《量子力学基础教程》课件全套 第1-7章 物质波-纠缠度量与判别

引言：从具体事例看量子世界的特征物质由分子组成要害在于：在微观世界，经典物理学规律不符合实验事实。或者说，微观世界不再遵循经典物理学规律。基本出发点，基本概念，基本规律都不同。量子世界特征分子由原子组成原子子由...初三12班（创新班）小明得出初步结论：科学就是用小的解释大的，再用更小的解释小的再用更更小的解释小的如此继续下去……是不是太简单了点？科学是什么？量子世界特征物质是波，概率波粒子没有经典世界的运动轨迹位置和动量不能同时确定测量（观测）会扰动被测体系的状态光有最小能量单位，光子一尺之棰，日取其半，万世不竭《庄子》光量子与量子密码一尺长的木棍，每日截取一半，永远取不完真的如此吗？？光子：光的最小能量单位，在探测或吸收时只能整体出现，半个光子的事件永远不存在光量子光电效应，康普顿散射实验…在量子世界里，观测是物理的一部分。观测会给被观测对象带来扰动。这是原理结论而非由于技术手段的不完美。单光子偏振状态的检测具此，可以设计出量子密码协议，例如BB84,(BennettandBrassard,1984)偏振光EEyExyx光传播方向在量子世界里，观测是物理的一部分。观测会给被观测对象带来扰动。这是原理结论而非由于技术手段的不完美。单光子偏振状态的检测光的偏振方位偏振片自身的透振方位偏振片马吕斯定律量子推广？

偏振片马吕斯定律量子推广：单光子入射时，光强改为概率。对于无穷多个光子，经典马吕斯定律依然成立，是渐近结果。

问：有限个光子入射的情况，能用经典马吕斯定律得到严格正确的观测结果？偏振片任何透过偏振片的光，其偏振方位一定就是偏振片透振方位。问：45度偏振光射向竖直偏振片，透过了偏振片的光的偏振方位？是45度还是90度？问：怎样改变偏振片的透振方向？12问题1：两个偏振状态完全相同的光子，经同一测量装置，测量结果是否一定相同？问题2：两个偏振状态不同相同的光子，经同一测量装置，测量结果是否一定不同？偏振片问题3：有没有哪种光可以接连通过两个透振方向垂直的偏振片？问题4：有没有哪种光可以接连通过三个偏振片，即上述两个透振方向垂直的偏振片中再插入一个偏振片？问题5：某偏振片的透振方位90度。怎样把它的变成透振方位变成60度？偏振片问题1：有没有哪种光可以接连通过两个透振方向垂直的偏振片？HVHV45度偏振片16量子世界中，测量会改变被测系统（例如光子）状态！量子世界中，我们会问，发现45度偏振是水平的概率有多大；但是经典世界中我们不会问发现姚明是赵本山的概率有多大！问：单光子的状态是空间的一个点吗？答：不是。光是波列，有空间波函数，单光子也不例外。但是若你测量该单光子的位置，你会在某个点(空间极小区域)发现它。即测量前是一个波列，而测量后位于某一点。你在测量后看到的状态一般并非测量前的状态，测量前是一个波列有一个数学表达式，称之为波函数；而测量过程是波(波包)的塌缩过程：对位置的测量迫使位置状态为某个点，对偏振的测量迫使其偏振状态变为检偏器件的透振态或非透振态。17量子力学118量子力学第1章：物质波序言：原子的核式结构与Bohr理论1.1量子物理的基本出发点：物质波1.2波函数1.3薛定谔方程1.4算符与测量公设1.5线性叠加原理1.6不确定关系19序言：原子的核式结构与Bohr理论20序言：原子的核式结构与Bohr理论对汤姆孙模型的否定该模型认为正电荷均匀分布于这个原子球内，而电子则嵌在其中。盖革实验：用粒子轰击重元素原子，粒子有八千分之一弹回。按汤姆孙模型计算，弹回的概率只有卢瑟福核式结构模型：原子的正电荷及绝大部分质量集中在很小的核心。电子在原子核的库仑力吸引下绕原子核运动，而电子轨道半径即原子半径。21原子的核式结构与Bohr理论卢瑟福核式结构模型可以解释粒子散射实验，但是不能解释电磁辐射问题。依经典电动力学，电子因为在做加速运动，要不断向外辐射电磁波，因而绕核运动半径逐渐减小，造成原子在秒内崩溃。而由于运转频率不断加快，发射的电磁波频率渐增，电磁波谱必然是连续的。实验事实：原子不崩溃；氢原子光谱为分立谱线，可概括为：；（里德伯常数）22原子的核式结构与Bohr理论玻尔理论（旧量子论）：1）承认核式结构，但电子只能处于稳定轨道上（稳态），这些轨道只能有特定能量值，能量稳定，不辐射电磁波。即经典电动力学失效；2）在外界作用下，电子可从一个稳定轨道跳到另一个能量较低的稳定轨道，并发光，其频率为：3）稳定轨道需符合量子化条件。玻尔理论不能解释氢原子以外的其他原子光谱，即便对氢原子，也只能解释频率，但不能解释强度。h为Planck常量23原子的核式结构与Bohr理论量子力学的出发点是认为所有实物粒子都具波的属性因而没有经典轨道，将严格回答电子的稳态成因及所有光谱问题以及其它微观粒子运动规律。241.1量子力学的基本出发点：物质波25所有物质都具有波动性，称为德布罗意波。电子在晶体上散射时的电子束强度分布图与X光在晶体上的衍射强度分布图十分相似。1.1量子力学的出发点：物质波

26问：单个电子的状态是空间的一个点吗？答：不是。若这样理解，将导致许多与实验不符合的结论，即谬误而非真理。符合所有实验的科学真理是：电子和一切实物粒子都是波，物质波。因此其基本实验现象是干涉。注意，与光子类似：你能观测到电子位于空间某点，但这并不是实施测量之前的电子的状态。即，测量本身会改变被测系统的状态。27波包的波函数

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两个相距L的镜面间的光子的波长与能量限制.对能级分立现象的解释

deBrogliewavelengthdeBroglierelation

Planck’sconstant两个相距L的坚壁间的实物粒子的波长与能量限制.书本p.229DavissonG.P.ThomsonDavisson,C.J.,"AreElectronsWaves?,"FranklinInstituteJournal205,597(1928)TheDavisson-Germerexperiment:scatteringabeamofelectronsfromaNicrystal.Davissongotthe1937Nobelprize.Atfixedangle,findsharppeaksinintensityasafunctionofelectronenergyG.P.Thomsonperformedsimilarinterferenceexperimentswiththin-filmsamplesθiθiELECTRONDIFFRACTION

TheDavisson-Germerexperiment(1927)30Interpretation:similartoBraggscatteringofX-raysfromcrystalsaθiθrPathdifference:ConstructiveinterferencewhenNotedifferencefromusual“Bragg’sLaw”geometry:theidenticalscatteringplanesareorientedperpendiculartothesurfaceNoteθi

and

θr

notnecessarilyequalElectronscatteringdominatedbysurfacelayersELECTRONDIFFRACTION(cont)31

DθdDetectingscreenIncomingcoherentbeamofparticles(orlight)yAlternativemethodofdetection:scanadetectoracrosstheplaneandrecordnumberofarrivalsateachpoint讨论：物质波干涉实验的技术要求Forparticlesweexpecttwopeaks,forwavesaninterferencepattern32EstimatesomedeBrogliewavelengthsWavelengthofelectronwith50eVkineticenergyWavelengthofNitrogenmoleculeatroomtemperatureWavelengthofRubidium(87)atomat50nK低温与量子效应坚壁间粒子的能级分立的条件：微观粒子条件观测到物质波的干涉条件：温度条件。波长太大或太小都很难观测到干涉效应。为什么？太大其实是平线，基本没有起伏；太小则过于急剧振荡无法分辨出起伏。(回顾杨氏双缝实验，条纹间隔与波长成正比。)讨论：量子与经典的界限原子冷却冷却的目的：让波长变大，便于观测到量子效应(物质波干涉效应)何谓冷却？就是让原子尽量别动。降低其运动速度有多种冷却方法选择比原子共振频率略小的光波。由于Doppler效应，对于迎向光波运动的原子，光波频率升高，形成共振吸收光子，能级升高。由于动量守恒，运动速度减小。原子冷却当原子自发辐射而从高能级的状态跃迁到低能级状态时，发射的光子空间传播方向随机。讨论：量子出发点既然是物质波，那实物粒子就无法像经典力学那样运动轨迹。稍后的不确定关系说，我们从原理上就无法同时准确知道粒子的位置与动量，也就无法以位置和速度作为粒子状态这种基本观念。你想同时了解位置和速度，就相当于想要一个“正方形的圆”那般不自洽。量子世界里，我们的一切出发点将是系统的波函数，即量子状态。注：德布罗意波表达式只是波函数的一种特殊情况即粒子动量为确定值的情况，也即平面波情况。实际存在的波函数不是这个。讨论声波比较流行的观点：“从原理上就无法同时准确知道粒子的位置与动量”等价于说：“粒子在客观上就不能同时拥有位置和动量的确定值”。个人观点：“原理上观测不到”=“不存在”。为什么不用位置和速度作为粒子状态？实际存在的物质波波函数并非简单地是动量有确定值的波函数，从波函数到物理系统的可观测结果有一套专门的计算规则。还波函数随时间演化的基本规律。书本p3.量子力学要处理两类基本问题：******书本p3黑体字状态或波函数如何与可观测结果相联系？2.状态或波函数如何随时间演化？上述第1条，用玻恩规则搞，更完整地说，用算符和测量公设搞；上述第2条，用薛定谔方程搞。这就是量子力学的核心内容。主要学习目标381.2波函数公设39波函数代表物理系统（电子，原子，分子，各种多粒子系统等）所处的状态，代表物理系统的所有信息。结合书本第3页黑体字。量子力学公设：更具体地说：微观粒子系统的状态可以用波函数ψ(x)表示，它代表了该系统的全部信息；或者说，只要有了波函数ψ(x)，则系统的所有可观测结果的信息都可以基于波数ψ(x)而计算得到，例如在空间某个位置发现粒子的概率密度、某个物理量的期望值等。具体怎么算，正是我们的一个学习重点。现在我们从玻恩的统计诠释开始。注：狄拉克符号态矢量也代表状态，波函数与态矢量的联系在后面介绍。40波包的波函数

玻恩统计解释

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玻恩诠释让我们通过波函数了解到系统的部分物理信息，不是全部物理信息。我们还要学习更多的原理，能通过波函数了解到物理系统更多的信息。归一化条件

42在全空间发现粒子的概率为1。我们有波函数归一化条件：结合书本第4页例题1.1和第5页例题1.243问答1问：波函数本身究竟直接表示哪个物理量？答：就把它视为数学工具吧。回顾经典力学中有Lagrangian量，是一个重要的数学工具，可利用它计算那些有明确物理意义的东西，而我们并不在乎Lagrangian量本身的物理意义。注：如何知道系统的波函数？有办法。不过目前先集中精力学习：给你波函数，究竟怎样获得系统的物理信息？就把波函数视为题设条件。想象，学习圆周运动，先集中精力学它本身和应用，暂时不去急忙研究“月球的初速度是这么来的”之类的问题。算符公设：测量平均值

44任何动力学量（可观测量）都对应于一个算符。设物理量a对应于算符A。若某物理系统波函数为对该系统观测a值，平均值为：注：“动力学量”是指位置，动量，能量，角动量等物理量，在本课程我们将简称为“物理量”。时间是一个参量，没有算符。平均值的物理定义见书本第5页平均值计算

45设位置算符为X。一方面，依据波函数的概率诠释，位置平均值为：另一方面，依据上述算符公设，由此可假定：若以位置空间波函数来表示系统状态，则位置算符

46以后我们还将说明，若以位置空间波函数来表示系统状态，则动量算符为：动量平均值为：对三维情况，采用：动量算符注：这里所有“算符”的数学形式，都是作用在位置波函数上的，又称算符的位置表象。还有别的表象。算符数学表示还可以不依赖于具体表象。47

算符函数问答2问(例题1.5)：玻恩诠释说波函数的模平方为概率密度函数。就用概率密度函数表示系统状态行不行？不行，因为概率密度函数只是部分物理信息，不是全部。有别的物理信息无法通过概率密度函数计算，例如动量平均值。看如书上1.16式的动量平均值计算。问：波函数包含物理系统信息，具体有哪些？目前已经学过的有概率密度、物理量平均值，将来还有更一般的：测得某个结果的概率(我们逐步来学)。问：不用什么“波函数”，就用位置和速度代表状态行不行？不行。1，这样的话会得到不符合实验事实计算结果；2，量子力学以物质波为基本出发点，粒子是波而不是质点，没有运动轨迹，你没法用位置和速度表示波的状态；3，后面要学的不确定关系已经明示，任何粒子，任何物理系统，在客观上就不能同时具有确定的位置与确定的动量。换句话说，用波函数代表状态是科学发展历史进程中在试图就用位置和速度代表状态或其他基于经典物理学的理论尝试而被碰得“头破血流”之后而“被迫”找到的真理。问答2问：初学者学习，要把主要精力用于哲学思考吗？不要，你需要做的就是认真练习量子力学的计算规则。学习方法比照学习一种技术，比如游泳，你要做的就是按教练说的技术要领多练而已，至于那个要领是否符合你的直觉，那都是废话应直接无视。正所谓Shutupandcalculate.书的前言中说过，某种意义上讲，“科学就是计算规则”。问答2

问答2再回顾一下：波函数代表物理状态，那我们要学习的主要任务有那些？书上第2页黑体字：1，给你波函数，计算特定物理量的观测结果（概率）信息；2，给你此时的波函数，计算下一时刻波函数；3，(综合)给你此时的波函数，计算下个时刻的特定观测的观测结果（概率）信息。对于任务1，即玻恩规则我们已经知道一部分，还要进一步学习算符与测量公设；对于任务2，我们得学薛定谔方程，下面我们就来学！1.2主要学习目标1.3薛定谔方程53

薛定谔方程：波函数演化方程

54一维问题：H为能量算符，即哈密顿量薛定谔方程决定了波函数（状态）如何随时间演化。量子力学又叫波动力学。公设：此方程是一个基本公设，不能推导！

55薛定谔方程与定态方程若V不含时，定态薛定谔方程薛定谔方程

定态波函数波动力学！

56定态薛定谔方程一般情况下，满足定态方程的波函数不止一个。时间演化：

57三步法对于不含时哈密顿量，用下列三步法计算时间演化

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初级应用与算例基本问题：量子：给定哈密顿量与初始态，经过时间t后变成了什么态？这是一个标准的时间演化问题。可利用量子态演化方程解决。在解决这个基本问题的基础上，我们能就能够回答诸如力学量平均值随时间变化，在某一时刻发现某个结果的概率。经典：给定哈密顿量与初始位置，动量，问将来的位置，动量59数学技巧说明这个方法的要点在于，对于哈密顿量的本征波函数，其时间演化是trivial的！

(1)式在物理上是trivial的，却是数学上的关键：若系统初始态不是哈密顿量某个本征态而是数个本征态的线性叠加，用三步法计算时间演化，数学式（1）式不可缺少。

（1）

60量子态演化我们现在局限于不含时哈密顿量

注：我们不担心解的唯一性问题，即不担心将时间t分离变量后解得的哈密顿量本征态有遗漏解的问题。（分离变量后可以解，但是否能得到全部解的问题不必担心。）因为哈密顿量算符以及所有其他物理量对应的算符是完备的。这就是说，系统的任何初始态都一定能分解成哈密顿量本征态的线性叠加，即都一定可以用三步法计算时间演化。61量子态演化光偏振的数学构架就是量子物理，是没有哈密顿量的量子物理：有演化、测量、线性叠加在最一般情况下，哈密顿量含时，此时时间演化算子具体形式难以写出，但是时间演化依然是确定性过程，时间演化算子也必须是幺正的。62无限深方势阱0L定态薛定谔方程6364restrictionsonk

65本征函数能量本征值（能级）依据算符公设，若观测势阱中粒子的能量，单次观测结果只能是中的一个。即，阱中粒子能级是分立的！阱中粒子最小能量不是0。66

67例：箱中粒子初始时刻（t=0）的波函数为，问经过时间t后粒子状态？

时间演化与三步法

68例：箱中粒子初始时刻（t=0）的波函数为，问经过时间t后粒子状态？时间t后，要恢复到初始态

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教材1.3.2节、作业和下面补充内容提供了更多的“三步法”时间演化练习70+自由粒子71+自由粒子：定态方程与三步法

72+自由粒子波包扩散

对于高斯型函数，上式严格可积。并可以证明自由粒子波包扩散（即波包宽度不断不断变大）。

731.4算符与测量公设74原括弧符号

75课件中关于测量的讨论涉及的状态，无论是波函数表述还是态矢量表述都可以。这里补充态矢量与算符内容+态矢量与算符

76算符与平均值公设注：我们今后会把“可观测量”简单说成物理量即位置，动量，能量，角动量等物理量等，时间是参数，没有算符。

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结合律：不同算符一般不对易注：为区别于数，算符的记号经常用大写字母，加粗字母或者带有尖顶帽子字母等。

此外还规定运算规则：分配律：线性算符

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厄密算符由于历史原因，量子力学上说的“厄密算符”其实是指自伴算符。定义：

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波函数与波函数是否表示同一个态？用玻恩的波函数诠释，将代表同一个态的理由说是“因为它们的概率密度函数相等”行不行？所有线性算符的平均值信息能包含单次测量概率信息

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算符与测量公设注：“完备”是指算符本征态组是完备的，物理量对应的算符必然是完备的，自伴算符自身必然是线性的。参见课本第18页、23页1.4.3节、第43页带黑体字的“笔记”81易证，若算符A有伴随算符，那就一定是线性的。而自伴算符当然有伴随算符为什么自伴算符一定是线性的？讲解证明过程82算符完备是指算符本征态完备，即任何（合法的）波函数都能写成物理量算符A的本征函数的线性叠加为什么物理量对应的算符一定是完备的讲解理由为什么不担心薛定谔方程分离变量求解的唯一性？83具体计算规则(玻恩规则)落实到计算上，就这样做：

注：上述(2)中分号后内容，见23页或43页带黑体字的详细笔记。测量结果{i}可以就是算符本征值，也可以是哪个探测器响应、哪个指示灯闪亮等。84

具体计算规则85例题14引申补充题，确定测量结果的态用正交归一性计算平均值问答86关于测量结果的问题：物理系统状态给定，测量其某个物理量，（1）测量结果的期待值（平均值）是多少？单次测量结果一般并非确定值。（2）单次测量，哪些值是可能的？获得某个个可能值的概率是多大？check87讨论：物理系统状态给定，测量其某个物理量，（1）测量结果的期待值（平均值）是多少？这是单次测量结果吗？（2）单次测量，测量结果有那些可能值？任何一个实数值都有可能吗？获得某个可能值的概率是多大？（3）给定粒子的哈密顿量和波函数，测量能量有哪些可能值？获得每个值的概率？给定波函数，测得某个动量值的概率密度？自己学：第18页问题1.8等check88例题1.11展开系数(利用正交归一性，或直接用圆括弧内积符号左乘)例题1.12测量结果一般不确定，状态是确定的例题1.13对系统测量结果计算概率的条件例题1.14可能的测量结果例题1.15和例题1.16特定条件下确定性测量结果由算符与测量公设我们可以推证：若系统处于算符A的一个本征态，那么其测量结果a值是确定值。因为，若测量a,就有100%的概率获得该本征态的本征值。21页第一个笔记第21页问题1.17两个波函数是否表示同一物理状态鲁迅和周树人这两个名字虽然不同，但是他们代表同一个人。两个数学上不相等的波函数有可能代表相同的物理状态，如果它们没有任何可观测差异的话。如何判断？玻恩规则！（算符与测量公设，见下页）讨论90讨论

91讨论：定态时间演化因子改变物理状态吗？

92讨论：时间函数是常数？

讨论93讨论：哈密顿量不含时，时间演化问题可以用三步法解决。其中分离变量法解得本征态。为什么不担心唯一性问题？（那里显示了分离变量后的解，并未显示分离变量解包含了所有可能的解）讨论94讨论：哈密顿量不含时，时间演化问题可以用三步法解决。其中分离变量法解得本征态。为什么不担心唯一性证明？（那里显示了分离变量后的解，并未显示分离变量解包含了所有可能的解）我们的目的是算时间演化，只关心对于任何一个物理上允许的初始态，能否肯定都能用三步法搞定？答：能。一般的，任何物理量(可观测量)算符的本征态都是完备的。无论什么初始态，只要是物理上可能的态，一定能写成能量本征态线性叠加形式。物理量算符完备性其实有显然的理由：既然是可观测量，那么如果测量该量必然会有一个观测结果。注：{物理量算符}范围小于{厄米算符}，我们其实不必在此讨论纯数学问题“任何厄密算符的完备性”，尽管该问题数学上可以证明。

思考题怎样制备一个波函数？必需要像摆弄一挂珍珠项链一样逐点控制吗？讨论971.5线性叠加原理

98一般地，若和是体系可能的状态，那么它们的任何线性叠加在归一化后，也是这个体系一个可能的态。此为线性叠加原理，或者态叠加原理。注：这个原理对态矢量或波函数表示都成立。1.5线性叠加原理

99线性叠加原理对于一维无限深势阱，什么样的态（波函数）是可该体系可能的态（波函数）？任何能量本征态，都是可能的态，因为它们对应于观测结果它们的任何线性叠加也都是可能的态。重新检视玻尔假设100线性叠加原理玻尔理论（旧量子论）：1）承认核式结构，但电子只能处于稳定轨道上（稳态），这些轨道只能有特定能量值，能量稳定，不辐射电磁波。即经典电动力学失效；不对：可以处于线性叠加态上。但是观察能量的话的确只能看到稳态，但这并不表示原子在被观察之前也只处于单一稳态上，可以是多个稳态的线性叠加。旧量子论未能搞清楚这一点。而这会导致可观测结果差异。

101时间t后，再看时间演化：能量本征态线性叠加显然，对于上述不同能量本征值态的线性叠加态，如果观察能量，获得某个观察结果的概率不随时间变化，时间演化对这个能量的观察结果是平庸的。但是粒子的空间概率密度会随时间变化，是非平庸的，旧量子论给不出这样的结果。例题1.22.推荐阅读：如何知道量子系统的波函数？()从其中公式（2）读起

102线性叠加原理的任何线性叠加也都是可能的态。因此，也是可能的态（波函数）。数学上已知，上述线性叠加，可以构成任何满足下列边界条件的波函数：更一般地，103线性叠加原理都是是可能的态（波函数）。数学上看，上述线性叠加，可以构成任何满足下列边界条件的波函数：这就是说，任何函数，只要满足上述边界条件，都是无限深方势阱的一个可能的波函数！任何问题：无限深势阱中的粒子动量能否有确定值？104给定波函数的展开，如何展开成特定一套本征波函数的线性叠加？对照偏振态的线性叠加公式：105波函数的展开左列公式的说明：考虑不连续空间，n个不同位置。选择处于各个确定位置的态为基础态。一般地，粒子可以处于它们的线性叠加态上。波函数是什么？处于各个位置的概率幅！概率幅是什么？内积！1061.6不确定关系107不确定关系任何物理系统不能同时具有确定的位置与确定的动量。定量地说，如果粒子位置被局限在方向的范围内，同一方向的动量必然有一个范围且必须满足条件108换言之，任何波函数不能同时给出位置与动量的精确值。无论系统的波函数是什么都不能同时具有确定的位置与确定的动量。定量地说，如果粒子位置被局限在方向的范围内，同一方向的动量必然有一个范围且必须满足条件109此原理的一个必然后果就是“测不准原理”：对任一客体进行测量，以不确定量测定其动量的分量时，就不可能同时测定其位置比更准确。-------海森堡Δx=0.25Δx=0.5Δx=1Δx=2Δk=8πΔk=4πΔk=2πΔk=π波包(wavepacket)

111不确定原理(UncertaintyPrinciple)例如，对于一个有确定动量（p）的电子，其位置z必然完全不确定，反之亦然。有确定动量电子的波函数为：平面波，波列无限长，在任何位置z发现电子的概率都相同，即位置完全不确定。112不确定原理(UncertaintyPrinciple)认为电子集中在此区域电子束a

xPPx

=h/P

位置和动量的不确定关系。粒子在同一方向上的位置和动量不能同时确定。经典力学中，可用“轨道”来描写粒子的运动，而微观粒子却不行。以电子单缝衍射为例

x=a；由于

0PxPsin

故在x方向动量不确定度

Px=Psin=hsin/衍射关系asin=xsin=

故

x

Px=h把其余明纹的贡献考虑在内,有

x

Pxh113问题讨论有人说，“我已经知道飞向单缝的（平面波）粒子在x方向动量为0，它穿过极窄的单缝后，位置也知道了。位置与动量可以精确掌握。”这不是不确定关系所谈的事。不确定关系指的是对某一个状态(波函数)测量结果的预知极限。即，我们要求的是，对某个特定（时刻的）状态(波函数)，回答：如果观测其位置，它是在什么范围；如果我观测其动量，它会在什么范围。“有人说”的那个结果指的是：粒子在飞到挡板之前的状态，状态A，其动量具有确定值但是其位置完全不确定；对于粒子通过窄缝后的状态，状态B，其位置有确定值但是动量完全不确定。这符合不确定关系。他当然也可以说成说：他既知道状态A的准确动量，又知道状态B的准确位置。这不违反不确定关系。注：状态A是平面波，波面无限大波列无限长，状态B是点源球面波，传播方向完全不确定。114不确定原理是说位置与动量不能同时确定。但是系统可以有确定的状态和确定的哈密顿量，后者导致波函数的演化也是决定论式的。波函数的演化规律即薛定谔方程正是本课程的一个重点学习内容。问题讨论115对原子大小的粗略估计依经典电磁学理论，核外电子将不断辐射电磁波而作螺旋运动，最后落到原子核上。不确定关系可解决这一困难。假定电子离核距离为.动量的弥散约为。这就是说，电子动量数量级为。于是动能是。假定原子作能量最低安排：这只是粗略估算，不必太过认真！

116对原子大小的粗略估计1，经典电磁学：电子越靠近原子核能量越低。与原子核紧挨着的情况能量最低。因此不支持核式结构。而量子物理学认为：由于不确定关系，若电被限制在一个很小的空间，其动量不确定度变大，动能升高从而总能量可能升高。因此电子不能无限靠近原子核。2，总能量为负值。13.6eV为电离一个氢原子的能量，称为Rydberg能量。以上只是一个粗略估算！书上28页例题1.24书上的算例既有用不确定关系的又有用系统状态（波函数）的，具体记算物理系统的物理信息时，究竟用哪个好？基于波函数能做精准的计算。但是，不确定关系给出了一个一般关系，即便你对系统的波函数和外部条件一无所知，依然可以用这个关系来搞，当然，得到的只是大致的结果。(已知精准结果而凑答数算出的除外。)还有，有时候GRESubject考试时用不确定关系计算更快捷，而题目(选择题)本身不需要精准量化结果时，可以用不确定关系。书上28页例题1.25请自学29页问题1.15：对初始态用能量本征态展开，对指数算符泰勒级数展开，作用上去，再收拢，得到三步法标准答案。119能量，时间不确定性可用于估算粒子寿命与能量范围，精确测量能量所需要的最短时间等问题。120讨论

第一章基本内容完121

量子力学1第二章122两态系统1232.2狄拉克符号的一般规则124自学内容任意维数的狄拉克符号态矢量，内积、测量计算规则与公设等内容请自学，书上课本第41页-45页。125物理量算符

126物理量算符

问：位置算符？若物理量算符的本征值既有连续值区间又有分立值区间，算符如何写成上述又矢乘左矢形式？

127薛定谔方程时间演化方程若H不含时，定态方程解得的态叫做定态(stationarystate)，有确定能量的态，它随时间变化仅是相因子。满足定态方程的态不止一个，对分立能级系统，

128回顾：量子态时间演化满足定态方程的态不止一个，

如果在初始时刻粒子处于哈密顿量的某个本征态，那在该哈密顿量的作用下，粒子将永远处于那个本征态。因为时间演化只是增加了总体位相因子。但是，若初始时刻处于两个或多个本征态的线性叠加态，时间演化将是非平庸的，因为出现了相对位相差。129回顾：态演化问题的一般方法我们现在局限于不含时哈密顿量1）写出哈密顿量2）解定态方程，获得哈密顿量的本征态与本征值，3）以上述本征态为基础态，将给定的初始态展开，最后得任意时刻的态。130回顾：态演化问题的一般方法这个方法的出发点在于，对于哈密顿量的本征态，其时间演化是trivial的！

这要求寻找哈密顿量本征态或本征波函数。这类似于或者就是线性代数中的矩阵对角化。131不含时哈密顿量时间演化算子

1322.3氨分子133氨分子从几何外形上看，氨分子有两种态：正金字塔态与倒金子塔态。134氨分子费曼讲义P113我们现在把外形上的两种态定为基础态。它们是正交的，因为对应着“外形物理量”两种不同观测结果。这两种态能量平均值相等【注】。实验发现，它们随时间演化，会发现“朝上”的态过一段时间后再观测外形则不一定朝上，有可能朝上，也有可能朝下。即概率随时间振荡。1351）我们现在把外形上的两种态定为基础态。它们是正交的，(为什么？)。2）这两种态能量平均值相等。3）随时间演化，测得某种外形的概率随时间振荡。1）任何态可用外形的本征态展开。2），

3）选定的基础态是不是哈密顿量的本征态？不是，否则概率不随时间振荡（因为如果是本征态的话，136目标：写出时间演化公式。例如，基础态任何随时间演化？方法：找出哈密顿量本征态，即用基础态表达的哈密顿量本征态。关键：哈密顿量表达式。采用矩阵表象将很方便。

此本征态可以写成基础态的线性叠加，因此，也是二维矢量。由算符理论，其矩阵表象就是一个2乘2厄米矩阵！方法

137标准线性代数问题！138解得本征值与本征矢此即说明139此即说明

随时间振荡

140在初始时刻是正金字塔态。P1是在时刻t被发现外形为为正金字塔的概率。P2是发现外形为倒金字塔的概率。思考题：如何测定|C|？

141

量子力学又称矩阵力学！评论1422.4电子自旋143

角动量电流面积

带电粒子圆周运动轨道角动量的经典图像此处q自身带正负号磁矩与角动量量子力学承认磁矩与角动量的正比关系，但是实验发现角动量在空间任何方向的分量值是量子化的144轨道角动量磁矩：电子轨道角动量若为电子

L为轨道角动量

145（1）自旋角动量概念对于轨道角动量的Z分量，算符其本征值只能是，其中只能取整数从最大值依次减1直至，叫做磁量子数146轨道角动量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取为总角动量量子数，是在所有方向的最大可能投影值0zlz此结论可以直接解角动量分量算符本征方程而得，已经获得实验证实。实验事实还表明，电子还必须有附加的内禀磁矩：自旋磁矩。147

实验发现，电子除了轨道角动量之外，还有另一种角动量，它与电子的空间运动无关，是一种内禀(intrinsic)角动量，我们称之为自旋角动量。但是，它不同于经典自旋（例如地球自转）,其观测结果和时间演化属性无法用经典物理解释。电子自旋148进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。电子自旋149

电子自旋电子自旋的经典图象。以此图像，电子磁矩在空间某方向的可能投影值应该是连续值。然而，类似于轨道角动量磁矩实验，实验发现……150SternGerlach实验实验说明：粒子源为热炉中蒸发出的银原子。其状态是一个各种态都有可能的混合态。（可类比于自然光偏振，各种偏振都有。）银原子核外47个电子，其中内层46个可视为构成了一个球对称电子云整体而没有净角动量。核自旋角动量忽略不计。总之：整个原子的磁矩由第47个电子磁矩决定，它正比于其自旋值。磁矩在非均匀磁场中受力151SternGerlach实验

其热炉子发出得银原子等价于发出了各种各样自旋态的电子，即各种各样自旋的磁矩。

为磁旋比

152SternGerlach实验OvenB真实观测结果经典物理预言

据计算，z方向磁矩的两个值为，

回顾

153电子自旋的基本性质：

154电子自旋的基本性质：

我们用基础态

电子自旋z分量算符或矩阵是什么？用2.31式

155电子自旋的基本性质：再看x分量。以经典观念，一个角动量的大小和方向一旦确定，其各分量值也就确定了。然而，现在的实验事实是：各分量只有两个可能的观测值，可以写出算符，而且这些算符不对易，我们无法同时知道各分量值。156连串实验OvenSGzSGz+z-zNosignal+z-zOvenSGzSGx+x-x+z-z想象偏振测量实验。这里SZ装置可以设置为不同测量基！对+z态，发现它是+x态或-x态的概率是1/2添加其他实验还可证明，处于+x的态，发现它是+y或者-y态的概率也是1/2。总之，不同基础态的投影关系与偏振类似，唯一不同的是，偏振垂直的态为正交，自旋相反者为正交！157电子自旋的基本性质：

158

可观测结果：，算符本征值，本征矢，

159对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。

160实验事实1：任何方位的正负方向的本征态正交。此即要求在任何方位，事实2：任何两个方位，若其正向夹角为那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为。数学形式象马吕斯定律，但是有些差异，在哪里？为什么？161事实2：任何两个方位，若其正向夹角为那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为。若选定则必然要求以便满足事实2，即162若选定以便满足事实2，即则必然要求以及163若选定则必然要求或者Bloch球面电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点164任意态可以采用两维矢量表述特别的1653.自旋角动量算符与泡利矩阵任何物理量都对应与一个线性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。A有一套本征矢量，对应本征值

回顾公设该物理量算符为：166

3.自旋算符与泡利矩阵什么样的算符能有这种本征态及相应的本征值？对于任意方位的自旋角动量分量，有本征值及对应的本征态167

对于自旋角动量算符抛弃公因子即得泡利算子

对于特殊方位轴3.自旋算符与泡利矩阵168

上述矩阵定义为泡利自旋矩阵3.自旋算符与泡利矩阵自旋角动量分量算符注：一般教科书上采用先给出泡利自旋矩阵，再去算本征态。然而，泡利自旋矩阵本身不是量子力学公设。我们的课件和教材在这里只用到两个东西：实验事实与算符公设。请同学们注意体会这部分内容。1694在均匀静均匀静磁场中的自旋进动进动就是指在外磁场作用下自旋态的演化。如过去所说，我们需要哈密顿量及其本征值与本征态。170

4在均匀静均匀静磁场中的自旋进动电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点，或者对应于连接原点与该点的矢量电子自旋态的演化可以直观的对应于Bloch面上点的运动，或者是对应矢量尾部的进动我们把自旋态在磁场中的演化称为自旋进动“进动”只是一个直观的数学图像，与电子位置没有任何关系！1714在均匀静均匀静磁场中的自旋进动为方便起见，今后我们将统一采用

这里，称为电子的磁旋比、又叫回磁比、旋磁比等。我们统一使用术语“磁旋比”（gyromagneticratio）联系电子磁矩与自旋角动量（算符）

1724在静均匀静磁场中的自旋进动哈密顿量

经典电磁学，势能实验表明，量子力学的哈密顿量就是把上式的磁矩换成算符。

为方便起见，经常采用约化磁场：

173在外磁场中哈密顿量的另一种导出方法

174在外磁场中哈密顿量引出量子系统哈密顿量一般的做法是比照经典系统能量，然后算符化。至于比照得对不对，最后还是实验说了算。即，最后还是得有实验事实才行。使用实验事实，我们有更简洁的说法，见书上第60页-61页：

1754在均匀静磁场中的自旋进动（拉莫进动）设磁场方向为z+方向，称为拉莫频率(Larmorfrequency)

自旋1/2粒子在均匀静磁场中的进动(演化)叫做拉莫进动，Larmorprecession176态演化问题的一般方法回顾我们现在局限于不含时哈密顿量1）写出哈密顿量2）解定态方程，获得哈密顿量的本征态与本征值，3）以上述本征态为基础态，将给定的初始态展开，最后得任意时刻的态。177为方便起见，经常采用约化磁场：取磁场为z+方向自旋态在磁场中的进动哈密顿量

定态及本征值

为拉莫频率注意此处正负号、激发态和基态与角动量态的关系。这厮有点难搞(尽管很平庸)，系数中负号出现了好几次：从角动量到磁矩，电子的磁旋比是负的；从磁矩到哈密顿量，式中又带一个负号。最后的结果是：沿外磁场方向角动量分量值大的能量高。178为方便起见，经常采用约化磁场：取磁场为z+方向自旋态在磁场中的进动哈密顿量定态及本征值对于任意初始态在时刻t为拉莫频率对应Bloch面上点的进动，是“绕z轴转动”179对于z+向磁场，自旋进动为Bloch面上的点或连接原点与Bloch面上点的向量绕z轴转。这实际上是在说：注：上述分析中，真正的物理方向特征只有磁场方向。自旋进动就是绕磁场方向转。这种直观图像可以帮助我们快捷判断一些时间演化过程。

180在时刻t若初始时刻为在任意时刻x方向自旋平均值？181在时刻t任意时刻t发现它的自旋为x+的概率？例2在x轴正向接通磁场需多久能实现？此处182为方便起见，经常采用约化磁场：取磁场为

方向自旋态在磁场中的进动哈密顿量本征值：对于任意初始态在时刻t

定态：183时间演化：特别地，若外磁场为x+方向，184时间演化算符注解：这里是的本征态,本征值为。1852.6更多的狄拉克符号规则与表象理论完备性186比照偏振态的琼斯矢量表示法，这里可以令注：能量本征态的完备性只要基本定义与内积规则给定，矢量表示并不是必需的。187状态的态矢量表示算符：任何物理量a对应于Hilbert空间一个线性厄米算符（矩阵）AA作用在其任何一个本征态上得到：是本征值。对于连续本征值情况，连续，是A的一个本征值例如：

动量位置状态的态矢量表示

188基础态的完备性：例如：这些公式十分有用！189状态的态矢量表示算符与测量：

190状态的态矢量表示与测量测量公设：发现状态是状态的概率幅为。态矢量，分别表示位置有确定值x的态和动量有确定值p的态。对于任何态，发现它是位置有确定值的态的概率密度幅为。此即在位置x发现粒子的概率幅。因此态的波函数为。玻恩诠释说波函数就是概率密度幅。191状态的态矢量表示与测量态的动量表象波函数为。

类似的，问：

的函数式？

的函数式？192连续变化的基础态

已知位置波函数，态矢量是什么？问：已知系统动量表象波函数，它的态矢量（以动量本征态展开）是什么？基本换算公式汇总193

注：这些是波函数的定义：概率密度幅度

194内积关系

注意极为重要的单位算子技术：可以自由插入、退出195Diracdelta函数以及连续空间的基础态位置算符X的某本征态它是位置有确定值的态其波函数必然是在该位置处为无穷大，在其他位置为0。我们将此称为Diracdelta函数。位置，动量的基础态

196对于波函数态矢量为依据前述关系即要求定义：满足此要求，即Diracdelta函数以及连续空间的基础态Diracdelta函数

197定义：

Diracdelta函数基本性质Diracdelta函数

198一般定义：

Diracdelta函数基本性质Diracdelta函数

199

（a）

（b）

（Fourie积分）

（c）

（d）

（e）

200

类似的，位置本征态波函数201问题答疑狄拉克delta函数使得位置本征态不是归一化的，这不符合测量结果的概率解释?答：位置本征态不是物理上存在的态，谈不上测量结果的概率解释，也不会与任何实验结果冲突。重要的是，有了这个delta函数的规则，对所有物理上存在的态计算结果都是自洽的，即符合所有实验结果。202动量本征态的波函数为保持自洽性，我们要求即：203波函数换算换算关系计算

204位置与动量空间波函数的关系

205动量空间波函数的若干形式总结

206动量空间波函数的若干形式总结

207动量空间波函数的若干形式总结

208Project的高斯型波包

209

薛定谔方程210

薛定谔方程211连续量态矢量与Dirac符号的进一步学习波函数与态矢量212

213

狄拉克delta函数规则的理由狄拉克delta函数规则的理由214

215动量本征态的波函数归一化答疑

阅读提问：上文中的句子“正是满足此要求的计算规则的一部分”中的“此要求”是指什么？216

练习

217讨论1：定态不随时间变化（见下页注）。因此能量本征态被称为定态，稳态，stationarystate

能量本征态

218算符的表象219用狄拉克符号，物理量算符不用具体表象物理量a对应于算符（矩阵）A是物理量a有确定值的态，例如例如：

分别表示动量有确定值的态和位置有确定值的态。220算符的位置表象和动量表象

221算符的位置表象和动量表象

222算符的位置表象和动量表象

思考题：1.上面红色式子的“易见”和(2)式的“马上会发现”,具体式怎样“易见”和“马上会发现”的？2.算符的动量表象怎样计算？3.所有线性算符的平均值信息包含了单次测量概率信息？223本章完

单光子偏振的电场特征与检偏的狄拉克符号表示本PPT目的：借助光偏振这个简单物理系统的测量结果特征，介绍量子力学极重要的数学工具：狄拉克符号。

2.1光偏振的狄拉克符号表示

经典光学回顾以电场强度函数表示光的波函数。可以有线性叠加。若波函数以实数表示，光强为波函数平方。

经典光学回顾：偏振

偏振：电场(在垂直于传播方向的截面内)的振荡方位(或方式)。

书上图2.1书上图2.3

2.1光偏振的狄拉克符号表示

经典光学回顾偏振的电场特征与检偏图2.1看线偏振检偏，线偏振片，马吕斯定律P31页公式2.1

2.1光偏振的狄拉克符号表示书上P32页问题2.1，2.2光波函数的复数表示

偏振态复数表示因此可用归一化的二维复矢量表示偏振。

任何

都表示一偏振态，任何偏振态都能以上述形式表示！

思考题：下列式子各是什么偏振？

定义基础态

定义左矢

例如：为右矢的复转置向量

为偏振态对透振态为

的偏振片的穿透概率。即：发现偏振态是的概率注（1）：注（2）：以上公式对任何偏振态，任何偏振片都对。例如，圆偏振片，椭圆偏振片注（3）：“透振方向为的偏振片”:该态穿透，与之正交的态吸收。基础态两个态正交定义为内积为0

定义左矢

例如：为右矢的转置复共轭向量注：两个态正交定义为内积为0注：“转置复共轭”即转置操作+复共轭操作，即对矩阵(向量)转置并对矩阵(向量)的所有矩阵元取复共轭，又叫厄米操作或厄密共轭操作。转置和复共轭操作的先后顺序不影响结果。

一般地，对态测得

的概率为

计算时，要尽量利用基础态正交关系！

见书上公式2.14讲解书上例题2.2，2.3，2.4，2.5，2.6p37,p38

量子测量释疑

一般地，对态测得

的概率为量子测量释疑答疑2：根据之前的说法，一般地，系统在测量后的态与测量前的态可以不同。哥本哈根学派把这测量过程中的状态变化叫做坍缩(collapse)，而未作更多解释。多世界诠释认为测量过程是世界分裂的过程，在不同世界的你分别看到了不同测量结果。我们不在此深追各种诠释，反正它们不影响实际可观测结果和概率。这个红框中的内容属于玻恩规则。不同的诠释不影响玻恩规则的正确性。评述：学习之后，我们了解到的量子世界的神秘本质，诸如哥本哈根学派的“塌缩”论。多世界诠释解决这个问题，代价就是导致了更为神奇的内容如“不同世界的你”。本课程不对此展开讨论，因为两种诠释没有可观测差异，它们都符合所有的实验室事实。观测结果相同这一事实来看manyworlds=manywords

量子测量释疑

问：态矢量数学表示与状态(未加说明是默认为物理状态)是不是一一对应关系？答：不是。是多对一的关系。问：是否存在别的数学表示，能与状态是一对一关系？有，我们此后要介绍“密度矩阵”。别着急，稳步前进。

PBSDD该装置下，上探测器响应或下探测器响应意味着塌缩到不同态上。测量基：书上第39页。是为了表述方便。对于测量M，如果有一套基础态S，无论系统在测量实施之前的态是什么，在测量实施后被测系统的状态一定是这套基础态中的一个，就可以用测量基S简单表述测量M。以后我们会了解到，“测量实施后被测系统的状态一定是这套基础态中的一个”，这句话自动意味着测量基中的每一个态都对应着各不相同的测量结果。思考题：以同一测量装置对两个相同偏振状态的单光子测量（单次测量），测量结果是否一定相同？以同一测量装置对两个不同偏振状态的单光子测量（单次测量），测量结果是否一定不同？书本第30-31页问题与例题选讲之前我们讲了检偏，它是测量，是个不可逆过程，它与演化过程不一样。在测量完成后，没有哪个操作能(可以使用测量装置和测量结果信息，但不能使用测量前的状态信息)就能让被测系统测量后的状态变回到测量前的状态。对比可逆操作：转动、波片相移等。这个内容可以推广到更一般地情况，见书上P41-45页。偏振状态存在演化过程，例如穿过波片、旋光晶体等的过程，它可以用幺正算符表示，数学上可逆。我们讲偏振的目的是为了熟悉狄拉克符号，目前只讲了检偏却尚未讲演化。我们在介绍狄拉克符号下测量与算符公设后开始讲狄拉克符号下的量子态演化：薛定谔方程。测量不可逆：时间界限点PBSDD该装置下，上探测器响应或下探测器响应意味着塌缩到不同态上。不可逆时间点是获得探测器信号。若不放探测器，或者在获得探测信号之前,状态可逆。只方一个探测器也一样。复习巩固

复习巩固

复习巩固

251狄拉克符号的详细计算规则

252线性叠加原理

253量子物理学第3章两粒子态与量子纠缠1）两粒子状态数学表示2）两粒子态线性叠加与量子纠缠3）更一般的两粒子态4）量子隐形传态5）量子不可克隆原理6）氢原子超精细结构及塞曼效应2543.1两粒子态的数学表示2553.1两粒子态的数学表示两粒子态：

解释为：粒子1处于态上且粒子2处于态上。角标1，2分别代表第一个粒子与第二个粒子。有时，在不引起误解的情况下也可以略去角标，按照态矢量出现的顺序规定它代表哪个粒子的态。12256两粒子有4个基础态或者，两光子的偏振：123.1两粒子态的数学表示257两光子的偏振：

用这4个基础态可以构成任意两光子态。例如，光子1是水平偏振，光子2是45度偏振的态：

3.1两粒子态的数学表示

258两粒子态的内积：这个内积依然解释为，对于的两粒子态，测得的概率幅。问题3.1：两个45度线偏振的光子，测得第一个是水平偏振且第二个为60度偏振的概率？是指第一个粒子的态为，且第二个粒子的态为。3.1两粒子态的数学表示2593.1两粒子态的数学表示直积定义：书上第3.8式到3.13式

260例题3.1，3.2，3.33.1两粒子态的数学表示

电子1和电子2置于不同的外磁场中，两粒子态如何时间演化？3.2线性叠加与量子纠缠2623.2线性叠加与量子纠缠两粒子有4个基础态由线性叠加原理，基础态的线性组合也是物理态。考虑下列4个态

Bell态，EPR态，最大纠缠态它们正交归一，可作基础态，也可作测量基12263纠缠态的定义：若局限于纯态，当两粒子的态能够写成下列形式：则为非纠缠的；若不能写成上述形式则为纠缠的。注意，上述定义局限于纯态。3.2线性叠加与量子纠缠264

对纠缠态的单边测量

265量子关联，以为例两个粒子可相隔很远。若一端（A端）得另一端(B端)必然也得它和经典关联有区别吗？大量电（光）子对，有些是，有些看x-方向的自旋（或45度-135度偏振）！，A端，B端也是也有同样关联。如何区分？3.2线性叠加与量子纠缠266

情况一3.2线性叠加与量子纠缠267大量电子对，有些是态，有些是态情况二X-基下测量结果没有任何关联，获得各种结果的概率都是1/4！

3.2线性叠加与量子纠缠268任何纠缠态不能实现超光速信息传递！首先要牢记这个基本结论，毫不动摇。什么是通信或信息传递？通信一定要体现出由发送方主动选择的信息内容。当发送方发送不同的信息，0或1时，接收端一定要能检测到不同的信号。只发能发信号0的机器不能否通信？只能发乱码的机器不能通信？通信的必要条件：发送方能自由选择信息内容0或1发送，接收方要能根据发送方的选择而观测到不同信号269任何纠缠态不能实现超光速信息传递！

无论对粒子1怎样操作本地操作，粒子2的密度矩阵都是I/2

两处本地测量结果的关联性不是通信。例如两地同看天上某颗闪烁的星星，结果关联，但不是通信。想要利用共享纠缠态资源实现超光束通信，本质上是要求在A地的人通过对他本地的粒子，粒子1进行某种操作，而改变B处粒子，粒子2的状态。这是不可能的。270任何纠缠态不能实现超光速信息传递！对粒子1选择测量z分量或者不测量两种本地操作能否改变粒子2的状态(密度矩阵)？小民同质疑：把粒子1的测量结果通过经典通信发个远端粒子2那端，那就意味着改变了粒子2的状态，因为它们是关联的，得知粒子1的自旋状态朝上，粒子2必然也是朝上，密度矩阵不再是I/2).如何评论？2711,若事先共享最大纠缠对，对粒子1测量，塌缩到某个态上，粒子2立即塌缩，其结果完全关联。这个关联结果的获得不需要时间。但是获得关联结果并不是通信。（解释）2，要想只通过纠缠实现超光速通信，必须要求：A，不能有任何经典通信（否则就不能超光速）；B，对粒子1进行某些不同的操作，会导致对粒子2的观察出现不同结果。即，通过观察粒子2，可以推断此前粒子1受到何种操作。（否则就不能通信）。举例，粒子1的3种具体操作，观察粒子2，无法判断。这是因为，对粒子1的操作未改变粒子1的密度矩阵。272Bell测量它们正交归一，可作基础态，例：将态用Bell态展开两式相加得273Bell测量测量基就是这么一套基础态，在该基下对物理系统的测量将使物理系统坍缩到其中一个态上。对态如果实施Bell测量坍缩到各个Bell态上的概率？Bell测量就是以上述4个Bell态为测量基的测量，它是非局域测量或者叫集体测量，不能分解成单个粒子测量的组合。它们构成正交归一的一套基础态2743.3更一般的两粒子态275对于两粒子态若测量粒子1粒子1的测量结果决定粒子2的态！正交（无需正交），以测量基一个3粒子态，若能写成且正交归一，那么以测量基观测粒子1与2，测量结果决定了粒子3的状态。276一个3粒子态，若能写成且正交归一，那么以测量基观测粒子1与2，测量结果决定了粒子3的状态。基于此，我们可以借助纠缠态和Bell测量实现QuantumTeleportation，我们可以将一个未知态传输到远方而不传输粒子本身。2773.4QuantumTeleportation278QuantumTeleportation光子1，2在北京，光子3在上海。2与3是纠缠态1的态未知，北京上海123Bell测量每个测量结果对于与上海端一个不同态！2791两粒子态，量子纠缠态2801两粒子态，量子纠缠态2811两粒子态，量子纠缠态北京上海123这就是说，若以Bell基测粒子1，2，与测量结果对应的粒子3的态分别为2821两粒子态，量子纠缠态这就是说，若以Bell基测粒子1，2，与测量结果粒子3的态分别为当北京端Bell完成测量，他可通过经典通信把结果告诉上海端的人，上海端的人作相应变换将粒子3的态恢复至原来粒子1的态。2831两粒子态，量子纠缠态这些变换是可实现的。例如：对于电子态的变换可通过控制静磁场时间，对于光子，可用位相补偿器，偏振转动器件，Pokells盒，及法拉第盒等。通过变换可将粒子3的态恢复至做这些幺正变换不需要知道！284能用QuantumTeleportation做超光速信息传递吗？例如，能否分别取粒子1的态为水平偏振或者竖直偏振，然后做QT，实现通信？否！粒子3那边必须知道对粒子1，2所做的Bell测量的具体测量结果而依此作相应的变换才能确保获得粒子1的态。这个需经典通信！若以Bell基测粒子1，2，与测量结果对应的粒子3的态分别为2851两粒子态，量子纠缠态量子密集编码(Quantumdensecoding)两个粒子可相隔很远。A端有4种不同的操作：

作以上变换，将A端光子送往B端，是2bit信息！AB2861两粒子态，量子纠缠态量子纠缠态不能提供超光速信息传递纠缠态测量结果的关联不是信息传递QuantumTeleportation需通过经典信息传递以恢复被转移的态。Quantumdensecoding需移送光子本身287量子不可克隆定理Quantumno-cloningtheorem一个未知量子态不可以克隆，因为它违背了量子力学线性算符公设！线性算符公设（3）与（2）式矛盾！288量子不可克隆定理Quantumno-cloningtheorem更加严格的写法：引入辅助位线性算符公设（3）与（2）式矛盾！2895两粒子态，量子纠缠态未知量子态的不可克隆原理（No-cloningtheorem）这个原理只证明了理想量子克隆的不可能性，却并未指出，近似克隆最好可以做到