2025-2026学年江西重点中学高一下学期5月学科素养阶段训练数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则（）A.-3 B.0 C.3 D.43.（）A. B. C. D.4.已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（）A.2 B.4 C.8 D.125.已知，则（）A. B. C. D.6.若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（）A. B. C. D.7.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（）A. B.C. D.8.对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若，则10.已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（）A.B.C.若是直角三角形，则D.若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为11.已知，，则下列说法正确的是（）A. B.的最小值为4C.的最小值为1 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部是________.13.已知向量在向量上的投影向量为，若，则______.14.已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数.（1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.16.已知为锐角，且．（1）求的值；（2）求的值．17.如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，．（1）用，分别表示向量，；（2）求；（3）求的大小．18.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若任意的，均满足，求a的取值范围；（3）设函数，求证：函数有且只有一个零点．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点．（1）求证：是直角三角形；（2）若的面积为，且，求的值；（3）求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以z的共轭复数为．2.已知向量，若，则（）A.-3 B.0 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：由，得，解得.3.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答.解答过程：.故选：A.4.已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（）A.2 B.4 C.8 D.12答案：B解析：解答过程：设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意知．6.若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设，则，所以，解得，所以．7.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解.解答过程：在中，，则，由正弦定理，得，在中，，，则，所以塔高为.8.对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，知，因为，所以，，因为，所以，因此，因为是整数，所以，故，，而，即，即，所以，因为，，所以，即，故的取值范围为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若，则答案：BC解析：思路：根据复数的性质、共轭复数的概念、复数的乘除、模的计算等对每个选项逐一判断即可.解答过程：取，，满足，而虚数不能比较大小，故A错误；由，知是的共轭复数，则，故B正确；设，，则，则即，于是，若，则成立，此时；若，，由知；由知：，此时；同理当时，；若，由得，则，此时；因此若，则或，故C正确；取，，满足，而，故D错误．故选：BC.10.已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（）A.B.C.若是直角三角形，则D.若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为答案：AC解析：思路：利用余弦定理计算可判断A；结合正弦定理与三角恒等变换可判断B；由已知可得，计算可求得，可判断C；利用平面向量数量积的运算性质和二次函数的基本性质可判断D选项.解答过程：由，得，由余弦定理得，即，故A正确；由及正弦定理，得，即，所以，即，所以，故B错误；由上知，所以均不为直角，进而，则，代入，得．因为为锐角，所以，，所以，所以，故C正确；过作，则．又在之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求的最小值，应在之间运动，即，又，当时，取最小值为，故D错误．故选：AC．11.已知，，则下列说法正确的是（）A. B.的最小值为4C.的最小值为1 D.答案：ABD解析：解答过程：因为，，所以，整理得，同除，得，由，故，，所以，故A正确；因为，解得，当且仅当时等号成立，故B正确；，又，所以根据对勾函数单调性知，故C错误；，由，知，所以，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部是________.答案：解析：思路：直接利用复数的乘除运算法则化简即可.解答过程：因为，所以其虚部为.故答案为：方法提示：本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题.13.已知向量在向量上的投影向量为，若，则______.答案：1解析：思路：根据题意，化简得到，结合向量运算法则，即可求解.解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，所以，因为，可得，所以.14.已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____．答案：解析：思路：由，求出的范围，结合正弦函数的单调性可求出，再由，求出的范围，结合正弦函数的零点可求.解答过程：当时，，由在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，解得．当时，，因为，所以，又在上有且仅有1个零点，所以或，解得或．则的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数.（1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意可得，再解一元二次不等式组即可；（2）将复数代入方程即可.（1）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，即的取值范围是.（2）当时，，因为是关于的方程的一个根，所以，即，整理得，所以，解得，即的值为，的值为.16.已知为锐角，且．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据诱导公式对原式化简，结合求解即可；（2）利用二倍角公式对原式化简，结合和同角三角函数基本关系式求解和，进而求解.（1）．（2），又，所以，则，故．17.如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，．（1）用，分别表示向量，；（2）求；（3）求的大小．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和.（2）先由已知条件计算和，再利用向量模长公式计算.（3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出，进而得到.（1）因为，所以，，因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，，所以，．（2）由可知，的夹角为，所以，由（1）知，，所以.（3）由图形可知，的大小等于与的夹角，由（1）（2）可得，，，所以，又，则，故．18.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若任意的，均满足，求a的取值范围；（3）设函数，求证：函数有且只有一个零点．答案：（1）最小正周期为，单调递增区间为（2）（3），，当时，单调递增，，，所以在上有唯一零点；当时，，，所以，无零点；当时，，，所以，无零点．综上，函数有且只有一个零点．解析：思路：（1）先利用三角恒等变换将化为，再根据正弦型函数的周期公式和单调性求解.（2）先求出时的值域，再将不等式转化为关于的不等式组求解.（3）先化简，再分区间讨论的符号与单调性，结合零点存在性定理证明其仅有一个零点.（1）由题意知，所以的最小正周期．令，，解得，，即的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以．因为，所以，所以，解得，即a的取值范围是．（3）略19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点．（1）求证：是直角三角形；（2）若的面积为，且，求的值；（3）求的最小值．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解.（2）根据面积公式可求解，进而根据正弦定理可得，由和