第十章 分式（单元自测-提升卷）-苏科版八年级数学下册【含答案】

2025-2026学年八年级下册数学单元自测

第十章分式•能力提升

建议用时：60分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

八3a+b212»nr18x.

1.下列各式：，,X+/，9——，—；，一中，分式有（)

a7mx-\7T

A.2个B.3个c.4个D.5个

2.当x取哪个数时，分式［I］的值不存在（

)

A.x>1B.x=0c.X<1D.x=\

3.已知必=1,则等一20261Vt/士o

〃+l的值为()

a'+1

20262025

A.2025B.c.2026D.

20252026

4.下列约分正确的是（)

a2+ba+bb+a,

AB.------=-1

FFa+b

xyxa+\1

Cr・2=D.

xy-yx-ya+2~2

-Y

5.772口JHd可为()

x-xy

I111

A.------B.C.D.

y-xx+yx+yx-y

6.化简;;i的结果是（）

\+a2(")2

A.\+aB.a-\C.D.

a-\a-\

7.若〃-"=0.在如图所示的数轴上标注了四段.则表示/2a）+〃+（4'）一的点落在

a~-abcr

（）

①②③④

-2-1012

A.段①B,段②C.段③D.段④

8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送

试卷第1页，共4页

到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间

少2天，己知快马的速度是慢马的g倍，求规定时间.设规定时间为不天，则下列分式方程

正确的是（）

80058008005800

A.：—X------B.—X------

x-22x+1x+22x-1

800280()800580()

C.—X-------D.—X------

X-15*+2X+12x-2

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

9.若分式一三有意义，则实数x的取值范围是

x-7

10.已知—4〃?+1=0，那么"+—2=.

m

11.若x为整数，且使分式£的值是整数，则》的值是

2x+l-----

12.己知尸―一/1,。一卷其中〃v6<。，则P、。的大小关系是_________.

a-ba-b

13.张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地.张华在前半段路程的平均步行速度是

〃km/h,在后半段路程的平均步行速度是从m/h；李明全程的步行速度是gqkm/h.已知

甲乙两地的路程为1km,且"b,张华从甲地到乙地所用的时间为h；张华和李明先

到达乙地的是（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）

14.已知关于x的分式方程号+丝f=1的解为负数，则4的取值范围是.

x+1x+\

15.若关于x的分式方程上^2〃=兽无解，则。的值为__________.

x-33-x

16.当不分别取2024,2023,2022..3,2,1时，计算分式」一的值,所得结果相加

x~+X

的和为.

17.对于实数X,y定义一种新运算“※”：^※^二―一，例如：1※2=7T4=-2,则当分

x-y1--2

式方程xXl二一二-芸二的解大于-1时,，加的取值范围是

x-1%--1-------

18.将分式,和一二分别记为历，N,请按下列步骤操作：第一步，先计算M+N,结果记

为M1,再计算M-N,结果记为M；第二步，先计算％+M，结果记为“2,再计算

M-M，结果记为M；第三步；先计算M+M，结果记为”3,再计算％一优，结果记

为N>…继续操作下去，则％=.若M?=192,则心的值是

试卷第2页，共4页

三、解答题(共7小题，共46分)

19.计算：

122

(zi)m2—9+3—；

⑵—1.

vx+\x-\

20.计算

,w+lm2-1

(1)1----------------;

m-2m~+4-4w

(x-1_x+3]qx-9

<2\x2-6x+9-x2-3xj7^

21.解分式方程：

---

[x+22-xX2-4

22.先化简，再求值：(上Y-二1一、・x~4-2Y+1,选一个你喜欢的数代入并求值.

VA-1X-x)X

23.已知关于x的分式方程=-勺=1.

(I)若分式方程的根是x=2,求a的值；

(2)若分式方程有增根，求a的值.

24.观察下列方程及其解的特征：

①x--二；的解为F=2,x=--；

x222

1Q1

②x—=彳的解为X|=3,x^,=——；

x33

③：的解为％=4,x,=-J；

x44

解答下列问题：

1?4

(1)第4个方程x-±=§的解为

x5

(2)请猜想第〃个方程为：第〃个方程的解为.

(3)请根据方程的解的定义验证(2)中猜想的方程的解的正确性.

25.2025数字中国创新大赛-中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比

赛，"天元号''和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛牟从起点同时出发，当“天元号''

试卷第3页，共4页

4

到达终点时，"朝阳号’’才行驶到全程的《，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米.

(I)求“朝阳号”的行驶速度；

(2)如果将“天元号”的行驶路程增加《，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛,

两车能同时到达吗？通过计算说明；

(3)若按照(2)中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点.

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】本题考查分式的定义，负整数指数累，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才

是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义.

【详解】解：•.•分式是分母中含有字母的式子，

・•,对于士，分母有字母心是分式；

a

对于手，分母是常数7,无字母，不是分式；

对于是多项式，分母无字母，不是分式；

对于（-加尸，可化为崇，分母有字母外是分式；

对于江，分母有字母〃?，是分式；

m

对于」7,分母有字母心是分式；

X-1

Q

对于7r，分母乃是常数，无字母，不是分式；

・••分式有4个，

故选：C.

2.D

【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到l-x=O,

求解即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：•.•分式丁匚的值不存在时，

\-x

1-x=0,

•••x=1,

故选：D.

3.C

【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件加=1

化简计算，即可得出结果.

【详解】解：・：ab=l

二原式=2026x（*+仓）

答案第1页，共13页

b1+\+a2+\

=2026x

'/+从+2、

2026x

+/+/+1,

vab=\t

(rh2=(，必)~=I2=1

a2+b2+2a2+b2+2y

代入得：2026x=2026x=2026x1=2026

1+片+加+1/+〃+2,

故选：C.

4.C

【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键.依据分式约分法则，即分子分母同

时除以公因式，多项式先为式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案.

【详解】解：•.•选项A中，分子/+b无法分解出因式*不能将分子的a?与分母的。约分,

••.A错误；

,••选项B中，处，=竺^=],并非-1,，B错误；

a+ba+b

•.•选项C中，分母—分子9与分母的公因式为歹(》工0),

C正确;

折j，2y(x-y)x-y

•.•选项D中，分子。+1与分母。+2没有公因式，不能约分，.・.D错误.

故选：C.

5.A

【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解.

【详解】解：

x-xy

-x

x(x-y)

1

y-x

故先：A.

【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解,

再约分.

答案第2页，共13页

6.C

【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减

法则计算.

【详解】解：•.•原式==+。一1,

a-\

二将"1化为分母为"1的分式，得二+但二D1,

<7—1a—\

••・同分母分式相加，分母不变，分子相加，

•••分子计算：+(a-1)"=2a+a2-2t/4-1=«2+1,

故选：C.

7.D

【分析】将原式化简后，将。=3〃代入即可求解.

【详解】解：6T-3/)=0,

:.a=3b,

./-2"+〃二(Q-b)~

a2-aba2

二(”叫力，

a(ci-b)(a-b)一

a

a-b

3b

~3b-b

3

=5，

...表示直+空1的点落在④段.

a-aba~

8.A

【分析】设规定时间为x天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的：倍,

即可列出正确方程.

【详解】解：设规定时间为大天，则慢马用时为(x+1)天、快马用时为(x-2)天，则

答案第3页，共13页

800580（）

-2X7+T*

9.工工7

【分析】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零.

根据分式有意义的条件即可求解.

【详解】解：根据题意得：x-7^0,

解得：x齐7；

故答案为：x丰7

10.14

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，根据题意可得〃?*0,把

所给等式两边同时除以m得到m+工=4,再根据“+工=（〃?+_11一2〃八,计算求解即可.

m"1m）m

【详解】解:当m=0时，〃J-4小+1=1,

•••当〃L-4/〃+1=0时，w*0，

二-4+—=0,

m

1,

/.mH—=4,

m

2

：♦ni2+—^7=।777+—I—2）！•—=42—2=16—2=14,

m~vmJm

故答案为：14.

II.-2,-1,0,1

【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键：要使分式工的值为整

2x+l

数，则分母2x+l必须为6的约数，即2x+l的值为±1,±2,±3,±6,再结合x为整数求

解即可.

【详解】解：因为分式工的值为整数，且x为整数，所以2x+l是6的约数，

2.x+1

二2x+1=±1或2x+1=±2或2x+1=±3或2.r+1=±6,

当2x+l=l时，解得x=（）,当2彳+1=-1时，解得x=-l：

当2x+l=2时，解得x=0.5（不符合整数条件，舍去），当2x+l=-2时，解得x=（不

符合整数条件，舍去）；

当2x+l=3时，解得x=l,当2x+l=-3时，解得x=-2：

答案第4页，共13页

当2x+l=6时，解得x=2.5(不符合整数条件，舍去)，当2x+l=-6时，解得x=-3.5(不

符合整数条件，舍去)：

因此，x的值为—2,—1»0,1；

故答案为-2,-1,0,1.

12.P>Q

【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的

关键.

通过作差法比较尸和。的大小，计算尸-。并化简，结合条件。(人<0判断计算结果的符号，

即可解答.

的用时*八a~+^22aba2+b2-2ab("〃)a-b

【详解】解：根据题息，Pn_Q=R-R=F^=M&=R,

,:a<b.

.,.a-b<0,a+h<01

—>0,即>0,

a+b

.-.P>Q.

故答案为：P>。.

13.号李明

lab

【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键.

根据时间=路程+速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用

的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地.

【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为"+竽=磐仙)；

ablab

李明从甲地到乙地所用的时间为1+?=’7仙)，

a+b2_(a+b)2-4ab_(a-b)'

laba+b2ab(a+b)2ab(a+b)'

,:a手b,a>0,b>0,

二即张华所用的时间大于李明所用的时间，

2ab(a+b)

・•・先到达乙地的是李明.

答案第5页，共13页

故答案为：誓；李明.

lab

14.左且Awl

【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可.

k0VJ-AT

【详解】解：」7+小?=1,

k+2x+k=x+\

2x-x=\-2k

二x=1-24且xW-1,

l-2k<0

由题意知，</

解得人〉;且Rwl.

故答案为：且女工1.

15.g或-1

【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解。的值：一种是整理后整式方

程中x的系数为0,整式方程无解，此时原分式方程无解：另一种是整式方程有解.，但解为

原分式方程的增根，此时原分式方程无解.

【详解】解：上;-2〃==

x-33-x

方程两边同乘最简公分母(4-3),得X-2Q(X-3)=-3%

整理得(1-2〃卜=-9%

1Q

当1-2。=0,即。=］时，方程左边为0・x=0,右边为-9。=-彳工0,整式方程无解，因此

原分式方程无解，符合题意.

当1-2“工0时，若原分式方程无解，则整式方程的解为京分式方程的增根.

分式方程的增根使最简公分母为0,即x-3=0,得x=3,

将x=3代入(1一2a)x=-9q,得3(1-2〃)=-9a,

解得。=7.

综上，。的值为9或-1.

答案第6页，共13页

2024

16.----

2025

【分析】本题考查了分式的求值，利用分式的性质裂项求和是解题的关键.根据分式的运算

法则可得出小击，令x分别取2024,2023,2022,3,2,1,再代入到化简的

式子求和即可得出答案.

1_(x+l)-x_11

【详解】解:

x2+xx(x+l)Xx+\

当力分别取2024,2023,2022,…，3,2,1时,

1111111,1

所得结果相加的和=一+一--+…+-----+----+I---

20242025202320242022202334232

-----F1

2025

_2024

-2025

2024

故答案为:

2025

17.且/

【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程,

求解后得到x=〃?-l,再结合解大于-1及分母不为零的条件求加的取值范围，即可求解.

【详解】解：由题意得工=」7-整，

x--\x-\x--\

去分母得1=X+1-(〃L1).

解得X=〃L1,

由解大于T得mT>T,

解得〃?>0,

由xH1得〃?一1工1,即mw2,

由xw—1得加一1w一1即〃？工0,

综上，〃？〉0且工2,

故答案为：w>0且加=2.

4

18.-48

x

【分析】本题主要考查了分式类的规律题.分别求出他，〃2，N”M\,N,，由此

nn

发现规律，当〃为偶数时，M“二一，M=-即可求解.

XXI1

答案第7页，共13页

【详解】解：=.Z+N=L+-L,N\=M-N=>一一—

xx+1Xx+1

uuCOf1112

A/,=M+乂=_-।----+--------=—,

x+17yxx+1Jx

<xx+1J(xx+\)x+1

22

AA7=M+/V=—+---

322xx+l

2k?*

当〃为偶数时，M,=—,N,=—

Axkx+1

,606

二%2=—，N\、=——，

x12x+\

vM]2=192,

26

—=192,

x

解得:

3

经检验：x该方程的解,

T

.MLL=48

-+1

3

4

故答案为：一，48.

x

2

19.(1)——-

〃?+3

⑵一舍

【分析】此题考查了分式的加减混合运算能力，关键是能准确进行通分、计算.

（1）先因式分解和变号，再进行通分、加减运算:

（2）先通分，再进行加减运算和化简.

122

【详解】⑴解：

答案第8页，共13页

12_________2

+3)(w-3)rn-3

122(/〃+3)

+(wz+3)(w-3)

12-2m—6

(w+3)(/7/-3)

-2(w-3)

(〃?+3)(/〃-3)

2

m+3'

x1

(2)解:--——--1

x+\x-\

伞_1)________x+\(x+l)(x-l)

(X+1)(X-1)-(X+1)(X-1)-(X4-1)(X-1)

X-x-x-\-x+1

-x^i

2x

20.(D^-

/w-1

⑵

【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则.

（1）先计算除法，再计算减法;

（2）先计算括号内减法，再计算除法.

［详解］(1)解：I-卫+二一1

m-2nr+4-4ni

im+\(ni-2)12

=1------------------

m-2(w+l)(???-l)

.m-2

=1------，

m—1

_rn-\-(机-2)

m-\

_w-1-w+2

1

m-\

.1x+3、x-9

（2）解:

x2-6x+9xz-3x)

答案第9页，共13页

x-1x+3x-3

(x-3)2x(x-3)x-9

_x(x-l)-(x+3)(x-3)x-3

Mx-3)27^9

x2-x-x2+9x-3

x(x-3)2-•7^9

x-9x-3

~~x(x-^2r-9

1

1—3)

1

=3^?,

2

21.(I)”］；

(2)无解

【分析】本题考杳分式方程的求解，核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解,

最后必须检验根的合理性.

(1)确定最简公分母为工-1，去分母转化为整式方程求解后进行检验；

(2)确定最简公分母为(x+2)(x-2),去分母转化为整式方程求解，检验发现所得根为增

根，故原方程无解.

【详解】(1)解：方程两边同时乘以最简公分母x-l,得：x-l-l=-2x,

移项合并同类项得3x=2,

两边同时除以3得工=

2

检验：当x=§时，得工一1工0,

2

.•"=5是原分式方程的解；

(2)解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-2),得：3(x-2)+4(x+2)=16,

去括号得3x-6+4x+8=16,

合并同类项得7x+2=16,

移项得7x=16-2,即7x=14,

两边同时除以7得x=2；

检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,

•••X=2是增根，原分式方程无解.

答案第10页，共13页

Y2

22.—\；f（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键.先根

据分式混合运算法则进行化简，然后代入一个使分式有意义的数，进行求值即可.

X2+2X+\

【详解】解:

X(X-I)(x+1)*2

X(X-1)(x+l)2

x+\

•:x*±1,0,

22

••.把x=2代入得：原式=「二彳.（答案不唯一）

2+13

23.⑴”18

（2）a的值为3

【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解

题的关键.

（1）把x=2代入方程计算，即可求出。的值；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x=0或-3,代入整式方程

计算即可求出。的值.

【详解】（1）解：•••分式方程的根是x=2,

2+a6,

-------=1,

2+?2

解得。=18；

（2）45>^f^-v（-v+«）-6（x+3）=x（x+3）,

整理得©-9x78=0,

;分式方程有增根，

，x=0或x=-3,

当x=。时，。一。-18=。，此时不存在4的值：

答案第11页，共13页

当x=-3时，-3t/+27-18=0,解得。=3,

综上，。的值为3.

U\

24.(I)x)=5,x=—

25

(3)见解析

【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关

键.

(1)根据题中给出的特征即可得到解答；

(2)根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可；