第四章 第18课时 抛体运动

第18课时抛体运动

【目标要求】1.掌握平抛运动的规律，学会父理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.会父理平抛运动中

的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解父理斜抛运动问题

考点一平抛运动基本规律的应用

1.定义:将物体以一定的初速度沿方向抛出，物体只在作用下的运动。

2.性质：平抛运动是加速度为g的曲线运动，运动轨迹是______o

3.研究方法：化曲为直

(1)水平方向：____________运动;

(2)竖直方向：____________运动。

4.规律

(1)基本规律

加图.以抛出点。为坐标原点,以初速度方向(水平方向)为r轴TF方向,竖直向下为y轴尸方向,建立

平面直角坐标系xQy。

位

移大小:S=&+)2

关方向:tana*=聂

系

速

度个水平方向：3%入合速度大小：1/=4『+%2

关

系竖直方向:4=gr方向3。=去=等

(2)平效运动物体的速度变化量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔2内的速度变

化量Au=g4是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。

八_x

(3)两个推论

①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角。和位移方向与水平方向的夹角

a的关系为：tan^=2tan

■判断正误「

1.平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。（）

2.做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。（）

3.相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。（）

WU（2024•浙江1月选考⑻如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高

的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿儿已知桶高为/?,直径为Q,

重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为（）

旬正II①。SD.(J2+1)。

2h

【例2】（2024•山东省一模）如图所示是运动员将网球在边界力处正上方8点正对球网水平向右击出，恰

好过网的上边沿C点落在。点的示意图，不计空气阻力，已知力B=",网高力2=1九，，4、。两点间

的水平距离为x,重力加速度为g,下列说法中正确的是（）

A.落点。距离网的水平距离为|x

B.网球的初速度大小为八J誓

C.若击球高度低于九，应减小击球速度，才能让球落在对方界内

D.若击球高度低于5?於,无论球的初速度多大，球都不可能落在对方界内

"总结提升求解平抛运动临界问题的一般思路

（1）确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。

（2）找出临界状态对应的临界条件。

(3)根据平抛运动的规律列方程求解。

考点二斜抛运动

L定义：将物体以初速度均___________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动C

2.性质：斜抛运动是加速度为g的曲线运动，运动轨迹是_______o

3.研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：直线运动；

(2)竖直方向：_______直线运动。

4.基本规律

以斜抛运动的抛出点为坐标原点。，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示

的平面直角坐标系xQy。

(1)初速度可以分解为Vav=v0cosH,v0v=v0sinf)

在水平方向，物体的位移和速度分别为

X—VQ,/—(V()COS0)t,Vt—Vox—VoCOS6

在竖直方向，物体的位移和速度分别为

22

y=v^t­7g^=(v0sino)t—Jgt

Vy=v（）v—g/=vosinO—gt

(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时

①射高：仁*穿詈

2v._2vsin^

②斜抛运动的飞行时间：t=Ol0

gg

2

2肃sinGeos6_v0sin2^

③射程：S=VoCOS〃/=

gg

对于给定的％，当6=45。时，射程达到最大值，Smax=

g

【例3】在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m的成绩成功卫冕。运动员

为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以不同夹角抛球的感觉。如图，在某次训练

中运动员将质量〃?=6kg的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小Po=lOm/s,方向与水平方向

夹角9=37。,铅球离开手时离水平地面的高度3=2.25m。重力加速度g取球m/s2,sin37。=0.6,cos

370=0.8,不计空气阻力。求：

(1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小也和竖直分速度大小W;

(2)铅球上升到最高点的时间，和离地面的最大高度〃；

(3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。

3总结提升

逆向思维法处理斜抛问题

对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成山抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根

据对称性求解某些问题“

[15041(多选)(2022・山东卷•“)如图所示.某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击

球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的尸点。网

球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度

g取lOm/s2,网球碰墙后的速度大小和着地点到墙壁的距底d分别为()

A.v=5m/sB.v=3J2m/s

C."=3.6mD.d=3.9tn

3总结提升

分析空间中的抛体运动的思路

(1)明瞒题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；

(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；

(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；

(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小;

(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。

考点三与斜面或圆弧面有关的抛体运动

【例5】(2024・山东青岛市开学考)如图所示，一小球从一半圆轨道左端力点正上方某处开始做平抛运动

(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于“点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为

R,。4与水平方向的夹角为60。，重力加速度为g,不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为()

A」卡

CIJ兔R

.、2

【例6】(来自教材改编)(2024•山东青岛市期中)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上

获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台4处沿水平方向以

大小为20m/s的速度飞出，落在斜坡上的8处，斜坡与水平方向的夹角夕为37。，不计空气阻力(sin37。

=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s2),求：

(1)运动员在空中飞行的时间；

(2)运动员落在B处时的速度大小；

(3)运动员在空中离坡面的最大距离。

拓展

1.43的距离/为多少?

2.若运动员从跳台力处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多

少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？

3.初送度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？

［变式］(2025•山东枣庄市联考)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，抛出点P和落点。的

连线与水平方向夹角为53。，两点的高度差为20m。重力加速度大小取10m/s2,忽略空气阻力。sin

53°=0.8,cos530=0.6o求：

(1)在点尸以水平方向的初速度抛出的重物，离，。连线的距离最远时的速度大小;

(2)在点尸以垂直于尸。连线方向的初速度抛出的重物，刚要落到。点的速度大小。

■总结提升

1.与斜面结合的抛体运动分解方法

(1)水平方向：匀速直线运动

竖直方向：匀变速直线运动O

(2)沿斜面方向：加速度为gsin。的匀变速直线运动。(。为斜面与水平方向的夹角)

垂直斜面方向：加速度为geos。的类竖直上抛运动。

(3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。

2.几种常见情形

已知条件情景示例解题策略

已知速度已知%vo

分解速度tan0=-=—

方向速度

方向从斜面外平抛，垂直落在斜面上，

垂直如图所示。

分解速度

vx_%cosa

从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，

tan0—「11G

vv-vosmaL^J0

如图所示。

从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰击E地进入圆弧形轨道，

如图所示。

分解速度

已知速度方向沿该点圆弧的切线2「向

tan0=—=—

°'Xz号叫v0

K1

从斜面上平抛又落到斜面.匕，如图所示。分解位移

1g?

已知tan0=y__J______(D

工

77-vnr2v0

位移

方向分解位移

从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。

沿斜tan0=

如

已知位移面向

2

-vosin«-/3yg/

方向下

J__________________

xv0cosa-t

在斜面外平抛，落在斜面上位移由”卜,如图所示。

分解位移

已知位移方向垂直斜面

X_yor_2v0

Vtan6=y1

"777T77T777777777777777777/777,

利用位移从圆心处水平抛出，落到半径为十2的圆弧上，如图所示。

1y=2gt2

关系已知位移大小等于半径R

^x2[Sy2=R2

pxP

从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为火的圆弧

上，如图所示。

x=R^RcosO

已知水平位移X与半径R的差的平方与竖直位移的平方x=vot

19

之和等于半径H的平方y=RsinO=—

理X-R⑦2区/=R2

答案精析

考点一

1.水平重力

2.匀变速抛物线

3.（1）匀速直线（2）自由落体

判断正误

1W2.X3.X

例1C［设出水口到桶口中心的水平距离为x,则x=%J—，水落到桶底4点时x+V=%

）g2

J三，解得「至今吗r,故c正次］

\g2V2/?

12121

例2D［网球做平抛运动，则小=2gtr,加-〃2=5gz2~，x+xcD=vot］»X=Vo6,解得尸2

277

—,tl=—!-，故A、B错误；任意降低击球高度（仍高于〃2）,会有

g9g

一临界情况.此时球刚好接触网又刚好压界，设击球临界高度为人二由平抛运动规律有"'=Ig/F,///-

!20

/?2=Tg/,2r=v7ir,x=VQ,t,,联立解得力1'=—儿,若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触

乙02乙/

网，D正确；若击球高度低于"（仍高于尼），则球从被击出到恰好接触网的时间减小，则由尸队可知击球

速度增加，故C错误。］

考点二

1.斜向上方重力

2.匀变速抛物线

3.（1）匀速（2）匀变速

例3(1)8m/s6m/s(2)0.6s

4.05m(3)12m

解析(1)初速度%的水平分速度大小Wnocos37。=8m/s

初速度w的竖直分速度大小

v*0v=v()sin37°—6m/s

(2)由逆向思维，铅球上升到最高点的过程的逆过程为平抛运动，由平抛运动竖直方向速度与时间的关系可

得铅球上升到最高点的时间/=—=0.6s,

g

2

设铅球从抛出点上升到最高点的距离为瓦，则根据竖直方向的运动有"=萼

2g

则铅球离地的最大高度〃=〃+"=4.05m。

(3)方法一设铅球从最高点到落地的时间为〃

有〃=5靖

解得r=o.9s

铅球飞行总时间/总=/+/'=1.5s

铅球的水平位移总=12m

方法二选向上为正方向，铅球从离开手到落地的竖直位移为一/?

*L,2

有一%="5总一'g，总

解得/总=1.5s

铅球的水平位移工=心/总=12mo

例4BD［设网球飞出时的速度为1，。，竖直方向

%竖直2=2g(H-h)

代入数据得

VO^A=J2x10xS8.45—1.25CT1m/s

=12m/s

则%水平=7132-122m/s=5m/s

网球击出点到P点水平方向的距离

^0/直,

x水平=丫。水平/=丫。水平.-----=6m

g

4

根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量心水平_L=%水平•T=4m/s

平行塔面的速度分量为*华〃="*平，—=3m/s

反弹后，垂直墙面的速度分量

v水.平_1_'=0.75・“)水平_L=3m/s

则反弹后的网球速度大小为

v=v^=7U水平_L213yo水平〃

=3J2m/s

网球落到地面的时间

着地点到墙壁的距离d=v水平_1,1'=3.9m

故B、D正确，A、C错误。］

例5A［小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点，可知小球运动到8点时速度方向与水平方向的夹

tan30°J］21=丁

角为30。，设位移方向与水平方向的夹角为仇贝八anO=-z—=~7~，由tan。=x3，可

2.02RD

v2r,%

得竖直方向的位移y=R,而V.,=2gy,tan300=」,

?

-4v0

联立解得%=J川;gR,选项A正确，B、C、D错误。］

例6(1)3s⑵1071Tm/s

(3)9m

解析(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为/,则有X=%，，y=Tgr,由题图可知tan夕=

Z

X

2yo

联立解得----tan8=3s

g

(2)运动员落在B处时有vx=v(),

Vy=g/

22

所以％=7vtMvr=10V13m/s

(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向3方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的

初速度为y/=vosin0=\2m/s

2

加速度为ay=­geos〃=-8m/s

0-v/2

当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有"=