2026高考数学复习 二项式定理（附解析）

二项式定理

知识新理•双星自测)

知识梳理

知识点一二项式定理

m+O)"=C%〃+CW厂/+•・・+&"[％"+…+C肪%〃wN+).

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做3+力)〃的二项展开式，其中的

系数C£(A=0』,2,…，脸叫做二项式系数，式中的C=〃"7#叫做二项展开式

的通项，用。+i表示，即通项为展开式的第&+1项:Tk+i=C/〃忸.

知识点二二项展开式形式上的特点

1.项数为“+1.

2.各项的次数都等于二项式的事指数〃，即a与-的指数的和为〃.

3.字母〃按降基排列,从第一项开始，次数由〃逐项减小1直到零；字

母方按升事排列,从第一项起，次数由零逐项增加1直到几

知识点三二项式系数的性质

与首末等距的两个二项式系数相等

时,二项式系数是递增的

时，二项式系数是递减的

当〃为偶数时,中间一项的二项式

系数最大

当”为奇数时.中间两项的二项式

系数相等且最大

二项

式系

数的和

归纳拓展

1.二项式定理中，通项公式九十i=C防厂%人是展开式的第〃+1项，不是第Z

2.二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指c9,cl,…,a,它只与各项的项数有关，而与〃、匕的值

无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，

而且也与〃、b的值有关.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“、/”或“X”)

接是二项展开式的第攵项.()

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()

(3)3+。)〃的展开式中某一项的二项式系数与小〃无关.()

(4)3—。)〃的展开式第&+1项的系数为小/纱.()

(5)(工一1)〃的展开式二项式系数和为一2".()

(6)在(1一%厂的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.()

［答案］(1)X(2)X(3)7(4)X

(5)X(6)X

题组二走进教材

2.(选择性必修3P38T5(2))(9%一直)圈的展开式的常数项为.

［答案］18564

［解析］(9工一去18的展开式的通项为刀+|=©8(9»8-「.(一去)=

(-1),3即气/43r

.由题意得18—亍=0/=12,・•・肯数项为Ti3=ClR=C%=18564.

3.(选择性必修3P38T5(1))(1+3x)4的展开式中按x的升耗排列的第3

项为.

［答案］一26.F

［解析］(l-2r)\(1+3x)4的展开式的通项分别为A+|=CS(-2X)「，TZI=G

⑶内又(1-2X)5(1+3I)4的展开式中按x升嘉排列的第3项即展开式中f项，C?

(-ZV)°-C4(3X)2+Cg(-2v)-Ci(3x)+Q(-2^)2-C3(3X)°=一26x2.

题组三走向考场

4.(2024・北京卷)(工一5)4的二项展开式中x3的系数为()

A.15B.6

C.-4D.—13

［答案］B

r,4-y

［解析］(X—5尸的二项展开式为方+l=C4/-r(—5)r=C：(-l)"-，(r=

0,123,4）,令4一彳=3,解得r=2,故所求即为C*-l）2=6.故选B.

5.（2022・新高考I卷）（1—小+）炉的展开式中。，6的系数为（用数字

作答）.

［答案］—28

【解析］因为（1一；卜+）炉=（工+），）8—7+），）8,所以（1一:卜+），）8的展开式中

含X*12/的项为—/1?），5=_2取2）,6,故（］一；）。+）炉的展开式中f）,6的系数

为一28.

弯点突破•巨新报先

看点1二项展开式的通项公式的应用——多维探究

角度1求二项展开式中的特定项或特定项的系数

1.（2026•河南郑州部分学校质检）在作一枉+的展开式中，含V的项的系

数是.

I答案］7

［解析］在令一展开式的通项为0+i=a2）8r（—w）A=a8}r（—i＞，，

当2=6时，以（卜3=7总所以含2的项的系数是7.

2.（2026•黑龙江新时代高中教育联合体摸底）口+1严=m+0（%+1）+〃2。+

1）2H----Ftzio（x+1）10,则43=.

［答案I-960

I010-rr

［解析］（2xIl）=［2（xI1）—IF。的通项公式为；7；+I=Cfo［2（xIl）］（-l）,

取，=7,可得：«3=C?OX23X*（-1）=-96O.

［引申］本例1展开式中有理项有项，第四项是.

7-

［答案］5—犷

［解析］显然当左=0,2,4,6,8时，2k为整数，故展开式中有理项有5项，74=

C出（_1）3.=一弦

角度2二项展开式中的含参问题

彳列（2025•天津河东区模拟）在（2x+$）5的展开式中x-4的系数为320,则实数

a=.

［答案］2

［解析］因为展开式的通项公式77+尸（23尸整）=25%（*,2’一=

0,1,…,5.令5—3r=-4得,=3,又25-3〃cg=320,：.a=2.

角度3二项展开式中系数最大项问题

彳列（2024.全国甲卷）g+x）。的展开式中，各项系数的最大值是.

［答案］5

I解析］由题展开式通项公式为刀+1=。0（9°一丫，0&W10,且rez,设展

Cfo眇）次/凯,

开式中第r+1项系数最大，则<=>

|c册PC错）

WrW亍33，又rU,故/-8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数

为C¥O（，2=5.

名师点拨：

1.求形如（a+b）〃（“£N*）的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特

定项等）的步骤：

第一步：利用二项式定理写出二项展开式的通项公式77+i=CZ〃一必。常把字

母和系数分离开来（注意符号不要出错）；

第二步：根据题目中的相关条件（如常数项要求指数为零，有理项要求指数为

整数）先列出相应方程（组）或不等式（组），解出厂；

第三步：把，•代入通项公式中，即可求出刀+i,有时还需要先求〃，再求心

才能求出7；.或者其他量.

2.求展开式中系数最大的项

如求m+瓜）〃3,〃WR）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设

展开式各项系数分别为4,A2,…，A〃+i,且第攵项系数最大，应用

Ak^Ak+\

从而解出左来，即得.

【变式训练】

1.（角度1）（2026•天津北辰区期中）（〃一组6的展开式中丁的系数为.

［答案］240

［解析］（2L左）展开式的通项为77+］=cg（2x）6-｛一左）=cg.26r.（一

6T3

1产,取6—乎=3,解得r=2,系数为一磔一2.（-1）2=240.

2.（角度2）（2025•江苏南京六校联合体调研）己知二项式,+扑心*）的展

开式中第2项的二项式系数为6,则展开式中常数项为.

［答案］135

［解析］依题意CA=6,解得〃=6,二项式（3工+古〉的通项为7VH=a（3x）6

欠=0,1,…，6,令6一芋=0,得"=4,所以展开式中常数

项为36-4C^=135.

3.（角度3）（"+乡6的展开式中，常数项为；系数最大的项是

［答案］6024（）3

|解析］（2『+。的展开式的通项为仪2『）6一£）=〃26次”飞令12—

3k=0,得仁4,所以，展开式中的常数项为Ct-22=60；令（&£N,AW6）,

令L心…即晨26”CWA,解得产吟，・・・—2,因此,

展开式中系数最大的项为C6.24..?=240A-6.

写.J二项式系数的性质与各项系数的和一师生共研

例Ji.（多选题）（2026•重庆西北狼教育联盟开学诊断）已知在，一受〃的展开式

中，各项的二项式系数之和为64,则下列说法正确的有（）

A."=6

B.只有第3项的二项式系数最大

C.f的系数为一12

D.各项系数之和为一1

［答案］AC

I解析］由题设2"=64,可得〃=6,A正确；展开式共有7项，故只有第4

项的二项式系数最大，B错误；展开式通项为।=C^6-{-1}=（-2）

「=0』，…，6,令6—2r=4,可得，=1,则犬的系数为（-2）口=一⑵C正确；

令x=l,则（1一：）6=1,D错误.故选AC.

2.（2026•湖南师大附中月考）若（1—2x）5=ao+ai（x—l）+s（x—1）2+。3（大一1"

+内。一1尸+45。-1）5,则下列结论中正确的是（）

A.ao=l

B.€74=80

C.|闻+|ai|+㈤+㈤+3|+依|=35

1—310

D.（40+42+04）（0+43+05）=-―

［答案］C

I解析］令％=1,可得加=-1,所以A错误；(1-2。5=［-1-2(工-1)］5,

由二项展开式的通项得44=3•(—2)4.(-1)1=-80,所以B错误;|闻+|防|+|。2|

+闷+|剂+1。5|与［1+2(1一1)］5的系数之和相等，令工一1=1即@)1+101+1。2|+1〃3|

+|04|+|«5|=35,所以C正确；令X=2,则40+41+42+43+04+05=(—3)5,令X

rlIIKnZPJI1(—3)5+1

=0,则如一ai+。2一幻+四一。5=1,解得ao-\~ai-\-a4=~5,41+03+45=

(—3)5—131°_1

2>所以(ao+s+a4)(s+〃3+。5)=一一,所以D错误.故选C.

［引申］在本例2中

⑴。।+2ai+3〃3+4。4+5。5=

a\ai,。3ci4,as

(2)-222'2^24丁2,

［答案］(1)-810(2)-1

［解析］令x-1=y,则fiy)=-(1+2y)5=a^a\y+aiy1++a4y4+.

(1)0+2。2+3。3+4出+5。5=/(1)=-10X3"=-810.

小、。|ai।a3441a5,(._、/,

⑵彳一手+研一方=。。+1_2X/J=ao=-1.

名师点拨：赋值法的应用

1.形如(ax+Z?)〃、(加+云+c产(a、b、c£R)的式子求其展开式的各项系数

之和，常用赋值法，只需令x=l即可.

2.对形如(ar+by尸(a,Z?WR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y

=1即可.

3.若J(x)=«o+«ix+aix2H-----FaH则/(©展开式中各项系数之和为JU)，

奇数项系数之和为40+42+44+——”,

偶数项系数之和为0+。3+公+…

*又/'(x)=ai+2a2%+3a3X2+…I

所以ai+2。2十3〃3H-----Hnan=f(1).

【变式训练】

(2025・湖北重点高中智学联盟联考)若(〃/—3〃(〃》0)的二项展开式中，仅第

5项是二项式系数最大，且二项式系数的和等于所有项系数的和，则其展开式中2

的系数为()

A.8B.28

C.70D.252

［答案ID

［解析］易知〃=8,卜十一：〉(，心0)的展开式的二项式系数之和2"=("7—1)〃，

"2=3,则(3也一9展开式的通项公式：C3r(T)'x、2,『=0,1,2,…，8.令宁

=-5,得i=6,所以;3的系数为C8X32=252.故选D.

.信7二项式定理的应用——多维探究

角度1整除问题

彳列1.(2025•河南濮阳质检方。被10除的余数为.

I答案］1

［解析］320=9,0=(10-1)10=1O,O-CIOX1O9+CTOX10S--------C?oX10+1=

1OX(1O9-C|OX1O8+CFOX107--------C?o)+1,所以32。被10除的余数为1.

［引申］若33o+a(OW〃W7)被7整除，则〃=.

［答案］6

［解析133°+«=27,(,+6/=(28-l)lo4-6/=28lo-Clo2894-C?o288--------C?o28

+1+a=7X4X(289-Clo2884-C?o287--------C?o)+a+1,由题意易知《=6.

2.(2026•福建厦门一中期中)组合数<2%+&4+&4+…+C处被9除的余数是

［答案］8

［解析］c94+c*4+cii+…+cil=c%+c34+cli+…+c咫，.,.cU+cii+cii

+-+C］l=1x234=233=8n=(9-l),,=C?i-9,,-Ch-9,0+CTi-99+——(-

l)r-Cfi«911-r+…一CH・9°=9A-l=9(D+8,其中&£N..,•该组合数被9除的余

数是8.

角度2近似计算

例1,(啰的近似值是.(精确到小数点后三位)

［答案］1.172

［解析］1.028=(1+0.02)8七点+。10.02+以。022+(230023—1.172.

角度3证明不等式

例求证:且〃力3时，2"一

［证明］心3时,2〃=(l+l)"=l+>+CZ+…+小+1=2+2%

・・・2'厂12〃+1.

名师点拨：

1.整除问题的解题思路

利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题

和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判

断.解题时要注意二项展开式的逆用.

2.求近似值的基本方法

利用二项式定理进行近似计算：当〃不很大，同比较小时，(1+此〃-1+心.

3.由于(“+〃)〃的展开式共有〃+1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，

从而达到证明不等式的目的.

【变式训练】

1.(角度1)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研

究•设a,b,m(加＞0)为整数,若a和力被m除得的余数相同,则称。和人对模〃7

同余,记为。三仇mod列).若a=Cb2+C3o,22~t-----FC58-220,。三伙mod9),则Z?的

值可以是______.

［答案］9攵+8/WZ)

［解析］a=C)o・2+C%22+…+C犯・22O=C9o-20+Cb2+C赤2?+…+C3&22。

-1=(14-2)20-1=9,0-1,因为Q=S0-1被9整除余8,且〃三伏mod9),所以b

的值可以是9Z+8(R£Z).

2.(角度2)0.9986的近似值为(精确到0.0()1).

I答案］0.988

234

［解析］0.9986=(1-0.002)6=1_C1o.OO2+CsO.002-C^O.002+C^O.002-

a0.0025+Cg0.0026^1-Ci0.002+Ci0.0022=0.9880640.988.

名师训布•素养段H

多项展开式中特定项、索熬间题

一、儿个多项式积的展开式中特定项(系数)问题

彳列(2026•浙江名校协作体联考)(1-2x)(1+4的展开式中丁的系数为()

A.-10B.-15

C.10D.30

［答案］A

［解析］(l+x)5的展开式通项为77+］=C*15r.〈=C4;当第一个括号取1,

第二个括号取含x3项时，展开式中炉的系数为cg=l()；当第一个括号取一Zr,

第二个括号取含f项时，展开式中V的系数为(一2)色=-20,故展开式中V的

系数为10+(—20)=-1().故选A.

名师点拨：

对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规

律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

二、几个多项式和的展开式中特定项(系数"可题

《列1.(2026•河北衡水质检)已知(1+24+(2—铲二金+⑶1+4加+公^+如/

+〃5X5+〃6X6,贝IJ43=.

［答案］一80

［解析］因为。3为(1+2。5+(2—笛6展开式中V的系数，(l+2x)5展开式中/

的系数为Cg23,(2—x)6展开式中丁的系数(-1)3或23,所以s=Cg.23—&变=一

80.

2.(2026.江西新余实验中学月考)(1+幻3+(1+刈4+…+(l+x)8的展开式中

V的系数是.

［答案］126

［解析］解法一：因为(1+处"的展开式的通项公式为7；+i=axi〃i><v=c。

XW,所以(1+工>+(1-kr)4+…+(1+x)8的展开式中x3的系数为C§+C1+Cg+C2

+a+a=cj+cm+d+a+a+a=c3=126.

他壮一(I+A)3［1-(1+A-)61(1+x)3,

解法一：(l+x>4-(14-x)4H-----F(1+x)8=--------］_(］+()------=--x-+

(1—x)9

V，・・.V项的系数为(1—尤)9展开式中f项的系数C3(—1)4=126.

名师点拨：

对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的

通项，从每一项中分别得到特定的项再求和.或将和式化简后转化为二项展开式

问题处理.

三、三项展开式中特定项(系数)问题

例J在1-4+》的展开式中，/的系数为.

［答案］一960

［解析］解法一：（化为二项展开式问题）

,一4+：）5=（5一君10,7；+i=Cfo（也）5{-1）=（-2）©0?一。令5-r=

2,r=3,所求系数为（-2）3如=一960.

解法二：Q—4+3TG+0一4}展开式的通项为7用=（—铲闻+0-

,,（"十:）［的展开式通项为0+1=4仁卜/一l"，。+1=（—4广4人心0一厂3丁叫

由r=k=\或k=0,r=3得x2的系数为（一4）3.4°CRS+（-4）4C&C1=-960.

解法三：①5个括号中的2个选用3个选（一4）,这样得到的r的系数为△・日

4

（—4）3=—640；②5个括号中3个选用1个选：，1个选一4,这样得到的『的系数

人

为dClX4X（-4）=-320；,所求系数为一640—320=-960.

名师点拨：（a+6+c）”展开式中特定项系数的求解方法

因式将三项式利用因式分解变化为两个二

分解法项式，然后再用二项式定理求解问题

方将三项式分成两组，用二项式定理展

逐层

法开，再把其中含二项式的项展开，从而

技'展开法

求解问题

巧

组合把（a+b+c）n看成〃个（a+/）+c）的积,

知识法利用组合知识分析项的构成

【变式训练】

1.（2026・广东部分学校联考）（3+?）（x—），）6的展开式中，yy的系数为（）

A.60B.30

C.45D.15

［答案］A

［解析］（1一），）6的展开式中，有4+1=（：*6--（一）,），=（一iyc*6-y,则只/的

系数为（-1）2C=15,XV的系数为（一1）七3=15,所以（3+?）（x—），）6的展开式中，

/产的系数为3X15+15=60.故选A.

2.（2025•福建百校铁盟联考）（广一x—2户的展开式中，1的系数为（用

数字作答）.

［答案］6

［解析］解法一：（X2—X—2）3=（x+l）3（x—2）3,（x+1）3的展开式通项为CgN一

〃）（工一2）3的展开式通项为（一2）〃C氏3一〃，所以C也3F（-2）〃CXFF=（-2）yo3一

mF,令6—〃2—〃=2,得m+〃=4,所以f的系数为（-2>C4C3+（—2）2d（』+（一

2）3C5Ci=6.

解法二：（『一X-Zpnlf—a+Z）］?,其展开式的通项为（一1）「0•-2「.（工+2）「，

r=3,

而（x+2）「展开式的通项为2'C淑厂$,J由（一1产2©。次6-厂$知，或厂=尸2,

U=1,

故所求系数为-2&+4c3=6.

解法三：三个因式中一个选x2,另两个选一2,其系数为dX（-2产=12；三

个因式中一个选一2,另两个选一乂其系数为dX（—2）X（—l）2=-6,故％2的

系数为12-6=6.

提能训练练案［63］

A组基础巩固

一、单选题

1.（2025•辽宁鞍L1质检）在二项式（近一亳）。的展开式中，常数项为（）

A.18()B.270

C.360D.540

［答案］A

I解析］二项式（《一3）。的展开式的通项公式为77+1=。（4"）•（一”

$等5

2）「=（一2）©0•靠,令5—力=0,解得尸=2,所以常数项为（-2）2（：%=180.故选

A.

2.（2026•辽宁大连部分高中适应性演练）多项式口一目的展开式中5的系数

是（）

A.35B.280

C.—35D.-280

［答案］D

［解析］已知展开式中第Z+1项为C钦7一（一1}=（一2）也年7-3勺令7—3攵=

一2,解得女=3；所以含+的项为（一2）3C%［2=-280=.因此展

AJ入Z入1厂A

开式中占的系数为一280.故选D.

3.（2025・四川南充高级中学测试）已知Q+。淞开式的二项式系数之和为64,

则展开式的第5项是（）

A.6B.15

「6-15

C.-D.-

［答案］D

I解析］由题意得2”=64,解得〃=6,则展开式的通项公式为。+1=

CU6-r-x_r=CSx6-2r,第5项是4=Cl/2=¥.故选D.

4.（2026・山东新高考质检联盟联考）设（1+x）+（l+x）2H-F（1+幻‘+（1+犬产

=ao-\-a\x-\---F6f7X7+d&r8,则s=（）

A.84B.56

C.36D.28

［答案］A

I解析］依题意，〃2=C3+C3+,・,+C&=C3+C3+…+c&=ca+cS+…+c9

=3=Cg+a=Cj=84,故选A.

5.（2026•安徽蚌埠调研）已知（2K+5的展开式中所有项的系数之和为243,

则展开式中x的系数为（）

A.1（）B.32

C.40D.8（）

［答案］C

|解析］根据题意，在（2f+：＞中，令x=l,可得3〃=243,解得〃=5,则

二项式（2?+；下的展开式的通项为丁中=0（"）5-t）=25.「CW°一叫其中r=

0,1,2,…，5,令10-3r=10厂=3,则展开式中、的系数为22cg=40.故选C.

6.（2025,浙江L16联盟联考）已知Q+。存在常数项，且常数项是20优则

〃二（）

A.4B.6

C.8D.10

I答案］B

I解析］（x+£）〃的展开式的通项公式为「+i=Cr"K}=C”2%r,r=

0,1,2,…，明令〃-2r=0,得〃=2〃，〃£N*,所以它的常数项为C&d,又已知

常数项是20苏，所以7.=3,〃=6,故选B.

7.（2025・湖北部分学校开学考）（左一〃）（1）的展开式的各项系数之和为3,

则该展开式中V项的系数为（）

A.2B.8

C.-5D.-17

I答案］D

［解析］令x=l,可得（2一〃）（1-2"=3,〃=5,由的通项为北+1=（—

2）rCB2『（r=o」,2,3）知心2—5），一三）3的展开式中/的系数为2XC，X（—2）+（一

5）X1=—17.故选D.

8.（2026•安徽屯溪一中模拟）已知y（x）=（2—工）8=〃（）+。11+。2/~1-----1~。8点则

下列描述正确的是（）

A.十42H-----\-ai=1

B.人—1）除以5所得的余数是1

C.同+|况+|。3|+・・・+|。8|=38

D.2。2+3。3+…+8俏=-8

［答案］B

［解析］令X=1得：的+〃1+或+…+〃8=1；令X=0,得40=2=〃|+G+…

+a8=l-28,因此A错误；y(-l)=38=94=(10-l)4=104-Cil03+C1102-C110

+1=1OX(1O3-C11O2+C31O,-C1)+1,因此BE确；因为(2—幻8二项展开式的

8-rrr8-/r

通项公式为77+i=C§2(-x)=(-l)C§2x,由通项公式知，(2—力8二项展开

式中偶数项的系数为负数,所以同+㈤+㈤］---卜|。8|=一小+。2一。3T-----1-08,

由(2—幻8=小+〃忧+42r2_|----|~〃&,送，令工=0,得到的=28,令％=—1,得到加

—m+敛一a3T----卜08=38,所以@|+|42|+|”3|~>-----l-|4zs|=38—28,因此C错误；

对原表达式的两边同时对x求导，得到一8X(2—1)7=4|+244+343~1----F8a

令x=1,得到ai+2a2+3a3+…+8〃8=—8,令x=0,得山=—8X27,所以2。2

+343+・・・+8如=-8+8X27=8(2'—1),所以选项D错误.故选B.

9.(2026・广西示范性高中调研)已知(l+ar)(x—2户的展开式中V项的系数为

-80,则实数。的值为()

A.XB.2

C.1D.—J

［答案］A

I解析］由(l+orNx-Zpna—Z>+ora—Z)5,而。-2)5展开式中的通项为

5kk

Tk+1=a-x~-(-2)=C^-(-2)VZ=0,l,2,3,4,5,令5一忆=3,得k=2；令5—

k=2,得-3,则(1+”)(戈一2)5的展开式中一项的系数为Cg.(-2)2+〃。.(一2"

3

=-80,解得.故选A.

二、多选题

10.(2026.河北石家庄一中摸底)在(2r+0的展开式中，下列说法正确的是

()

A.x的系数为10

B.第4项的二项式系数为10

C.没有常数项

D.各项系数的和为32

［答案］BC

|解析］(2%+#展开式第一+1项，7m=©(2旷代「=©25一喈"3"”=

C.^25「3%52r,对A项，令5—2r=l,即r=2时，C?2拳¥=互力，的系数为瓦，

A错误；对B项，第4项的二项式系数Cg=10,B正确；对C项，因为0W-W5,

r£N,则5—2月0,・••展开式中无常数项，C正确；对D项,x=l叱（2+，5732,

••・各项系数和不是32,则D错误，故选BC.

11.（2025•福建泉州模拟）已知。+立）（〃£］\*）展开式中共有8项.则该展开

式结论正确的是（）

A.所有项的二项武系数和为128

B.所有项的系数和为e）8

C.系数最大项为第2项

D.有理项共有4项

［答案］AD

［解析］因为［+4）〃的展开式共有8项，所以〃=7.故所有项的二项式系

数和为少=128,故A上确；令x=l,可得所有项的系数和为（1+习7#（|）8,故B

错误；因为二项展开式的通项公式为「+］=邙..，一。（云上）=惇卜0"r=

阳◎野e,

0,1,2,…，7；当rWN*,lWrW6,设7；+i项系数最大，由j

［图.C彦图+叱九

r8

N-

l_3

l/r•

解得则厂=2,且△=（2，（｝h4=总也第3项系数为号.当r=0时，Ti

l5

2-

K3

=x\系数为1;当r=l时，&=^（97工-2=春/2,系数为春；由春＜孑1,1号，

故第3项的系数最大，故C错误；由7—字为整数，且厂=0,1,2,…，7可知，一

的值可以为024,6,所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选AD.

三、填空题

12.(2024.高考天津卷)在G+Y下的展开式中，常数项为.

［答案］20

［解析］因为6+守的展开式的通项为刀+产C0A•住}=36—2(十一3),

r=0,l,6,令6(r—3)=0,可得r=3,所以常数项为3℃g=20.

13.(2026.八省八校T8联考)已知Q+3〃(〃£N*)的展开式中，第6项系数与

第7项系数之比为3：I,则〃的值为.

［答案］6

［解析］"=C双厂5@5,••・第6项系数为CS-25,又乃=以炉唱6,••,第7

Y\I।

项系数为C20.由题可知点-25=3C%26,‘J/.5=人一・…，，(〃-5)!

5!(〃-5)!6!(/?—6)!

=(〃一6)!,，"=6.

14.(2025•山西大同调研)1+:一2》展开式中x3的系数为.

［答案］—220

［解析］解法一：分解转化.

(x+1_2)6=aJ),(X—1严展开式的通项为(一iyCf2xl2-r(r=0,1,2,…，

12),显然所求系数为严展开式中项的系数，即-C力=-220.

解法二：利用多项式乘法及组合数性质知所求系数为(-2)3><CN+(—2)CrA

=-220.

解法三：分组转化.

(x+:-2)6=x+Q—2^6=AZ>+Cix5^—2j4-C?x4(j—2^2+C^.JQ—2^3+C^

K2g—2b+CM8一2}+Cg(：—2),故所求系数为一4Cg—8Cg=-220.

B组能力提升

1.(2026•湖南永州模拟)(x2—x—2y)5的展开式中，2)2的系数为()

A.80B.40

C.-60D.-120

［答案］D

［解析］解法一：5个因式中2个因式中取个因式中取一用2个因式中取

一2)，，即可得出含.Ry2的项，其为QCdFcX一分a(一2丁)2=-120染尸，故门y2

的系数为-120.故选D.

解法二：［①一。一2寸展开式的通项4+产砥^一疗飞一?》)，，\=0,1,…,

5,73=4CW-l)3r，又。-1)3=%3—3『+3］一1.故^)2的系数为一］20.故选口.

2.(多选题)(2026•江苏如皋调研)已知二项展开式(1-2x)2O25=tzo+^ix-|-6/2X2

+…+。202SX2025,下列说法正确的是()

A.ai=-4050

B.0+02+43+…+。2025=-1

02025_］

C.auIa21a41atl…Iaiuz4=

D.2。2+3。3+444+…+2025〃2025=0

［答案］ACD

［解析］令/(X)=(l—2%)2°25=如+。戊+。2f-----\-aiQ2sr2O25^对于A选项，

2025-

(1一级)2°25的展开式通项为7；+1=025-1*-(-2x/=C5025-(-2)V,其中

0WZW2