2026届云南高三下学期5月联考数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则集合B可能为（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.已知是奇函数，当时，，则（）A.0 B.1 C.2 D.4.2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（）A. B. C. D.5.已知数列的前n项和，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.6.已知，均为锐角，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.8.在中，，若，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（）A.的周长为16 B.C. D.直线的斜率为10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.在上单调递增D.存在，使得函数恰有两个零点11.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）．13.已知函数没有极值点，则______．14.如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．（1）求c；（2）点D在边上，若的面积为，求．16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，E，F，G分别是，，的中点，点O在线段上，平面，，，，．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5．（1）求甲赢得本次比赛的概率；（2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围；（3）证明：，，．19.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，当时，．（1）求抛物线C的方程．（2）记过点P且与抛物线C相切的直线为l，过点P作直线l的垂线交抛物线C于另一点H，求的最小值．（3）是否存在定圆M，使得以为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则集合B可能为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据并集的定义求解.解答过程：若，则，故A错误；若,则，故B错误；若,则，故C错误；若,则，故D正确；2.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，则.3.已知是奇函数，当时，，则（）A.0 B.1 C.2 D.答案：D解析：解答过程：已知是奇函数，则，则，因，故．4.2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：的最小正周期为，又该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则，解得.5.已知数列的前n项和，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.答案：B解析：解答过程：.6.已知，均为锐角，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：因为，且均是锐角，所以，所以，所以，所以均为锐角，能推出，反之，，且均为锐角，则或，所以或，所以或，所以均是锐角，推不出，因此均为锐角，是的充分不必要条件.7.已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用双曲线的渐近线方程及的关系列出等式关系求解离心率.解答过程：因为，所以，双曲线的渐近线方程为，将代入渐近线方程中得，不妨设.由两点间距离公式可得，展开得，再代入，化简得，即.故离心率.8.在中，，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知条件，利用向量的几何意义得出垂直关系求出，进而利用三角形内角和求出．解答过程：表示点到的垂线段长度，已知，，则点到的距离不小于，即，故是这些距离中最小的一个，即与重合，垂足为，，，由三角形内角和可得：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（）A.的周长为16 B.C. D.直线的斜率为答案：AC解析：解答过程：由题可知，∴，，∴，的周长为，A选项正确；∵，∴，∴，B选项错误；，∴，C选项正确；，∴，∴斜率，D选项错误.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.在上单调递增D.存在，使得函数恰有两个零点答案：ACD解析：思路：先根据正弦函数非负确定定义域，再结合复合函数单调性判断区间单调性；通过方程变形为两个函数图像的交点问题，利用平移和交点个数判断值域中是否包含特定值及零点个数.解答过程：令，解得，所以的定义域为，A正确.当时，函数单调递增，所以在上单调递增，C正确.记，则.当时，函数与的图象显然没有交点，即的值域中一定不含，B错误.当时，函数与的图象如图所示，若将函数的图象往右移一点，两个函数的图象有两个交点，所以存在，使得函数恰有两个零点，D正确.11.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：当时，整数属于第个区间．由题设，而所以另一方面，整数属于第个区间．由题设，因此，对任意，均有等价于由上述估计可知对成立．特别地，且，所以，进而．故A正确．下面确定．由上述双边估计，并且两式相减，得又，所以若，则随着增大可以任意大，与上式的右侧不等式矛盾；若，则随着增大可以任意小，与上式的左侧不等式矛盾．所以，故D正确；于是．代入上述估计，得若，则中间的式子随着增大可以任意大；若，则中间的式子随着增大可以任意小．两种情况都与上式矛盾，所以，从而．因此C错误．因为，所以对任意正整数，又，所以B正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）．答案：2.72解析：解答过程：全市餐厅的平均翻台率约为次/（桌·天）．13.已知函数没有极值点，则______．答案：1解析：解答过程：函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数，所以函数至多有一个零点，令，则或或，∴，即，∴.14.如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______．答案：##解析：思路：取BD的中点E，分别求得AE，CE，由，得到，结合从而平面，得到AE为三棱锥的高，然后由求解.解答过程：取BD的中点E，连接AE，CE，因为，，所以在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得所以，则，所以，因为，所以平面，所以是三棱锥的高，因为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．（1）求c；（2）点D在边上，若的面积为，求．答案：（1）（2）3解析：思路：（1）由已知可得，，进而利用余弦定理即可求解；（2）由（1）可求得，，进而利用三角形面积公式求得，进而利用余弦定理可求得．（1）因为，所以．因为，所以，由余弦定理得，即，解得．（2）由（1）可得，．因为，所以，的面积为，解得．由余弦定理可得.16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，E，F，G分别是，，的中点，点O在线段上，平面，，，，．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：因为F，G分别是，的中点，所以，，则四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．在中，．连接．因为平面，平面，所以平面．因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解析：思路：(1)利用线面平行的判定，面面平行的性质证明.(2)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.（1）略；（2）解：以，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，得．，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5．（1）求甲赢得本次比赛的概率；（2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望．答案：（1）（2）的分布列为：01230.10.250.3560.294．解析：思路：（1）根据题意，甲赢得本次比赛的情况共3种，分别求得对应的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）的可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得分布列，利用期望公式计算即可求解.（1）甲赢得本次比赛的情况共3种：第1种情况，甲连胜2局，其概率；第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率；第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率．故甲赢得本次比赛的概率为．（2）依题可知，的所有可能取值为0，1，2，3．．甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜．，，．的分布列为：01230.10.250.3560.294．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围；（3）证明：，，．答案：（1）（2）（3）由（2）知，，当且仅当时，等号成立，所以当时，．当，时，，令，得，即．因，所以．解析：思路：（1）根据导数的几何意义求切线斜率得解；（2）先探索出，此时有，再利用导数证明即可；（3）由（2）可得当，时，，令，化简即可得证.（1）当时，，．，故所求切线方程为，即．（2）因为，，，所以因，由，可得．下面证明当时，，．当时，令函数，．，所以在上单调递减，所以，即当时，，．综上，a的取值范围是.（3）略19.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，当时，．（1）求抛物线C的方程．（2）记过点P且与抛物线C相切的直线为l，过点P作直线l的垂线交抛物线C于另一点H，求的最小值．（3）是否存在定圆M，使得以为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）存在，圆解析：思路：（1）根据时，，建立方程求出即可得出抛物线方程；（2）设直线，利用与抛物线相切可得，由弦长公式得，令，，利用导数求最值即可；（3）设直线：，联立抛物线方程，由韦达定理可得以为直径的圆的圆心为，半径，设定圆的圆心，半径为，可根据，运算求解即可.（1）当时，轴，此时，，解得，所以抛物线C的方程为．