因式分解【十三大考点】-北师大版数学八年级下册重难点突破（含答案）

专题4.1因式分解【十三大考点】一【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化

讲与练

模块一4考点类型

(-)因式分解的定义

(1)因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

(2)因式分解的定义注意事项：

①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，d积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

②因式分解必须是恒等变形；

③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为枳的形式，而整式乘法是把枳化为和差的形式.

(二)因式分解的方法

(1)提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

【提公因式法的注意事项】

①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最人公约数。

②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次暴。

④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

(2)公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

1平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

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a2-2ab+b2=(a-b)2

(3)十字相乘：aV(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

(三)因式分解的步骤

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因

式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

典例1：

1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.%(%4-1)=%2+xB.x2+xy-3=x(x4-y)-3

C.%2+2x4-3=(x+I)2+2D.-x24-y2=(x+y)(y-x)

【变式1】

2.下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是()

A.x(x+1)=%2+xB.%24-xy-3=x(x+y)-3

C.%2-2%+1=(%-I)2D.%2+6x4-4=(%+3)2—5

【变式2】

3.下列各式从左到右是因式分解的是

①(％+3)(x-3)=%2-9；@X2+2X+2=(A-+1)2+1；

③工2-%-12=(%4-3)(%-4)；@x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y)；

2

⑤*+)+2=,+「)；@a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

【变式3】

4.观察下列从左到右的变形：①一6Q3b3=(2Q2b)(—3。/)；@ma-mb+c=m(a-b)+c；③6/+

12xy4-6y2=6(%4-y)2；(4)(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2.其中是因式分解的是(填序号).

考点2由因式分解求字母

典例2：

5.若？+小工+2=(%+2)(%—n)，则m-九的值是()

A.6B.4C.2D.-6

【变式1】

6.若81-=(9+x2)(3+x)(3-x),那么k的值是()

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A.2B.3C.4D.5

【变式2】

7.已知二次三项式必+m3+几因式分解的结果是。一2）（第一3）,贝ij（m+n）2°24=.

【变式3】

8.多项式2/+小九”+九因式分解的结果是（2%一1）（%+/），则团=,

n=______________________________________________________________________________________________________

考点3因式分解的几何证明

典例3：

9.通过计算比较图1,图2中阴影部分的面积,可以验证的计算式子是（）

B.ab-bx=b(a—x)

C.ab-ax—bx=(a-x)(b—x)D.ab—ax—bx+x2=(Q-x)(b—x)

【变式1】

10.将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式.例

如，由图（1）可得等式：/+（p+q）x+pq=（%+p）（x+q）,将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可

以将二次三项式次+3ab+2房分解因式为（）

A.(a+b)(2a+b)B.(a-d)(3a4-b)C.(a+b)(Q+2匕)D.(a+d)(a4-3b)

【变式2】

11.有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不

重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式

子：.

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【变式3】

12.如图，四边形A8C。是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形A8C。的面积，可得到的表

示一个多项式因式分解的代数恒等式为

考点4［因式分解一一提公因式

典例4：

13.因式分解：

(1)5x2yz+10xy2z—Sxyz；

(2)10ab(a—0)3—5b(b—a)?；

【变式1】

14.因式分解：4(a-b)(2a-3b)+(3b-2d)b2

【变式2】

15.分解因式：

(1)21xy-14xz4-35x2；

(2)15xy+10x2—5x；

(3)(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b)；

(4)0-2)27+2.

【变式3】

16.把下列各式分解因式：

(1)—5a2/)3+20ab2—Sab-.

(2)(x+y)(x-y)-(x+y)2；

(3)8a(x—y)2-4(y-%)3；

(4)x(x2-xy)-(4x2-4xy).

考点5［因式分解一一平方差公式

典例5：

第4页

17.在实数范围内分解因式：81a4-16b4.

丽华的解题过程如下：

解:原式=(9。2+4》2)(9Q2-4力2).

请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来.

【变式1】

18.分解因式：

(1)81-m4：

(2)(x+2)(x-2)-5；

【变式2】

19.阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式,

比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.

例1：“两两分组”：Qx+ay+bx+by例2：“三一分组"：2xy+x2-14-y2

解：原式=(ax+ay)+(bx+by)解：原式=(%2+2xy+y2)一i

=a(x+y)+b(x+y)=(x4-y)2-1

=(a+b)(x+y).=(x+y+1)(%+y—1).

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：

分解因式：

(1)x2-xy+4x-4y；

(2)x2-y2+4y-4.

【变式3】

20.分解因式

(1)4(a—b)2—(a+b)2

(2)-9m2+(2m-4n)2

(3)(x2-2y)2-(1-2y)2

考点6因式分解一一完全平方公式

典例6：

21.参考某同学对多项式(而+3m\m2+3m+2)+1进行因式分解的过程：

解：设Hi?+3m=a,

则(血2+3m)(机2++2)+1

22

=Q(Q+2)+1=a?+2Q+1=(a+1)2=(m+37n+l),

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请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解.

(1)(x2—5x)(x2-5郊十4)十4；

(2)(x2-6x+6)(x2-6%+12)+9.

【变式1】

22.下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务.

因式分解：(%2-2%)(%2-2x4-2)4-1.

解：设%2-2x=y,

原式=y(y+2)+1

=(y+I)2(依据)

=(x2-2x4-l)2

~•

任务：

(1)将学习笔记补充完整.

(2)材料中的依据是指.(填序号)

①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式.

(3)请你模仿上述方法，对多项式(。一匕+1)2+26-8)一1进行因式分解.

【变式2】

23.阅读以下材料

材料：因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=屈+24+1=(4+1产

再将“4”还原，得原式=(x+y+l)2

上述解题用到的是“整体思想"，"整体思想''是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题:

(1)因式分解：1一2(%-y)+(x-y)2=；

(2)因式分解:(a2-4a4-2)(a2-4a+6)+4；

【变式3】

24.【阅读材料】

因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=炉+2人+1=(4+1)2.再将“4”还原，原式=

(x+y+l)2.上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

【问题解决】

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（1）因式分解：14-6（x-y）4-9（%-y）2；

（2）因式分解：（a2-4a）（a2-4a+8）+16；

（3）证明：若?i为正整数，则代数式（2n+D（九+2）（2n2+5R）+l的值一定是某个整数的平方.

考点7因式分解十字相乘法

典例7：

25.将多项式炉+6%一16因式分解，正确的是()

A.(%-2)(%4-8)B.(%4-2)(%-8)C.(x4-4)(%-4)D.(x-4)2

【变式1】

26.下列因式分解不正确的是()

A.x2-2x-3=(x-3)(%+1)B.x2+4x-5=(x—l)(x+5)

C.4x2+4x+1=(2x+l)2D.x2+2x4-3=(%+1)(%+3)

【变式2】

27.多项式。2一6岫+5户因式分解的结果

【变式3】

28.分解因式：y3-5y2-6y=

考点81平方差公式因式分解应用一一整除问题

典例8：

29.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数如：4=22-02,

12=42-22,20=62—42,因此4,12,20这二个数都是神奇数，

（1）直接判断：28（是或不是）神奇数，2024（是或不是）神奇数；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的

“发现”（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。

①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数.

②田出发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数.

③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数.

【变式1】

30.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数例如：4=22-。2,

12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是“神秘数”.

（1）28和52这两个数是神秘数吗？为什么?

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中攵取非负数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数

吗？为什么？

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【变式2】

31.观察下列各式：(2十3/一2?=7x3;(4+3)2-42=11x3;(6+3)2-62=15x3*不难发现规

律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.

(1)(8+3/一82的结果是3的倍；

(2)设偶数为2几，试说明比2n大5的数与2"的平方差能被5整除；

(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由.

【变式3】

32.认真观察下面这些算式：

@32-12=8=8x1,

②52-3?=16=8x2，

③72-52=24=8x3，

④92-72=32=8x4，

完成下列问题：

(1)照上面的规律，算式⑤为;

(2)上述算式的规律可以用文字概括为：”两个连续奇数的平方差能被8整除“，若记算式中的前一个奇

数为2/1+1,请用含几的式子表示这个规律，并证明；

(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正价.

考点9完全平方公式因式分解应用一一三角形形状

典例9：

33.“我们把多项式。2+2防+82及Q2一2成+必叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式，我们

常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这

种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以招一个看似不能分解的多项式分解

因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.

例如：分解因式：%2+2%-3

解：原式=(x2+2%+1)-4=(x+1)2—4=[(x+1)+2][(x+1)—2]=(x+3)(%-1]

例如：求代数式2/+4%—6的最小值.

解：2/+4%-6=2(x2+2x-3)=2(x+l)2-8,

因为：2(x4-l)2>0,所以：当、=一1时，2/+4%-6有最小值，最小值是一8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解肉式：m2—2m—3=.

(2)当a,〃为何值时，多项式。2+户一2。+46+9有最小值，并求出这个最小值.

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(3)已知a,b,c•是△48C的三条边，且满足Q2-4Q+b2—6b+c2—4c+17=0,试判断△的形

状.

【变式1】

34.我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式.对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进

行分解因式.即先将一个多项式进行适当的分组(或组合)，再利用已经学过的方法进行分解因式.如：

分解因式：x2-2xy+y2-16

=(x2-2xy+y2)-16

=(%—y)2—16

=(x-y+4)(%—y—4).

利用上述方法解决下列问题：

(1)分解因式：x2-4y2-2x+4y；

(2)己知△48C的三边满足十一户一QC+儿=0，判断△ABC的形状，并说明理由.

【变式2】

35.阅读材料：若相？—2nm+2*-8几+16=0,求小、几的值.

解：:m2-2mn4-2n2-8几+16=0,

(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(?n-n)24-(n-4)2=0,而Q几一〃尸之。，(n-4)2>0,

•••(m-n)2=0且(n-4)2=0,

­,■n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)MM_《a+4=0,则a=;b=.

(2)已知的三边a,b,c满足〃+2必+。2-2岫一2儿=0,则此三角形的形状

为.

(3)已知△4BC的三边长a、b、c都是正整数，且小+房一2(1-6/7+10=0，求△4BC的周长.

【变式3】

36.阅读材料：我们把多项式Q2+2ab+川及小一2ab+必这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是

完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个

式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以籽一个看似不能

分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.

例如：分解因式%2+2%-3.

原式=(%2+2%+1—1)-3=(x+I)2—4=(x4-14-2)(%4-1-2)=(x+3)(%—1).

由上式可知：X2+2X-3=(X+1)2-4,因为不论x取何值，(%+1)2孑0,所以当％+1=0,B|Jx=-1

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时，d+2工一3的最小值是-4.

根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题.

(1)利用配方法分解因式：X2-6X-27；

(2)根据上面解题思路可知多项式炉一6%-27有最小值，即当x=时，最小值

是•

(3)已知a、b、c分别是△48C三边的长且2a2+炉+c?-2a(b+c)=0,请判断△48C的形状,并说

明理由.

(4)根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可；

(5)配方后利用偶次制的非负性即可解答；

(6)先配方后，然后利用偶次事的非负性得到a=h=c,即可解答.

考点10［因式分解综合一一整体法

典例10：

37.先阅读材料，再回答问题：

分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1.

解：将“Q—b”看成整体，令Q—/)=M,则原式=M?—2M+1=(M—1)2,再将a—b=M还原，得

到：原式=(a—b—l)?.

上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想.请你用整体思想解决下列问题：

(1)因式分解：9+6(%+y)+(x+y)2=.

(2)因式分解：x2-2xy4-y2-z2=.

(3)若日为正整数，则5+1)(九+4)52+5切+4的值为某一个正整数的平方.请说明理由.

【变式1】

38.【阅读材料】

因式分解:(%+y)2+2(%+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=炉+24+1=(4+1)2.

再将“4”还原，原式=(x+y+l)2.

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

【问题解决】

(1)因式分解：44-5(x-y)+(x-y)2；

(2)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4；

(3)证明：若九为正整数，则代数式5+1)5+2)(小+3九)+1的值一定是某个整数的平方.

【变式2】

39.阅读材料A：利用完全平方公式(a±b)2=Q2±2ab+b2,可以解决很多的数学问题.

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例如：若a+b=3,ab=1,求次+房的值.

解：*/a+Z?=3,ab=1,

(a+b)2=a?+必+2ab=9，

即:a2+b24-2=9•*,*a2+b2=7.

阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元法)，不

仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这

种因式分解的方法称为“换元法下面是小明同学用换元法对多项式(》2-2%-1)(X2-2X+3)+4进行因式

分解的过程.

解：令第2—2%=y,

原式=(y-i)(y+3)+4(第一步)

=y2+2y+1(第二步)

=(y+l)2(第三步)

=(x2-2x+I)2(第四步)

(1)请根据材料A,解答问题：若x—y=4,d+*=40,求xy的值；

(2)请根据材料8,解答问题：

①在材料8中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果—

②因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

(3)综合运用：

2

若实数x满足(2023-x)+(x-2024尸=50,求(2023-x)\x-2024)的值.

【变式3】

40.阅读材料：

常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解，如“2—4丫2+

2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

x2-4y2+2%-4y

=(z2-4y2)+(2x-4y)...分组

=(r-2y)(x+2y)4-2(x-2y)...组内分解因式

=(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式

这种分解因式的方法叫分组分解法.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)按上述方法因式分解：

①32y-4y-2x2+8；

②/—3m2—9m+27；

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(2)已知a,b,c为△ABC的三边，且必+2ab=c2+2ac，试判断△的形状并说明理由.

考点11因式分解综合一一填项、拆项

典例11：

41.你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的匚种方法并练

习！

(1)提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：xy2-

x3y=；

(2)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系

数.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+①=%2+(0+/,)x+M的逆运算来进行因式分解：

①分解因式”?+5x+6=▲:

②解方程：X2-6X+12=X.

(3)拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项.

@x3+2x2+2%+1=；

@x3-2x-l=：

除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等.

［综合应用］分解因式：a2+2ab+川一3Q-3匕一4=.

【变式1】

42.阅读与思考：

在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类

因式分解的方■法称之为“添项法”.

例如：

a4+4

=a4+4+4a2—4a2

=(a44-4Q2+4)-4a2

=(a24-2)2—(2a)2

=(a2+2Q+2)(a2—2Q+2).

参照上述方法，我们可以对Q3I/因式分解，下面是因式分解的部分解答过程.

+/=炉+a2b_a2b+户=(Q3+Q2匕)_(Q2b_庐)_…

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任务：

(1)请根据以上阅读材料补全对/十研因式分解的过程.

(2)己知a+匕=4,ab=-8,求Q3+/的值.

【变式2】

43.【阅读理解】

对于二次三项式/+2Q%+Q2,能直接用公式法进行因式分解，得到“2+26+次=(%+°)2,但对于二

次三项式d+2ax-3a2,就不能直接用公式法了.

我们可以采用这样的方法：在一次三项式/+2这一3a2中先加上一项小，使其成为完全平方式，再减去

次这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax-3a2=x24-2ax+a2-a2-3a2=(x2+lax4-a2)-

4a2=(%+a)2—(2a)2=(%+a+2d)(x+a—2a)=(x4-3a)(x-a)

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.

(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式/+2QX-8Q2分解因式.

(2)运用材料中的添(拆)项法分解因式：小+a2b2+/.

【变式3】

44.【学习材料】——拆项添项法

在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅

符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法.如：

例1分解因式：X2+2X-3.

解：原式=%2+2%+1-1-3=(%+1)2-4=(%+1-2)。+1+2)=fx-1)(%+3；.

例2分解因式：V+5x-6.

解：原式=^—x+6x—6=x(x2—1)+6(x—1)=(x—1)(/+x+6).

【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)分解因式：x2+14x-51=.

(2)化简：-3+31-4

x+2

考点12因式分解综合一一分组分解

典例12：

45.阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项

法、配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.

例如：分解因式：X3-4X2+X+6.

解：原式=/一3/--+x+6第1步：拆项法，将-4/拆成一3/和一一

二(二一3%2)一(/一X一6)第2步：分组分解法，通过添括号进行分组

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=x2(x-3)-(x+2)(x-3)第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)

二(x-3)(>2一尢-2)第4步：提公因式法(整体)；

=(r-3)(%-2)(%+1)第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底

(1)请你试一试分解因式：X3-7X+6；

(2)请你试一试在实数范围内分解因式：X4-5X2+6.

【变式1】

46.［阅读材料］

将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法.分组分解法有两种分法：一是“3+

1”分组.二是“2+2”分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构

成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组.

例如：am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(Q+b)(m+n)；

x212%+1—4=(x2+2x4-1)-4=(x+l)2-22=(%+1-2)(x+14-2)=(%—l)(x+3).

［应用知识］

(1)因式分解：a2—ab+be—ac.

(2)因式分解：—a2—6ab—9b24-9.

(3)［拓展应用］

已知一三角形的三边长分别是a,b,c,且满足：2a2=c(2a-c)+b(2a-b).试判断这个三角形的形

状，并说明理由.

【变式2】

47.阅读理解：

当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法.

比如因式分解：am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(Q+b)(m+n)

这种分组法是分组后用提公因式法分解；

比如因式分解：a2+2ab+b2—9=(a24-2ab+b2)-9=(Q+b)2-9=(a+b+3)(a+b—3)

这种分组法是分组后用公式法分解.

根据以上信息分解因式：

(1)ab-a—b+1；

(2)a2-9b2-2a+6b:

(3)n2+(n+1)5+2)(〃+3)5+6).

【变式3】

4a.阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如/-2xy+y2—

第14页

16.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方

差公式进行分解，

过程如下:

x2-2xy+y2-16

=(x—y)2-16

=(r-y+4)(x-y-4).

这种因式分解的方法叫分组分解法.

利用这种分组的思想方法解决下列问题:

(1)因式分解：一2一6时+9b2—25;

(2)因式分解：x2—4y2—2x4-4y.

考点13因式分解综合一一阅读理解

典例13：

49.阅读下列材料:

因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如加2-2m九十

»-25,我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式.

解题过程如下：m2—2mn+n2-25=(m-n)2-25=(m-n+5)(m-n—5).

这种因式分解的方法叫分组分解法.

利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：

(1)因式分解：x2-8xy4-16y2-9；

(2)因式分解：x2+x—6x—6；

(3)若a,b为非零实数，c=(-1)2021,且今(ai)2=(C-6)(Q-C),求a+b的值.

【变式1】

50.阅读下列材料:

因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如%2-2%y+

/-16,我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与笫四项结合再运用

平方差公式进行分解.

过程如下：x2—2xy+y2-16=(%-y)2-16=(x-y+4)(%—y-4).

这种因式分解的方法叫分组分解法.

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)因式分解：次一6。匕+9/72-25;

(2)因式分解：x2+x-5x-5：

第15页

(3)若m、几、p为非零实数，且上(m—九/二(p—n)(租一p),求证：2p=m+n.

【变式2】

51.阅读理解：

一位同学将代数式必一2%+5变形为(好一2%+1)+4,得到(％-I)2+4后分析发现(％-1)2>0,那么当

%=1时，此代数式有最小值是4.

请同学们思考以下问题：

(1)已知代数式/+2%-1,此代数式有最值(填“大"或"小”)，且值为.

(2)已知代数式-/+轨+9,此代数式有最值(填“大”或“小力，且值为.

(3)通过阅读材料分析代数式2/+6%-1的最值情况，写出详细过程及结论.

(4)已知代数式Q/+bx+c(其中〃、氏c为常数，且Q工0),探究此代数式的最值情况，若果有，请

直接写出答案，如果没有，请说明理由.

【变式3】

52.阅读下列材料:

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分

解的多项式的结构，而已能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法.

对于(，+5%+2)(x2+5%4-3)-12.

解法一：设%2+5x=y,则原式=(y+2)(y+3)-12=y2+5y-6

=(y+6)(y-1)=(%2+5x+6)(%24-5%-1)=(x4-2)(x+3)(/+5x-1)；

解法二：设+2=5%=n,则原式=(m+n)(m+/+1)—12=(m+九尸+(m+几)-12

=(m+n+4)(m+n-3)=(x2+5x4-6)(%2+5x-1)=(x+2)(%+3)(%2+5x-1).

请按照上面介绍的方法解决下列问题：

(1)因式分解：(%2—4%+1)(52一4%+7)+9；

(2)因式分解:(x+y—2xy)(x4-y-2)4-(xy—l)2；

(3)求证：多项式(x+l)(x+2)(x+3)(%+6)+/的值一定是非负数.

第16页

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】③④⑥

4.【答案】③

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】1

8.【答案】2；-，【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握多次式乘多项式法则及乘法与因式分解的关系

是解决本题的关键.先利用多项式其多项式法则算乘法，再利用乘法与因式分解的关系得结论.

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】a2+3ab+2b2—(a+2b)(a4-b)

12.【答案】m2+2mn=m(m+2n)

13.【答案】(1)解：5x2yz+10xy2z-Sxyz

=5xyz•x+Sxyz-2y-5xyz•1

=5xyz(x+2y—1)；

(2)解:10ab(a-b)3—5b(b—a)2

=5b(a—b)2-2a(a—b)—5b(a—b)2•1

=5b(a—b)2[2a(a—b)—1]

=5b(a—b)z(2a2—2ab—1).

14.【答案】解:4(a-b)(2a-3b)+(3b-2a)b2

=(3b—2a)[b2—4(a-b)]

=(3,b>—>2,a)(Z?2,+，4,6,-,4,Q)

15.【答案】(1)解：21xy-14xz+35x2

=7x(3y—2z+5%)；

(2)解：15xy4-10%2-5%

=5x(3y+2x—1)；

(3)解：(2a+b)(3a-2b)-4a(2a4-b)

=(2a+b)(3a—2b—4a)

=(2a+b)(—Q—2b)

=—(2a+b)(a+2b)；

第17页

(4)解:(x-2)2-x+2

-(x-2Y-(x-2)

=(%-2)(x-2-l)

=(x-2)(x-3)；

16.【答案】⑴解:-5a2b3+20ab2-5ab

=—Sab^ab2—4b+1)；

(2)解：(x+y)(x-y)-(x4-y)2

=(x+y)(x-y-x-y)

=-2y(x+y)；

(3)解:8a(x-y)2-4(y-x)3

=8a(x-y)2+4(x-y)3

=4(x-y)2(2a+x-y)；

(4)解：x(x2-xy)-(4x2-4xy)

=x2(x—y)-4x(x—y)

=x(x-y)(x-4)；

17.【答案】解：不正确，正确的解题过程如下：

原式=(9a2+4匕2)(9Q2_4b2)

=(9小+4匕2)(3。+2匕)(3。一2匕)【解析】【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的

结构是关键.

分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可.

18.【答案】(1)(9+m2)(3+m)(3-m)

(2)(x+3)(x-3)

19.【答案】(1)解：x2—xy+4x-4y

=%(%-y)+4(%-y)

=(%-y)(x+4)；

(2)解：x2—y24-4y—4

=x2-(y2-4y4-4)

=(x+y-2)(x-y+2).

20.【答案】(1)解：4(a-b)2-(a+b)2

=[2(a-b)+(Q+b)][2(a-匕)一(a+b)]

=(3a-b)(a—3d).

(2)解：—9m24-(2m—4n)2

第18页

=(2m-4n)2-9m2

—(2m—4n+3m)(2m—4n—3m)

=—(5m-4n)(m+4n)

22

(3)W：(x2-2y)-(1-2y)

=(%2-2y+1-2y)(x2-2y-l+2y)

=(x2-4y+l)(x2-1)

=(x2-4y+l)(x-1)(J+1)

21•【答案】(1)(x2-5%+2)2

(2)(%-3)4

22.【答案】(1)解：(X2-2X)(X2-2X+2)+1.

解：设%2—2x=y,

原式=y(y+2)+1

=y2+2y+1

=(y+l)2

=(x2—2x+l)2

=(一)4.

(2)③

(3)解：(a-b+l)2+2(a-b)-l

设a—b=t

原式二(t+l)2+2t-l

=t2+2t+l+2t-l

=t2+4t

=t(t+4)

=(a—b)(Q—b+4)

23.【答案】(1)(1一%十第2

(2)解：设小—4a=Af

原式二(A+2)(4+6)+4=不+8A+16=(4+4)2,

将A还原，则原式=(a2-4a+4)2=(a-2)4.

24.【答案】(1)解：令x-y=4

l+6(x-y)+9(x-y)2

=1+64+9屁

=(1+34)2,

第19页

将%”还原，可以得到：原式=(1+3x-3y)2；

(2)解：令a?-4a—B,

则(/-4a)(a2—4Q+8)+16

=B(B+8)+16

=5+88+16

=(8+4产，

将“8”还原，可以得到：

原式=(a2-4Q+4)2=(Q-2＞；

(3)解：(2n+l)(n+2)(2n2+5n)4-l

=(2nz+5九+2)(2/+5n)+1

=(2n24-5n)2+2(2n2+5n)+1

=(2n2+5n+l)2,

•・•〃为正整数，

・・・2九z+5n+l正整数.

2

(2n4-l)(n+2)(2n2+5n)+1=(2n2+5n+1)»

・•・代数式(2〃+l)(n+2)(2/2+5n)+1的值一定是某个整数的平方.

25.【答案】A

26.【答案】D

27.【答案】(Q-b)(Q-5b)

28.【答案】+l)(y—6)

29.【答案】(1)是；不是

(2)①②

30.【答案】(1)解：28和52这两个数是神秘数；

V28=82-62,52=142-122,

・・・28和52这两个数都是神秘数.

(2)解：由2k+2和2k这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数.

V(2fc+2)2-(2fc)2=(2k+2+2k)(2k+2-2fc)=4(2k+1),

・・・4(2A+1)能被4整除，

・•・由这两个连续偶数构成的“神秘数'是4的倍数.

31.【答案】(1)19

(2)解：偶数为2n,比2n大5的数为2n+S,

A(2n+5)2-(2n)2=(2n+5-2n)(2n+5+2n)=5(4n+5),

第20页

・・・4n+5为整数,

・・・5(4九+5)能被5整除,

・••比2”大5的数与2n的平方差能被5整除；

(3)解：余数为5,理由如下：

设这个数为八，比九大5的数为几+5,

/.(n+5尸-(n)2=(n4-5-n)(n4-54-n)=5(2n+5)=lOn+25,

V(10n+25)=105+2)+5,

..・10九+25被10整除的余数是5,

即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5.

32.【答案】(1)112-92=40=8x5

(2)解:规律(2九+1产一(2九一I下,证明如下：

两个连续奇数，前一个为2九+1,则后一个为2九-1

•・•两个连续奇数的平方差能被8整除，

(2n+—(2n—I)2

=(2n+1+2n—l)(2n4-1-2n4-1)

=2x4n

=8几，

・・・n为整数，

・♦•两个连续奇数的平方差能被8整除.

(3)解：不成立，理由如下：

举反例，如42-22=(4+2)(4-2)=12,

•・,12不是8的倍数,

・•・这个说法不成立.

33.【答案】(1)(m+l)(m-3)

(2)解：。2+公一2。+46+9

=(a2—2a)+(b2+4b)+9

=32-2Q+1-1)+(Z?2+4b+4-4)+9

=(Q-l)2+(6+2尸+4

V(a-l)2>0,(d+2)2>0

/.(a-l)2+(h+2)2+4>4

・•・当。-1=0,匕+2=0时，。2+户一2。+4b+9有最小值，最小值为4.

即a=l,匕=—2原式有最小值4.

第21页

⑶解：a2-4a+b2-6b4-c2-4c+17=0

(a2-4Q+4)十(房—6Z>+9)+(c2—4c+4)=0

则(a-2)2+(b-3)2+(c—2)2=0,

V(a-2)2>O,(b-3)2>O,(c-2)2>0,

a-2=0>b—3=0,c—2=0,

解得a=2,b=3,c=2,

/.a=c,

△ABC是等腰三角形.

34.【答案】(1)解：原式=(小一句2)一(2%一4y)

=(x+2y)(x—2y)—2(%—2y)

=(x-