小升初专项讲练：几何图形（讲义）原卷版-2026-2027学年七年级数学上册（苏科版）

几何图形

小学视角

r学业要求,思维衔接坊

衔接引导

T知识过渡•方法训练营

讲义（知识衔接篇）

|项目闯关•题型对点练/变式挑战台

一综合演练•能力进阶场

学业要求•思维衔接坊

小学视角初中展望

小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化

形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对

方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系

学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这

对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌

握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论

之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的

核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、

推理能力等。

衔接引导

在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思

维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等

于180。”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上

给予严格论证。

知识过渡•方法训练营

考点阐释►►►

1、基本公式

正方形：C=4a；S=axa。长方形：C=（a+b）x2；S=ab。平行四边形：S=ah。

2

三角形：S=ah-i-2o梯形：S=（tz+Z?）xA-j-2<.圆：C=/rd=2^r；S=/rr0

正方体S我=4X4x6；V=axaxa长方体S&=（出?+H?+Z?〃）x2；V=abh

圆柱体、圆锥体（〃:高；S：底面积；r:底面半径）

圆柱侧面积：S=2仃h；圆柱表面积：S=2/ZT・〃+2万产；圆柱体积：V=S/?；圆锥体积：V=-Sh

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）

运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。

通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后

我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法。

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积,若SwS乙,则S甲+S空白=S乙+S空白,S甲-S中行S乙-S空白。

容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作儿个规则图形用不同的方法亘叠的结果，

利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那

部分面积。

项目闯关•题型对点练

题型1、割补法求面积（一）平移与对称

【解题技巧】常见模型

例L（2024.四川绵阳,小升初真题）已知大正方形边长为2厘米.阴影部分的面枳是（）平方厘米.

变式1.（2025,全国•小升初模拟）求下图中涂色部分的面积。

变式2.（2025•全国•小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm）

变式3.（24-25六年级上•四川巴中•期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为己知知

识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图

形的面积时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。

如图1,若AD=8厘米，BC=16厘米，求阴影部分的面积。

先在图2中画一画，涂一涂,再计算。若未使用转化、割补可走接计算。

图1图2

题型2、割补法求面积（二）旋转

S阴影二S扇形60。

S阴影=S扇形同-S扇形MSN

例L（24-25六年级下•四川内江・期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的

变式1.（2024•河北•小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和

是39平方厘米。大三角形ABC的面积是（）平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以

用方程）

变式2.（2025六年级下全国,竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半

圆逆时针旋转60。，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

r

变式3（2023•全国•小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm,九取3.14）

题型3、和差法求面积

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

后及S阴影二S扇形心产—

aS阴影半圆AC+S半圆一%。

EBFH

Xa：

S阴影二S扇形BOE+S'OCE~S扇形“OC

.Ac()

&S阴影一S扇形八g+S〉BOC

%

S阴影=S扇形AOB-S^OA

例1.（2024六年级下•江苏•专题练习）求下面各图涂色部分的面积.

变式2.（2024•江苏扬州・小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是

多少平方厘米？

变式3.（24-25六年级下海南海口期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？

题型4、整体代换法

【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整

体代换即可。

2

例1.（2024・浙江•小升初模拟）下图阴影部分的面积是30cm之，圆环的面积是（）cmo

A.251.2B.188.4C.2826D.1256

变式1.（2025六年级•广东•培优）如图所示的两个同心圆，圆心为O,里边包含一个宣角三角形AOB,且

OA与小圆相交于点D,OB与小圆相交于点C,四边形ABCD的面积为50cm2,那么圆环的面积是（）cm2。

（n取3.14）

A.300B.157C.314D.628

变式2.（2024•全国•小升初模拟）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘

米？

变式3.（2025五年级•全国•课后作业）如图，长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,

F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积.

题型5、等积变换法求面积（体积）

【解题技巧】合理使用边、高的匕求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。

例1.（2024•浙江宁波•小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水

的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少亳升？

变式L（2024六年级•全国・专题练习）如下图，在梯形A8C。中，三角形4踮的面积等于30立方厘米,

BD=4ED,梯形ABC。的面积是多少平方厘米？

变式2.（2025六年级下•西敏•专题练习）如图是一个平行四边形，且AB=BC=CD,DE=EF。则甲、乙两

个三角形的面积比是（）：（）。

ABCD

变式3.（24-25六年级上•浙江温外・期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD,其中E,F分别为AB,AG

上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且BH=HC,FG=GD,连接EF,BF,BG,HD,

将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方

米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？

A

E,F

c

题型6、差不变思想（原理）

【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=5乙,那么S甲+S空门=S乙+S空白，反之亦可。

例1.（2024•全国•小升初模拟）如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差

是多少？（单位：厘米）

变式1.（2025六年级下•江苏•培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面枳比图形乙面积大1.12平方厘

米，求BC的长。

变式2.（24-25五年级上•全国•课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE

的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比二角形七卜G的面积大IU平方厘米，E卜长多少厘米？

变式3.（2024.四川绵阳.小升初直题）如图：直角三角形ABC的直角边AB=6匣米，BC=4座米，以AB

为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大（）平方厘米。（圆周率兀取3）

题型7、容斥原理（韦恩图）

【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其

精髓，在求解阴影部分面枳，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一卜，容斥原

理在求解阴影部分面积时的妙用。

例L（2024六年级下♦江苏・培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同重

叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方匣米.图中阴影部分的面积之和是多少平方

厘米？

变式1.（2024•全国•小升初模拟）如图，AABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=-?-AC,以BC、AC分别

2

为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积.

变式2.（2025六年级下全国•竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,

它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、

C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。

变式3.（2025六年级下•广东•培优）如图，已知ABC为扇形,BDF为扇形,CBDE为长方形。CE=6厘米,

CB=8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）

【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看•，

与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图

形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。

例1.（2024・山东・小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这

个长方形的长是______cm,圆的面积是______cm?。

事-f—j”

?cm

变式1.（2024・甘肃定西•小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（）

A.48B.96C.104D.128

变式2.（2025六年级•江苏培优）如图1,长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，

正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木

块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长_________厘米。（71=3）

图I图2图3

变式3.(24-25六年级上江苏扬州期末)同学们，“观察一猜想一验证一应用”是我们常用的数学探究方

法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙

想出了两种不同的方法(如图)。

这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52-32=(5-3)x(5+3)o

仔细观察这个等式，想一想：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？

(1)请举2个例子验证：①9-6?=()x()②一

(2)如果用a和b表示两个数(且a>b),这样的规律可以表示为：a?-b?=()x()

⑶根据以上结论计算：[1-6)2]x[l-(g)2]x[l-(1)2]=()

题型9、立体图形的拼切重组问题

【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接

问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。

例L(24-25六年级下•福建莆田•期末)沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从

一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下

部，那么现在己经计量了多少分钟？

变式1.（2024.河北保定.小升初真题）用三种不同的方式对完全用同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径

是2厘米，第一种切分方式表面积会增加平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第

三种切分方式表面积会增加.平方厘米。但无论怎样切，体积都是_____立方厘米。

第一种第二种第三种

变式2.（2025六年级下.全国.竞赛）如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、

后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这

变式3.（24-25五年级下•浙江温州•期末）阅读与解答。

同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题:

【阅读材料】用棱长为km的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会

出现4种不同的涂色情况。

①二面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共工_块。

②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共2x12=24块。

③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共4x6=24块。

④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2x2x2=8块。

检验：总块数=4x4x4=64,各类块数之和=8+24+24+8=64。

【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、

两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？

①三面涂色的小正方体共块。②两面涂色的小正方体共块。

③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共块。

检验：总块数=.各类块数之和=7

【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的

整数），表面涂上颜色。

①三面涂色的小正方体共上块。②两面涂色的小正方体共块。

③一面涂色的小正方体共2（。-2乂力-2）+29-2）（0-2）+2（〃-2）（0-2）块。④没有涂色的小正方体共_块。

综合演练•能力进阶场

1.（23-24六年级下•湖南株洲•期末）如图，图中A、B两部分的面积比是（）。

A.103B.205C.308D.409

2.（23-24六年级下•陕西西安•开学考试）在长方形A8C。中，A8=30厘米，8c=40厘米，P为8C上一

点，P。垂直于AC,垂直于8D,则P。与尸R的长度之和是（）。

A.10B.12C.24D.30

3.（2024.江苏扬州.小升初模拟）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正

方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重登部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是（）

平方厘米.

4.（2024•安徽•小升初真题）如图，三角形48c的面积27cm2,CE=（BC,=三住形AED的面

积是（）cm2o

5.（24-25六年级下•湖南邵阳•期末）如图，正方形ABCD的边长为10cm,E、F、G、H分别是正方形四条边

上的中点，则阴影部分的面积是（)cm2“

6.（2024•江苏南通•小升初真题）观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆

锥。推理并“算每个圆柱的体积是（）。

10

A.8B.20C.50D.24

7.（2U24•浙江杭州•小升初真题）如图ABCD是一个梯形，AE=ED,卜是ED的中点。则阴影部分与空白

部分的面积比是（）：（）。

8.（2024.河南南阳.小升初真题）如图，已知AB=40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接

而成，那么阴影部分的面积是（)cm2),(兀取3.14)

9.（2024・浙江•小升初模拟）ABC是等腰直角二角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，已知AB二

BC=10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（兀的值取3.14）

10.（2024六年级下山东•专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、

H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。

11.（24-25六年级下•陕西咸阳期末）如图BC=12cm,CD=DE=6cm.①与②两阴影部分的面积的差（较

大的减去较小的）是多少？

12.（2025六年级下浙江期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫

过的阴影部分面积。（单位：厘米）

c

13.（2024,江苏,小升初模拟）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成.长方体A上面的面

积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取

一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降（）厘米。

14.（2023四川成都小升初真题）如上图，在aABC中，D为BC的中点，BE=：AB。若阴影部分的面积

4

是12平方厘米，则三角形ABC的面积是（）平方厘米。

15.（24-25六年级上•广东江门•期中）三角形ABC的面积是24平方厘米，AD=DE=EC,F是BC的中点,

G是FC的中点，求阴影面积。

BFGC

16.（2024・江苏・小升初模拟）一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里

直立着一