八年级上册（浙教版）一次函数与直角三角形、全等三角形、最值的综合问题（3大题型）原卷版

专题突破2：一次函数与直角三角形、全等三角形、几何最值的综合

01常考题型

广生7姐in-.----------题型2-次函数与全等三角形的结合）

［幽1-次函数与直角三角形的结合）------形

I的一示口琛允J一题型3-次函数与几何最值的综合

02技巧解密

一、一次函数与直角三角形存在性

1、重要思想：点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式

2、"两定一动型"直角三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成直角三角形；

解决办法："两垂一圆"

“两垂”：求出经过两定点的直线解析式，过两定点作直线的垂线，与目标直线的交点即为所求的坐标

"一圆"：以两定点组成的线段为直径作圆，与目标直线的交点即为所求

☆:直线垂直多需用到灯永2二-1

通用方法：直接利用勾股定理分类求解

二、一次函数与全等三角形结合问题做题要点：

①两三角形有没有用些符号连结，没有，多需要分类讨论

②有全等就有对应边相等、对应角相等，所以多在动态环境中抓静态因素

③和长度结合时，多联想勾股定理

④审题中注意动点所在的运动轨迹，看是线段、射线、还是直线，不同线型会导致分类的个数不同。

三、最值常结合模型——将军饮马；

1、”两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接；

2、"两定两动型"将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接;

03题型突破

题型——次函数与直角三角形的结合

【例1】.（2023秋•长兴县期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线48：y=2x+Z）与x轴交于点力

（-2,0）,与y轴交于点反

（1）求直线43的解析式；

（2）若直线CD：y=・L+S与x轴、y轴、直线48分别交于点。、D、E,求△8QE面积；

22

（3）如图2,在（2）的条件下，点b为线段力。上一动点，将沿直线打翻折得到△加‘、EN

【变式1-1].（2023秋•婺城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y;3x+15分别交工轴、P轴

4

于点4B,交直线y=x于点M.动点。以每秒。个单位的速度从点。沿04的方向运动，设运动时间

为/秒，C点在线段力8上，旦C坐标为（20上t,9t）.

55

（1）求点A的坐标和AM的长.

（2）当，=5时，线段CO交QW于点尸，且尸C=尸。，求”的值.

（3）利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△COE（点C,E按逆时针顺序排列）.当。/

与△CQE的一边平行时，求所有满足条件的t的值.

【变式1-2].（2023秋•义乌市期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线丫=_1/16交x轴于点儿交y

3

由直线48相交于点C.

（1）求点/，C的坐标.

（2）现有一动点P沿折线O-C-5-O以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为/秒.

①当△04。为等腰三角形时，求出所有满足条件的/的值.

②如图2,已知x轴正半轴上有一动点0,当点尸在线段（力上运动时，连接CP,CQ.作△CQ4关于

直线C。的对称图形△CQT,作△CP8关于直线CP的对称图形,射线CT交x轴于点

M.当B'P//A1。时，是否存在/的值，使△M04'恰好是直角三角形？若存在，请直接写出/的值;

若不存在，请说明理由.

题型二一次函数与全等三角形的结合

【例2】.（2023秋•莲都区期末）如图，直线〃?的函数表达式为j，=-2x-6,与K轴交于点4直线〃经过

点4（2,0）和点C（0,-1）,且直线〃?，〃交于点Q.

（1）求点/I,点。的坐标.

（2）点。是x轴上的一个动点，求尸力+凡升尸。+尸。的最小值.

（3）点M,N分别是直线小，〃上的两点，且不与点力，4重合.当△MND@A41D时,直接写出每一

组点"和点N的坐标.

【变式2-1].（2024•宁海县校级自主招生）已知在平面直角坐标系中，直线小y=当+3交坐标轴于力、B

4

两点，直线，2：丁=履+力交坐标轴于。、。两点，已知点C（2,0）,D（0,6）.

（1）设/i与/2交于点£，试判断1的形状，并说明理由；

（2）点P、。在△ACE的边上，且满足△OPC与△OP。全等（点。异于点C）,直接写出点。的坐标.

【变式2-2].（2023秋•柯桥区期末）已知：如图1,平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别与

x轴，y轴交于点4"，点。的坐标是（3,0）.

A

D

区

图1图2

（1）求直线的函数表达式；

（2）若直线上有一点P,且%%C=2SA/8C，求点P的坐标；

（3）直线4c上方是否存在一点M,使得必、B、C三点构成的三角形与△48C全等？若存在，请直接

写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2-3].（2021秋•东阳市期末）如图，直线/：尸履+3与x轴、歹轴分别交于力、8两点，里=3,

0A4

垂足为点M,点P为直线/上的一个动点（不与H、8重合）.

（1）求直线y=b+3的解析式；

（2）当点尸运动到什么位置时△BOP的面积是6；

（3）在〉，轴上是否存在点。，使得以O,P,。为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符

合条件的点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

题型三一次函数与几何最值的结合

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【例3】.（2024春•椒江区期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴交于点力，与y轴交于

点、B,Q为线段8。上的动点，连接力P,作点。关于线段4P的对称点。，连接力O,DP.

（1）求44两点的坐标；

（2）如图2,当点。落在直线上时，求点。的坐标；

（3）如图3,作点力关于y轴的对称点G连接4C,£为4c的中点，连接OE,求线段。七的最小值.

【变式3-1].（2023秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点力（-2,0）的直线y=3x+b与y

轴交于点6,直线3C交x轴正半轴于点GOC=O8,点P是直线8c上的动点.

（1）求直线8c的解析式.

⑵若SZUBPVSAABC'求点「的坐标•

（3）已知点。在线段48上，连结OP、OQ.PQ.

①若△PQ4与△PQO全等，求线段尸0的长；

②在P、。的运动过程中，的最小值为（直接写出答案）.

（备用图）

【变式3-2].（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=V>+6分别交》轴，N轴于点

B,A,