2026届河南开封高级中学普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测（一）数学试卷-含解析

/数学满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.或 B.C.或 D.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.13.设等比数列的前n项和为，若，，则（）A.27 B.3 C.24 D.484.下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.5.设向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影为6.已知，，则（）A. B. C. D.7.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.8.已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于函数，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.在上的最大值为D.不等式的解集为10.下列说法错误的是（）A.在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B.某次分层抽样中，已知一班抽取的6名同学答对题目个数的平均数为1，方差为1；二班抽取的4名同学答对题目个数的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目个数的方差为0.8C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍D.样本数据的平均数，则样本数据的平均数为11.设是等差数列的前n项和，若，，则（）A. B.中最小值为C.当取得最大值时， D.使成立的最大整数n为14三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正实数a，b满足，则的最小值为______．13.如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______．14.已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.自去年淄博烧烤和今年哈尔滨旅游爆火以来，各地文旅部门各显神通，积极推进本地旅游的推介宣传．某市为了提高居民对当地历史文化、自然风光、特产、美食等的了解，助力旅游产业发展，该市文旅部门举行了民俗、地方历史文化等内容的宣讲，并在该市18岁及18岁以上的市民中随机抽取400名市民进行宣讲内容的线上知识测试，将这400人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为测试合格．组别频数197810313664（1）组织者为参加此次测试的市民制定了如下奖励方案：①测试合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额为20元，50元，每个测试者每次获得20元红包的概率为，获得50元红包的概率为．若从这400名市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布列及数学期望；（2）已知上述抽测中18岁及18岁以上且在60岁以下市民的测试合格率约为，该市所有18岁及18岁以上的市民中60岁以下人员占比为．假如对该市不低于18岁的市民进行上述测试，估计其中60岁及60岁以上市民的测试合格率以及测试合格的市民中60岁以下人数与60岁及60岁以上人数的比值．16.如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．17.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；（ⅱ）求面积的最大值.18.已知，，．（1）若对于恒成立，求实数m的取值范围；（2）证明：对任意，．19.在数学领域中，有一个由法国数学家费马提出的有趣概念——“费马点”．费马是在给意大利数学家托里拆利的一封信里提到这个概念的，“费马点”指的是平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．现在，让我们来看看托里拆利是如何确定这个费马点的，其方法如下：①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且．（1）求C；（2）若，求的最大值．数学满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.或 B.C.或 D.答案：A解析：思路：根据题意，利用不等式的解法，求得和或，结合集合并集的定义与运算，即可求解.解答过程：由不等式，可得，所以，又由不等式，即，解得或，所以或，所以或.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.1答案：D解析：解答过程：，所以.3.设等比数列的前n项和为，若，，则（）A.27 B.3 C.24 D.48答案：A解析：解答过程：设等比数列的公比为，，若，则，与的题设矛盾，故；根据等比数列前项和公式可得

①

，

②；将②除以①，化简得，解得；又.4.下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误；B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当，设，则，因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确；C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误；D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误.5.设向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影为答案：D解析：解答过程：，故不平行，故A错误；，故不垂直，故B错误；设与的夹角为，则，，，故C错误；在方向上的投影为，故D正确．6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用三角恒等变换求解.解答过程：因为，，所以，所以，所以.7.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论．解答过程：,设，因为，则，所以，因为，则，即，所以当时，，当时，，当时，，所以的值域是8.已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解.解答过程：如图，连接，设，则，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于函数，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.在上的最大值为D.不等式的解集为答案：AB解析：思路：根据正弦型函数的图象与性质，结合代入法逐一判断即可。解答过程：选项A：，所以的图象关于点对称，故A正确；选项B：因，故的图象关于直线对称，即B正确；选项C：当时，，则，，所以在上的最大值为，故C错误；选项D：令，即，可得，解得，解得，所以不等式的解集为，故D错误.10.下列说法错误的是（）A.在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B.某次分层抽样中，已知一班抽取的6名同学答对题目个数的平均数为1，方差为1；二班抽取的4名同学答对题目个数的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目个数的方差为0.8C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍D.样本数据的平均数，则样本数据的平均数为答案：AC解析：思路：根据回归分析、方差性质、分层抽样合并方差、均值性质，需逐一分析各选项正误即可.解答过程：选项A：残差点分布的带状区域宽度越窄，说明回归模型拟合精度越高，回归效果越好，因此A说法错误；选项B：先计算10人答对题数的总平均数，再用分层抽样总方差公式，因此B说法正确；

选项C：由方差性质知，每个数据乘以3后，方差变为原来的倍，因此C说法错误；选项D：由均值性质知，新数据的平均数为，因此D说法正确.11.设是等差数列的前n项和，若，，则（）A. B.中最小值为C.当取得最大值时， D.使成立的最大整数n为14答案：ABD解析：思路：根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解.解答过程：A，由，可得，因为，可得，所以，正确；B，由A分析且，所以且，正确；C，在等差数列中，由且，当时，得；当时，得，所以取得最大值时，，错误；D，由，且，所以使得成立的最大整数为，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正实数a，b满足，则的最小值为______．答案：4解析：解答过程：，，，，，当且仅当，即，结合得时等号成立，的最小值为4．13.如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______．答案：解析：思路：先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积.解答过程：因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱，其中，，，，因此，即，根据三棱柱体积公式，所以该几何体的体积是.14.已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______．答案：解析：思路：利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。解答过程：对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为，点到准线的距离和点到直线的距离之和为，当三点共线时，距离之和最小，即为点到直线的距离，故所求最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.自去年淄博烧烤和今年哈尔滨旅游爆火以来，各地文旅部门各显神通，积极推进本地旅游的推介宣传．某市为了提高居民对当地历史文化、自然风光、特产、美食等的了解，助力旅游产业发展，该市文旅部门举行了民俗、地方历史文化等内容的宣讲，并在该市18岁及18岁以上的市民中随机抽取400名市民进行宣讲内容的线上知识测试，将这400人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为测试合格．组别频数197810313664（1）组织者为参加此次测试的市民制定了如下奖励方案：①测试合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额为20元，50元，每个测试者每次获得20元红包的概率为，获得50元红包的概率为．若从这400名市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布列及数学期望；（2）已知上述抽测中18岁及18岁以上且在60岁以下市民的测试合格率约为，该市所有18岁及18岁以上的市民中60岁以下人员占比为．假如对该市不低于18岁的市民进行上述测试，估计其中60岁及60岁以上市民的测试合格率以及测试合格的市民中60岁以下人数与60岁及60岁以上人数的比值．答案：（1）的分布列为20405070100.（2）0.1；24解析：思路：（1）由题意可知：这名市民测试合格的概率为，的可能取值为，进而求分布列和期望；（2）设相应事件，根据题意结合全概率公式可得，再结合条件概率公式运算求解.（1）从这400名市民中随机选取1人，这名市民测试合格的频率为，用频率估计概率可知：这名市民测试合格的概率为，由题意可知：的可能取值为，则有：，，所以的分布列为20405070100的期望.（2）记“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人为60岁以下人员”为事件A，“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人测试合格”为事件B，用频率估计概率，可得：，则，由全概率公式可得：，即，解得，设所求比值为，则，所以所求比值为24.16.如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论；（2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值.（1）由平面，平面，则，由四边形为正方形，则，又，且平面，则平面，由平面，则平面平面；（2）由（1）知平面，平面，则，由四边形为正方形，则，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由平面，则，由且，则，所以，即为等腰三角形，又为等边三角形，取的中点分别为，连接，则，且，而，则，又平面平面，其中平面，平面，则即为平面与平面所成二面角的平面角，若，则，且，，所以，故，所以平面与平面所成二面角的余弦值为.17.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；（ⅱ）求面积的最大值.答案：（1），为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.解析：思路：（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）设直线的方程为联立椭圆方程可得点坐标，设，根据坐标之间的联系可得直线的方程为，与椭圆方程联立运用韦达定理求出的坐标，再利用斜率公式求出，进而即得；（ii）由题可得，再利用基本不等式即可求解.（1）因为，，，所以，所以，化解得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）（ⅰ）设直线的斜率为，则其方程为，由，得，记，则，，，于是直线的斜率为，方程为，由，得①，设，则和是方程①的解，故，由此得，从而直线的斜率，所以，即直线与的斜率之积为定值；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.方法提示：方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知，，．（1）若对于恒成立，求实数m的取值范围；（2