2025-2026学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若z=4+2i，则|z|=(

)A.6 B.23 C.22.已知tanα=2，则sin2α=(

)A.15 B.14 C.343.在机器学习中，常用J(A,B)=card(A∩B)card(A∪B)来衡量两个集合A，B之间的相似度，其中card(A)表示集合A的元素的个数.已知M={1,2,3,4}，N={2,4,6}，则J(M,N)=(

)A.25 B.35 C.344.已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为x−，s2，则(

)A.x−>20 B.x−<20 C.5.设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α.“m//β”是“α//β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=x2+ax+b，且f(−1)>f(2)，则A.|b+4|<|b−2| B.|a+4|<|a−2| C.|b+4|>|b−2| D.|a+4|>|a−2|7.若单位向量a，b，c满足a+b+2c=0A.22 B.32 C.8.已知a>1，点A，B和C分别在函数y=ax，y=12ax和y=13ax的图象上，BC平行于x轴，AB=BC=2，且AB⋅BCA.8.8 B.7.8 C.6.8 D.5.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=x2−ax+1x−aA.a=0 B.f(x)≥2

C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在区间(0,1)上单调递减10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，则(

)A.ω=2

B.f(φ)=3

C.∀x∈R，f(x)=f(−5π12−x)

D.函数y=f(x)−111.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，PA=2，则(

)A.直线PB与AC所成角的最大值为90°

B.若∠PCA=30°，∠PBA=45°，则∠PCB=45°

C.若∠PCA=30°，∠PCB=45°，则二面角A−PC−B的正切值为2

D.若△ABC的面积为4，则直线PC与平面ABC所成角的正切值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,4)，则a⋅b的最大值为

13.设随机事件M，N相互独立，且P(M)=0.5，P(N)=0.4，则P(M+N)=

．14.用maxM表示数集M中最大的数.若x=1是函数y=ax2+bx+c的零点，且abc=16，则max{a,b,c}的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．

(1)估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数(精确到0.1)；

(2)采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为[50,60)和[80,90)的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a−csinA+sinB=a−bsinC．

(1)求B；

(2)设b=3，2AD=DC，且BD为17.(本小题15分)

已知函数f(x)=log2a1+x2．

(1)设a=2，

(i)求f(1)的值；

(ii)解不等式f(x+1)>f(ax)；

(2)若∃x∈(0,+∞)18.(本小题17分)

如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=AA1=2．

(1)求证：19.(本小题17分)

已知函数f(x)=1x−11−x．

(1)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义证明；

(2)令g(x)=f(x)−x+k，

(i)证明：函数y=g(x)的图象是中心对称图形；

(ii)设函数y=g(x)有三个零点a，b，c(a<b<c)，证明：1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】BCD

12.【答案】5

13.【答案】0.7

14.【答案】4

15.【答案】0.015；62.9

31016.【答案】π3

217.【答案】(i)0；(ii){x|x<−13或x>1}

18.【答案】证明：在正三棱台ABC−A1B1C1中，延长AA1，BB1，CC1交于点P，

∵AB=4，A1B1=AA1=2，∴PA1=2，

∴三棱锥P−ABC是边长为4的正四面体，

设下底面的中心分别为H，BC中点为D，连AD，

则PH⊥平面ABC19.【答案】f(x)在区间(0,1)上单调递减．

证明：设0<x1<x2<1，则

f(x1