2025-2026学年辽宁省辽阳市集美中学高二下学期6月练习数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.32.在等差数列中，，，则的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知集合内的元素个数为2，则（）A.0或1 B.1或2 C.0或4 D.1或84.若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（）A.-6 B.-3 C.3 D.65.已知函数，则（）A. B. C.3 D.56.已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.7.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，点，，，，若成等比数列，且曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，则（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，，则（）A.曲线过定点 B.有2个极值点C.在区间上单调递减 D.10.在等比数列中，，，则（）A.的公比为2 B.的前项和小于C.数列的前项和不大于 D.数列的前项和小于11.记曲线：，则下列说法错误的是（）A.曲线上存在横、纵坐标均为整数的点B.直线与曲线有且仅有3个公共点C.曲线可视为关于的函数D.若直线与曲线有且仅有2个公共点，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________.13.已知为实数，且，则的最小值为________.14.已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合，.（1）若，求的取值范围；（2）若命题“，”为真命题，求的取值范围.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且有极小值0，求的值.17.记为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18.记为数列的前项和，已知，.（1）求；（2）证明：.19.已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，；（3）若时，，求的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：解答过程：集合，，方程组解得或，所以，元素个数为2.2.在等差数列中，，，则的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：由等差数列的性质得，则，故的公差为.3.已知集合内的元素个数为2，则（）A.0或1 B.1或2 C.0或4 D.1或8答案：C解析：思路：分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可.解答过程：当时，因为，所以，不符合题意；当时，此时，符合题意；当时，由，得或，因为集合内的元素个数为2，所以，则，即.综上，或4.4.若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（）A.-6 B.-3 C.3 D.6答案：D解析：解答过程：由题得，，则，所以，得，，所以.5.已知函数，则（）A. B. C.3 D.5答案：A解析：思路：利用导数的定义求解.解答过程：由题得，，令，因为，所以，则.6.已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值.解答过程：因为正数满足，所以，设，则，，所以，令，则，且，，由基本不等式：，当且仅当时取等号，联立，得，即，因为a>0,则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.7.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论.解答过程：因为，所以，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，在上单调递增，又，所以当时，的取值范围为，所以的取值范围为.8.已知函数，点，，，，若成等比数列，且曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求函数导数得到切线斜率表达式，再根据等比数列设元、等差数列斜率条件列出等式，化简后利用公比不为的条件解得的值，最后代入函数求出．解答过程：由，得，设，，因为曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，所以，即，化简得，又，所以，因为，所以，则．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，，则（）A.曲线过定点 B.有2个极值点C.在区间上单调递减 D.答案：ABD解析：思路：对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断.解答过程：对于A，由，可知曲线过定点，故A正确；对于B，C,由求导得，因,由，可得或；由，可得,故在和上单调递增；在上单调递减，所以有2个极值点，故B正确，C错误；对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确.10.在等比数列中，，，则（）A.的公比为2 B.的前项和小于C.数列的前项和不大于 D.数列的前项和小于答案：ABD解析：思路：求出数列的公比，即可判断A；求出数列的前项和，即可判断B；利用裂项相消求出数列的前项和为，举反例当时，即可判断C；利用裂项相消求出数列的前项和，即可判断D.解答过程：对于A，设的公比为，则，所以，故A正确；对于B，由题得，其前项和为，故B正确；对于C，，其前项和为，当时，，故C错误；对于D，，其前项和为，故D正确.11.记曲线：，则下列说法错误的是（）A.曲线上存在横、纵坐标均为整数的点B.直线与曲线有且仅有3个公共点C.曲线可视为关于的函数D.若直线与曲线有且仅有2个公共点，则答案：BCD解析：思路：对于A，将点代入即可；对于B，将代入，求解方程即可；对于C，验证唯一性即可；对于D，将代入得，令，通过求导判断单调性，对分类讨论的零点个数即可.解答过程：对于A，易知点在曲线上，故A正确；对于B，将代入，得，，所以直线与曲线有且仅有2个公共点，，故B错误；对于C，令，此时有3个解，与函数定义矛盾，故C错误；对于D，将代入，得.考虑时，只要函数的零点个数为2即可，，由三次函数性质知有两个极值点0，，注意到，故由2个零点知，即，即，设，注意到，，可知存在，使得曲线与直线的公共点个数为2，故D错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________.答案：0解析：思路：先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果.解答过程：因为为偶函数，所以，则，又因为是上的奇函数，所以.13.已知为实数，且，则的最小值为________.答案：##解析：思路：由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可.解答过程：因为，且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.14.已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____．答案：解析：思路：先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得．解答过程：因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数，由等差数列的通项公式可得，所以当时，，则，因为等比数列的各项均为正整数，所以，若，则，不成立，故，且，当时，，整理得，即，由等比数列的定义可得，则，因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项，若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数，所以，则，所以，，则．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合，.（1）若，求的取值范围；（2）若命题“，”为真命题，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）解不等式确定集合，再根据集合的包含关系求的取值范围.（2）问题转化为，再分情况讨论求的取值范围.（1）由题得，且，，解得，的取值范围为.（2）命题“，”为真命题，，又，，或，即或，的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且有极小值0，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）要求曲线在某点处的切线方程，需要先求出该点的函数值和导数值，再根据点斜式方程求解即可；（2）先对函数求导，根据导数的正负性分析函数的单调性，进而确定函数的极小值点，再结合极小值为0求解的值即可.（1）当时，，则，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，所以，①当，即时，，由，得或；由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时的极小值为，不符合题意；②当，即时，，此时恒成立，无极值，不符合题意；③当，即时，，由，得或；由，得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，解得，符合题意.综上，.17.记为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用与的关系化简原式求解；（2）错位相减法求前项和（1）因为，所以，两式相减并整理得，则，当时，，则，所以，所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则，所以.（2）由（1）知，，则，，两式相减得，故.18.记为数列的前项和，已知，.（1）求；（2）证明：.答案：（1）（2）因为，所以，两式相减得，则.当时，；当时，，设，，则，所以在上单调递增，所以由，得，故，，则，，设，，则，所以在上单调递减，所以由，得，，则当时，，所以；当时，，则，故.综上，.解析：思路：（1）令可得，再令可得的值.（2）利用与的关系，结合累加法，首先得到，设，，利用导数分析其单调性，进而利用结论可证，，再设，，利用导数分析单调性，进而利用结论可证.（1）因为，，所以当时，，得；当时，，得.（2）略19.已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，；（3）若时，，求的取值范围.答案：（1）因为，所以，当时，；当时，所以在上单调递增.（2）由题可得，则，设，则，设，则，设，则，所以即在上单调递增，又，所以当时，，即单调递减；当时，，即单调递增，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，则，故有，即当时，.（3）解