导数中的同构（原卷版）2027届高考数学一轮复习

第20讲函数中的构造问题

题型一公式同构..........................................................................5

题型二轮换式同构........................................................................7

题型三指对同构..........................................................................8

【基础回顾】

一、构造函数的基础理论

1.利用导数公式构造

(1)乘积构造；Q")'=uv+uv.

若出现r(x)g(x)+f(x)gXx),可构造h(x)=f(x)g(x).

y……(八uv-uv

⑵商的构造：一=----Z-----.

kvjV*-

若出现‘‘"总。)"/‘)‘")，可构造二四.

g(x)

⑶复合函数求导：若y=/(〃)，〃=g(x),则y=/'(〃)・/⑴.

如/'(/)•/可令〃=构造关于U的函数.

(4).常见函数的导数特征

(ex)1=e\常与其他函数乘积构造(如《/(幻)，简化导数形式.

(lnx),=-：若出现」工也，可构造ln"(x)|(需注意八x)H0).

xfM

(V)'=〃X〃T：用于某函数与其他函数的组合构造(如丁/3)).

2.结构同构

导数的同构其本质就是构造函数，构造形式大致可分为两类：

(1)双变量轮换式构造

当天>S,形如)k可等价变换为：

A1-X2

>ko/a)一/(%2)>N%-工2)0

Xl-X2

/(菁)-包>f(x2)-kx2

构造新函数尸*)=/*)-h，研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单，对不等式移项或变

形即可得到，难度不大.

(2)指对混合构造

解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂,则将不等式变形为/［履切>/口心)］的结构，

/(㈤即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式:①x"=e­；②《③

x

—=elnv';④x+Inx=In(xex);(§)x-lnx=In—.

ex'/x

方法1：直接变形

指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？比如在j、x、1nx中，指数夕增长最快属于第一阶，上其次属于

第二阶,对数皿工增长最慢属于第三阶.

(1)积型:aeu<b\nb

=>aea<\nbe'nh^>f(x)=xer(同左)；

=e""ne"&Z?lnZ?=/(x)=xlnx(同右)；

=>«+lna<ln/?4-ln(lnZ;)=>f(x)=x+Inx(取对数).

说明:取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.

-e“-<-b-

(2)商型：。Mb

仁出量⑺上

=>a\nbx(同左)；

eabx

=------<-----/(x)=-----

Inein/?nInx(同右)；

=>a-lna<lnb-\n(\nb)/(x)=x-lnx(取对数)

(3)和差型:e"±〃>力士In"

=>e('±a>eh,,,±\nb=>f(x)=e'±x(同左)；=>eu±\nel>b+\nb=>f(x)=x±\nx(同右)

方法2：先凑再变形

若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以巴同加上十

等,再用上述方式变形.常见的有：

®ae<tx>In.r

=axe"'>xlnx；

可构造/«=#nx,等价于f(*)>f(x).

②e'>“ln(at-a)-a

=>•!■">In［«(x

=ei"-Ina>=>e'-,n<<+x-ln6z>ln(x-l)+x-l;

可构造/W=In.1+A-,等价于)>/(x-1).

r

@a>logax

=>*na>叱

Ina

=>(xIna)ex}na>xlnx

可构造/")=AinA-，等价于/(/M)>.

④x十二V-Inx"(x>0)

=>--In—>xa-Inxa

exe'

可构造/W=xTnx,等价于『［］之/(x“).

1e/

⑤f>-aInx

x、一alnx

=>xe>--------

=>xex>-a\nx-e~a'nx

可构造/W=xe',等价于2f(-a\nx).

二,切线放缩基础

知识点1:重要的切线不等式

由四像可以分析得到:

①e'21+x(当”=°时，等号成立)

②e'N"(当工=1时，等号成立)

③In文_l（当x=l时，等号成立）

-----------M--------------

放缩为一次函数lnx<x

ln(l+x)4x

Inx<一■-^(.v>1)\nx>一--^(0<x<1)

放缩为双撇函数

lnx<\[x--^=(x>1)lnx>A<1)

In.r^x2-x

对放缩为二次函数

ln(l+x)<x--A2(-I<x<0)In(1+x)>A---x2(x>0)

数22

放Inx^1--

X

络

2(A-I)、

lnx>-----Mzx>l)

x+\v)

2(x-1),、

ln.v<-i——M0<x<l)

A+iv7

放缩为类反比例函数

K+归+]

ln(l+x)>]+Jx〉。)

叩+小备卜<。)

e^>x+\

指

放缩成一次函数ex>x

数

e'>ex

放ex<—!—(x<0)

1X

缩放缩成类反比例函数

^<-±(x<0)

ex>1+A+-JX2(X>0)

放缩成二次函数

,,1,1,

e>1+x+—A*+—.v

26

sin;v<JI<tan.v(.r>0)

・、I'

sinx>JC—x'

三角函数放缩2

1--x2cosx^1--sin2x

22

y=ln.r

y=e*'-l

以直线，=1为切线的函数y=x2-x

y=1--

A-

y=x\nx

万能放缩：

当0<%<1时，+Vln(x4-1)<sinx<x<tanx<ex-1<可以用来比较大小。

说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可，不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,

并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型，也基本都会在前一问中给提示，

所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法.

题型一公式同构

分为指数函数的构造、事函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造。

【例题精讲】

1.已知函数/（x）的定义域为（一。g）,其导函数是/（外，且满足f（x）cosx+r（x）sinr<0,则

乙2

关于x的不等式/（幻<2f《）cosx的解集为（）

71TCIf7T77兀、777T

（一,—）（―另，一豆）（一亍一）（一亍-K）

A.32B.23C.23D.26

2.已知奇函数/（X）的定义域为R,当1>0时・，xf（x）-f（A）>0,贝1J（)

A./(I)>/<2)B./(1)>2/(2)

C./(2)>-2f(-1)D./(-2)>-2/(1)

3.已知定义在(0,刍上的可导函数/(x)满足/(x)shvc-f(x)cosx>0恒成立，且/'(9=百，则不

等式/(外V2siiu-的解集为()

A.(0,9B.刍C.(0,看)D.(小刍

4.设/(*)为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数.若/''(")仇"〉孕，贝IJ()

A./(2)ln2<f(e)B./(2)>f(e)ln2

C./(2)l〃2>fG)D.f(2)</(e)M2

5.已知,f(x)是定义在R上的奇函数，/(2)=0,当x>0时，Wxf(x)+f(x)>0成立，则不等式

/(工)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+8)B.(…，-2)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(0,2)D.(2,+8)

6.定义在R上的奇函数/(x),满足/'(2)=0,且当x<OH寸，不等式/(x)>-xf'(x)恒成立，则函

数g(x)=lg[x-W-xfCx)的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

7.已知/(龙)是定义在(-5,0)U(0,5)的偶函数，当x>0时，xf(x)-2f(x)<0,且/(2)

=0,则(X-1)/(x)>0的解集为()

A.(-5,-2)U(1,2)B.(-2,-1)U(2,5)

C.(-5,-2)U(2,5)D.(-2,0)U(0,2)

8.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)<f(A),贝I()

A.f(4)>6/(3)B./(4)>e2j(2)

C./(-4)>(rfC-2)D.ef(,-4)>/(-3)

9.设定义在R上的函数/(x)的导函数为/(工)，若/(x)-f(x)>2,/(0)=2026,则不等式/(x)

>2024-^+2(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(-8,0)B.(0,+8)

C.(2026,+8)D.(-oo,0)U(2026,+8)

10./(x)是定义在R上的可导函数，且满足城(x)+f(x)<0»对任意实数a,b,若a<b,则必有

)

A.qf(a)<bf(Z?)B.bf(a)<af(b)

C.af(Z?)<bf<a)D.af(a)>bfCb)

题型二轮换式同构

同构原则：物以类聚。

【例题精讲】

1.已知函数/(4)=",g(x)=ar2,若对任意的xi,X2W(0,+°°),xi<%2,f(xi)-f(X2)<g(XI)

-g（X2）恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.（-8,01B.（-8,1]C.（-8,e]D.（0,1]

2.已知函数/（工）="一ar2,.隹（0,+°°）,当.初＞工|时，不等式一"次）力恒成立,则实数。

XX2

的取值范围为（）

e2e2

A.（-°°»-]B.（-8,——）

12」12

C..（-co,1）D..（・8,£]

22」

3.若对0〈内—都有方（金尸】必＜2x2-2xi成立，则a的最大值为（）

A.1B.2C.eD.2e

4.已知a="，6=J，c=绛^，则小b,c的大小关系为1

U&7

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

5.已知。=/〃2,b=竽，c=最贝ij()

Jc

A.b>c>aB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

6.已知实数w,X2满足与靖】=一聆=t>0,则"'的最大值为()

x242

A.eB.4e']C.4e'2D.4e2

7.已知正数x,y,z满足910g27K=2em方=6Zog8Z=L则()

A.z<y<xB.z<x<yC.y<x<zD.x<z<y

=4+/城2,若Vxi,X2€R,w#X2，都有'（*2）＞一2,则实数"7的取值范围为

8.己知函数/（x）

Xl-X2

()

A.（一述，V6）B.[―\/6»V6]

C.[-273,25/3]D.(-2G2/3)

9.若对于0<xi<xi<a,都有xilnx\--xi成立,则a的最大值为()

1

A.-B.IC.eD.2e

2

10.已知函数/⑴=-ax+kx,aER.若/Cr)有两个极值点w,必且/(xi)4/(x2)<A(制+也)

恒成立，则实数入的取值范围为()

A.[-烹，+8)B.g,4-co)C.[-y/2,f+s)D.+8)

题型三指对同构

同构原则：指对分离，物以类聚，缺啥补啥，多啥除啥。

【例题精讲】

1.已知函数/'(%)=aex-伍(三)+1(。>0),若不等式/(工)20恒成立，则实数。的取值范围为()

A.+8)B.强,+oo)C.(0,技]D.(0,总

2.已知不等式户+1>色处蛆对近诧(0,+8)恒成立，则实数及的取值范围为()

KX

11

A.(-0)U(-,+8)B.(一，+8)

ee

C.(-0)U(e,+8)D.(e,+°°)

3.已知aVO,若x>l时，e*ex2.d・恒成立，则a的最小值为()

A.-1B.-2C.-2eD.-e

4.若exa^btx+a对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,1)B.(-°0,1]C.(-8,2]D.(-8,e]

5.已知函数/(工)=6年1&3若对任意在(0,+