解题技巧6 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的解法（解析版）2027年高考数学一轮复习

解题大招06分式不等式、高次不等式、根式不等式、

绝对值不等式的求解

题型01解分式不等式题型05平方法解绝对值不等式

题型02解高次不等式分式不等式.高次不题型06去绝对值法解绝对值不等式

等式、根式不等式、

题型03解根式不等式绝对值不等式的解法题型07绝对值性质法解绝对值格式

题型04公式法解绝对值不等式题型08零点分段讨论法解绝对值不等式

知识梳理

知识点01分式不等式的解法

解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.

/(x)

（1）>o=/(x)ga)>o

g(x)

/W

<0o/(x)g(x)v0

g(x)

fMf(x)-g(x)>0

(3)

g(x)g(x)/0

f(x)f(x)g(x)<0

(4)<()<=>-

gMg*)=()

【注意】当分式右侧不为。时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时，可利用

不等式的形式直接去分母.

知识点02高次不等式的解法

如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2,一般采用“穿针引线法”，步骤如下：

1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；

2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如

其中各因式中未知数的系数为正；

3.求根：求如（x—xj（x—/）・・・（工一天）=0的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）

4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到

这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）

5.得解集：若不等式“XT,贝!找“线”在数轴上方的区间；

若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间

知识点04绝对值不等式的解法

1.绝对值不等式的解集

<1)凶<。(。>0)的解集是｛x|-。,如图1.

(2)国>a(a>0)的解集是-。或,如图2.

图1图2

(3)\f(x)\<c(c>0)o-c</(x)<c.

(4)|/(x)|>c'(c>0)<=>/(x)>c或f(x)<-c

可简记为：大于找两边，小于找中间.

2.绝对值不等式的性质

⑴||。|一|勿上。士勿04|十|0；

(2)|〃一切W|a-c|+|c一加.

知识点04根式不等式的解法

解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以.二次根式不等式为例，总结其规

律：

°J/2(X)>片,

(1)>0)

f{x)<a\

(2)J/(工)<a(a>0)

/(x)>0.

型解析

“题型01解分式不等式

分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集，在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.

a

【典例1・1】(2026•重庆•二模)已知集合人=｛刈1082M<1｝,8=卜则Acb=()

A.加B.(1,2)

c-1吗D-[?,)

【答案】D

【详解】不等式即一1<1窕21<1，BPlog2l<log2x<log22,

解《得故A=(；,2),

不等式号>1可化为昼摄>°，即(—x+l)(x+2)>0,

解得一2口<1,故8=(—24)，

所以=

【典例1-2】(2026•宁夏银川•二模)已知集合4={T0,2,6,7}W=1x|二<0

,则A13=()

X—6

A.{-1,0,2}B.{-1,0,2,6}C.[-1,6]D.[-1,6)

【答案】A

【分析】解集合3中分式不等式，再结合集合A求交集.

x+1(x+l)(x-6)<0

【详解】分式不等式有《。，等价于:

x-6^0

解得—lWx<6,即8={.4-1«xv6},

已知A={-1,0,2,6,7},筛选出A中满足一1«大<6的元素，为T0,2,

所以Ac3={-l,0,2）.

【跟踪训练】

1.（2026•广西崇左•二模）已知命题〃：Vx<2,一二>1，命题入2l¥<0,T=—x,则（）

x-1

A.P和“都是真命题B.t7和q都是真命题

C.P和F都是真命题D.~和r都是真命题

【答案】B

【详解】由一二>1,得’t一2

即上<0,解得l<x<2.

1X-1x-1

Ifx-l>0x-l<0

方法二：由一->H得（.或《

x-lI>x-l\<x-\'

解得1cx<2.

所以P是假命题，f是真命题.

当H=-l时，显然成立，所以是真命题，f是假命题.

2.(2026•甘肃张掖•模拟预测)设集合A={-1,0,123,4},8=卜6Z|喂工。|,则43=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1.2}D.{-1,0,1)

【答案】B

【分析】解分式不等式得集合8,然后根据交集的定义即可求解.

【详解】分式不等式三“)等价于产=2：°,解得0。<2，又因为xeZ,因此B={01},

x-2x-2±0

已知集合A={-1,0,123,4},所以AcB={0,1}.

2r

3.(2026•重庆•一模)+工-2<0"是"二"7<1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解

【详解】因为f+x—2<0,所以a+2)(x—l)v(),解得一2a<1,

OVv«1.0

由一^<1=----<0=>(X+2)(A-2)<0=>-2<%<2,

因为{x|—2<X<1}是{x[—2<x<2}的真子集，

所以f+工一2<0是2=x;<】成立的充分不必要条件.

x-2

A题型02解高次不等式

(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；

(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿

例引线法求解.

【典例2・1】不等式("+1)(2一力之0的解集为()

x-3

A.{x|xWT或2Kxv3}B.{#4-1或2Kx43}

C.{小23或-l«x<2}D.{小>3或-l«x<2}

【答案】A

(X4-1)(X-2)<Q

【详解】不等式“+叱7)之(),化为：<x-3

x-3

x-3^0

由穿根法可知：不等式的解集为：或2WXV3}.故选：A.

【典例2・2】解不等式(x+2)(A-1)9(x+1)12(x-3)>0.

【详解】根据不等式标根

所以原不等式的解为[-2,1]U[3,+OO).

故答案为：[-2,1]33,+8).

【跟踪训练】

1.(2026•辽宁辽阳•二模)不等式生直21的解集是()

x

A.(一8』]D[4,+8)B.[1,4]C.[1,2)U(2,4]D.(0,l]L[4,-K»)

【答案】D

【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法”算即可得.

[详解](2x)_1_Y-4X+4-X_/-5x+4(xl)(x4)>0,

XXXX

故解得=4或—I,

|彳。0

故该不等式的解集为(0』」4,+8).

2.(25-26高一上•江苏无锡•月考)函数3)的定义域是()

A.(YO,-2]J(2,3]B.(-oo,-2]u[2,3]

C.[-2,2)U[3,+OO)D.[-2,2]U[3,+OD)

【答案】C

【分析】利用具体函数定义域求法结合分式不等式解法计算即可得.

(x+2)(x-3)

【详解】由题意可得一^2——，解得2,2)1!［3,位).

x-2^0

故选：C.

3.(25-26高二上•陕西咸阳•月考)满足不等式卜―广心-中小―3?)卜-10()2)工。的整数解的个数为

()

A.100B.5000C.5100D.无穷多个

【答案】C

【分析】利用穿针引线法解不等式，求出不等式各个解区间内整数解个数，再利用等差数列求和即得到答

案.

【详解】利用穿针引线法解不等式，如图示：

满足不等式(X—切卜一22)卜一32)(x—10()2)40整数解有：

在［匕功有22一/+］=4个;

在⑵⑷］有4、3?+1=8个;

在［99?,100）有IO。?—99、1个.

因此不等式在区间［(2〃-1尸,(2方］内的解有(2〃尸-(2〃-1产+1=4〃个,

所以不等式的整数解的个数为4+8+…小”5皿

故选:C

(x-2)(3-x)

4.(25-26高三上•上海徐汇・期中)分式不等式工°的解集为

山-以

【答案】｛x|0vx<l或1cxM2或

【分析】将分式不等式转为整式不等式(组)，高阶不等式遵循："奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体

原则，得到不等式解集.

r¥加】2)(37)JA-(X-1)2(X-2){^-3)>0

【详解】团---：-F-&U,0^,

x(x-l)［伞-1)/0

团卜|。<4<1或l<x42或3Wx}.

故答案为：卜|0<工<1或1<X42或3《x}.

峥题型03解根式不等式

对于根式不等式，往往通过乘方法化去根号，但此时还需注意被开方数的限制条件。

1>1则A-B=

【典例3-1]（25-26高三上•江西赣州•期末）己知集合4=k/二万<2},集合B=X

()

A.（70,2]B.（0,5]C.[1,2]D.[1,5]

【答案】C

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AC3.

【详解】因为人斗小/^万<2}=・"|03-144}={琲"<5},

?2r-9f211.、

由二可得1-£=。40,解得0<x42,即8=—Nlb=x0<x<2,

XXXX

ttAn^={x|l<x<2}=[l,2].

故选：C.

【典例3-2】（2025•广西模拟预测）不等式的解集是（）.

A.{x|x<3}B.{x|x<4}C.{x|3<x<4}D.{x|3<x<5}

【答案】B

f5-x>0[5-x>0

【分析】根据题意，分1,八和°、八，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解.

[x-3<0[x-3>0

【详解】当I"：巴解得xv3,此时不等式7^二7八-3恒戌立；

x-3<0

当；【八时，即3CW5时，不等式平方得5-x>(x—31，

x-3>0

即/一5X+4V0,BP(X-1)(X-4)<0,解得1<X<4,所以3WX<4,

综上可得，不等式3的解集为{x|x<4}.

故选：B.

【跟踪训练】

1.(24-25高三上•山东德州•阶段练习)已知集合人={x|2〈而I<3},5={x|x=2k—l,kwN"},则

3=()

A.{1,3,5}B.{3,5)C.{3,5,7}D.{5,7,9)

【答案】B

【分析】解不等式化简集合4,根据交集的概念求解即可.

【详解】由A="|2vVm<3}={x|2vxv7},3={x|x=2k—1*€1<}={1,3,5,7,9一},

则A8={3,5}.

故选：B.

2.(25-26高三上•湖南长沙•期末)已知全集U为实数集R,若集合A=W>/n<2},

fi={x|x2-2x-3<0},则AC3=()

A.[1,3)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-1J)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求出集合8,解根式不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由/_2工_3<0，即(X+I)(X—3)<0,解得-1VX<3,

所以fi=|x|x2-2x-3<o|={x|-l<x<3),

由五口<2,可得0。-1<4,解得&<5,

所以A=Nx/7二?<21"|13<5},

所以Ac3={x|lWx<3}.

故选：A

3.(25-26高二上•陕西宝鸡•期末)若关于x的不等式⑪+c<0的解集为。，2),则关于x的不等式

ax+b4x-\-a+c>0的解集为.

【答案】［l,2)u(5,y)

【分析】根据不等式"?+辰+c<0的解集求出)=—3a,c=2a,代入不等式ar+/?GT-〃+c>0,再解不

等式可得答案.

［详解】因为不等式加+加+c<0的解集为。，2),

所以x=l,2是亦2+加+c=0的两个根，且。>0,

bc

可得一2=3,上=2,所以b=-3a,c=2a,

aa

所以av+bjx-T-a+c>0得ar-3«Vx-l-a+2a>0,

即工+1>3)7^,由x—lNO得xNl,

所以(工十1)\9(x-l),所以1Wx<2或工:>5,

则不等式的解集为［1,2)D(5,E).

I►题型04公式法解绝对值不等式

OOOfB

若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式

套用公式求解：

(1)|/(x)|<c(c>0)<=>-c<f(x)<c.

(2)|/(x)|>c(c>0)<=>/(x)>。或f(x)<-c.

【典例4］(25-26高三下•重庆•阶段检测)已知集合4={上一2|<2/€2},B=N|3x>?},则

AA=()

A.［0,4)B.(0,3)C.{0,123}D.{1,2,3)

【答案】C

【详解】回x-2|<2,(3-2<x-2<2,解得0<x<4,

又xwZ,04={1,2,3}.

^3x>x2,即f_3x£0,解得04x43,

又xwN,0B={0,l,2,3}.

0AuB={0,1,2,3).

【跟踪训练】

1.(25-26高三上•广东惠州•月考)设xwR,则“|x-2区3〃是“x(x-2)V0〃的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】记A为条件“1工一2区3〃,其解集为[T,5],

记8为条件“工(工一2)<()",其解集为[0,2],

因为。2]q[—1,5],所以BnA成立，而A=8不成立，

因此，"|x-2区3〃是的必要不充分条件.

2.(2026高三•全国•专题练习)不等式(1-|引(1+*)>。的解集是()

A.(x|-l<x<1}B.{小<1}

C.{x|.r>l[D.闾-1vxvl或KC-1}

【答案】D

【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集.

【详解】当0时，(Jk|)(l+x)=1—x2>。，可得0W,

当XV。时，(l-|,t|)(l+A)=(14-X)2>0,可得XV。且工工一1,

所以不等式的解集为{x|-1<X<1或X<-1}.

故选：D

3.不等式1<I-2^《3的解集是

【答案】[-l,0)U(l,2]

【详解】不等式可化为l<|2x-1|W3,

.-.l<2x-l<3,或一3W2X-1V-1；

解之得：1<X<2或一IKxvO，

即不等式l<”2.v|W3的解集是[TO)(1,2].

►题型05平方法解绝对值不等式

对于绝对值不等式I4>|8|或I*<|8|（其中A,B为含未知数的代数式），一股利用平方法求

解，即转化为A?〉#2或4、〈仁求解.

【典例5】•不等式1x7以x|的解集为（）

1D.卜8g

A.后一B.不，+8C.一8,不

22J

【答案】D

【分析】两边平方后可求不等式的解.

【详解】因为lx—因月，故（工一炉之/,故_2X+120,故

故选：D.

【跟踪训练】

1.（2026高二•全国•课后作业）不等式卜-2|一上一1|>。的解集为

A.(-oo,|)B.S，平)

33

C.(-,-Ko)D.(--,-Ko)

乙

【答案】A

【分析】把不等式转化为|x-2|>k-l|,平方即可求解.

【详解】由不等式卜一2卜上一1|>0,可得上一2|>k一1|,

即（4一2『>（4一1『，整理得到2x<3,解得XV；,

3

所以不等式的解集为（F弓）.

故选:A.

2.不等式2|^<|x-2|的解集为；

【答案】-2,1

【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可.

【详解】左右两侧同时平方得4x24—2）2,

所以4—«/—43+4,故3/+4工-4«0,

化简得（3X-2）（X+2）W0,解得XW-2,-.

3.（2025高三•全国•竞赛）若10&（工+2封+1。&（工-2力=1,则闪一帆的最小值是.

【答案】巫

2

【分析】根据对数运算法则得到讨一4戌=5,国>2田，令〃=凡，=加〃=|乂—N，代入化简得到

3--2灯+（5-r）=0,利用根的判别式求出人半，进而求出|乂一|），|的最小值.

【详解】由1。&（1+2y）+1（世（“一2），）=1可得讨_川乂2=5,国>2»］.

令〃=凶J=N，Z=NTN,则/-4/=5,A>。.方程（，+2『一45=5,即3/一2匕+（5-尸）=0有正实数

解.

故A=4/-12（5-公”0,4公之15次之手.

当广芈时1=半,〃=半.因此，凶一卜|的最小值为半.

►题型06去绝对值法解绝对值不等式

对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A,B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0

的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.

此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解：

|A|>BoA>B,或A<-B,|A|<B<=>-B<A<B,

【典例6］解关于x的不等式：|3x-4|>l+2x；

4

【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为版-4〉1+2%,解得x>5；

43

当了41时，原不等式可化为4-3工>1+2］，解得

所以不等式的解集为卜k>5或x<|}.

解法二：原不等式等价于3x-4>1+2x,或3x-4<-l-2x,

3

解得|x>5或r<一,

5

所以原不等式的解集为卜k>5或TVg

【跟踪训练】

1.（25-26高三上•江苏苏州・期末）已知集合4={-1,0,1,2},5={琲.-则A「3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】求出集合8,利用交集的定义可求得集合Ac8.

【详解】因为3=卜卜—1区17}={邓一血0}={小金},A={T,0J2},

所以，Ac4={T0,l}.

故诜：C.

2.解不等式：

⑴2<|21-5归7；

（2）|X-2|>2X+4.

【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可；

（2）法一：分x-2N0和x-2<0两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可.

f|2x-5|>2

【详解】（1）原不等式等价于«2%_547'

*73

由|2工-5|>2可得2x-5>2或2A•-5〈-2,解的工>］或工<］；

由|2工一5佰7可得一7<2工一5<7,解的一1<x46.

37

综上所述，原不等式的解为-=,或;<x<6.

27.

（2）解法一：当X—2N0,即x22时，不等式可化为x—222x+4,

解得xW-6.不存在满足条件的x.

当了一2<0,即xv2时，不等式叮化为一（x-2）22x+4,解的工工―（，...xw—三,

综上所述，原不等式的解为汇《一：2，

解法二：原不等式可化为x-222r+4或x-2W-（2x+4）,

22

即x<-6或BPx<-j

•••原不等式的解为-土2

A题型07绝对值性质法解绝对值不等式

对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：

\\a\-\h\\<\a±h\^a\+\b\,从而去掉了绝对值,转化为常见的不等式求解.

【典例7】21.（2025•上海•三模）不等式凶+|2025-4工2025的解集为.

【答案】[0,2025]

【分析】根据绝对值三角不等式|4+网之|。+4及题干可得可+|2025-闻=2025,等式成立需要X,2025T

同号，列不等式求解即可得解.

【详解】因为国+|2025-1|之卜+2025-目=2025,又凶+|2025-才42025,

所以国+|2025一目=2025,则x（2025-x）>0=>X€[0,2025].

【跟踪训练】

1.（25-26高三上•上海•阶段练习）存在实数x使得不等式〃斗-5|+卜-3|成立，则实数〃的取值范围

为.

【答案】[2,+8）

【分析】根据题意，将问题转化为。“|工-5|+k-3|）（面，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得〃之（上一5|+|l-3|）

X|X-5|+|X-3|=|X-5|+|3-X|^|A:-5+3-X|=2,

当且仅当（%-5）（3-X）N0时,即3JK5时,等号成立,

所以。之2,

即实数”的取值范围为[2,+8）.

2.(24-25高三上•上海•期中)若对于任意的实数盯卜-2|+k+1,〃恒成立，则实数。的取值范围

为•

【答案】

【分析】根据绝对值三角不等式求得k-2|+|x+l|的最小值，由此列不等式来求得〃的取值范围.

【详角笨］卜_2|+卜+1|=|2—工|+,_1|习2—丫+*+1|=3,

当且仅当一1<x<2时等号成立，

所以解得一6《々!6

I►题型08零点分段讨论法解绝对值不等式

对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的X的值(简称为零点)，再针

对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.

【典例8】(2026高三•全国•专题练习)若不等式卜+1|-卜-。|23-24的解集不是空集，则〃的取值范围是

2

【答案】«>j

【分析】由题意得k+l|23-2a,分类讨论解不等式即可得解.

【详解】因为卜+1|-卜-。闫1-(-a)|=|a+l|,不等式1+1|一卜-。|，3-2〃的解集不是空集,

所以|a+l|N3—%，

(i)当3-2aW0,即时，显然有|。+1|2023-%成立，

(ii)当3-2a>0,即4<彳时，|c7+l|>3-2r/>0=>«2+2^+1>9-12fz+4^2

9

所以3片一14々+8=(34-2)伍一4)00,解得

393

结合可知

232

2

综上所述，〃的取值范围是。之§.

2

故答案为：a~^'

【跟踪训练】

1.（2026•上海浦东新•三模）"-2<x<2”是小+2|+卜-2K4〃的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出|x+2|+k-2]W4的解集，根据充要条件的定义即可得到结论.

—2x,xW—2

【详解】令/（x）=|x+2|+|x—2|=4,—2<x<2,所以f（x）«4佗解集为：

2x,x>2

所以“一2vxv2"能推出"|工+2|+,一2K4,

而“卜+2|+卜-2区4不能推出"一2<工<2"即"一2〈工<2",是“卜+2|+卜-2K4”的充分不必要条件:

故选：A

2.（25-26高三上•辽宁•期末）|2.r|—11—>—的解集为

【答案】（+8）

【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解.

【详解】原不等式等价于疝卜|2尤-1|4

当了<0时，原不等式等价于-2x+（2x-l）?g,即得一后3不成立，不等式无解；

当:时，原不等式等价于2x+（2x-l）2:，解得kN1，不等式的解集为《士）；

22882

当时，原不等式等价于2x-（2x-l）N?，即得14，不等式的解集为+00）；

2222

综上所述，原不等式的解集为戒,内）.

O

3

故答案为：[石,+8）

O

3.（25-26高三上•上海•期中）不等式|x-l|+W>l的解集为.

【答案】（,,0）51,P）

【分析】讨论去绝对值求解不等式.

【详解】当x<（）时,原不等式变为1,得x<0；

当0GW1时，原不等式变为l-x+x>l,不等式无解；

当工>1时，原不等式变为x-l+x>1,得X>1；

综上,不等式的解集为(7,o)5i，y)・

故答案为：(TO,0)U(l,+8).

巩固提升

A..重庆.三模)已知集合人中告

3.8={2,3,4,5},则（。A）c8=（）

A.{5}B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4}

【答案】C

【洋解】由不等式得Mx—3)«0且xw3,解得0W工<3,

则A=(x|Oqxv3),而"={2,3,4,5},

所以（QA）c8={3,4,5}.

2.（2026•云南曲靖•一模）已知集合人={-312,3},集合8=则A「3=（）

2-x

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】A

【详解】由3>屋得5；2+X>（）,即（工+3）（2-力>0,解得：一3。<2,

2-x2-x

则集合4={X—3<X<2},所以人08={1}.

3.(25-26高三上•河南南阳•月考)不等式(V—2.r—3)(f+4x+4)<0的解集是()

A.{x|x<-l或x>3}B.{x|-l<x<2或2cx<3}

C.{x|-l<x<3}D,{.r|-2<x<3}

【答案】C

【分析】先因式分解，然后分x=-2和xw-2求解即可.

［详解］(x2-lx-3)(x2+4x+4)<0o(x—3)(x+l)(x+2尸<0,

当了=-2时，不等式显然不成立.；

当工4-2时,(x+2『>0,所以原不等式0(工一3)(/1)<0,

解得一l<x<3.

综上，原不等式的解集为{x|T<x<3}.

故选：C

4.(25-26高三上・安徽・期末)设集合八二卜|岳二1<11,8=1隧21+1>0},则A04=()

A.(别B.(OJ)。•32)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解不等式求得集合48,然后利用集合交集定义运算的结果.

【详解】由二Tvl可得0W2x-l<l,则即A=—

又由log2X+l>0可得log2X>T，则X>g，即B=«XX>g»,

①Ac8={x[g<x<l}=&l).

故选：A.

5.(24-25高三上•河北•期末)集合用=1,一4<0},N=卜|77^万<2},则McN=()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[-2,5)D.[1,5)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交运算求结果.

【详解】由/一4«00—24142,X/7^T<2=>1<X<5-

所以M={x|-2KxK2},N={x\\<x<5},故MN=[1.2].

故选:B

6.(2026•安徽•模拟预测)已知集合A={X||X+1|21},4={X|-2KX<0},则()

A.4aBB.B^AC.41B=0D.AB=R

【答案】D

【详解】由|x+l|之1,得x+121或x+IK-l,解得xNO或工£一2,所以A=(Yo,-2]U[0,y),

所以A®B,A错；B幺A,B错；AAB={-2},C错；Au5=R,D对.

7.(2026・河南开封•模拟预测)已知集合村={-1,0,1},B={J]\X-\\<2},则A(JB=()

A.[—1,0)B.[-1,3)c.{0.1}D.[0,1)

【答案】B

【详解】B={.x\-l<x<3],所以A=8=[T3)

8.(25-26高三上•辽宁鞍山•开学考试)不等式2|x-3|+|x+l|W7的解集是()

A.[-1,3]B.[-1,4]C.[0,4]D.(-oo,0]U[4,+oo)

【答案】C

【分析】通过xWT,-1<x<3,x23讨论去绝对值求解即可.

【详解】当X4—1时，不等式为2[37)-(X+1)W7,解得：北-：且1,即为空集，

当-I<xv3时，不等式为2(3-x)+(x+l)W7,解得：04x<3,

当工23时,不等式为2(X-3)+(X+1)W7,解得3W4,

综上不等式的解集为[0,4],

故选:C

9.(25-26高三上•陕西榆林•阶段检测)不等式把二G的解集为__________.

x-2

【答案】匚

-L/

【详解】由"K1,得主二1一1二次七£二4二生出40,

x-2x-2x-2x-2

则产丁尸。，解得为口

|工一2h02

则不等式在三K।的解集为.

x-2L2J

10.(2026•上海普陀•二模)设〃ER,若关于x的不等式号W1的解集是(y』)u[2,y),则。的值为

X—1

【答案】1

【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次〃的关系求解.

【详解】由不等式号<1可得”一工0,等价于[("："；)('一"°，

x-lx-1x-lw0

因为原不等式的解集是(-8,1)32,陵)，所以1，2是方程(〃+lr)(x-l)=0的两根，

所以4+1=2,解得。=1.

11.(2026,江苏宿迁•二模)设函数0(x-3(x-c),其中若不等式

/(l+x)/(2-x)W0对任意xwR恒成立，则a+b+c=.

91

【答案】

22

【分析】先设屋式)=-7(2-耳，代入函数详解式计算得出根，再对应相等计算求解.

【详解】若/(l+x)/(2-x)<0,取g(x)—),所以/(l+x)g(x)NO,

j|lljf(14-X)=(14-X-«)(l+A-/?)(l-l-X—C)，5(X)=-(2-X-6/)(2-X-^)(2-X-C),

所以〃l+x)=O的根为。-1,8一l,c-l且lvc—1,g(£l=o的根为2-42-a2」、且

2-c<2-b<2-ci,

由Ff(l+x)与g(“)均为首项系数为正的三次多项式,要使其乘积f(l+x)g(x)N0恒成立，则它们的零点

必须完全相同，

所以只有当4-l=2-c/_l=2-友-1=2~时，〃l+x)g(x)2()成立，

39

所以4+C=3,/?=二，所以4+Z?+C=—.

22

9

故答案为：

12.(25-26高三上•河南南阳・期内)若小wR,对Vx«0,回，不等式T](XT)W0恒成立，则实

数优的取值范围是__________.

【答案】(°，誓1

,

【分析】分类讨论/的范围，结合因式解高次不等式计算即可.

【详解】若氏0,则(工一1)2-f之0恒成立，此时不等式[(1一1)27](4-/)40的解集为工金，

与440,相矛盾，舍去；

若/>0,则不等式[(工一1)2-1](工一/)40n(x—l—〃)[一1+〃)(1—/)(0,

①当/<1-«,即时，

此时原不等式的解集为(口用=[1一"」+"]，

(_/7\

要满足题意需(区间」1—+恒正)，即机W°，三3匕；

-8,1+间,

时,

此时不等式的解集为（-8,1-1+e],

1-">0

要满足题意需（区间C』+〃]恒正），

l-\ft>m

3—垂>厂

即止---」时，m<\-\[t

3—石）(3-5

易知y=\"单调递减，可知），€。，二整,即，〃e0.^^-

。/M+&%

④当，=1+〃，即/=柠5,此时不等式的解集为卜8,

而要满足题意需0<1-〃，显然不符合题意，舍去,

⑨>1+山,即经三卢，此时不等式的解集为（二,1-«卜［1+〃，4

同上需满足0<1-〃，仍不符合题意，舍去，

综上：实数/〃的取值范围是。，当匚.

.

故答案为：（°，与。.

【点睛】思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨

论不重不漏.

13.（25-26高三上•上海•期末）已知关于人的不等式JX2-2X-2WT+”的解集是其中

，〃,，eR,则（〃-,n）2的值为.

【答案】1+26

【分析】由二次根式的非负性求x的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论。的不同取值得到不等

式的解集，根据题意列方程，解得科巴即可求得结果.

【详解】团/一2・220,-6或xNl+G

0-v+«>O,^x<a,

0\/x2-2x-2<>-x+a0x2-2x-2<x2-2ax+a2,

即（2a-2）x«/+2,

当4=1时，0W3恒成立,

团不等式^X2-2X-24-x+“的解集是xG-G不符合题意，舍去.

当时，x>"+2

2a-2

2c

例不等式yjx2-2x-2<.-x+a的解集是"+~<x<1-V3»

2a-2

+2

-----=m

即2a-2,BP-

l-V3=/n+lm=-J5

则+2\Z5a+2-2\^=0，〃=—、石+"1+2>/^或a=--Jl+2>/^（舍去），

则（a-=卜6+Jl+2。+G[=1+2后.

当a<1-6时，不等式V?二17^工M-x+a的解集是，

2a-2

|/+21）

.।------=mr,a~+2,

即Hri2cl—2,即n------n—1>

\a=in।2a—2

0«:+2=2t72-4«+2，即。2_4〃=0,则。=0（舍去）或。=4（舍去）

当〃>1时，X4土土2,

la-1

当a<°+2,a2-2a-2<0t即lvavl+6时，

2a-2

不等式爪7二五二x+a的解集是xWl-G，不符合题意，舍去.

20

当〃之士—二，a2-2a-2>0,即。之1+6时，

2a-2

,（〃）=-=（。-1）72（，1）+3=口+^_^+⑶+2”x^^=l+S

八）2"22（a-l）22（a-l）]/22（a-l）

ci-13厂

当且仅当；一二诋刁，即。=6+1时取等号，

团当〃之1+6时，£^>1+石，

2a-2

不等式足五二+〃的解集是X4I-6或1+6«工<《^，不符合题意