

'1+X

(1)求Q,匕的值并确定函数/•(%)的解析式;

(2)用定义法证明f(x)在(0,1)上是增函数;

(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

19.(23-24周一上•浙江杭州•期口)已知函数/(%)=/，%G(-2,2).

⑴判断函数/(幻的奇偶性；

⑵用定义法证明：函数f(x)在(-2,2)上单调递增；

(3)求不等式/(t)+/(I-2£)>0的解集.

20.(23-24高一上•江苏南京•期中)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+8),且/"(xy)=/*(x)+f(y).当％E

(0,1)时，/(%)<0.

⑴求/(I)；

(2)证明：函数y=〃x)在(0,+8)为增函数；

⑶如果=解不等式/•(%)—/•(£)23.

题型五1利用函数的性质解决恒成立问题O|

21.(23-24高一上・北京•期末)已知定义域为R的函数/(%)=翌是奇函数.

Z人一Q

(1)求实数a的值；

(2)判断f(%)的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)当％6(0,+8)时，/(/)+/(—依+1)恒成立，求实数k的取值范围.

22.(23-24高一上・江西新余•期口)己知函数/'(%)=・♦

(1)判断并证明函数/Xx)在(2,十8)上的单调性；

(2)若g(x)=x+a,对任意力e[3,8],x2e[2,5],都有〃石)之以必)成立,求a的取值范围.

23.(23-24高一上•福建福州•阶段练习)已知函数f(%)对任意实数%,y恒有/'(%+y)=f(x)+/()，)，且当x>0

时，fM<0,又/'(1)=一2.

(1)判断/(%)的奇偶性;

(2)判断/•(%)在R上的单调性，并证明你的结论；

(3)当“€巳,3]时，/(攵/)+/(2%)+2>0恒成立，求实数k的取值范围.

24.(23-24高一上•广东广州•期口)已知函数/(幻=怎是定义域上的奇函数，且/(-1)=-2.

(1)判断并证明函数f(x)在(0,+8)上的单调性；

(2)令函数g)=/+9一2£f(x)(tv0),若对VX1，%2£E，2〕，都有I九(%1)-h(%2)lw热求实数£的取值

范围.

25.(23-24高三上•新疆阿克苏•阶段练习)已知二次函数/(无)=M-2ax+5,

(1)判断当a=0和。学。时,f(沸的奇偶性,并说明理由

(2)若函数/(%)的定义域和值域均为>1),求实数a的值：

(3)若函数/(第)在区间(-8,2］上单调递减,且对任意的％］,%2W［l,a+1］，总有1/(%)-八%2)1<3成立，求

实数a的取值范围.

题型六N利用函数的性质解决有解问题

26.(23-24高一上.湖北荆州.期口)已知函数f(x)=ax2-(2a+3>+6(aGR).

(1)若/(无)+2>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当a=1时，函数/(%)之一(m+5)x+3-m在［0,2］有解，求实数m的取值范围.

27.(23-24高一上•江苏南京・期口)已知函数/(幻=粉.

1ax

⑴求八3);

(2)当a>。时，试运用函数单调性的定义判定/(%)的单调性；

(3)设g(x)=/(%-2),若g(x)N2在一2WxW5时有解，求a的取值范围.

28.(23-24高一上•安徽安庆•阶段练习)已知函数/(x)=x2+bx+c,不等式/(%)<0的解集是(0,4).

(1)求函数/(%)的解析式;

⑵若关于卞的不等式/(外+tx<2在[1,2]上有解，求实数£的取值范围.

29.(23-24高一上.江苏淮安・期末)已知函数/(%)==等是定义在R上的奇函数，且/(2)=%

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)判断并证明/'(幻在(-2,2)上的单调性;

(3)若存在实数xG[-1,2],使得不等式4[/(工)]2-/(乃+1<m有解，求实数m的取值范围.

30.(2024高一•全国•专题练习)已知函数y=/(x)的表达式/(x)=x+1+2(m为实数).

(1)函数y=/(x)在区间[2,+8)上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围;

(2)设m<0,若不等式/(幻<kx在xG[1,1]上有解，求k的取值范围.

题型七抽象函数性质的综合应用

31.(23-24高二下•福建福州•期中)已知函数/"(%)的定义域为(0,+8),对任意正实数小，皿都有/'(必”2)=

fG1)+f(必)+3且当。V/V1•时,/(X)>—1.

⑴求/⑴的值；

(2)试判断/(%)的单调性，并证明；

⑶若/'(6--5x)+1>0,求工的取值范围.

32.(23-24高一上.北京•期中)已知定义在R上的函数”均对任意实数％、y,恒有/'(%)+/(y)=/(x+y)，

且当％>0时，/(%)<0,/(I)=-1.

⑴求/(0)的值；

⑵求证：/"(%)为奇函数；

⑶求/(%)在［-3,6］上的最大值与最小值.

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