2025-2026学年湖南省怀化市高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省怀化市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z=(1−i)i，i为虚数单位，求|z|=(

)A.2 B.2 C.1 D.2.已知|a|=1,|b|=2，a与b夹角为60°，则A.3 B.−1 C.1 D.3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别490，510名，则应抽取男生的人数为(

)A.50 B.51 C.68 D.494.在△ABC中，设AB=a，AC=b，若BM=3A.14a+34b B.35.将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为(

)A.π6 B.π C.323π6.已知向量a,b满足a=(−1,1)，b=(−2,4)，则b在aA.(−3,3) B.(−4,8) C.(−35,7.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A.若a//α，b//α，则a//b B.若a⊥α，a//β，则α⊥β

C.若a⊥α，a⊥b，则b//α D.若a//α，α//β，则a/8.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q为正方体表面的动点，OA.2π B.4π C.6π D.12π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，不正确的是(

)A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.一个多面体至少有4个面

C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台10.设A，B，C是样本空间中三个概率都大于0的随机事件，则下列选项正确的是(

)A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

B.事件A与事件C中至少有一个发生的概率不小于A与C中恰有一个发生的概率

C.事件A，C相互独立与A，C互斥不能同时成立

D.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，则事件A，B，C一定两两独立11.复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，我们把这个结论：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N∗,r是复数z的模，θ是复数A.若z=cos2π3+isin2π3，则z2+z+1=0

B.若z=cosπ3+isinπ3，则|z2025−z2026|=|z2026−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知两个非零向量a，b，且a=(x,1),b=(2x,x)，若a/​/b，则x=13.有一组样本数据：6，x1，x2，x3，x4，x5，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据x1，x2，x3，x14.已知一个圆锥的底面半径为6，侧面积为72π.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，分别观察底面上的数字(各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字).设事件A=“两个数字之和是5′′若B=“两个数字之积不小于6”．

(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

(2)求事件A及事件B的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由．16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2=b2+c2−bc，2bsinC=c．

(1)求角C；

(2)点D在17.(本小题15分)

某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一户居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.通过抽样，获得了100户居民的月均用水量(单位：吨)，将数据分成5组制成了下方所示的频率分布表．分组频率[1,7)0.10[7,13)0.25[13,19)0.40[19,25)0.20[25,31]0.05(1)若该市有140万户居民，请估计全市月均用水量不低于19吨的户数；

(2)若该市政府希望使80%的居民的月均用水量不超过标准x(吨)，请估计x的值；

(3)现拟定收费标准如下：月用水量不超过x吨的部分按3元/吨收费，超出x吨的部分按4元/吨收费.若取x=19，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值(每组数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量)．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)设面PBC∩面PAD=l

(i)求证：AD/​/l；

(ii)若直线EF与直线l所成角为π6，求直线EF与平面PBD所成角的正弦值．19.(本小题17分)

已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义运算a⊗b=|x1y2−x2y1|.设O为坐标原点，A，B为平面直角坐标系中的两点，且a=OA,b=OB．

(1)求证|a|2|b|2=(a⊗b)2+(a⋅1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】14

14.【答案】64

15.【答案】Ω={(x,y)|x，y∈{1,2,3,4}}，其中x为Ⅰ号骰子点数，y为Ⅱ号骰子点数，

A={(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，

B={(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，(3,3)，(4,4)}

相互独立，理由如下：

事件AB={(2,3)，(3,2)}，

所以P(AB)=216=18，

又因为P(A)=416=14，P(B)=81616.【答案】512π

17.【答案】35万户

20.50

46.35元

18.【答案】证明：底面ABCD为正方形，因此CD⊥AD，

又PD⊥底面ABCD，因此CD⊥PD，

而AD∩PD=D，因此CD⊥面PAD，

因此CD⊥PA.又E，F分别是AB，PB的中