初中数学九年级《位似图形》概念与作图教案

初中数学九年级《位似图形》概念与作图教案

一、课标要求与核心素养分析

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，图形与几何领域要求学生在探索图形性质、关系与变化的过程中，发展空间观念、几何直观、推理能力和模型观念。本节课“位似图形”隶属于“图形的相似”主题，是相似变换中的一种特殊而重要的情形。课标明确要求：“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；能在平面直角坐标系中，按给定的比例进行图形的位似变换。”

本节课旨在达成的核心素养包括：

1.几何直观与空间观念：通过观察、操作、想象位似图形的形成过程，建立图形、坐标、变换之间的直观联系，发展学生对图形结构与变换关系的空间想象能力。

2.推理能力：从一般相似图形中抽象、归纳出位似图形的本质特征（对应点连线交于一点），并基于定义进行逻辑推理，探究其性质。

3.模型观念与应用意识：认识位似是一种重要的几何变换模型，理解其在工程制图、地图绘制、影像处理、计算机视觉等现实世界中的广泛应用，体会数学的工具价值。

4.创新意识：在探索位似图形的多种画法中，鼓励学生多角度思考，运用不同工具（尺规、坐标格、软件）创造性地解决问题。

二、教材分析与整合

1.地位与作用：

本节内容位于人教版九年级下册第二十七章《相似》的第七节。在此之前，学生已系统学习了相似多边形的定义、判定与性质，以及相似三角形这一核心内容，并初步接触了利用平行线构造相似图形的基本方法。位似图形是相似图形知识的深化与拓展，它从“形状相同，大小成比例”的一般相似关系中，提炼出了“所有对应顶点连线共点”这一更精确的几何关系，为相似变换提供了“中心”与“缩放比例”的明确几何参量。这不仅是相似知识的综合应用，也为后续在平面直角坐标系中研究图形的位似变换（包括以原点为位似中心和以任意点为位似中心）奠定了坚实的理论基础和直观认知基础。位似是连接几何直观与代数表达（坐标变换）的关键桥梁。

2.跨学科视野整合：

1.物理（光学）：透镜成像（凸透镜、凹透镜）原理本质上是典型的位似变换，物距、像距与焦距的关系（透镜成像公式）与位似比存在内在联系。可引导学生思考：为什么通过放大镜看到的像是放大的？相机镜头成像时，物与像的位置关系如何？

2.地理与测绘学：地图（尤其是局部大比例尺地图与全局小比例尺地图之间的关系）、卫星影像、电子地图的缩放（如GoogleMaps的缩放滑块）均基于位似变换原理。不同比例尺地图间的地理要素是位似关系。

3.计算机科学/数字媒体：计算机图形学中的图像缩放（双线性插值、双三次插值等算法）、纹理映射、3D建模中的UV贴图、以及虚拟现实（VR）和增强现实（AR）中的透视投影，其底层数学原理之一便是位似与仿射变换。Photoshop中的“自由变换”工具，其“缩放”模式在保持中心不变时，即为位似操作。

4.工程制图与机械设计：蓝图、零件图、装配图之间通常按照严格的比例（位似比）进行绘制，以确保设计意图的准确传达和零件的可制造性。

三、学情分析

认知基础：

1.知识储备：学生已熟练掌握相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例）和基本性质。熟悉利用平行线分线段成比例定理构造相似三角形。对图形的平移、轴对称、旋转（中心对称）等全等变换有清晰认识。具备在平面直角坐标系中描述点位置和进行简单图形变换（如平移）的能力。

2.技能层面：具备一定的尺规作图能力（作平行线、截取等长线段、连线等），能够使用量角器、刻度尺进行测量与比较。部分学生可能接触过几何画板、GeoGebra等动态几何软件。

3.思维特点：九年级学生抽象逻辑思维逐步占据主导，能够从具体实例中归纳共性，形成概念。但将静态的图形性质与动态的变换过程相联系，尤其是理解“变换中心”的几何意义和核心作用，仍可能存在思维障碍。对于“位似”与“相似”的包含关系（位似是特殊的相似），需要清晰的辨析。

可能存在的困难与障碍：

1.概念理解：容易将“对应点连线交于一点”与“所有对应顶点连线共点且该点是图形内部或外部某固定点”混淆。不理解为什么位似中心可以在图形内部、外部或边上。

2.作图操作：在给定位似中心和相似比的情况下，如何有序、准确地找到每个顶点的对应点，特别是当位似中心不在图形常规位置时。对“内位似”与“外位似”两种不同相对位置关系的作图容易产生混淆。

3.性质应用：如何将位似的定义和性质灵活应用于解决复杂图形的位似判定和作图问题中。

四、教学目标

1.知识与技能：

1.理解位似图形的概念，能准确阐述其两个核心要素：相似且所有对应顶点所在直线相交于一点（位似中心）。

2.掌握位似图形的性质：位似比等于相似比；对应线段平行（或共线）；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.能熟练运用尺规作图法，根据给定的位似中心和相似比（放大或缩小），作出一个多边形的位似图形。

4.初步了解在平面直角坐标系中，以原点为位似中心进行图形放缩的方法。

2.过程与方法：

1.经历从生活实例和已有知识中抽象、概括位似图形概念的过程，体会从一般到特殊的数学思想方法。

2.通过动手作图、观察猜想、推理论证、软件验证等多种探究活动，深入理解位似图形的本质特征和基本性质。

3.在探索位似图形的不同画法中，发展多策略解决问题的能力，提升几何作图技能和空间想象能力。

3.情感、态度与价值观：

1.感受位似图形在现实世界和科学技术中的广泛应用，体会数学的实用价值与美感，激发学习兴趣。

2.在合作探究与交流分享中，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

3.通过克服作图难点，获得成功的体验，增强学好数学的自信心。

五、教学重点与难点

1.教学重点：位似图形的概念及其基本性质。

2.教学难点：位似图形概念的理解（特别是位似中心的作用）；根据位似中心和相似比进行复杂图形的位似作图。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的位似实例图片、动画演示）、几何画板/GeoGebra动态演示文件、三角板、圆规、实物投影仪。

2.学生准备：三角板、直尺、圆规、量角器、练习本、坐标方格纸。

3.环境准备：具备多媒体演示条件的教室，学生4-6人小组就坐。

七、教学过程设计与实施（核心环节）

第一阶段：创设情境，问题导学——感知“位似”（约10分钟）

教师活动1：现象观察，激活经验

1.课件展示一组图片：

1.2.电影放映机将胶片上的画面投射到银幕上。

2.3.透过放大镜观察课本上的文字或图案。

3.4.同一建筑物的设计效果图（小图）与竣工实景照片（大图）的对比。

4.5.地图上某个区域与其局部放大详图。

6.提问引导：“请同学们仔细观察这四组图片，每组中的两个图形之间有什么共同的关系？”（预设：形状相同，大小不同——相似。）

7.追问深化：“它们是一般的相似关系吗？有没有更特别的几何特征？请大家特别关注连接两个图形上‘对应点’（比如建筑物的同一个墙角、地图上的同一个路口）的直线，它们呈现出什么规律？”（配合动画，用动态虚线连接几组明显的对应点）。

8.学生通过观察和小组讨论，初步感知：这些对应点所在的直线似乎相交于同一个点（放映机的光源、放大镜的中心、地图缩放的中心等）。

设计意图：从学生熟悉的生活与科技现象入手，搭建从“相似”到“位似”的认知阶梯。通过精心设问，引导学生超越“形状大小”的浅层观察，聚焦于“对应点连线”的几何特征，为概念生成埋下伏笔。

教师活动2：模型抽象，初建概念

1.在几何画板中，动态演示：一个三角形ABC，平面内任取一点O。连接OA、OB、OC，并分别在射线OA、OB、OC上（或反向延长线上）取点A’、B’、C’，使得OA’/OA=OB’/OB=OC’/OC=k（k可动态调节）。动态展示△A’B’C’随着点O位置和k值变化而同步变化的过程。

2.提问：“△ABC与△A’B’C’相似吗？为什么？（引导学生用定义或平行线判定）连接AA’，BB’，CC’，它们有怎样的位置关系？”

3.学生得出结论：两个三角形相似，且三组对应顶点的连线交于同一点O。

4.教师揭示课题：“这种特殊的相似关系，就是我们今天要研究的‘位似’。这个公共交点O，称为‘位似中心’。比值k称为‘位似比’。当k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。”

设计意图：利用动态几何软件，将生活现象抽象为精确的数学模型，使位似的核心特征——对应点连线共点——清晰、直观、可操纵地呈现出来，帮助学生完成从感性认识到理性认识的第一次飞跃。

第二阶段：探究建构，形成概念——理解“位似”（约15分钟）

学生活动1：归纳定义，辨析内涵

1.基于以上观察与演示，各小组尝试用自己的语言概括位似图形的定义。

2.小组代表发言，教师引导其他学生补充、修正。

3.师生共同提炼出严谨的数学定义：如果两个相似多边形，每一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且对应边平行或共线，那么这两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心。

4.辨析与深化：

1.5.问题1：“位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？”（明确：位似是特殊的相似，是包含关系。）

2.6.问题2：“位似中心一定在图形之间吗？”（利用几何画板演示位似中心在图形内部、边上、外部的情形。）

3.7.问题3：“定义中为什么强调‘对应边平行或共线’？它是独立条件吗？”（引导学生推导：由对应点连线共点且满足比例关系，可以推出对应边平行。这是性质，可作为判定条件的补充。强调定义的简洁性。）

4.8.问题4：“如何判断两个已知图形是否位似？（步骤：先证相似，再找可能位似中心，验证所有对应点连线是否过该点。）”

设计意图：让学生经历概念的形成过程，通过自主归纳、集体辨析，深刻理解位似定义的关键字眼和本质。问题链的设计旨在厘清概念的外延与内涵，扫清理解误区。

教师活动2：探究性质，构建体系

1.承接之前的动态模型，引导学生探究位似图形的性质。

2.性质1（核心）：位似比等于相似比。k=OA'/OA=A'B'/AB=...

3.性质2：位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。（推广）

4.性质3：位似图形的对应线段平行（或在同一直线上）。

5.性质4：位似图形对应角相等。

6.组织学生分组证明性质1和性质3（利用相似三角形和比例线段）。

7.思考：“已知位似中心和位似比，如何作出一个点的对应点？”（在射线或反向延长线上截取）。

设计意图：将性质的教学从“告知”转变为“探究”和“证明”，让学生在逻辑推理中深化对概念的理解，构建完整的知识体系。性质是作图的根本依据。

第三阶段：实践应用，掌握画法——创作“位似”（约15分钟）

这是本节课技能培养的核心环节，采用分层递进、多法并用的策略。

任务一：基础作图——尺规法（核心方法）

1.例题：已知四边形ABCD和位似中心O，位似比k=2，求作四边形ABCD的位似图形。

2.教师示范讲解作图步骤与原理：

1.3.连接：分别连接位似中心O与四边形的各顶点A、B、C、D。

2.4.定比：确定是放大(k>1)还是缩小(0<k<1)。本例k=2>1，为放大。

3.5.取点：分别在射线OA、OB、OC、OD上（外位似）截取OA’=2OA，OB’=2OB，OC’=2OC，OD’=2OD。强调“在射线上”保证了方向一致，是放大的关键。提出若k=1/2，则截取OA’=(1/2)OA。

4.6.连线：顺次连接点A’、B’、C’、D’，所得四边形A’B’C’D’即为所求。

5.7.验证：用刻度尺测量对应边之比，用量角器测量对应角，验证其相似性；连接AA‘，BB’等，验证其交于O点。

8.变式探究：“如果要求作的是‘内位似’图形（即位似图形在原图形的‘内部’，对应点位于反向延长线上），作图步骤有何不同？”（学生尝试，教师总结：连接O与各顶点并反向延长射线，再按比例截取。）

9.学生模仿练习：教材例题或类似习题，独立完成尺规作图。教师巡视指导，纠正错误（如方向错误、比例截取不准确）。

任务二：坐标作图——网格法（过渡方法）

1.给出一个画在坐标方格纸上的简单多边形（如三角形），并指定原点O为位似中心，k=2。

2.引导学生思考：如何利用方格纸的便利性作图？（每个顶点的横纵坐标同时乘以k）。

3.学生动手完成。此法直观展示了位似与坐标乘法的关系，为下节课“坐标系中的位似”做铺垫。

任务三：技术作图——软件法（拓展方法）

1.教师用几何画板现场演示：如何利用“变换”功能中的“缩放”，快速、精确地生成位似图形。展示动态改变位似中心或位似比时，图形的即时变化。

2.鼓励学有余力或感兴趣的学生课后尝试。

设计意图：通过“尺规法”掌握原理和规范操作，这是基本要求；通过“网格法”建立与代数的联系，降低思维坡度；通过“软件法”展示现代技术的力量，开阔视野。三种方法相辅相成，满足不同层次学生的学习需求，培养多元技能。

第四阶段：变式演练，深化理解——活用“位似”（约10分钟）

分层练习设计：

A组（巩固双基）：

1.判断：两个全等图形一定是位似图形吗？（辨析位似与全等）

2.填空：位似图形上某一对应边长为15cm，位似比为3:2，则原图形对应边长为____。

3.作图：已知△ABC和点O，以O为位似中心，相似比为1:2，画出△ABC的缩小后的位似图形。

B组（理解应用）：

1.如图，指出下列每组图形中的位似中心，并说明是放大还是缩小，估算位似比。

2.已知四边形ABCD，试在四边形内部找一个点O作为位似中心，作出一个缩小为原来一半的位似图形。（挑战内位似中心的选择与作图）

3.思考：若两个图形是位似图形，它们之间可能存在几个位似中心？（提示：考虑同侧和异侧）

C组（拓展迁移）：

1.（联系物理）一个高为1cm的物体，垂直于凸透镜的主光轴放置，透镜焦距为10cm。当物距为15cm时，像距为30cm。请用位似的知识分析此时像的高度，并作图表示物、透镜、像之间的位置关系。

2.探究：如何在仅有直尺（无刻度）的情况下，利用位似的原理，将一条线段分成指定比例的两部分？（介绍位似法分线段）

设计意图：分层练习满足个性化学习需求。A组确保全体掌握基础概念和画法；B组深化对概念和作图多样性的理解；C组实现跨学科联系和思维拓展，体现数学的深度与广度。小组内可以协作讨论B、C组问题。

第五阶段：课堂小结，梳理升华——内化“位似”（约5分钟）

1.知识结构图构建（师生共同完成板书梳理）：

图形变换

|

相似变换

/\

一般相似图形**位似图形**

(形状同，大小比)(特殊相似：对应点连线共点于位似中心)

|

性质：位似比=相似比；对应边平行；...

画法：尺规法(连接-定比-取点-连线)、坐标法、软件法

应用：成像、制图、缩放、...

2.反思与提问：

1.3.“通过本节课，你最大的收获是什么？还有哪些疑惑？”

2.4.“位似变换与我们学过的平移、轴对称、旋转变换有什么根本区别？”（引导认识：前三种是保距变换（全等），位似是保形变换（相似））。

5.教师总结：位似，不仅仅是一个数学概念，它是一种观察世界的视角，一种改造图形的工具。从古老的放样施工到现代的数字影像，它的身影无处不在。希望同学们能用数学的眼光，发现生活中更多“位似”的奥秘。

八、板书设计（结构化呈现）

§27.3.1位似图形的概念及画法

一、定义

1.两个相似图形。

2.所有对应顶点所在直线交于一点（位似中心O）。

二、性质

1.位似比（k）=相似比。

1.k>1：放大；0<k<1：缩小。

1.对应点到位似中心距离比=k。

2.对应边平行（或共线）。

3.对应角相等。

三、作图方法（尺规）

步骤：连（O与顶点）→定（方向与k值）→取（等比分