函数的概念与性质（知识清单）原卷版-2027年高考数学一轮复习

函数的定义O函数问即定义域第亍

知啊函数的相关概念函数的三要素：定义域、值域、对应关系

\相等函数与分段函数口分段函数的分段点问题

函

单调函数的定义

数

知识点2函数的单调性函数的单调区间

的\函数单调性的性质O解抽象函数不等式

概

念

奇星数：寅-X尸小外,关于原点对称

函数的奇偶性

与

知识点3函数的奇偶性偶函数：见关于y轴对称

性函数奇偶性的几个重要结论

质

周期函数的定义<x+7)=.代)

函数的周期性

最小正周期所有周期中的一个最少正数

知识点4函数的周期性与对称性

关于线对称Ha-x)-Xb-x)

函数的对称性

----------关于点对称

O函数四种性质的综合应用

基础梳理•自主夯基核心心记

«►考点01函数的相关概念

1、函数的定义：一般地，设AB是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种确定的对应

关系/,在集合3中都有唯一确定的)，和它对应，那么就称/:4-3为从集合A到集合B的一个函数,

记作y=J\X),XEA.

2、函数的三要素

(1)在函数y=/(x),x£A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

(2)与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合L/U)|x£A｝叫做函数的值域。显然，值域是集合〃的

子集.

(3)函数的对应关系：y=f(x\xeA.

3、相等函数与分段函数

(1)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等.

(2)分段函数：在函数定义域内，对于臼变量工取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为

分段函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构

成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交.

3x,x>0

【新题对点练】（2026•山东泰安・模拟预测）已知函数/（'）=若/（〃7）=3,则帆=

log2(4-x)，x<0

()

A.1或3B.-2或1C.0或-4D.1或-4

《►考点02函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数人幻的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值再,今，

当为＜々时，都有/（为）＜/（刍），那么就说函数外）在区间D上是单调递增函数。

当为时，都有/（M）〉/（再），那么就说函数力R在区间D上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）

2、困数的单调区间

若函数在区间D上是增函数或减函数，则称函数），=/1切在这•区间上具有（严格的）单调性，区间D

叫做y=f（x）的单调区间.

（1）函数单调性关注的是整个区间上，的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义

域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

（2）单调区间QG定义域/.

（3）遵循最简原则，，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“U”，可以用“和”来表示.

3、函数单调性的性质

若函数/（X）与g（x）在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）/（幻与/（x）+C（C为常数）具有相同的单调性.

（2）/（x）与一/（x）的单调性相反.

（3）当丁＞0时,"（X）与/（x）单调性相同;当。＜0时，/。）与/"）单调性相反.

（4）若/u）＞o,则/（X）与具有相同的单调性•

（5）若/（犬）恒为正值或恒为负值，则当。＞0时，/（戈）与一L具有相反的单调性;

fyX）

当〃＜0时，/（无）与一―具有相同的单调性.

/（-V）

（6）八外与g（x）的和与差的单调性（相同区间上）：

简记为；ZI/=/;（2）XI、=、；（3）Z-、=/;（4）、-/=、.

（7）复合函数的单调性：对于复合函数y=/［g（x）］,

若f=g（x）在区间3，万）上是单调函数，且＞=/（/）在区间（g（a）,gS））或（g（/?）,g（a））上是单调函数

若f=g（x）与），=m）的单调性相同，则y=/Ig（x）］为增函数

若尸g（x）与），=/⑺的单调性相反，则），=儿总）］为减函数.简称“同增异减”.

【新题对点练】（2026•北京昌平•一模）下列函数中，在区间（—,0）上单调递减的是（）

A./(A)=--B./(A)=A2+X

X

C./(x)=log2(-x)D.〃力=3村

•考点03函数的奇偶性

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（助的定义域内任意一个X,都

偶函数关于），轴对称

有y（-x）=/*），那么函数yu）是偶函数

如果对于函数、儿。的定义域内任意一个小都

奇函数关于原点对称

有/（一）=-/。），那么函数/（X）是奇函数

2、函数奇偶性的几个重要结论

（1）/（工）为奇函数Q/（x）的图象关于原点对称；/"）为偶函数=/（x）的图象关于），轴对称.

（2）如果函数/（X）是偶函数,那么/"）=/（!1）.

（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即/（幻=0,其中定义域。是关于原点对称的非

空数集.

（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

（5）偶函数在关『原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于

原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的日变量也互为相反数.

【新题对点练】(25-26高三下.北京.阶段检测)已知函数/(工)=卜M+siiu,则()

A./}+])为奇函数B.为偶函数

C./(与+劝为奇函数D./(汇+n)为偶函数

©考点04函数的周期性与对称性

1、函数的周期

(1)周期函数的定义：对于函数,，=/"),如果存在一个非零常数兀使得当x取定义域内的任何值时，都

有f(x+7)=/(x),那么就称函数/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(x)

的最小正周期.

2、函数的对称性

(1)函数关于线对称：若函数)，=/(用满足〃〃+x)=/S-X)，则函数y=/(x)关于直线x=*对称，特

2

别地，当。=〃=0时，函数y=/(x)关于〉轴对称，此时函数y=/(x)是偶函数.

(2)函数关于点对称：若函数y=/(x)满足f(2a-x)=2b-f(x)，则函数y=/(x)关于点(a,。)对称，特别

地，当。=0,6=0时，〃幻=-/(-%),则函数)，=/0)关于原点对称，此时函数/(x)是奇函数.

【新题对点练】(2026・湖南•三模)己知“X)是定义在R上的奇函数，/(2工+2)的图象关7x=-g对

称，/(-1)=-3,则/(985)=()

A.0B.-3C.3D.4

高阶思维-探究拓展一一思想解吗

©难点解读01部分奇偶性的应用

1、函数奇偶性分解

对于一个定义域关于原点对称的函数/(X),构建函数晨幻力⑴=/*)：♦—)，这样

使得/(x)=g(x)+"(/).而对于函数g(x)来说，g(-x)='g(x),得到g(<)是偶函数;

对干函数〃(X)来说，〃(一1)二/(一)「/(")=〃(­),得到力(工)是奇函数.这样就说明任何一个定义域关

于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和.

2、部分奇偶性

对于一个非奇非偶函数/(X),已知/(小)求/(-/)通常采用以下步骤处理：

第一步:观察函数/(X)的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出/(X)=双幻+/2。),

其中函数g(X)是偶函数，函数〃(九)是奇函数.

第二步：根据函数g(X),例外的奇偶性得到了(一%)与/(%)的关系式，进而求出了(一无)的值.

①如果偶函数g(x)是无参或相对简单的，以奇函数〃(外桥梁构建等式，根据〃(-%)=-〃(葩)解决问题.

②如果奇函数〃(X)是无参或相时简单的，以偶函数g。)桥梁构建等式，根据g(-X0)=g(Xo)解决问题.

值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数f(x)的解析式来完成，而非直接构造

g(x)=/(幻；”一封,h(x)=f(x)一,Lx),前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的.

3、奇函数的性质延伸一一“常数”模型

若f(x)=g(x)+c,其中g(x)是奇函数，。是不为零的常熟，当奇函数g(x)有最大值和最小值时，/(x)

也有最大值和最小值,且/(X)nm+/(X)min=2c.

《►难点破解

1.(25・26高三上.北京.阶段检测)下列函数中，既是偶函数，又在(。,+")上单调递增的是()

A.f(x)=4xB./(x)=evC./(A)=4"D.〃x)=l中

•X

2.(25-26高三上.贵州六盘水•阶段检测)已知函数/(x)=6x-在区间［一40上的最大值是2,则

Vx2+1

/(Q在区间［-。，可上的最小值是()

A.-2B.-6C.-8D.-10

令难点解读02双对称推导函数的周期

已知函数/(X)的图象的两条对称轴、两个对称中心或•条对称轴加一个对称中心都可以得到/(X)的周期

的结论.

①两条对称轴：

已知函数/(幻的图象关于直线和直线x=〃对称，则函数/*)是周期为2|〃-。|的周期函数.

特别的，当/(X)为偶函数且函数/。)的图象关于直线X对称，函数/(X)是周期为2|。|的周期函数.

①两个对称中心：

已知函数/(X)的图象关于点(氏0)和点(〃,0)中心对称，则函数/*)是周期为的周期函数.

特别的，当/(幻为奇函数且函数/*)的图象关于点(。,0)中心对称，函数/(幻是周期为2|。|的周期函数.

③一条对称轴+一个对称中心：已知函数/(x)的图象关于点(。,0)中心对称且关于直线x=b对称，则函数

/(x)是周期4|〃一的周期函数.

《►难点破解

1.(2026•江苏南京•模拟预测)已知定义在R上的函数/(力的图象关于直线x=3对•称，旦

/⑴+〃2T)=0.当吠卜川时,/(x)=(x-l)2,则/偿=—・

2.(2026•陕西渭南•三模)已知“X)是定义在R上的奇函数，/(x+1)是偶函数，则/(2026)=()

A.0B.-2C.2D.4

《►难点解读03类周期函数

1、类周期函数的定义：从周期函数/(x+T)=/(x)进行延伸拓展，若函数g(x)满足g(x+T)=qg(H)+c

3>0,〃>0,C£R),我们可称函数g(用为类周期函数.其中。=/?=l,c=0的情形就是周期函数.

2、类周期函数问题的处理方法

对于满足g(x+/)=ag(bx)+c(ci>0,b>0,c丘R)的类周期函数g(x)来说,往往知道其在(％,%+7]

(或[%,.%+7])上的解析式.此时通常采用以下步骤处理：

第一步：利用函数g(x)的类周期性，找到函数g(x)各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数

g(x)各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数g(x)各段的图象.

第二步：对函数g(x)各段开展分类讨论，或根据函数g(x)各段的图象解决问题.

《►难点破解

1.(2026•安徽合肥•模拟预测)设函数在定义域R上满足f(x)=2/(x+4),且当工40,4)时，

/(x)=-x2+4.r,则当x«8/0]时，/(力的最大值是()

A.16B.4C.2D.1

2.(25-26高三下•云南怒江•开学考试)已知函数/")的定义域为[0,+8),/(x+2)=2/(x),当

x«0,2]时，〃X)=T(X-2).若％式0,2],3x2e[0.2],2/(幻=/(电+。)(a>0),则〃的取值范围

为.

《►难点解读04抽象函数的性质

1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某

处的函数值或某抽象代数式的值.常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令工二・,,-2,—1,0,1,2・，等特

殊但求抽象函数的函数值.

2、判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或己知条件得出结论；

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数/(x+y)=…，判断符号时要变形为：

/(^)-/Ui)=/((&-xJ+xJ一/(e)或fM~/(Ui-x2)+x2)；

②若给出的是“积型”抽象函数/(冲)=…，判断符号时要变形为：

fM-1-7(x,)或/(x2)-/U)=f(x2)-f(x2^-.

Ix"IX2)

《►难点破解

1.(2025•山东聊城•模拟预测)已知偶函数〃力的定义域为R,且〃中)=/(力+/3+加,则

的值域为.

2.(25-26高三上•山西大同•阶段检测)已知函数/3)的定义域为(0,+8),若对于任意的工，

”(0收),都有/a)+f(y)=f(砌+2,当X>1时，都有/(外>2,且〃3)=3,则函数/")在区间

[1,27]上的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

IN素养进阶•答题技法突破

高考解密•母题探究--考古溯源

令题型01根据函数的单调性求参数6

考情定位：常结合二次函数、分段函数、复合函数综合命题，侧重考查分类讨论与区间约束思维，多以选

填中档题形式考查.

核心考法：①二次函数结合对称轴与区间位置关系，逆向求单调参数；②分段函数满足整体单调性的参数

范围求解：③复合函数依托内外层单调性规则，逆向约束参数与区间.

解题要点：二次函数单调性求参，核心依托对称轴与定义域区间的位置关系列式；分段函数需同时满足各

分段单调、分段端点衔接单调，缺一不可；复合函数严格遵循“同增异减”原则，结合内层定义域与单调

性，反向锁定参数取值范围.

【真题溯源】（2024•新课标I卷•高考真题）已知函数〃幻=<，）八在R上单调递增，则。的

e+ln（x+l）,x30

取值范围是（）

A.B.[-L0]C.[-U1D.[0,+x)

■题型02函数奇偶性的判断与应用麻

考情定位：新高考基础高频考点，是函数性质考查的核心内容，常单独考查或结合周期、对称综合命题，

适配选择、填空各类基础与中档题型.

核心考法：①不同方法判定函数奇偶性：②利用奇偶性特征求解函数值、化简解析式；③依托奇偶性恒等

关系求解解析式参数.

解题要点：优先验证定义域是否关于原点对称，这是判定奇偶性的前置条件；可通过定义法、图象法、性

质法三种方式快速判定奇偶性；求值类题型利用奇偶性对称特征，将未知区间函数值转化为已知区间函数

值计算；求参类题型借助奇偶性恒等关系列等式，结合系数对等性构建方程，精准求解参数并检验.

【真题溯源】（2025•全国二卷•高考真题）（多选）已知/（人）是定义在R上的奇函数，且当X>0时,

/(X)=(X2-3)CV+2,则()

A./(0)=0B.当x<0时，/(x)=-(-v2-3)e-x-2

C./（x）22当且仅当D.x=-l是f（x）的极大值点

令题型03函数奇偶性、周期性、对称性综合电

考情定位：新高考多选题、小题压轴高频考点，侧重奇偶性、周期性、对称性多性质融合考查，综合性

强、区分度高，侧重考查函数整体性质的综合运用能力.

核心考法：①判定函数奇偶性，利用奇偶性求解函数值、补全残缺解析式；②借助周期性化简大范围、无

穷区间的函数表达式，求解任意自变量对应的函数值：③推导并应用函数轴对称、中心对称性质解题；④

融合奇偶、周期、对称一:大性质，解决抽象函数综合问题.

解题要点：解题优先验证函数定义域的对称性，以此作为奇偶性判定的前提；处理多性质综合题型，优先

通过赋值法推导函数周期与对称特征，化简复杂区间与函数式，简化整体运算，依托核心性质逐步拆解综

合问题.

【真题溯源】(2025•全国一卷・高考真题)已知/(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当24x43时,

/(.r)=5-2x,则/()

重点突破-考法深研一一要名淡妹

•重点01已知定义域恒成立求参数♦>

重点玫陪

核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二

次项系数为。的一次型特例与系数不为()的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼

顾分式、对数等隐性定义域限制.

高频陷阱：忽略二次项系数为o的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域

约束.

【典例1](2025•内蒙古赤峰•模拟预测)若函数/("=/,,.定义域为R，则％的取值范围为

\J-kx--2kx+3

()

A.-3vZv0B.-3<k<0C.-3<A:<()D.-3<k<0

【典例2](25-26高三上•安徽•阶段检测)已知函数/(x)=ln(3f一以+同的定义域为R,则〃?的取值范

围是•

•重点02已知值域限定条件求参数余

刻

核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区

间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域

特征限定参数.

高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围.

Y+1+4的值域为［3,+00),贝Ij4=

【典例1］（25-26高三上•四川•阶段检测）若函数/*"）=

【典例2］（25-26高三上•广东深圳•开学考试）若函数/（1）=（1皿瞑2，-2）的值域为［0,y），则〃=

•重点03分段函数的综合应用«

核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参

性质分析等高频考法.解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型必

须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路.

高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；

含参问题分类讨论不全面.，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性.

【典例1】（2026.山西晋城.三模）若函数=Tx<l，则/（〃_］））=（）

log4x,x>\,

A.-B.—C.-D.2

422

e2x-e\x>0

【典例2】（2026・海南•模拟预测）已知函数/（x）=〈-----^-,x<0若了（2加-1）+/（〃?）>0,则实数〃?的

ele2¥

取值范围是（）

1

A.(1,+8)B.(-a?,-1)C.+8

•重点04函数性质综合：恒成立与存在性问题余

核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值.恒成立属尸任意性问题，

遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”.存在

件条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值.

高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化筒后的定义域限制：区间端点等号取舍失

误，造成参数范围偏大或偏小.

【典例1】(2026•山东枣庄•一模)己知函数/(x)=2'一2-',若/(2/一|)+"水)<。恒成立，则〃的取

值范围是_____.

【典例2】(25・26高三下•陕西西安•阶段检测)已知函数/(工)=一9一4.1一5,g(x)=x+-(x>0),若

存在实数加，〃，使得/(〃?)一g(〃)之一3成立，则加-〃=.

技法提炼-审题点拨----技巧总结

♦技法点拨01同一个函数的判定♦>

方法技巧

两个函数为同一函数的充要条件为定义域、对应关系完全一致,与函数符号、解析式书写形式、值域均

无关，二者缺一即可判定为不同函数.

【典例1】(2026.江苏南京•二模)下列函数/(”和g(x)为同一函数的是()

A./(1)=x+l和g(x)=J(x+l)2B./(x)=Y+d和g(x)=^

C-/(力一二十X和g(x)=D.〃%)=和8(%)=立三五

【典例2](25-26高三上•广东河源•阶段检测)下列各组函数表示相同函数的是()

A./(x)=x+l,g(x)=|x+l|B./(x)=pg(x)=x°

C.f(m)=匠,g(〃)=(a,D./(x)=^—y,&(x)=x

•技法点拨02函数的定义域与值域求解♦>

点方注技巧

定义域求解需遵循“所有限制条件取交集''的原则；

值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适

用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离•常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数

适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则.

【典例1】(25・26高三下•浙江杭州•阶段检测)函数/(x)=VT4+hu的定义域是()

A.(-oo,l]B.[l,4-oo)C.(0,1]D.(。,+巧

【典例2】(2026•北京丰台•二模)下列函数中，定义域和值域相同的是()

A./(x)=VxB./(X)=1II|A-|

C./(x)=tanxD.=

•技法点拨03函数解析式的常用解法*>

I方法技巧1

1、待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数笔)，可用待定系数法.

(1)确定所有函数问题含待定系数的一般解析式：

(2)根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

2、换元法：主要用于解决已知/(g(x))的解析式，求函数/(为)的解析式的问题.

<1)先令g(x)=i,注意分析，的取值范围；

(2)反解出「即用含f的代数式表示x；

(3)将/(g(")中的x度替换为f的表示，可求得了(。的解析式，从而求得了").

3、配凑法：由已知条件/(g(x))=*x)，可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替代g(x)，

便得/(x)的解析式.

4、方程组法：主要解决已知/(x)与/(一可、的方程，求f力)解析式.

例如：若条件是关于/（x）与/（一）的条件（或者与的条件，可把”代为T（或者把x代

为：）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出了（X）.

【典例1】（2025•辽宁沈阳•二模）已知/（x-l）=e［则〃2）=（）

A.eB.2eC.e2D.e3

【典例2】(2025高三上•广东中山•专题练习)已知函数/")满足=：，则/("=()

.I+X2n2+.「-1+X'n2+f

A.----B.-----C.----D.-----

xx3x3x

•技法点拨04抽象函数不等式问题解法恐

方注技巧

①第一步：确定函数完整定义域；

②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数；

③第三步：利用单调性脱去抽象符号转化为普通自变量不等式；

④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集.

【典例1】（2026・贵州贵阳•二模）已知/a）是定义在R上的偶函数，且对任意内,/«°，十功,x产毛，总

有」（%）一’（々）＜0,则不等式的解集为（）

Xl-X2

A.（fg）51,+8）B.（l,+oo）C.（g,1）D.（5）

【典例2】（2026.山西大同.一模）已知函数/"）的定义域为（。户），若对于定义域内给定的任意引，

%（%¥9）,都有七八玉）一%/（玉）＞0,则不等式/（2x）＞也七刍+空”的解集为（）

%一%XX2

A.（73,3）B.（Gx）C.（0,3）D.（3,近）

•技法点拨05周期性的快速推导技法形

点方注技巧

常见求周期的技巧：(。是不为0的常数)

(1)若/(x+a)=/(X),则7=4;(2)若/(x+〃)=/(x-a),则7=2〃；

1

(3)若/(戈+〃)=一/(工)，则7=2〃；(4)若f(x+4)=,则丁=2。；

小)

(5)若/(x+a)=-y^j,则丁=2a；

(6)若/(冗+a)=/(x+〃)，则丁=17一目(。工0)

【典例1】(2026•河南平顶山•模拟预测)若函数“力满足/(x+l)=-"x—l),且当x«。』时，

/(A)=2X2-|,则/(26)=()

13

A.0B.—C.1D.—

82

【典例2】(2026.河北保定.三模)已知定义在R上的函数/(刈满足口-/。)｝口+“1+2)]=2,且

/(0)=2,则〃2026)=.

易错剖析•避坑攻略一一多错归纳

©易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致"

务混易指

在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：

1、已知/(幻的定义域为A,求f(g(x))的定义域，其实质是g(x)的取值范围为A,求工的取值范围；

2、已知/(g(x))的定义域为8,求的定义域，其实质是己知/(g(x))中的1的取值范围为8,求

g(x)的范围(值域)，此范围就是/(x)的定义域.

3、已知/(g(x))的定义域，求f(〃(x))的定义域，要先按(2)求出/(幻的定义域.

【典例1](25・26高三上•湖南邵阳•期中)已知函数y=〃2x-l)的定义域为[—1,3],则)，="一—2)的定

义域是()

A.[-5,3]B.[-2,3]C.[-1,7]D.[1,5]

【典例2](24-25高三上•河北承德•期中)函数〃'+1)的定义域为『2,2],函数g(x)=-^i竽二,

V-1(x—21

则g（x）的定义域为（）

A.[0,2）（2,4]B.[-1,2)<J(2,3]

C.生2）J（Z4]

■易错点02判断函数奇偶性时忽略定义域致”

M务混易指

函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数.在定义

域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意工都有/（-x）=-/（x）,则/（幻为奇函数；如果对定义

域内任意X都有/（T）=/（X）,则/"）为偶函数，如果对定义域内存在不使/（To）。-/（.%）,则/"）

不是奇函数；如果对定义域内存在X。使/（-.%）/fC%），则f（X）不是偶函数.

【典例1]（25-26高三上.安徽.阶段检测）下列函数中，既是偶函数又是（。,+8）上的增函数的是（）

^y/x,X>0

A・/W=TB-/(x)=lg|x—l|c.小）=D-/(x)=x3

;乙)

【典例2]（25-26高三下•上海虹口•阶段检测）以下函数为奇函数的是（）

A.y=e*+-!-B.y=Inr+—!—21D.y=tanr"i---!—

C.y…了

cInxtanx

一易错点03忽略分段函数的分段点致错

务混易指

分段函数的单调件与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调件解参数的题目

中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况.

2

,j/c>a

【典例1】（2026•湖南常德•一模）已知函数/（%）=x一在R上单调递减，则〃的最小

-x-5,x<a

值是（）

B.2C.2瓜D.5

av+l,x<2

【典例2】(2026.河北保定.二模)已知函数/(x)=1,在R上单调递增，则实数。的取值范围为

x——,x>2

x

lit优题精练•专题实战通关

一、单选题

1.(2026・北京•模拟预测)下列函数中，在(。,一)上单调递增的偶函数为(